人教版 九年级数学 垂径定理讲义 (含解析)

第9讲垂径定理

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础偏上

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理

讲解用时：15分钟

垂径定理及其推论

（1）垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平

分这条弦所对的弧。

（2）相关推论

①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这

条弦，并且平分这条弦所对的弧；

①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平

分这条弦所对的弧；

课堂精讲精练

【例题1】

下列说法正确的个数是（）。

①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，

①垂直于弦的直径平分弦；故错误；

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；

①圆的对称轴有无数条；故正确；

①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．

讲解用时：5分钟

解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。

教学建议：逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋

【练习1】

如图，①O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，

则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（）。

A．①DAC=①DBC=30°B．OA//BC，OB//AC

C．AB与OC互相垂直D．AB与OC互相平分

【答案】C

【解析】本题主要考查的是垂径定理、菱形的判定等知识，

①在①O 中，AB 是弦，半径OC①AB ，

①AD=DB ，

①①DAC=①DBC=30°，或OA//OB ，OB//AC ，或AB 与OC 互相平分 可得：AC=BC ，OA=OB ，OD=DC ，AD=BD ，DO=CD ，AB①CO ， ①四边形OACB 为菱形，

但AB 与OC 互相垂直，不能判断四边形OACB 为菱形的，故选：C ． 讲解用时：5分钟

解题思路：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可。 教学建议：熟练掌握菱形的判定方法是解题关键。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：上城区一模 年份：2018

【例题2】

如图，AB 是①O 的直径，AB①CD 于E ，AB=10，CD=8，则BE 为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．4

D ．3.5

【答案】A

【解析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，

连接OC ，①AB 是①O 的直径，AB=10，①OC=OB=2

1AB=5； 又①AB①CD 于E ，CD=8，①CE=2

1CD=4（垂径定理）； 在Rt①COE 中，OE=3（勾股定理），

①BE=OB ﹣OE=5﹣3=2，即BE=2，故选：A ．

讲解用时：3分钟

解题思路：连接OC 构建Rt①COE ．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC=5，CE=4；然后根据勾股定理求得OE=2；最后利用线段间的和差关系求得BE=OB ﹣OE 求得BE 的长度即可。

教学建议：根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：天水模拟 年份：2018

【练习2】

如图，AB 是①O 的直径，弦CD①AB ，垂足为E ，若CD=22，CA=6，则直径AB 的长为（ ）。

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，

①AB 是①O 的直径，弦CD①AB ，垂足为E ， CD=22，①CE=2，

在Rt①ACE 中，①CE=2，CA=6， ①AE=22CE AC =2，

连接OC ，设此圆的半径为x ，则OE=2﹣x ，

在Rt①OCE 中，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=（2）2+（2﹣x ）2，

解得x=2

3，①AB=2x=3，故选：B ． 讲解用时：5分钟

解题思路：先根据垂径定理得出CE 的长，在Rt①ACE 中利用勾股定理可求出AE 的长，连接OC ，设此圆的半径为x ，在Rt①OCE 中利用勾股定理即可求出x 的值，进而求出AB 的值。

教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：聊城二模 年份：2018

【例题3】

①O 的半径是13，弦AB//CD ，AB=24，CD=10，则AB 与CD 的距离是 。

【答案】7或17

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，

如图，AE=21AB=2

1×24=12，

CF=21CD=2

1×10=5， OE=22AE AO -=5， OF=22CF OC -=12，

①当两弦在圆心同侧时，距离=OF ﹣OE=12﹣5=7；

①当两弦在圆心异侧时，距离=OE+OF=12+5=17．

所以距离为7或17．

讲解用时：8分钟

解题思路：先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB 、CD 的弦心距OE 、OF ，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论。

教学建议：要注意分两种情况讨论。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：抚宁县期末 年份：2017

【练习3】

如图，在①O 中，直径AB 与弦MN 相交于点P ，①NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN 的长为 。

【答案】214

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，

过点O 作OD①MN 于点D ，连接ON ，则MN=2DN ，

①AB 是①O 的直径，AP=2，BP=6，①①O 的半径=2

1（2+6）=4， ①OP=4﹣AP=4﹣2=2，

①①NPB=45゜，①①OPD 是等腰直角三角形，①OD=2，

在Rt①ODN 中， DN=1422=-OD ON ， ①MN=2DN=214．

讲解用时：5分钟

解题思路：过点O 作OD①MN 于点D ，连接ON ，先根据AB 是直径AP=2，BP=6

求出①O 的半径，故可得出OP 的长，因为①NPB=45゜，所以①OPD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD 的长，故可得出DN 的长，由此即可得出结论。 教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：崇安区期末 年份：2017秋

