【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第2讲函数的应用(含答案解析)
第2讲 函数的应用
1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin 2
ωx 2＋12sin ωx －1
2
(ω>0，x ∈R)．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦
⎤14，5
8 解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －1
2
＝12(sin ωx －cos ωx )＝2
2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2>2π－π，所以π
ω
>π，所以0<ω<1.
当x ∈(π，2π)时，ωx －π
4∈⎝⎛⎭⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4 4(k ∈Z)． 当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54 . 所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤5 8 . 2．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 ＋(4a －3)x ＋3a ，x <0， log a (x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递 减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 34 解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0 ⎧ 02 ＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0， ⇒13≤a ≤3 4 . 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同 样有且仅有一个解．当3a >2，即a >2 3时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝3 4或a ＝1(舍去)； 当1≤3a ≤2，即13≤a ≤2 3时，由图象可知，符合条件． 综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 34. 3．(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x |，x ≤m ， x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关 于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 4．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时 间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝ 76 000v v 2 ＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时； (2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2 ＋18v ＋121 ＝ 76 000 v ＋121 v ＋18≤ 76 0002 v ·121 v ＋18＝76 000 22＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100 ＝76 000 v ＋100v ＋18 ≤76 0002 v ·100 v ＋18＝76 000 20＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时． 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时． 1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形 式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题. 热点一 函数的零点 1．零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． 例1 (1)函数f (x )＝log 2()x ＋2－x 2的零点个数为________． (2)函数f (x )＝3－ x ＋x 2－4的零点个数是________． 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)令f ()x ＝log 2()x ＋2－x 2＝0，log 2()x ＋2＝x 2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点． (2)f (x )＝3－ x ＋x 2－4的零点个数，即方程3－ x ＝4－x 2的根的个数，即函数 y ＝3－ x ＝(13)x 与y ＝4－x 2图象的交点个数．作出函数y ＝(13)x 与y ＝4－x 2 的图象，如图所示，可得函数f (x )的零点个数为2. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解． 跟踪演练1 (1)函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数为________． (2)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为________． 答案 (1)2 (2)3 解析 (1)由题意可得x ＞0，求函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数，即求方程ln x ＝1 2(x －2)2＋12的解的个数，数形结合(图略)可得，函数y ＝ln x 的图象和函数y ＝12(x －2)2＋1 2的图 象有2个交点， 则f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 有2个零点． (2)函数g (x )的零点个数，即函数y ＝f (1－x )的图象与直线y ＝1的交点个数．令t ＝1－x ，则 f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－t )2＋2(1－t )，t ≥1，|lg(1－t )|，t <1. 作出函数y ＝f (t )的图象，与直线y ＝1有3个交点， 故g (x )有3个零点． 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 例2 (1)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ a －|x ＋1|，x ≤1，(x －a )2 ，x >1，函数g (x )＝2－f (x ) ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ e x ，x ≤1， f (x －1)，x >1， g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)(2,3] (2)(e －1 2 ，1)∪(1，e －1] 解析 (1)由题意当y ＝f (x )－g (x )＝2[]f (x )－1＝0时，即方程f (x )＝1有4个解. 又由函数y ＝ a －||x ＋1与函数y ＝(x －a )2 的大致形状可知，直线y ＝1与函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ a －|x ＋1|，x ≤1， (x －a )2 ，x >1的左右两支曲线都有两个交点，如图所示. 那么，有⎩⎪⎨⎪ ⎧ (1－a )2 >1，f (－1)>1， f (1)≤1， 即⎩⎪⎨⎪ ⎧ a >2或a <0，a >1，a －2≤1， 解得2 (2)画出函数f (x )的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g (x )＝kx ＋1的图象过A (1，e)，B (2，e)时直线斜率k 1＝e －1，k 2＝e －12，并且当k ＝1时，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝e x 相 切于点(0,1)，则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时，实数k 的取值范围是(e －1 2，1)∪(1， e －1]. 思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域． 跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________________． (2)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≥3， ln|x －1|，x <3，若函数f (x )在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围 是__________． 答案 (1)(－∞，2ln 2－2] (2)[8，＋∞) 解析 (1)f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a .由于2()0,2 a a f e =>所以f (x )有零点当且仅当2－2ln 2＋a ≤0，所以a ≤2ln 2－2. (2)当x <3时，令ln|x －1|＝0，求得x ＝0或x ＝2， 即f (x )在(－∞，3)上有两个不同的零点． 由题意，知f (x )＝2x －a 在[3，＋∞)上有且仅有一个零点，则由f (x )＝0，得a ＝2x ∈[8，＋∞)． 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步 骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答． 