4.
又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 得a 2
＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22＝29， 所以a ＝29.
1.平面对量的数量积的运算有两种形式：
(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.
2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.
3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.
一、选择题
1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12，则∠ABC ＝( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC
→
|BA → |·|BC → |＝3
2
.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.
答案 A
2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2
<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，
n 方向相反，则不是必要条件.
答案 A
3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109
D.310
解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，
∴2a ＋b ＝(1，x －8)，
由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2
＋92
＝310. 答案 D
4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →
等于( )
A.－3
4
B.－89
C.－14
D.－49
解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝1
3
，
∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－8
9. 答案 B
5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6
D.8
解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →
，如图.
∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →
|＝3，
∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →
|＝6·sin∠OAB ≤6.
答案 C 二、填空题
6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 2
7.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.
解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×1
2＝1，
又|a ＋2b |2
＝a 2
＋4b 2
＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 3
8.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →
，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.
解析 设AB 的中点为D ，
由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，
即3CM → ＝2MD →
.
如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD → ＝35CD →
， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为3
5.
答案 35
三、解答题
9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2
＝(3sin x )2
＋(sin x )2
＝4sin 2
x ， |b |2
＝(cos x )2
＋(sin x )2
＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2
x ＝1.
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2
x ＝
32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2
.
10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋x ，
⎭
⎪⎫sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .
(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；
(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最
大值.
解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2
x ＋3sin x cos x
＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π，
当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是3
2
.
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＋1
2＝1，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2，∴A ＝π3.
∵a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，∴12＝b 2
＋c 2
－bc ，
∴b 2
＋c 2
＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).
∴S ＝12bc sin A ＝3
4
bc ≤3 3.
∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x (x ∈R ).
(1)当x ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.
解 (1)f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，
令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
由于x ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.
(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，
得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，
而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，13π6，
所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π
3
.
由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝1
2
.
由正弦定理得a b ＝1
2
，①
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos π3，
即a 2
＋b 2
－ab ＝9.②
联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.
2020年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形习题
第二讲 三角恒等变换与解三角形 [限时规范训练] 一、选择题 1．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π 解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C 2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝4 3，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79 解析：∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴ sin 2α＝－7 9.故选A. 答案：A 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α的值等于( ) A.3 5 B ．－35 C.45 D ．－45 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，所以tan α－11＋tan α＝－7，得tan α＝－34，即sin αcos α＝－34.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π.又sin 2 α＋cos 2 α＝1，得sin α＝35，故选A. 答案：A 4．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 解析：∵cos 2 A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c c ，化简得a 2＋b 2＝c 2 . 故△ABC 是直角三角形． 答案：B 5．在△ABC 中，A ＝60°，若a ，b ，c 成等比数列，则b sin B c ＝( ) A.1 2 B.32 C.22 D. 6＋2 4 解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2 ＝ac ，① 又A ＝60°，则由正弦定理得a sin A ＝ b sin B ， 即a ＝b sin A sin B ，代入①得，b 2 ＝cb sin A sin B ，则b ＝c sin A sin B ， 所以 b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝3 2 .故选B. 答案：B 6．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22 3，a ＝2，S △ABC ＝2， 则b 的值为( ) A. 3 B.32 2 C ．2 2 D ．2 3 解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2，解得bc ＝3.因为A 为锐角，sin A ＝22 3 ，所以cos A ＝13 ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解得b 2＋c 2＝6，则(b ＋c )2 ＝12，b ＋c ＝23， 所以b ＝c ＝3，故选A. 答案：A 7．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.6 5 B ．1 C.35 D.15
