十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)

专题02 复数

【2021年】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+

C ．34i -

D ．34i +

【答案】C

【分析】由题意可得：()2434343

341

i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.

2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()

2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +

C ．1i +

D ．1i -

【答案】C

【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()

234646z z z z a bi i ++-=+=+，

所以，44

66a b =⎧⎨=⎩

，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2

(1)32i z i -=+，则z =（ ）

A ．3

12

i --

B ．312

i -+

C ．32

i -

+ D ．32

i -

- 【答案】B 2

(1)232i z iz i -=-=+，

32(32)233

12222

i i i i z i i i i ++⋅-+=

===-+--⋅. 故选：B.

4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +

【答案】C

【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()

()()2

222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+

故选：C.

【2012年——2020年】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1

C D ．2

【答案】C

【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==

故选：C ．

2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】D

【分析】由题意可得：()2

212z i i =+=，则()2

22212z z i i -=-+=-.

故2

222z z -=-=. 故选：D.

3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i

【答案】A

【分析】4

22

22

2

(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.

4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+i

C ．–i

D ．i

【答案】D

【分析】因为21(1)21(1)(1)2

i i i

z i i i i ---=

===-++-，所以z i . 故选：D

5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数1

13i

-的虚部是（ ） A ．310

-

B ．110

-

C ．

110

D ．

310

【答案】D 【分析】因为11313

13(13)(13)1010

i z i i i i +=

==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310

. 故选：D .

6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i

12i

z -=+，则z =

A ．2

B C

D ．1

【答案】C

【分析】因为312i

z i -=+，所以

(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则

A ．22+11()x y +=

B ．22(1)1x y -+=

C ．22(1)1y x +-=

D ．22(+1)1y x += 【答案】C

【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则2

2

(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i

【答案】D

【分析】2

i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．

9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】C

【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -

C ．1i -

D ．1+i

【答案】D 【分析】()

(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()

z -=

==+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i

2i 1i

z -=++，则||z =

A ．0

B ．

1

2

C ．1 D

【答案】C 【详解】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()

1i 1i 1i

2i 2i 1i 1i 1i z ---=

+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+

【答案】D 【详解】

分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2

i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i

12i

+=- A ．43i 55

--

B ．43i 55

-+

C ．34i 55

--

D ．34i 55

-+

【答案】D

【详解】详解：212(12)341255

i i i

i ++-+==∴-选D.

14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i +

【答案】D

【分析】解： ()()2

1i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.

15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)

【答案】A

【分析】由题意，对于A 中，复数2

(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2

(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；

对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.

16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

R z

∈，则z R ∈；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.

其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p

D ．24,p p

【答案】B 【详解】

令i(,)z a b a b R =+∈，则由

2211i i a b z a b a b

-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；

对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.

17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -

B ．13i +

C ．3i +

D ．33i +

【答案】B 【详解】

由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.

18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31i

i

++＝（ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i

【答案】D 【分析】由题意

()()()()3134221112

i i i i

i i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】C

【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．

1

2

B

．

2

C

D ．2

【答案】C

【解析】由题意可得2i

1i z =

+，由复数求模的法则可得

1121z z z z =

，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2

C ．2

D ．3

【答案】A

【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得

，解得

，选A.

22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实

数，则i =x y +

A ．1

B

C

D ．2

【答案】B 【详解】

试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.

23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -

C ．32i +

D ．32i -

【答案】C 【解析】

试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.

24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

A ．(31)

-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，

【答案】A

【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30

{10

m m +>-<，解得31m -<<，故选A.

25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则z

z

=

A ．1

B ．1-

C ．

4355

i + D ．

4355

i - 【答案】D

【详解】由题意可得 ：5z =

=，且：43z i =-，

据此有：4343555

z i i z -==-.

本题选择D 选项.

26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41

i

zz =- A ．1 B ．-1

C ．i

D ．-i

【答案】C 【详解】 试题分析：441(12)(12)1

i i

i zz i i ==-+--，故选C ．

27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+

C ．2i -

D ．2i +

【答案】C 【详解】

试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=2

12(12)()

2i i i i i i ++-==--，故选C.

28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z

1z

-=i ，则|z|=

A ．1

B

C

D ．2

【答案】A

【详解】：由题意得，1(1)(1)

1(1)(1)

i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.

29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i

3i 1i

a +=++,则a = A ．4- B ．3-

C ．3

D ．4

【答案】D

【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.