例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260 x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20 为实常数)． (1)求函数q (x )的表达式； (2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值． 解 (1)当20 由⎩⎨⎧ a －b ·20＝60，a －b ·180＝0， 得⎩⎨⎧ a ＝90， b ＝3 5. 故q (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 1 260 x ＋1 ， 0 0， x ≥180. (2)设总利润f (x )＝x ·q (x )， 由(1)得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 126 000x x ＋1 ， 0 0， x ≥180. 当0 x ＋1， f (x )在(0,20]上单调递增， 所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20 当20 答 当x 等于80元时，总利润取得最大值240 000元． 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法． 跟踪演练3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为________元． (2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元． 答案 (1)3 800 (2)4 050 解析 (1)假设个人稿费为x 元，所缴纳税费为y 元，由已知条件可知y 为x 的函数，且满足 y ＝错误! 共纳税420元， 所以有0.14(x －800)＝420⇒x ＝3 800. (2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 000 50)·(x －150)－ x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－1 50 (x －4 050)2＋307 050. 所以当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元. 1．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________． 押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 5 解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (5 2)，g (4) ＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5. 2．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x >a ， x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是____________． 押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 [－1,2) 解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x >a ， x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0 恰有三个不同的实数根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ， x 2＋3x ＋2＝0， 所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )． 再借助数轴，可得－1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[－1,2)． 3．已知f ()x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[)0，＋∞，满足f ()x ＋2＝f ()x ，若当 x ∈[)0，2，f ()x ＝||x 2 －x －1，则函数 y ＝f ()x －1在区间[]－2，4上的零点个数为________． 押题依据 结合函数的奇偶性、周期性等性质考查函数的零点问题，利用数形结合思想解决此类问题是关键． 答案 7 解析 ∵偶函数f ()x 满足f ()x ＋2＝f ()x ，∴函数f ()x 的周期为 2.又当x ∈[)0，2，f ()x ＝ ||x 2－x －1，∴f ()2＝f ()0＝1，f ()1＝1，∴f ()2＝f ()0＝f ()－2＝f ()4＝f ()－1＝f ()0＝f ()3＝1.函 数y ＝f ()x －1的零点的个数等于方程f ()x －1＝0解的个数．在区间[]－2，4上，方程f ()x －1＝0的解有：－2，－1，0,1,2,3,4共7个． 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用 问题考查的热点． 答案 20 解析 如图，过A 作AH ⊥BC 交于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝ x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x ，则S ＝x (40－x )≤(40 2)2，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m. A 组 专题通关 1．(教材改编)若函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点，则实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－23]∪[23，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点， ∴x 2－mx ＋3＝0有解，∴Δ＝m 2－4×3≥0， 解得，m ≥23或m ≤－2 3. 2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： 则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有______个． 答案 3 解析 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点的存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个． 3．已知x 0(x 0>1)是函数f (x )＝ln x －1 x －1 的一个零点，若a ∈(1，x 0)，b ∈(x 0，＋∞)，则f (a )________0，f (b )________0. 答案 < > 解析 由题意得f (x 0)＝0，又y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，y ＝－1 x －1在(1，＋∞)上单调递 增，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又1 4．函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ |ln x |－1，x >0， －x 2＋2x ＋3，x ≤0的零点的个数为________． 答案 3 解析 当x >0时，令f (x )＝|ln x |－1＝0，解得x ＝e 或1 e ，均满足题意； 当x ≤0时，令f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1(x ＝3舍去)．所以函数y ＝f (x )的零点的个数为3. 5．已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1|x －1| (x ≠1)， 1 (x ＝1)， 若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个 不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 2 3＝________. 答案 5 解析 作出f (x )的图象，如图所示． 由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根； ∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3， ∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0， 故可得x 21＋x 22＋x 23＝5. 6．若函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≤0， ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1] 解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0<2x ≤20＝1，所以0 7．已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当 x∈[－1,1]时，f(x)＝错误!则函数 1 ()() 2 x y f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为 ________． 答案 5 解析因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的 图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f(x)以及 1 ()() 2 x g x=在[－3,3]上的图象，由图可知， 两函数图象的交点个数为5，所以函数 1 ()() 2 x y f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为 5. 