高三数学二轮复习专题设置及教学环节
高三数学二轮复习专题设置及教学环节 ——专题复习课的教学环节 山东省惠民县第一中学薛达祺 一模考试已经结束，这次考试也是一轮复习结束的标志，在第一轮复习中我们以章节分段渐进，方法工具类章节优先，到边到角地进行了复习，同时穿插单元卷、综合卷的练习，应该说第一轮数学复习已经走完了坚实的一步。但在复习过程中以及一模检测中也暴露出学生掌握的知识较为零散，综合应用存在较大的问题，同时存在基础较差，动手能力不强，知识不能纵横联系的弱点，例如“代数推理题”、“三角函数变形题”经常出现问题，圆锥曲线题目不能从宏观上把握题目，基本套路不熟，也缺乏运算的恒心，概率题不能突破“排列与组合”瓶颈，条件概率概念不清，选择、填空题的速度与准确度都还存在问题等等。针对上述问题，第二轮复习的首要任务应该是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的“树形图”。同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求更高。今年又面临时间短.课时少的局面，因此教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应该了如指掌。只有这样，才能讲课讲透，讲练到位。要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程中的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。 结合一模检测情况和我校学生一轮复习的实际情况，在二轮复习中我们设置了如下专题： 第一部分：思想方法篇；包括函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。第二部分：单元专题： 专题一：集合与常用逻辑用语； 专题二：不等式； 专题三：导数及其应用； 专题四：函数； 专题五：三角函数； 专题六：平面向量； 专题七：立体几何； 专题八：直线与圆； 专题九：圆锥曲线； 专题十：数列； 专题十一：排列组合二项式定理及概率； 专题十二：统计、算法、复数； 专题十三：推理与证明。知识点有：合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法，思想方法展示。 在高三数学二轮复习中专题复习课的有效性至关重要，怎样上专题复习课才更科学、有效？通过向其他地市学习和自己的实践，我认为二轮复习仍然要把主要精力放到落实上去，即把学生当做主体，落实不到学生身上，讲练再多也没有用。“以学生为主体”是当前开展素质教育的一条基本原则，它体现在学生学习应有的主动性，学生是认识活动的主体，学生是交流活动的主体这三个方面。现在一些教师仍然很难改变，老师讲，学生听的做法，对整节课内容大包大揽，这样的上课方式和教法，我认为能教出高分学生，但教不出超高分，甚至满分的学生。因为这样时间长了，使学生养成了“等”知识，“等”方法，被动接受的习惯，这样学习知识根本无从发现规律，更不要提
2022年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题二 第3讲 平面向量 Word版含答案
第3讲 平面对量 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭. 真 题 感 悟 1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥b D.|a |>|b | 解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2 ＋2a·b ＋b 2 ＝a 2 －2a·b ＋b 2 ，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A 2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)， 由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 7 3.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE → ＝ －4，则λ的值为________. 解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → － 1 3AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝3 11. 答案 3 11 4.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ， ∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. ∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7 6 π， ∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6 . (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π3，2π3， ∴－ 32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π 3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π 6时，f (x )取得最小值－2 3. 考 点 整 合 1.平面对量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件 若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2 ＋y 2 . (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 . (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 22 . 4.平面对量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB → (其中λ1＋ λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB → ). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.
2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)
7.3 平面向量数量积及应用 课标要求 考情分析 核心素养 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理 2022(Ⅱ)卷 4 利用向量数量积的坐标运算求夹角 2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模 2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算 2020(Ⅰ)卷 7 向量数量积的运算和投影 1.向量的夹角 定义 范围 共线与垂直 图示 已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角． [0,π] a ⃗//b ⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b ⃗⃗?θ=π 2 向量夹角：共起点 定义 已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=0 运算律 a ⃗? b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗（交换律）;λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)（结合律）;(a ⃗+b ⃗⃗)? c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗（分配 律） 运算性质 (a ⃗+b ⃗⃗)2 =a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b ⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2 =a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗ 如图，设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量. 若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ |b ⃗⃗|b ⃗⃗
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换
第2讲 三角变换与解三角形 1．(2016·课标全国丙改编)若tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝________. 答案 6425 解析 tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝cos 2 α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2 α ＝ 1＋4tan α1＋tan 2 α＝6425 . 2．(2016·天津改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________. 答案 1 解析 由余弦定理得AB 2 ＝AC 2 ＋BC 2 －2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2 ＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2 ＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)． 3．(2016·上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________． 答案 π6，5π6 解析 3sin x ＝2－2sin 2 x ，即2sin 2 x ＋3sin x －2＝0， ∴(2sin x －1)(sin x ＋2)＝0， ∴sin x ＝12，∴x ＝π6，5π 6 . 4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 答案 8 解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， A ， B ， C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得， tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课时作业
一讲三角函数的图象与性质课时作业文 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文的全部内容。
