二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;
②当0 (3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中a b a c k a b h 4422 -=-=,. 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=;④()k h x a y +-=2 ; ⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0 b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0 b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两 个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横 坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是 方程02 =++c bx ax 的两个根,故a c x x a b x x =?- =+2121, 第二部分 典型习题 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c < 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0 4.如图,已知?ABC 中,BC=8,BC 上的高h =4,D 为BC 上一点,EF BC //,交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、 B ),设E 到B C 的距离为x ,则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为( ) D C 5.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为 . 6.已知二次函数11)(2k 2--+=x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x (21x x <),则对于下列结论:①当x =-2时,y =1;②当2x x >时,y >0;③方程011)(22=-+-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ;④11-<x ,12>- x ;⑤21x x k -=,其中所有正确的结论是 (只需填写序号). 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. (1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线b x y +-=2上,试确定这条抛物线的解析式; (2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线b x y +-=2的解析式. 8.有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数,已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-. (1)求此二次函数的解析式; (2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 第9题 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答: ⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式. 10.已知抛物线4)33 4 (2 +++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点,与y 轴交于点C .是否存在实数a ,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由. 11.已知抛物线y =-x 2 +mx -m +2. (1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB m 的值; (2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值. 12.已知:抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1,0). (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标; (2)D 是抛物线与y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9,求此抛物线的解析式; (3)E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点,如果点E 在(2)中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△APE 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 13.已知二次函数的图象如图所示. (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标. (2)若点N 为线段BM 上的一点,过点N 作x 轴的垂线,垂足为点Q .当点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ,点M 重合),设NQ 的长为l ,四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直 接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程). 14.已知二次函数22-=ax y 的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x 轴交点的个数. 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm ,拱高OC =0.9 cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2). (1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域; (2)如果DE 与AB 的距离OM =0.45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:4.12 ,计算结果精确到1米). 16. 如图,抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B . (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上求点M ,使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍; (3)连结OA ,AB ,在x 轴下方的抛物线上是否存在点 N 点的坐标;若不 存在,说明理由. 17.如图,直线33 3 +- =x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,⊙E 经过原点O 及A 、B 两点. (1)C 是⊙E 上一点,连结BC 交OA 于点D ,若∠COD =∠CBO ,求点A 、B 、C 的坐标; (2)求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC 到P ,使DP =2,连结AP ,试判断直线PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由. 答案:1-4DCDD( 2482,484 EF x EF x y x x -=?=-∴=-+) 5. 4 6. ①③④ 7. 解:(1)102-=x y 或642--=x x y , 将0)b (,代入,得c b =.顶点坐标为 21016100(,)24b b b +++-,由题意得21016100 224 b b b b +++-?+=-,解得1210,6b b =-=-.(2)22--=x y 8. 