30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，

则a = A ．1- B ．0

C ．1

D ．2

【答案】B 【详解】

由已知得2

4(4)4a a i i +-=-，所以2

40,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．

31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设

，则

A ．

B ．

C ．

D ．2

【答案】B

【详解】：根据复数运算法则可得：11111

1(1)(1)222

i i z i i i i i i i --=

+=+=+=+++-，由模的运算可得：

2

z ==

. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【详解】

试题分析：由已知得22

(1)(1)2(1)

1(1)2i i i i i i i

+++==----．

33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131i

i

+=- A ．12i + B ．12i -+

C ．12i -

D ．12i --

【答案】B

【详解】：

()()()()

1311324121112i i i i

i i i i +++-+===-+--+

34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5

C ．- 4+ i

D ．- 4 - i

【答案】A

【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．

35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））

2

12(1)i

i +=-

A ．112

i --

B ．112

i -+

C ．112

i +

D ．112

i -

【答案】B

【详解】2

121221(1)222

i i i i

i i ++-===---.

36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．4

5

- C ．4 D ．

45

【答案】D

【详解】：设z a bi =+

(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-

435i +==

Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45

b =

37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））

2

1i

+=

A ．

B ．2

C

D ．1 【答案】C

【详解】因为211i i

=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i

B ．-1-i

C ．1+i

D ．1-i 【答案】A

【分析】由()12i z i -=得21i z i

=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=

+的共轭复数是 A ．2i +

B ．2i -

C ．1i -+

D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()

3235512225i i i i z i i i i -+--+-+=

===-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i

=

-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-

A ．23,p p

B ．12,p p

C ．24,p p

D ．34,p p 【答案】C

【详解】因为，所以，，共轭复数为

，的虚部为，所以真命题为选C.

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题17 复数 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编 专题17复数 1.(2019·全国1·文T1)设z=3-i 1+2i ,则|z|= ( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1 【答案】C 【解析】∵z=3-i 1+2i , ∴z= (3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i ) =15?75 i, ∴|z|=√(15)2 +(-75)2 =√2. 故选C. 2.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】D 【解析】z= 2i 1+i = 2i (1-i )(1+i )(1-i ) = 2+2i 2 =1+i.故选D. 3.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z ·z =( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5 【答案】D 【解析】∵z=2+i,∴z =2-i. ∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D. 4.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则z =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 【答案】D 【解析】z=2i+i 2 =-1+2i,则z =-1-2i.故选D. 5.(2019·全国1·理T2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 【答案】C 【解析】设z=x+yi(x,y ∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=√x 2+(y -1)2 =1, 则x2+(y-1)2=1.故选C. 6.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由z=-3+2i,得z =-3-2i,则在复平面内z 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·全国1·理T1文T2)设z=1-i 1+i +2i,则|z|=( ) A.0 B.1 2 C.1 D.√2 【答案】C 【解析】因为 z=(1-i )2 (1+i )(1-i )+2i=-2i 2+2i=i,所以|z|=1. 8.(2018·全国2·理T1)1+2i 1-2i =( ) A.-4 5?3 5i B.-45+3 5i C.-35 ?45i D.-35 +45 i 【答案】D 【解析】 1+2i 1-2i = (1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i ) = 1-4+4i 5=-35+4 5 i. 9.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 【答案】D 【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 10.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=( )

十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)

专题02 复数 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+ C ．34i - D ．34i + 【答案】C 【分析】由题意可得：()2434343 341 i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()() 2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i - 【答案】C 【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()() 234646z z z z a bi i ++-=+=+， 所以，44 66a b =⎧⎨=⎩ ，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C. 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2 (1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．3 12 i -- B ．312 i -+ C ．32 i - + D ．32 i - - 【答案】B 2 (1)232i z iz i -=-=+， 32(32)233 12222 i i i i z i i i i ++⋅-+= ===-+--⋅. 故选：B. 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i + 【答案】C 【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故() ()()2 222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+ 故选：C.