8．我们把形如y＝ b |x|－a (a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________. 答案 4 解析由题意知，当a＝1，b＝1时， y＝ 1 |x|－1 ＝ ⎩ ⎨ ⎧1 x－1 (x≥0且x≠1)， － 1 x＋1 (x<0且x≠－1). 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点． 9．某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式 2 5,01, ()31 .(),1, 53 x x x f x x - ⎧≤≤ ⎪ =⎨ > ⎪⎩ 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4 解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－ 2≤5x － 2≤5－ 1，而5－ 2>0.02， 又由x >1，得35·⎝⎛⎭⎫13x ≤1 50， 得⎝⎛⎭⎫13x ≤130，所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车． 10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的3 4，为获得最大的经济效 益，该公司应裁员多少人？ 解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b 100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥3 4·2a ， 所以0 2 . 又140<2a <420，即70 ①当0 2，即70 ②当a －70>a 2，即140 2，y 取到最大值． 故当70 2 人，经济效益取到最大． B 组 能力提高 11．设定义在R 上的函数f (x )满足： (1)对任意的实数x ，都有f (－x )－f (x )＝0； (2)对任意的实数x ，都有f (x ＋π)＋f (x )＝1； (3)当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1； (4)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，有⎝⎛⎭ ⎫x －π 2f ′(x )>0(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)． 则方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上的根的个数为________． 答案 8 解析 由(1)知，函数f (x )为偶函数； 由(2)知，f (x ＋π)＝1－f (x )， 故f (x ＋2π)＝1－f (x ＋π)＝1－[1－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，其周期为2π. 由(3)知，函数f (x )的图象在y ＝0与y ＝1之间． 由(4)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π 2时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ π2，π时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增． 综上，当x ∈[0，π]时，f (x )＝|1－2 πx |，画出函数f (x )和y ＝|sin x |在[－2π，2π]上的图象，如图 所示，两函数在[－2π，2π]上共有8个交点，所以方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上共有8个零点． 12．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示. 请根据以上数据分析，这个经营部定价在_________元/桶才能获得最大利润． 答案 11.5 解析 设每桶水的价格为()6＋x 元，公司日利润y 元，则：y ＝()6＋x －5()480－40x －200＝－40x 2＋440x ＋280，∵－40<0，∴当x ＝－b 2a ＝5.5时函数有最大值，因此，每桶水的价格 为11.5元，公司日利润最大． 13．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 0，0＜x ≤1， |x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为 ________． 答案 4 解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x ，0＜x ≤1，－x 2 ＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2， 当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2 x ＜0，故当1＜x ＜2时 h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示． 由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 14．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R)，给出下列命题： ①∃a ∈R ，使f (x )为偶函数； ②若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④若a 2－b －2>0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③ 解析 ①当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，故①正确．②由f (0)＝f (2)，得|b |＝|4－4a ＋b |， 而f (x ＋1)＝|(x ＋1)2－2a (x ＋1)＋b |＝|x 2＋(2－2a )x ＋1－2a ＋b |，f (1－x )＝|(1－x )2－2a (1－x )＋b | ＝|1－2x ＋x 2－2a ＋2ax ＋b | ＝|x 2＋(2a －2)x ＋1－2a ＋b |. f (x ＋1)≠f (1－x )， ∵|b |＝|4－4a ＋b |不能判定a ＝1， ∴f (x )的图象不关于直线x ＝1对称，故②错误．③f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上是增函数，故③正确．④如图所示，当a 2－b －2>0时，函数f (x )的图象与直线y ＝2有4个交点，故h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，故④错误． 专题二函数 函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等． §2－1 函数 【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念． 1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记 作f：A→B，其中x叫原象，y叫象． 2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯 一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． 其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数 值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应 法则完全确定． 3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元 素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】 1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数． 3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则． 4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】 例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到 集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______． 高考数学二轮专题复习 函数与导数 【考纲解读】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用. 2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力. 3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用. 4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题. 5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型. 6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数(0x y a a =>且1)a ≠与对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠互为反函数. 7.了解幂函数的概念;结合函数1 2 3 21 ,,,,y x y x y x y y x x =====的图象,了解它们的 变化情况. 8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质. 9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数. 12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题. 