九年级数学垂径定理练习题

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垂径定理练习题一

一．选择题

1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4

2．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）

A ．2.5

B ．3.5

C ．4.5

D ．5.5

3．高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10

米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

A ．5

B ．7

C ．375

D ．37

7

4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）

A ．6.5米

B ．9米

C ．13米

D ．15米

二．填空题

1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 mm ．

2．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 3．如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．

4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm 的管道． 5．如图5，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O

分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥

于点F ，则EF = ．

三．解答题

已知：如图1，30PAC ∠=?，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两

点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．

垂径定理练习题二

1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为 6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。

7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧

，点O 是

的圆心，E 为

上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已

知CD = 600m ，EF = 100m ，求这段弯路的半径．

8、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管

道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB 的长，你仍然会做吗？

C A

B

D E

O

A

B 60cm

10cm

C

O D

E F

A B O

M

第2题图3

O D A B C 第4题图

O A D B C E F

P 图1

2

垂径定理练习题三

1、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300

，则⊙O 的半径____cm 。

2、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

3、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。

4、半径为4cm 的⊙O 中，弦AB=4cm,那么圆心O 到弦AB 的距离是 。

5、⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到弦AB 的 距离为3cm ，则弦AB 的长是 。

6、半径为2cm 的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。

7、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径．

8、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知，AE ＝6cm ，EB ＝2cm ，∠CEA ＝300，求CD 的长。

9、工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。如图所示，AD ＝2.3米， CD ＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米， 请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？

垂径定理练习题四

1．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。

3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．∠COE ＝∠DOE B ．CE ＝DE C ．OE ＝BE D ．BD =BC

4、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。 求证：AC ＝BD 。

5、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

6．如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，20AB CD ==cm ，200BD =cm ，且AB CD ，与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形

门

A

B

M

N

E

F

C

D

O

A

B

C

D

E O A

B

D

C 1题图

5题图

6题图

C

D

A

O

B

E

O

A B

C

D 4题图

·

O

A

B

E

E

O

.

A

C

D

B

A

B

C

D

的最高点离地面的高度是多少？3

人教版九年级数学上册垂径定理

初中数学试卷 垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 ★★2．如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 ★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 ★★5．如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米

★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 O 图 4E D C B A ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. ★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图2，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 ★★12．如图5，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm ★★13．如图6，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么 B A P O y x

中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)

【专题2】垂径定理的性质与运用 【回归概念】 垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二推三。1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。 【规律探索】 1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用； 2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个． 【典例解析】： ①用垂径定理求点的坐标 【例题1】（2019?山东威海?3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（） A133B．23C．2D．2+2

【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22，于是得到结论． 【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ， ∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3， ∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2， ∴CE ＝2 2 PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3， 故选：B ． ②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想) 【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．

垂径定理

2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

初中数学垂径定理中考题精选

初中数学垂径定理练习 一．选择题（共13小题） 1．（2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A．cm B．9 cm C．cm D．cm 2．（2015?东河区一模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（） A．6B．13 C．D．2 3．（2015?上城区一模）一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板分别剪成两个大小相同的长方形，若长方形长和宽的比值为2：1，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比为（） A．2：1 B．：1 C．2：1 D．：1 4．（2014?乌鲁木齐）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于（） A．B．C．3D．2 5．（2014?安溪县校级二模）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

A．点P B．点Q C．点R D．点M 6．（2014?简阳市模拟）如图，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是（） A．3B．6C．9D．12 7．（2014?宝安区二模）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（） A．B．C．6D． 8．（2014?河北区三模）如图，以（3，0）为圆心作⊙A，⊙A与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C、D，P为⊙A上不同于C、D的任意一点，连接PC、PD，过A点分别作AE⊥PC 于E，AF⊥PD于F．设点P的横坐标为x，AE2+AF2=y．当P点在⊙A上顺时针从点C运到点D的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象是（）

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或 半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234??? 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121 2 126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90° 由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm 点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2 2 证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==， 在Rt AOE ?中，AE OA OE 2 2 2 =- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2 2 2 =- ()() ∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222 =-=-OA OC a b 22 2 2 即()()AE CE AE CE a b +-=-22 BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==- 即2 2b a BD AD -=? 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm B. 6cm C. 63cm D. 123cm （2001年辽宁） 解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ( ) 2632321632 2 2 2 -=-=()cm 故选C 。 例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ， 矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ? 上，且EF C O A B M D O

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

3.3垂径定理;; 一、教学目标;; 1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 四、教学难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 五、教学过程 （一）导入新课 引导学生说出点与圆的位置关系： （二）讲授新课 活动内容1： 探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径 1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ２.连接圆上任意两点的线段叫做弦. ３.经过圆心的弦叫做直径 探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

小明发现图中有: 理由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和重合和重合 AC BC,AD BD. ∴== AC BC,AD BD. 活动2：探究归纳 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（三）重难点精讲 例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求 AB. 证明：连接OA ， ∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形. 在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2 22AO OM AM =+， AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. 例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？