解:(1)设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2, 则??? ????-=++-=+?+?=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即??? ??-=+=--=1 423 b a b a c ,解得?????-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . (2)函数图象如图所示. 由图象可得,当输出值y 为正数时, 输入值x 的取值范围是1- 9. 解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()221024216 12 ≤≤++- =x x x y 10. 解:依题意,得点C 的坐标为(0,4). 设点A 、B 的坐标分别为(1x ,0),(2x ,0), 由04)33 4 (2 =+++x a ax ,解得 31-=x ,a x 342-=. ∴ 点A 、B 的坐标分别为(-3,0),(a 34-,0). ∴ |334 |+- =a AB ,522=+=OC AO AC , =+=22OC BO BC 22 4|34|+- a . ∴ 98 91693432916|334|2222 +-=+??-=+- =a a a a a AB , 252 =AC ,169162 2+=a BC . 〈ⅰ〉当2 2 2 BC AC AB +=时,∠ACB =90°.由2 2 2 BC AC AB +=, 得 )16916(259891622++=+-a a a . 解得 4 1 -=a . ∴ 当41-=a 时,点B 的坐标为(316,0),96252=AB ,252 =AC ,9 4002=BC . 于是2 22BC AC AB +=. ∴ 当4 1-=a 时,△ABC 为直角三角形. 〈ⅱ〉当2 22BC AB AC +=时,∠ABC =90°. 由2 2 2 BC AB AC +=,得)16916 ()98916( 252 2+++-=a a a . 解 94=a .当94=a 时,39 4 34 34-=?=-a ,点B (-3,0)与点A 重合,不合题意. 〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时,∠BAC =90°. 由2 22AB AC BC +=,得)98916(251691622+-+=+a a a . 解 得 94=a .不合题意. 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当4 1 -=a 时,△ABC 为直角三角形. 11. 解: (1)A(x 1,0),B(x 2,0) . 则x 1 ,x 2是方程 x 2 -mx +m -2=0的两根. ∵x 1 + x 2 =m , x 12x 2 =m -2 <0 即m <2 ;又AB =∣x 1 — x 2 =∴m 2 -4m +3=0 解得: m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . (2)M(a ,b),则N(-a ,-b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点 ∴2 22,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-?? ①② ①+②得:-2a 2 -2m +4=0 . ∴a 2 =-m +2 . ∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、N. ∴a = .这时M 、N 到y , 又点C 坐标为(0,2-m ),而S △M N C = 27 ,∴23 1 2 3(2-m =27∴解得m=-7 . 12. 解法一: (1)依题意,抛物线的对称轴为x =-2. ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0), ∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3, 0). (2)∵ 抛物线t ax ax y ++=42 与x 轴的一个交点为A (-1, 0), ∴ 0)1(4)1(2 =+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342 ++=. ∴ D (0,3a ).∴ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342 ++= 上, ∵ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(2 1=OD CD AB ?+.∴ 93)42(21 =+a . ∴ a ±1. ∴ 所求抛物线的解析式为 342++=x x y 或342---ax x y =. (3)设点E 坐标为(0x ,0y ).依题意,00<x ,00<y , 且 2 5 00 =x y .∴ 0025x y =-. ①设点E 在抛物线342++=x x y 上, ∴3402 00++=x x y . 解方程组?????34,25020000++==-x x y x y 得???-;=,=15600y x ??? ??? ?'-'.=,=452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x =-2的同侧,∴ 点E 坐标为(21- ,4 5). 设在抛物线的对称轴x =-2上存在一点P ,使△APE 的周长最小. ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须PA +PE 最小. ∴ 点A 关于对称轴x =-2的对称点是B (-3,0), ∴ 由几何知识可知,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y +=, ∴ ?????-.03,4521=+-=+n m n m 解得?????? ? .23,21==n m ∴ 直线BE 的解析式为2321+=x y .∴ 把x =-2代入上式,得21=y . ∴ 点P 坐标为(-2,2 1). ②设点E 在抛物线342---x x y =上,∴ 3402 00---x x y =. 解方程组????? ---. 34,250200 00x x y x y ==- 消去0y ,得03x 23x 02 0=++. ∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点P (-2,2 1 ),使△APE 的周长最小.解法二: (1)∵ 抛物线t ax ax y ++=42 与x 轴的一个交点为A (-1,0), ∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342 ++=. 令 y =0,即0342 =++a ax ax .解得 11=-x ,32=-x . ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0). (2)由a ax ax y 342 ++=,得D (0,3a ). ∵ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342 ++=上, ∴ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(2 1 =+OD CD AB ?.解得OD =3. ∴ 33=a .∴ a ±1. ∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342--=-x x y . (3)同解法一得,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. ∴ 如图,过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q .设对称轴与x 轴的交点为F . 由PF ∥EQ ,可得 EQ PF BQ BF = .∴ 4 5251PF =.∴ 21=PF . ∴ 点P 坐标为(-2, 2 1 ). 13. 解:(1)设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y , ∴ )2(12-??=-a .∴ 1=a .∴ 22--=x x y . 