专题2实数-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期） 专题2实数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题 1．（2021·广东中考真题）下列实数中，最大的数是（ ） A ．π B C ．2- D ．3 【答案】A 【分析】 直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可． 【详解】 解： 3.14π≈ 1.414≈，22-=， 23π<-<<， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2．（2021·广东中考真题）若0a +=，则ab =（ ） A B ．92 C ．D ．9 【答案】B 【分析】 根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a 、b 的值，从而可求得ab 的值． 【详解】 ∴0a ≥0，且0a += ∴0a =0= = 即0a =，且320a b -=

∴a =b = ∴92 ab == 故选：B ． 【点睛】 本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零． 3．（2021·广东中考真题）设6的整数部分为a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ） A ．6 B ． C ．12 D ．【答案】A 【分析】 a 的值，进而确定 b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】 ∴34<<， ∴263<<， ∴62a =， ∴小数部分624b == ∴(((22244416106a b =⨯+=+=-=． 故选：A ． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键． 4．（2021·湖南）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ） A ．a b > B ．||||a b > C ．0ab > D ．0a b +> 【答案】B

十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题11 立体几何(学生版)

专题11 立体几何 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高 程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图， 现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平 面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（ ） A ．346 B ．373 C ．446 D ．473 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A B C D 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题母线长为（ ） A ．2 B ． C ．4 D ．

二、填空题 5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________. 三、解答题 6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥． （1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ； （2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积． 7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥． （1）求BC ； （2）求二面角A PM B --的正弦值． 8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题(原卷版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题（原卷版） 1．(2021年高考全国乙卷理科)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知 21 2n n S b +=． (1)证明：数列{}n b 是等差数列; (2)求{}n a 的通项公式． 2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中 选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：②数列 是等差数列；③2 13a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比； (2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和． 4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ． 5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+， 1434n n n b b a +=--． ()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； ()2求{}n a 和{}n b 的通项公式． 6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a = (1)求{}n a 的通项公式； (2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ． (1)1 2n n a -=或() 1 2n n a -=-；(2)6m = 7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．

十年高考(2012-2021)数学真题分项汇编(浙江)04平面向量(原卷版)

,, a b c，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 a，b是两个非零向量． a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| |a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb ．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| 2018·浙江高考真题）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为b满足2430 b e b -⋅+=，则a b -的最小值是 ．31-B．31+C．2 ．（2017·浙江高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC AD＝2，CD＝3， BD交于点O，记 1 · I OAOB ＝， 2 · I OBOC ＝， 3 · I OC OD ＝，则 a b，满足a b b +=，则（

2a b > 2a b < 2b a b >+ 22b a b <+ 2016·浙江高考真题（理）x y x y ≥<，{}min ,x y =,a b 为平面向量，则{}min ,a b a b +-≤{}min ,a b a b +-≥a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，c 满足()0a b c --=，c 的最大值是．1 C ．（2013·浙江高考真题（理）（2013•浙江）上一定点，满足AB 上任一点1e ，2e 为单位向量，满足212|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的的最小值为_______． ·浙江高考真题（文））已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=, 则||b 的取值范·浙江高考真题（文））在平行四边形是对角线AC 和BD 的交点，,,,P Q M N 分,,,P M C 中任意取一点,,Q N D 中任意取一点F ，设点G 满OG OE OF =+，则在上述点组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率__________． 2016·浙江高考真题（文）a ，b ，||1,||2,1a b a b ==⋅=．若e 为平面单位向量，则|||a e b e ⋅+⋅的最大值是______14．（2016·浙江高考真题12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤ ||||,

北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题02复数(含详解)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷） 专题02复数 1．【2022年北京卷02】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．25 2．【2021年北京2】在复平面内，复数z 满足(1−i)z =2，则z =（ ） A ．2+i B ．2−i C ．1−i D ．1+i 3．【2020年北京卷02】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i ⋅z =（ ）． A ．1+2i B ．−2+i C ．1−2i D ．−2−i 4．【2019年北京理科01】已知复数z ＝2+i ，则z •z =（ ） A ．√3 B ．√5 C ．3 D ．5 5．【2018年北京理科02】在复平面内，复数1 1−i 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．【2017年北京理科02】若复数（1﹣i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（1，+∞） D ．（﹣1，+∞） 7．【2015年北京理科01】复数i （2﹣i ）＝（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i 8．【2013年北京理科02】在复平面内，复数（2﹣i ）2对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．【2016年北京理科09】设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ． 10．【2014年北京理科09】复数（1+i 1−i ）2＝ ． 1．在复平面内，复数z 对应的点为(1,−1)，则z (1+i )=（ ） A ．2 B ．2i C ．−2i D ．−22．复数z =(−1+i )(2+i )对应的点在复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知复数z 满足i z =2+i ，则z 的虚部为（ ） 真题汇总 模拟好题