2012中考数学复习(42)：垂径定理

中考数学复习（42）：垂径定理 知识考点： 1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。 2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。 精典例题： 【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长； （2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。 分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。 解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm ∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm （2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm ∴ 25 33 15315-= +-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2 2 CD AB +＝（ ） A 、28 B 、26 C 、18 D 、35 分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线， 垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。 ∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND ∴22 2 OE ON OM =+ 从而2 2 2 2 2 OE CN OC AM OA =-+- 即22222 1)2 (2)2(2=-+-CD AB ?例1图 H E F G O D C B A ?例2图 M N E O D C B A ? 例2图 M N E O D C B A

九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理

二、知识概念 垂径定理 1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧 （2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦 （4）经过圆心 考点一：垂径定理及其推论 例1、下列说法不正确的是（） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影 部分的面积为（） A．B．π C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标 是（） A．（0，0）B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1） 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点 D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（） A．6B．9﹣ C．D．25﹣3 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点 有（）个． A．1B．2C．3D．0 考点二：应用垂径定理解决实际问题 例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)

第11讲垂径定理 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定 理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的 应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆 的其他内容理解奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：15分钟 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的弧。 （2）相关推论 ①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的弧； ①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； ①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平 分这条弦所对的弧；

①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且垂直于这条弦； ①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线 经过圆心，并且平分这条弦。 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关 系也成立。

课堂精讲精练 【例题1】 下列判断中，正确的是（）。 A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误； 任意两条直径互相平分，故B错误； 同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。 讲解用时：3分钟 解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。 教学建议：基本概念题，逐项排除。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1】 下列说法正确的个数是（）。 ①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对 的优弧和劣弧分别相等。 A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质， ①垂直于弦的直径平分弦；故错误； ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

2013年中考数学试题分类汇编：圆的垂径定理

2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ． 考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是 O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与 点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ，根据同弧所对的圆周角相等 可知（D ）一定正确。 【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） C A B

初三数学圆的垂径定理

圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ． 考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5 ，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等 可知（D ）一定正确。 【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm cm 或cm D cm 或cm B

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

精锐教育1对1辅导讲义 棗互钠探索 1、圆是如何确定的？大小怎么判定？ 2、圆中有哪些概念？ 3、垂径定理如何应用？ *曲需提# 【知识梳理1】圆的确定 定理同圆或等圆中半径相等 1?点与圆的位置关系 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 点P与圆心的距离为d，则点P在直线外二d r ；点P在直线上=d = r ；点P在直线内=d ：：：r。 【例题精讲】例1?如图，圆0的半径为15，O到直线I的距离0H=9，P、Q、R为I上的三点.PH=9，QH=12，RH=15， 请分别说明点P、Q、R与圆0的位置关系

【试一试】 1?矩形ABCD中，AB= 8, BC=3.5，点P在边AB上，且BP = 3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ). (A) 点B、C均在圆P夕卜；(B)点B在圆P夕卜、点C在圆P内； (C)点B在圆P内、点C在圆P夕卜；(D)点B、C均在圆P内. 2?如图所示，已知丄ABC ,乙ACB=90, AC=12, AB “3, CD _ AB于点D，以C为圆心，5为半径作圆C ( ) A.点D在圆内，B、A在圆外 B.点D在圆内，点B在圆上，点A在圆外 C.点B、D在圆内，A在圆外 D.点D、B、A都在圆外 2. 过三点的圆 1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 2. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 例2?如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A O D C B A A B C D O 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求： AOB ∠的度数和圆的半径。. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、 3. 求BAC ∠的度数。 （三）、相交问题 如 图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°， 求CD 的长. （四）平行问题 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。 2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题 O A B C D E A C B D O A B C D O C A D E

九年级数学垂径定理练习题

1 垂径定理练习题一 一．选择题 1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4 2．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5 3．高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10 米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．37 7 4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 二．填空题 1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 mm ． 2．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 3．如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm 的管道． 5．如图5，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥ 于点F ，则EF = ． 三．解答题 已知：如图1，30PAC ∠=?，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两 点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长． 垂径定理练习题二 1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。 2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。 3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。 4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。 5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为 6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。 6、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O 是 的圆心，E 为 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已 知CD = 600m ，EF = 100m ，求这段弯路的半径． 8、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管 道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB 的长，你仍然会做吗？ C A B D E O A B 60cm 10cm C O D E F A B O M 第2题图3 O D A B C 第4题图 O A D B C E F P 图1

人教版九年级数学垂径定理练习题

人教版九年级数学垂径 定理练习题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

垂径定理练习题 班级：姓名： 一.选择题 1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（） A．4B．6 C．7D．8 2．如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（） A．2B．3 C．4D．5 3．过⊙O内一点M的最长弦为10?cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cmB．6cmC．3cmD．cm 41 4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位 5．如图5，O ⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cm CD=，则直径AB的长是（） A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 6．如右下图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中错误的是（） A.CE=DE B. ? ? =BD BC C.BAD BAC∠ = ∠ D.AD AC> 图5 7．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm, 则AB与CD之间的距离为() A．1 cmB．7cmC．3 cm或4 cmD．1cm或7cm 二.填空题 1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C， OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米 6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.