其顶点M 的坐标是?? ? ??- 4921 ,. (2)设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=,点N 的坐标为N (t ,h ), ∴ ??? ??+=-+=.2 14920b k b k , .解得23=k ,3-=b . ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y .∴ 323-=t h , 其中 221< 1 432+-=t t S ,自变量t 的取值范围是22 1 < (3)存在符合条件的点P ,且坐标是1P ??? ??4725,,?? ? ??- 45232,P . 设点P 的坐标为P )(n m ,,则22 --=m m n .222)1(n m PA ++=,5)2(2222=++=AC n m PC ,. 分以下几种情况讨论: i )若∠PAC =90°,则2 22AC PA PC +=. ∴ ?????+++=++--=. 5)1()2(222222n m n m m m n , 解得:251=m , 12-=m (舍去). ∴ 点?? ? ??47251,P . ii )若∠PCA =90°,则2 22AC PC PA +=. ∴ ?????+++=++--=. 5)2()1(222222n m n m m m n ,解得:02343==m m ,(舍去).∴ 点??? ??4523 2,-P . iii )由图象观察得,当点P 在对称轴右侧时,AC PA >,所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角. (4)以点O ,点A (或点O ,点C )为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA (或边OC )的对边上,如图a ,此时未知顶点坐标是点D (-1,-2), 以点A ,点C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上,如图b ,此时未知顶点坐标是E ?? ? ??-5251,, F ?? ? ??-5854,. 14. 解:根据题意,得a -2=-1. ∴ a =1. ∴ 这个二次函数解析式是22-x y =. 因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x 轴有两个交点. 15. 解:(1)由于顶点C 在y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109 2 +=ax y . 因为点A (25-,0)(或B (25 ,0))在抛物线上, 所以109)25(02+=-?a ,得12518=-a . 因此所求函数解析式为)25 25(109125182≤≤-x x y +=-. (2)因为点D 、E 的纵坐标为209, 所以 109125182092+-x =,得245 ±=x . 所以点D 的坐标为(245-,209),点E 的坐标为(245,20 9). 所以2 2 5)245(245= -= -DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227501.0110002 2 5≈??=(米). 16. 答案:(1)由题意,可设抛物线的解析式为2 (2)1y a x =-+, ∵抛物线过原点, ∴2 (02)10a -+=, 1 4 a =-. ∴抛物线的解析式为21(2)14y x =- -+21 4 x x =-+. (2)AOB △和所求MOB △同底不等高,3MOB AOB S S =△△且, ∴MOB △的高是AOB △高的3倍,即M 点的纵坐标是3-. ∴2 134 x x -=- +,即24120x x --=. 解之,得 16x =,22x =-. ∴满足条件的点有两个:1(63)M -,,2(23)M --,. (3)不存在. 由抛物线的对称性,知AO AB =,AOB ABO ∠=∠. 如图,若OBN △与OAB △相似,必有BON BOA BNO ∠=∠=∠. 设ON 交抛物线的对称轴于A '点,显然(21)A '-,. ∴直线ON 的解析式为1 2 y x =-. 由2 1124 x x x -=-+,得10x =,26x =. ∴ (63)N -, . 过N 作NE x ⊥轴,垂足为E .在Rt BEN △中,2BE =,3NE = , ∴NB = 又OB =4, ∴NB OB ≠,BON BNO ∠≠∠,OBN △与OAB △不相似. 同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点. 所以在该抛物线上不存在点N ,使OBN △与OAB △相似. 17. 解:(1)连结EC 交x 轴于点N (如图). ∵ A 、B 是直线33 3 +- =x y 分别与x 轴、y 轴的交点.∴ A (3,0),B )3,0(. 又∠COD =∠CBO . ∴ ∠CBO =∠ABC .∴ C 是的中点. ∴ EC ⊥OA . ∴ 2 32,2321==== OB EN OA ON . 连结OE .∴ 3==OE EC . ∴ 23= -=EN EC NC .∴ C 点的坐标为(2 3 ,23-). (2)设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y . ∵ C (23,23-). ∴)323(2323-?=-a .∴ 39 2 =a . ∴ x x y 8 3 29322-= 为所求. (3)∵ 3 3 tan = ∠BAO , ∴ ∠BAO =30°,∠ABO =50°. 由(1)知∠OBD =∠ABD .∴ ?=??-∠=∠30602 1 21ABO OBD . ∴ OD =OB 2tan30°-1.∴ DA =2. ∵ ∠ADC =∠BDO =60°,PD =AD =2. ∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP =60°. ∴ ∠BAP =∠BAO +∠DAP =30°+60°=90°.即 PA ⊥AB . 即直线PA 是⊙E 的切线. 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -. 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 a≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 北师大版二次函数测试题及答案 北师大版二次函数测试题 一、选择题: 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 的点,P3(x3,y3)是直线上的点,且-1 两点,则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足: (其中g是常数,通常取10m/s2).若v0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点,则y1的值是_________. 三、解答题: 二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数,则m 的值为( ) A 、0,-3 B 、0,3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ,命题正确的是( ) A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时,y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =,12 +=x y ,12 -=x y ,2 )1(-=x y ,2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=,2 2x y -=,12 --=x y , 12+-=x y 2)1(--=x y ,2)1(+-=x y 的图像,你又发现了什么结论,并且与上一题的 图像比较的话,你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2,五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0,b>0,c<0 ,△<0,画出函数的大致图象。 