【例题4】

如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB 、CD 与水平地面都是垂直的，根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 。

【答案】2.5米

【解析】本题考查的是垂径定理的应用，

连接OF ，交AC 于点E ，

①BD 是①O 的切线，①OF①BD ，

①四边形ABDC 是矩形，①AC①BD ，

①OE①AC ，EF=AB ，

设圆O 的半径为R ，在Rt①AOE 中，AE=

2

2BD AC =0.75米， OE=R ﹣AB=R ﹣0.25，

①AE 2+OE 2=OA 2，①0.752+（R ﹣0.25）2=R 2，解得R=1.25．

即1.25×2=2.5（米）．

讲解用时：5分钟

解题思路：连接OF ，交AC 于点E ，设圆O 的半径为R 米，根据勾股定理列出方程，解方程即可。

教学建议：掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键。 难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：乐山 年份：2017 【练习4】

一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽

AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽为 。

【答案】1.6m

【解析】本题考查的是垂径定理的应用，

如图：作OE①AB 于E ，交CD 于F ，连接OC ，

①AB=1.2m ，OE①AB ，OA=1m ，①AE=EB=0.6m ， ①OE=m AE OA 8.06.012222=-=-，

①水管水面上升了0.2m ，①OF=0.8﹣0.2=0.6m ， ①CF=22OF OC -=0.8m ，①CD=1.6m ．

讲解用时：4分钟

解题思路：先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论。

教学建议：熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：佳木斯模拟 年份：2017

【例题5】

一辆汽车装满货物的卡车，2.5m 的高，1.6m 的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由。

【答案】卡车能通过大门

【解析】本题考查了垂径定理的实际应用，

这辆卡车能通过厂门，理由如下：

如图M ，N 为卡车的宽度，过M ，N 作AB 的垂线交半圆于C ，D ，

过O 作OE①CD ，E 为垂足，

则CD=MN=1.6m ，AB=2m ，

由作法得，CE=DE=0.8m ，

又①OC=OA=1m ，①OE=22CE OC -=0.6m ，

①CM=0.6+2.3=2.9m ＞2.5m ，

①卡车能通过大门．

讲解用时：8分钟

解题思路：首先利用垂径定理求得CE的长，然后利用勾股定理求得OE的长，从而求得CM的长，与2.5米比较后即可得到结果。

教学建议：根据题意找出相关模型，应用有关定理解题。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013春

【练习5】

如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位时水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，如果水面到拱顶的距离小于3.8m，需要采取紧急措施以防流水对桥的危害，现洪水经过，测得水面宽MN=32m，此时是否需要采取紧急措施？请说明理由。

【答案】不需采取紧急措施

【解析】本考查了垂径定理在实际生活中的应用，

不需要采取紧急措施．

设OA=r，在Rt①AOC中，AC=30m，CD=18m，

得r2=302+（r﹣18）2，

①r2=900+r2﹣36r+324，解得r=34（m），

连接OM，设DE=x，在Rt①MOE中，ME=16，

342=162+（34﹣x）2，即x2﹣68x+256=0，

解得x1=4，x2=64（不合题设，舍去），①DE=4，

①4＞3.8，①此时不需采取紧急措施．

讲解用时：10分钟

解题思路：先利用Rt①AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断。

教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：盐城校级期中年份：2015秋【例题6】

如图，平面直角坐标系中，以点C（2，3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交

于A ，B 两点。

（1）求A ，B 两点的坐标；

（2）若二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，试确定此

二次函数的解析式。

【答案】

（1）A （1，0），B （3，0）；（2）y=x 2﹣4x+3

【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式，

（1）过点C 作CM①x 轴于点M ，则MA=MB ，连结AC ，如图．

①点C 的坐标为（2，3），①OM=2，CM=3，

在Rt①ACM 中，CA=2，①AM=22CM AC =1，

①OA=OM ﹣AM=1，OB=OM+BM=3，

①A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（3，0）；

（2）将A （1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c ，

得，解得，

所以二次函数的解析式为y=x 2﹣4x+3．

讲解用时：10分钟

解题思路：（1）连接AC ，过点C 作CM①x 轴于点M ，根据垂径定理得MA=MB ；由C 点坐标得到OM=2，CM=3，再根据勾股定理计算出AM ，再求出OA 、OB ，然后写出A ，B 两点的坐标；

（2）将A ，B 两点的坐标代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式。

教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题，熟练掌握待定系数法求函数解析式。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：肇源县期末 年份：2017秋

【练习6】

一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米。

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分，要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