第一讲三角函数的图象与性质课时作业文 1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( ) A．x＝－π 12 B．x＝错误! C．x＝错误!D．x＝错误! 解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z, ∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3 . 故应选D. 答案：D 2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x 2 ∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( ) A.错误!B。错误! C。错误!D．1 解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!. 答案：B 3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（） A。错误!B．π C.错误!D．2π 解析：先通过三角恒等变换化简f（x），再求周期．
【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题三第3讲平面向量(含答案解析)
第 3讲平面向量 1． (2016 课·标全国丙改编 →1 ， 3→31 ，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝ 22 ， BC＝， 2 2 答案30° 分析 →→ ∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1， → → 3 BA·BC ＝，∴∠ ABC ＝ 30°. cos∠ ABC＝→→2 |BA|·|BC| 1 2． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______． 答案－ 4 分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212 已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4. 43 3． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中 点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝ → → 2EF ，则 AF ·BC的值为 ________． 答案1 8 分析 →→→如下图， AF ＝AD ＋DF . 又 D， E 分别为 AB， BC 的中点， →1→ 且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB， →＝→＋→＝→＋1→ DF DE EF DE2DE 3→ 3→ ＝2DE ＝4AC， →1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ → 则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB) 24 1→ →1→ 2 3 →2 3 → → ＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 1．角的概念． (1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限． 2．诱导公式． 诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ， y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)tan α＝sin α cos α．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 2，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α 终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√) (4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×) 1．(2015·某某卷)若sin α＝－5 13，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D ) A. 125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2 α＝1－（－513 ）2 ＝ 1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5 131213 ＝－5 12 . 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－5 13， 所以可在α的终边上取一点P (12，－5)， 则tan α＝y x ＝－5 12 .故选D. 2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5 13 3．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量 微专题1 复数 常考常用结论 1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则 (1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i 1+i ＝－i. (2)i 4n ＝1，i 4n ＋ 1＝i ，i 4n ＋ 2＝－1，i 4n ＋ 3＝－i. 保 分 题 1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5 D ．2√2 3．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2 提 分 题 例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下 列说法正确的是( ) A ．z 1z 2 ∈R B.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅ C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2 D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记： 【技法领悟】 复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题03 平面向量小题全归类(原卷版)
专题03 平面向量小题全归类 【命题规律】 平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等． 【核心考点目录】 核心考点一：平面向量基本定理及其应用 核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用 核心考点三：平面向量的数量积 核心考点四：平面向量的模与夹角 核心考点五：等和线问题 核心考点六：极化恒等式 核心考点七：矩形大法 核心考点八：平面向量范围与最值问题 【真题回归】 1．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6 2．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n - B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n + 3．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]- B ．[3,5]- C ．[6,4]- D ．[4,6]- 4．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，,CA a CB b ==，D 是AC 中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________ 【方法技巧与总结】 1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八) 一、选择题 1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 [解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<3 2，因此0°90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°
[答案] D 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为( ) A.615 B ．5 C.562 D ．5 6 [解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2 2·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3 ＝－1 2，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定 理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3 22 2 ＝56 2，故选C. [答案] C 4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( ) A.5 3 B.107 C.57 D.5214 [解析] 因为cos A ＝3 5，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝ 1－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫352＝45，
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第3讲平面向量数量积的最值问题(含答案)
新高考数学大一轮复习专题： 第3讲 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →| ＋4AC →|AC →| ，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13B ．15C ．19D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线
为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ≤θ≤2π3， 则PC →·PA → ＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积及其应用学案 文