【考点预测】 1.对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点. 3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好. 4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有 专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值 范围 一、能力突破训练 1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-1 6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 二、思维提升训练 7.已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f. 第2课时 函数的定义域与值域 函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)y ＝1 2－|x |＋x 2－1； (2)y ＝3x x －2 ＋lg(3－x )； (3)y ＝ 1 log 0.5(x －2) ＋(2x －5)0. 解 (1)由????? 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得? ???? x ≠± 2，x ≤－1或x ≥1. 所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)要使函数有意义，则???? ? x －2≥0， x －2≠0， 3－x >0，解得2 思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值． 函数的值域 例1 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3； (3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1. 解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)， 再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． (2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7 x －3， 显然7 x －3 ≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝ x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0， ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2????t －142＋158 ， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为????15 8，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y ＝ x ＋1＋ x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)． 第2讲导数的简单应用 1.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D ) (A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x 解析:法一因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1, 故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D. 法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数, 所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数, 所以a=1,即f'(x)=3x2+1, 所以f'(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D. 2.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D ) 解析:因为f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数, 又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B. 设g(x)=2x2-e x,则g'(x)=4x-e x. 又g'(0)<0,g'(2)>0, 所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点, 所以g(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D. 3.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为. 解析:因为y'=,y'x=1=2, 所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2. 答案:y=2x-2 4.(2017·全国Ⅰ卷,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程 第3讲导数及其应用 1．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是___________________________． 2．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________． 3．(2014·辽宁改编)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 4．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是________． ①(2，＋∞)；②(－∞，－2)；③(1，＋∞)；④(－∞，－1)． 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点. 2.利用导数解决函数的单调性与极值?最值?是高考的常见题型. 热点一导数的几何意义 1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝____________. (2)(2015·徐州市质量诊断)设函数f(x)＝ax3＋3x，其图象在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________． 限时规范训练五 不等式及线性规划 限时45分钟，实际用时 分值80分，实际得分 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3 ＞b 3 B.1a ＜1b C ．a b ＞1 D ．lg(b －a )＜a 解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4 b ( ) A ．有最小值8 B ．有最小值9 C ．有最大值8 D ．有最大值9 解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4 b 的最小值为9，故选B. 3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2 ＞bc 2 ，则a ＞b ； ②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1 b . 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.①ac 2 ＞bc 2 ，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立； ④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但 1－1＜1 －2 .故选B. 4．已知不等式ax 2 －bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12 ＜x ＜－ 1 3，则不等式x 2 －bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2＜x ＜3} B ．{x |x ≤2或x ≥3} C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 13 ＜x ＜ 1 2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪ ⎪⎪ x ＜13或x ＞ 1 2 专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最 值 一、能力突破训练 1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'=0,则a=() A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是 () A.f B.f C.f D.f 4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是() A.- B. C.2 D.5 5.(2018全国Ⅲ,理14)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为. 7.设函数f(x)=a e x++b(a>0). (1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. 8.设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间. 9.