【答案】（1）3米；（2）47米

【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，

（1）设抛物线解析式为：y=ax 2+c ，

①桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，

①A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），

①，解得：

①抛物线解析式为：y=﹣25

1x 2+4， ①要使高为3米的船通过，

①y=3，则3=﹣25

1x 2+4，解得：x=±5，①EF=10米； （2）设圆半径r 米，圆心为W ，

①BW 2=BC 2+CW 2，①r 2=（r ﹣4）2+102，解得：r=14.5；

在Rt①WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，

根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2，

即GF 2=14.52﹣13.52=28，所以GF=27，

此时宽度EF=47米．

讲解用时：15分钟

解题思路：（1）首先利用待定系数法求函数解析式再根据题意得出y=3时，求出

x的值即可；（2）首先构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，再在Rt①WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可。

教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：嵊州市期中年份：2016秋

【例题7】

如图，点B，C为①O上两定点，点A为①O上一动点，过点B作BE//AC，交①O 于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分①BAD，连接CE。

（1）求证：AD//EC；

（2）连接EA，若BC=CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由。

【答案】（1）证明：①AC平分①BAD，①①BAC=①DAC，

①①E=①BAC①①E=①DAC，

①BE//AC，①①E=①ECA，

①①ECA=①DAC①EC//AD；

（2）四边形EBCA是矩形

【解析】本题考查圆周角定理、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，（1）证明：①AC平分①BAD，①①BAC=①DAC，

①①E=①BAC，①①E=①DAC，

①BE//AC，①①E=①ECA，

①①ECA=①DAC，①EC//AD；

（2）四边形EBCA是矩形，理由如下，

①AC平分①BAD，①①BAC=①DAC，

又①AC=AC BC=CD，①①ABC①①ADC，

①①ACB=①ACD=90°，

①AB为①O的直径，①①AEB=90°，

又①BE//AC，①①EBC=①ACD=90°，

①四边形EBCA是矩形．

讲解用时：10分钟

解题思路：（1）欲证明AD//EC ，只要证明①ACE=①DAC 即可；（2）根据全等三角形的判定和性质和矩形的判定即可解决问题。

教学建议：基础题，熟练应用相关判定和性质定理分析解题。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：濮阳二模 年份：2018

【练习7】

如图，在圆O 中，弦AB①CD 于E ，弦AG①BC 于F ，CD 与AG 相交于点M 。

（1）求证：=．

（2）如果AB=12，CM=4，求圆O 的半径。

【答案】

（1）证明：连结AD 、BD 、BG ，如图1所示，

①AB①CD ，AG①BC ，①①CEB=①AFB=90°，

①①ECB+①B=90°，①BAF+①B=90°，

①①ECB=①BAF ，即①DCB=①BAG ，①

=；

（2）210

【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

（1）证明：连结AD 、BD 、BG ，如图1所示，

①AB①CD ，AG①BC ，①①CEB=①AFB=90°，

①①ECB+①B=90°，①BAF+①B=90°，

①①ECB=①BAF ，即①DCB=①BAG ，①=； （2）解：连接OA 、OB 、OC 、OG 、CG ，作OH①CG 于H ，OK①AB 于K ，如图2所示：

则CH=GH=21CG ，AK=BK=2

1AB=6， ①①DCB=①BAG ，①DCB+①CMF=90°，①BAG+①ABF=90°，

①①CMF=①ABF ，

①①ABF=①AGC ，①①CMF=①AGC ，

①CG=CM=4，①GH=2，

①AG①BC ，①①AFB=90°，

①①FAB+①FBA=90°，①的度数+的度数=180°，

①①COG+①AOB=180°，①①HOG+①BOK=90°，

①①HGO+①HOG=90°，①①HGO=①BOK ，

在①HOG 和①KBO 中，

， ①①HOG①①KBO （AAS ），①OK=HG=2， ①OB=222262+=+BK OK =210；

即①O 的半径为210．

讲解用时：20分钟

解题思路：（1）连结AD 、BD 、BG ，由AB①CD ，AG①BC 得到①CEB=①AFB=90°，根据等角的余角相等得到①ECB=①BAF ，即可得出结论；

（2）连接OA 、OB 、OC 、OG 、CG ，作OH①CG 于H ，OK①AB 于K ，由垂径定理得出CH=GH=21CG ，AK=BK=2

1AB=6，由圆周角定理和角的互余关系证出①CNF=①AGC ，得出CG=CM=4，因此GH=2，由AG①BC 证出

的度数+的度数=180°，得出①COG+①AOB=180°，因此①HOG+①BOK=90°，证出①HGO=①BOK ，由AAS 证明①HOG①①KBO ，得出对应边相等OK=HG=2，再由勾股定理求出OB 即可。