第三节 平面向量的数量积及其应用 [考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． (对应学生用书第61页) [基础知识填充] 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图431，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝ θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角． 图431 (2)当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ； (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·C ． 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a |＝a ·a |a |＝x 2 1＋y 2 1
2023届高考数学二轮复习专题二平面向量、三角函数与解三角形第1讲平面向量学案
第1讲 平面向量 1.[向量的坐标运算](2022·新高考Ⅱ卷,T4)已知向量a=(3,4), b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( C ) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析:c=(3+t,4),cos =cos ,即9+3t+165|c | = 3+t |c | ,解得t=5.故 选C. 2.[求向量夹角](2020·全国Ⅲ卷,T6)已知向量a,b 满足|a|=5,|b|=6,a ·b=-6,则cos =( D ) A.-31 35 B.-19 35 C.17 35 D.19 35 解析:向量a,b 满足|a|=5,|b|=6,a ·b=-6,可得|a+b|=√a 2+2a ·b +b 2=√25-12+36=7,cos = a ·(a+ b )|a ||a+b | = a 2+a · b 5×7 = 25-65×7=1935 .故选D. 3.[向量的线性运算](2022·新高考Ⅰ卷,T3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA → =m,CD → =n,则CB → =( B ) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析:因为点D 在边AB 上,BD=2DA,所以BD → =2DA → ,即CD → -CB → =2(CA → -CD → ),
所以CB →=3CD →-2CA → =3n-2m=-2m+3n.故选B. 4.[数量积运算](2021·新高考Ⅱ卷,T15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a= . 解析:由已知可得 (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b+b ·c+c ·a)=9+2(a ·b+b ·c+c ·a)=0, 因此,a ·b+b ·c+c ·a=-9 2. 答案:-9 2 平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,重点考查:平面向量的线性运算、数量积运算、坐标运算、向量的平行与垂直、平面向量在几何图形中的应用.常以选择题、填空题的形式考查,中低等难度;也有可能出现在解答题中,突出其工具性作用. 热点一 平面向量的线性运算 共线定理及推论 (1)已知向量a=(x 1,y 1),a ≠0,b=(x 2,y 2),则a ∥b ⇔b=λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)若OA → =λOB → +μOC → ,则A,B,C 三点共线⇔λ+μ=1.
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题 ——2022年高三数学复习微专题微课 一、本专题在高考中的地位 1.课标对本专题的要求 知识内容 知识要求 了解理解掌握 平面向量 1.平面向量的实际 背景及基本概念 （1）向量的实际背景√ （2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√ （3）向量的几何表示√ 2.向量的线性运算 （1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√ （2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个 向量共线的含义 √ （3）向量线性运算的性质及其几何意义√ 3.平面向量基本定 理及坐标表示 （1）平面向量的基本定理及其意义√ （2）平面向量的正交分解及其坐标表示√ （3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√ （4）用坐标表示的平面向量共线的条件√ 4.平面向量数量积 （1）平面向量数量积的含义及其物理意义√ （2）平面向量的数量积与向量投影的关系√ （3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数 量积的运算 √ （4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系 √5.向量的应用 （1）向量法解决某些简单的平面几何问题√ （2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题 √ 明确《考试大纲》对知识的要求层次。“理解”“掌握”这两个层次要求的 知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。 2.近五年全国卷考查情况分析 年份题序题型考点明细单独 命题 综合 命题 分值 难易 程度 2016年全国卷I(理) 3 选择题 向量加法坐标运算与垂 直 √ 5 易
2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应 用 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文） 14 填空题 向量数量积与向量垂直 的充要条件 √ 5 易 2021·新高考 Ⅱ卷 13 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 二、真题回顾 1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________． 4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = . 三．要点提炼 考点 平面向量的数量积 1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2 ＋y 2 . 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 . 3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝ a · b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 22 . 四．典型例题： 例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平 面内一点，则PC →·(PB →＋PD → )的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)， 设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD → ＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－
2020年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量习题
第三讲 平面向量 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.32 解析：因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－3 2. 答案：A 2．(2017·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D. 2π3 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2 －a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22 ，∴〈a ，b 〉＝π 4. 答案：B 3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB → ＋OC → ＝0，则下列结论正确的是( ) A.OA → ＝13AB →＋23BC → B.OA → ＝23AB →＋13BC → C.OA →＝13AB →－23 BC → D.OA → ＝－23AB →－1 3 BC → 解析：∵OA →＋OB → ＋OC → ＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA → ＝－23×12(AB → ＋AC → )＝－13(AB →＋AC → )＝－1 3(AB → ＋ AB →＋BC → )＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－1 3BC → ，故选D. 答案：D 4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－1 3 B.13
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题： 第1讲 平面向量 [考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼 1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC → ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A ．－12 B.1 2 C ．－14 D.14 答案 A 解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC → ， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12 . (2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n ＝________. 答案 －2
解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n ＝－2. (3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB → (λ∈R ， μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB → (01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)． 易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化． 跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ， 交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB → (λ，μ∈R )，则λμ ＝________. 答案 12 解析 由题意可设CG →＝xCE → (0