三,二次函数的三种表达形式,求解析式 1求二次函数解析式: (1)抛物线过(0,2),(1,1),(3,5); (2)顶点M (-1,2),且过N (2,1); (3)与x 轴交于A (-1,0),B (2,0),并经过点M (1,2)。 2 抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线x +=20,且在x 轴上截取长度为22的线段,求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 (1)当x=3时,y 最小值=-1,且图象过(0,7) (2)图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=2 3 (3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0) (4)当x=1时,y=0;x=0时,y= -2,x=2 时,y=3 (5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10) 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线,其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下,则:a _____0,b _____0,c _____0,a+b+c_______0, a-b+c__________0。2a+b________0, ac b 42 -_________0 3.已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1-2-11所示,给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式:①a <0,②b<0,③c>0,④2a +b <0,⑤a +b +c >0.其中正确的不等式的序号为___________- 4.已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为-1,则a +c=_________. 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 第二章二次函数 二次函数的应用(1) 一、知识点 1. 利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2. 求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能: 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 过程与方法: 1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断 能力. 2. 通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力. 情感与态度: 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经 验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值. 2. 能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格. 3. 进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力. 三、重点与难点 重点:能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点:把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境,引入新知( 放幻灯片2、3、4) 1.(1) 请用长20 米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大? 设计意图:通过学生所熟悉的图形,引入新课,使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2. 如图,在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花 圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; ⑵当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3) 若墙的最大可用长度为8 米,求围成花圃的最大面积. 设计意图:在上一个问题的基础上对问题情境进行变化,增大难度,同时板书解题过程,让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知( 放幻灯片5、6、7) 2020 年中考二次函数与几何图形 1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1:平行四边 形 (2) 模式2:梯 形 (4) 模式3:直角三角 形 (6) 模式4:等腰三角 形 (8) 模式5:相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11) 二次函数与几何图形 模式 1:平行四边形 分类标准:讨论对角线 例如:请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形,则可分成 以下几种情况 ( ( ( 1)当边 AB 是对角线时,那么有 AP // BC 2)当边 AC 是对角线时,那么有 AB //CP 3)当边 BC 是对角线时,那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m ,△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值; (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=-x 上的动点,判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标. 2 、如图,抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点(点 A 在点 B 的左侧), 与 y 轴相交于点 C ,顶点为 D . ( ( 1)直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴; 2)连结 BC ,与抛物线的对称轴交于点 E ,点 P 为线段 BC 上的一个动点,过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ,设点 P 的横坐标为 m . ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长,并求出当 m 为何值时,四边形 PEDF 为 平行四边形? ② 设△BCF 的面积为 S ,求 S 与 m 的函数关系. 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人:李霜霜 一、教学目标: (1)了解二次函数的意义,掌握二次函数的图象特征和性质,能确定函数解析式,并能解决简单的实际问题. (2)通过练习及提问,复习二次函数的基础知识;通过对典型例题的分析,培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力;继续渗透数学思想. 二、教学重点、难点 教学重点:二次函数的图像,性质和应用 教学难点:运用二次函数知识解决较综合性的数学问题. 三、教学过程 复习巩固 (一)二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. (二)二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: (三)二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函 数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.二次函数知识点总结及中考题型总结
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