(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)= -x+a ln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: 2.2 基本初等函数、函数与方程 【课时作业】 A 级 1．(2018·某某市第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ x 2 －2x ，x ≤0，1＋1 x ，x >0，则函 数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≤0，x 2 －2x ＋3x ＝0 或⎩⎪⎨⎪ ⎧ x >0，1＋1 x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C. 答案： C 2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1 x ，则f (2)等于( ) A.12 B ．e C.1e D ．－1 解析： 法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ， 于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1 e 1－x ，故f (2)＝e. 法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝1 1 e ＝e ，即 f (2)＝e. 答案： B 3．(2018·某某市第二次调研)若a ＝20.5 ，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 解析： 依题意，得a >1,01，得c <0， 故a >b >c ，故选D. 答案： D 4．(2018·某某某某一模)函数f (x )＝ln 2x －1的零点所在区间为( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析： 由f (x )＝ln 2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln 2－1<0， f (2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故 选D. 答案： D 5．已知函数f (x )＝log 3x ＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1) D ．(1，log 34) 解析： ∵单调函数f (x )＝log 3 x ＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32 限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟，实际用时 分值81分，实际得分 一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝x 2 4－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a 2 ＝3，因此a ＝－4. 2．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：选B.设A (x 0，e x 0 )，y ′＝e x ，∴y ′| x ＝x 0 ＝e x 0 .由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0 . 由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0 ＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B. 3．若函数f (x )＝x 3 －2cx 2 ＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 32∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3 －2cx 2 ＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2 －4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2 －12＞0，从而c ＞ 32或c ＜－3 2 . 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有 f x 1－f x 2 x 1－x 2 ≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1] 解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x ) 高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用 一、单项选择题 1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=x x 2-1−1 2的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2021·福建泉州一模)已知a=3 2,b=√3√ 2,c=ln3 ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+a x (a>1)的图象大致是( ) 4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,5 2) B.(5 2,4) C.(5 2,+∞) D.(4,+∞) 5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论: 甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=5 2有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1, -ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根 之和为() A.2 B.3 C.4 D.1 7.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0 专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形 (45分钟80分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.cos15°-4sin215°cos15°=() A. B. C.1D. 【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15° =cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15° =cos 15°-2sin 15°sin 30° =cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=. 2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2, 所以sin A=1,当=时,“=”成立, 所以A=,b=c, 所以△ABC是等腰直角三角形. 3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4 B. C. D.2 【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-, 在△ABC中, 由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C, 得AB2=25+1-2×1×5×=32, 所以AB=4. 4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( ) A.2 B.-2 C. D.- 【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+ =tan 67.5°+ =tan 67.5°-tan 22.5° =tan 67.5°- = =2×=2× =2. 【加固训练】 (2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,) C.(1,2] D.(1,2) 【解析】选C.由=,可得: a=sin x+cos x=2sin, 又x∈,所以x+∈, 所以a的取值X围为(1,2]. 5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( ) A.(-1,3) B.(1,3) C.(,) D.(1,2) 【解析】选D.== ==3-4sin2B. 因为△ABC是锐角三角形, 第二讲函数的图象与性质 [考情分析] 1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现； 2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧. 1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝ sin 2x 1－cos x 的部分图象大致为 ( ) 解析：由题意，令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2 ＝0， f (3π4)＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22 <0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C. 答案：C 2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1x i ＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 解析：∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称． 当m 为偶数时，m i ＝1x i ＝2×m 2＝m ； 专题二 第二讲 一、选择题 1．