教学建议：本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要作多条辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果，可根据学生基础选讲。

难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：思明区校级期中 年份：2016秋

课后作业

【作业1】

如图，①O 直径CD=20，AB 是①O 的弦，AB①CD ，垂足为M ，若OM ：OC=3：5，则弦AB 的长为 。

【答案】16

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，

如图所示，连接OA ，

①O 的直径CD=20，则①O 的半径为10，即OA=OC=10，

又①OM ：OC=3：5，①OM=6，

①AB①CD ，垂足为M ，①AM=BM ，

在Rt①AOM 中，AM=22610 =8，

①AB=2AM=2×8=16．

讲解用时：4分钟

难度：3 适应场景：练习题 例题来源：黔东南州期末 年份：2017秋

【作业2】

如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 米。

【答案】10

【解析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，

设圆弧形桥拱所在圆心为O ，连接BO ，DO ，

可得：AD=BD ，OD①AB ，

①AB=16米，拱高CD=4米，

①BD=AD=8m ，

设BO=xm ，则DO=（x ﹣4）m ，

根据题意可得：BD 2+DO 2=BO 2，

即82+（x ﹣4）2=x 2，解得：x=10，

即圆弧形桥拱所在圆的半径是10m ．

讲解用时：5分钟

难度：4 适应场景：练习题例题来源：浦东新区二模年份：2017 【作业3】

已知，如图，AB是①O的直径，弦CD①AB于点E，G是上一点，AG与DC 的延长线交于点F。

（1）如CD=8，BE=2，求①O的半径长；

（2）求证：①FGC=①AGD。

【答案】（1）5；

（2）证明：连接AD，

①弦CD①AB①=，

①①ADC=①AGD，

①四边形ADCG是圆内接四边形，

①①ADC=①FGC，①①FGC=①AGD．

【解析】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，

（1）解：连接OC．设①O的半径为R．

①CD①AB，①DE=EC=4，

在Rt①OEC中，①OC2=OE2+EC2，

①R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．

（2）证明：连接AD，

①弦CD①AB①=，

①①ADC=①AGD，

①四边形ADCG是圆内接四边形，

①①ADC=①FGC，①①FGC=①AGD．

讲解用时：10分钟

难度： 4 适应场景：练习题例题来源：长兴县一模年份：2018

人教版九年级数学上册垂径定理

初中数学试卷 垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 ★★2．如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 ★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 ★★5．如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米

★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 O 图 4E D C B A ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. ★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图2，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 ★★12．如图5，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm ★★13．如图6，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么 B A P O y x

初三九年级数学北师版 第3章 圆3.3 垂径定理【说课稿】

垂径定理 一．教学背景分析 1、学习任务分析 “垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。 “垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。 2、学生情况分析 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位 教学垂点：垂径定理及其推论。 教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。 二．教学目标设计: 1.知识与技能目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法目标： 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3.情感、态度与价值观： 对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。 三．课堂结构设计： 《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当

初三圆垂径定理

垂直于弦的直径 学习要求 1．理解圆是轴对称图形． 2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论． 课堂学习检测 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________． 2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． 5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm． 5题图 6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______． 6题图 7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______． 7题图 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______． 8题图 9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

9题图 10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm． 10题图 综合、运用、诊断 11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 12．已知：如图，试用尺规将它四等分． 13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

垂径定理

2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

人教版 九年级数学 相似形及比例线段讲义 (含解析)

第16讲相似形及比例线段 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 相似形的概念及性质 1、相似形的概念 把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边 的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比 值为1。

比例线段相关概念及性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b ）；如果::a b c d =（或a c b d = ），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 如果a c b d = ，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2）合比性质： 如果a c b d = ，那么a b c d b d ++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d --=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强 调0b d +≠）。 3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d = ），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 4、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182 AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。 A P B

年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或 半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234??? 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121 2 126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90° 由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm 点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2 2 证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==， 在Rt AOE ?中，AE OA OE 2 2 2 =- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2 2 2 =- ()() ∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222 =-=-OA OC a b 22 2 2 即()()AE CE AE CE a b +-=-22 BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==- 即2 2b a BD AD -=? 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm B. 6cm C. 63cm D. 123cm （2001年辽宁） 解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ( ) 2632321632 2 2 2 -=-=()cm 故选C 。 例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ， 矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ? 上，且EF C O A B M D O

九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ , 正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）