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角． 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π 3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 [答案] D [解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac ·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π 3，故应选D. 3．(文)在△ABC 中，已知b ·cos C ＋c ·cos B ＝3a ·cos B ，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则cos B 的值为( ) A.13 B ．－13 C.223 D ．－223 [答案] A [解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， ∴sin A ＝3sin A cos B ， 第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 基本初等函数的图象与性质(综合型) 指数与对数式的8个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n .(2)(a m )n ＝a mn .(3)(ab )m ＝a m b m .(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N .(5)log a M N ＝ log a M －log a N .(6)log a M n ＝n log a M .(7)a log a N ＝N .(8)log a N ＝log b N log b a . [注意] (1)(2)(3)中，a >0，b >0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1， M >0，N >0. [典型例题] (1)(2018·高考天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121 3，则a ，b ，c 的大小关 系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b (2)函数y ＝1 x ＋ln|x |的图象大致为( ) 【解析】 (1)因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 121 3＝log 23>log 2e>1，所 以c >a >b ，故选 D. (2)当x <0时，y ＝1x ＋ln(－x )，由函数y ＝1x ，y ＝ln(－x )单调递减，知函数y ＝1 x ＋ ln(－x )单调递减，排除C ，D ； 当x >0时，y ＝1x ＋ln x ，此时f (1)＝1 1＋ln 1＝1，而选项A 中函数的最小值为2， 故排除A ，只有B 正确．故选B. 【答案】 (1)D (2)B 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和α<0两种情况的不同． 专题2.2 函数基本性质的灵活应用 专题2.2.1 函数单调性的灵活应用 【319】．（2020·山东·高考真题·★★） 已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有 ()() 2121 0f x f x x x ->-成立，则函数 ()f x 一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．减函数 【320】．（2021·全国·高考真题·★★） 下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．()2f x x = D ．()f x =【321】．（2014·陕西·高考真题·★★） 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 A ．()1 2f x x = B ．()3 f x x = C ．()12x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ D ．()3x f x = 【322】．（2017·全国·高考真题·★★★） 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是． A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【323】．（2017·全国·高考真题·★★★） 已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减 C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称 D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 【324】．（2017·全国·高考真题·★★★） 函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞ 【325】．（2010·江苏·高考真题·★★） 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第4课 函数的概念及其表示法 A. 课时精练 一、 填空题 1. 已知函数y ＝f(x)，以下说法中正确的有________个． ①y 是x 的函数； ②对于不同的x ，对应的y 的值也不同； ③f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来． 2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1， 则f(f(2))＝________． 3. 已知函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，若a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则a ＝________，b ＝________． 4. 已知函数f(x)＝⎩ ⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________． 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填序号) ①y ＝x －1，y ＝x 2－1x ＋1 ； ②y ＝x 0，y ＝1； ③f(x)＝x 2，g(x)＝(x ＋1)2； ④f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x （x ）2 . 6. 若某等腰三角形的周长为20，底边长y 是腰长x 的函数，则y 关于x 的函数解析式为____________． 7. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩ ⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m 的值为________． 8. 已知f(x)＝2x ＋a ，g(x)＝14 (x 2＋3)，若g(f(x))＝x 2＋x ＋1，则实数a ＝ ________． 二、 解答题 9. 已知函数f(x)＝x ＋2x －6 . (1) 点(3，14)在函数f(x)的图象上吗？ 第2讲数形结合思想 【思想概述】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2) “以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题. Ixl, 例1已知函数yu)= , c 其中，.若存在实数从使得关于x的方程_/u) x-2mx+4m, x>ni, =b有三个不同的根，则m的取值范围是___________ . 思路分析方程段)二b有三个不同的根一函数y=")的图象和直线y二b有三个交点一画函数图象 答案(3, +8) 解析作出.穴x)的图象如图所示,当x>m时，/ - 2mx + 4/n = (x - m)2 + 4m - nr. 要使方程/U)二b有三个不同的根，则有4/?: - m20 ,解得m>3. 批注正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势. 例2当x£(l,2)时，不等式(x-l)2 (完整版)高三数学第二轮专题复习系列(2)--函数 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高三数学第二轮专题复习系列(2)--函数）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)高三数学第二轮专题复习系列(2)--函数的全部内容。 （完整版）高三数学第二轮专题复习系列（2)--函数 编辑整理:张嬗雒老师 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版）高三数学第二轮专题复习系列(2）—-函数这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区,这将是我们进步的源泉，前进的动力. 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版）高三数学第二轮专题复习系列（2）-—函数> 这篇文档的全部内容。 高三数学第二轮专题复习系列(2)——函数 一、本章知识结构: 二、高考要求 （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2)了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．(4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。 ②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练
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