初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理

二、知识概念 垂径定理 1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧 （2）平分弦 (不是直径) （3）垂直于弦 （4）经过圆心 考点一：垂径定理及其推论 例1、下列说法不正确的是（） A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴 B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影 部分的面积为（） A．B．π C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A 的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标 是（） A．（0，0）B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1） 例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点 D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（） A．6B．9﹣ C．D．25﹣3 例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点 有（）个． A．1B．2C．3D．0 考点二：应用垂径定理解决实际问题 例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

新人教版九年级数学上册讲义

九年级上册数学讲义 姓名： 电话：

第二十一章 一元二次方程 1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做 一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。 如：24102 x x -+=满足一般形式ax bx c a 2 00++=≠（），2412 x x ，，-分别是二次项、一 次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 ●夯实基础 例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1） 272y y =- （2） ()()512152y y y +-=- （3）()m x n mx x 2 2 10++-=（是未知数） 例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例5 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 第一讲 一元二次方程的定义

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时

人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)

第11讲垂径定理 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定 理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的 应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆 的其他内容理解奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：15分钟 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的弧。 （2）相关推论 ①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的弧； ①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； ①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平 分这条弦所对的弧；

①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且垂直于这条弦； ①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线 经过圆心，并且平分这条弦。 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关 系也成立。

课堂精讲精练 【例题1】 下列判断中，正确的是（）。 A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误； 任意两条直径互相平分，故B错误； 同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。 讲解用时：3分钟 解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。 教学建议：基本概念题，逐项排除。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1】 下列说法正确的个数是（）。 ①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对 的优弧和劣弧分别相等。 A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质， ①垂直于弦的直径平分弦；故错误； ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

初三数学圆的垂径定理

圆的垂径定理 1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）. A.24 B.28 C.52 D.54 答案：D ． 考点:垂径定理与勾股定理. 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 答案：C 解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝4 5 ，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453 CE =，所以， CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】 （A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠ 【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。因为 ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等 可知（D ）一定正确。 【答案】C 4、（2013?泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ， cm B cm cm 或cm D cm 或cm B

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

九年级上学期圆的定义及垂径定理

【圆的认识】第11份 1、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。 2、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有 3、下列四个命题：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中假命题有 4、若OP的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O与OP的位置关系是（ ) A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定 5、圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 . 6、一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________. 7、如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形． 8、⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离d=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且PD = 12cm, QD<12cm, RD>12cm，则点P在，点Q在，点R在 . 9、如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，BC=a,EF=b, NH=C，则a,b,c有什么关系？ 10、⊙0的半径为2，点P到圆心的距离OP=m, 且m使关于二的方程2x2-22x+m-1=0有实根，试确定点P 的位置． 11、如图，点P的坐标为（4,0),圆P的半径为5，且圆P与x轴交于点A,B，与y轴交于点 C,D, 试求出点A , B,C,D的坐标．12、下列说法正确的是（ ) A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线 C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 13、直角三角形两直角边长分别为3和l，那么它的外接圆的直径是（ ) 14、下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整． 15、_______ 三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的外部；直角三角形的外心在 ______________. 16、下列命题正确的个数有（ ) ①矩形的四个顶点在同一个圆上；②梯形的四个顶点在同一个圆上； ③菱形的四边中点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17、在Rt△ABC中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（） A. 5 B.10 C.5 或4 D. 10或8 18、已知等腰三角形ABC中，AB=AC，O是ABC ?的外接圆，若O的半径是4，120 BOC ∠=，求AB的长. 19、如图所示，平原上有三个村庄A、B、C，现计划打一口水井p，使水井到三个村庄的距离相等。 （1）在图中画出水井p的位置； （2）若再建一个工厂D，使工厂D到水井的距离等于水井到三个村庄的距离，且工厂D到A、C两个村庄的距离相等，工厂D应建在何处？请画出其位置. .A

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A O D C B A A B C D O 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求： AOB ∠的度数和圆的半径。. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、 3. 求BAC ∠的度数。 （三）、相交问题 如 图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°， 求CD 的长. （四）平行问题 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。 2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题 O A B C D E A C B D O A B C D O C A D E

九年级《圆》垂径定理练习及答案资料

九年级《圆》垂径定理练习及答案

九年级《圆》垂径定理练习 一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC 为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是( ) A. D在圆内 B．D在圆上 C．D 在圆外 D．不能确定 2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等 弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下面的四个判断中，正确的一个是( ) A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦； B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦； C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦； D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦．

4．下列说法中，正确的有( )①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( ) A．AC=CB B. C. D. OC=CN 6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c( ) A．B． C. 8 cm D． 7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于( ) A．6 cm B． C．8 cm D． 8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4， CE=2，那么⊙O的半径等于( )A. 5 B. C.

人教版九年级数学上培优讲义精编

一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________．