2018-2022高考数学真题专项汇编卷 全国卷版-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

考点三 ：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专 项汇编卷 全国卷版 1.【2021年 全国乙卷(理)】设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A.a b < B.a b > C.2ab a < D.2ab a > 2.【2022年 全国乙卷(理)】已知1x x =，和2x x =分别是函数2 ()2e x f x a x =-（0a >且 1a ≠）的极小值点和极大值点.若12x x <，则a 的取值范围是_________. 3.【2018年 全国Ⅱ卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________. 4.【2022年 全国乙卷(文)】已知函数1()(1)ln f x ax a x x =--+. （1）当0a =时，求()f x 的最大值； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围. 5.【2021年 全国甲卷(文)】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 6.【2020年 全国Ⅰ卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()31 12 f x x ≥+，求a 的取值范围. 7.【2020年 全国Ⅱ卷文科】已知函数()2ln 1f x x =+. （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()() ()f x f a g x x a -= -的单调性. 8.【2019年 全国Ⅰ卷理科】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： (1).()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； (2).()f x 有且仅有2个零点． 9.【2019年 全国Ⅱ卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：

专题03 复数-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)(解析版)

专题03 复数 1．（2021·广东顺德一中高三月考）已知复数53i 1i z +=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4i C ．|z |＝5 D ．z 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】B 【解析】 ∵()()()() 53i 1i 53i 28i 14i 1i 1i 1i 2z ++++= ===+--+， ∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |=z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选B 2．（2021·广东清远一中高三月考）在复平面内，复数3i 1i z +=-（其中i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】因为3i (3i)(1i)24i =12i 1i (1i)(1i)2 z ++++= ==+--+， 所以复数z 对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限. 故选A 3．（2021·广东福田一中高三月考）已知1i z =-（其中i 为虚数单位），则()i z z +=（ ） A ．1i -+ B ．3i + C ．1i - D ．3i - 【答案】B 【解析】因为1i z =-，1i z =+， ()i z z +=()()21i 12i 12i i 2i 3i -+=+--=+， 故选B 4．（2021·广东龙岗一中高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．2i - B ．2i -+ C ．2i + D ．2i -- 【答案】C 【解析】

()2i 34i 5z +=+==， ()()() 52i 52i 2i 2i 2i z -∴= ==-++-，则2i z =+. 故选C. 5．（2021·广东顺德一中高三月考）已知为i 虚数单位，复数1i 12i z +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】 ()()()()221i 12i 1i 12i i 3i 31i 12i 12i 12i 14i 555z +-+---=====-++--， 31i 55z = +，所以z 在复平面内对应的点坐标为31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选A. 6．（2021·广东福田外国语高中高三月考）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（ ） A ． B ． C ．2 - D ．2 - 【答案】D 【解析】由()1i |1i |z +=+ 得i)1i (1i)(1i)22 z -= ==-++-， ∴z 的虚部为故选D 7．（2021·广东肇庆一中模拟）已知()2i 13i z +=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．15- B ．7i 5- C ．75 D ．75 - 【答案】D 【解析】由题意得：()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----= ===--++-，z ∴的虚部为7 5 -.

复数—(2018-2022)高考真题汇编

复数—（2018-2022）高考真题汇编 一、单选题(共35题；共70分) 1．（2分）（2022·浙江）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3 C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3 【答案】B 【解析】【解答】由题意得a+3i=bi−1，由复数相等定义，知a=−1，b=3. 故答案为：B 【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解． 2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)=（） A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i 【答案】D 【解析】【解答】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i， 故答案为：D 【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解. 3．（2分）（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则（）A．a=1，b=−1B．a=1，b=1 C．a=−1，b=1D．a=−1，b=−1 【答案】A 【解析】【解答】易得(a+b)+2ai=2i，根据复数相等的充要条件可得a+b=0，2a=2，解得：a=1，b=−1． 故选：A 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解. 4．（2分）（2022·全国甲卷）若z=−1+√3i，则 z zz̅−1=（） A．−1+√3i B．−1−√3i C．−1 3+√3 3i D．−1 3− √3 3i 【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得， z =−1−√3i ， 则zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4 则 z zz−1=−1+√3i 3=−13+√33 i . 故选：C 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 5．（2分）（2022·全国甲卷）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ） A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5 D ．2√2 【答案】D 【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|= √4+4=2√2 ． 故选：D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出. 6．（2分）（2022·全国乙卷）已知 z =1−2i ，且 z +az̅+b =0 ，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．a =1，b =−2 B ．a =−1，b =2 C ．a =1，b =2 D ．a =−1，b =−2 【答案】A 【解析】【解答】易知 z ̅=1+2i 所以 z +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i 由 z +az̅+b =0 ，得 {1+a +b =02a −2=0 ，即 { a =1 b =−2 . 故选：A 【分析】先求得 z ̅ ，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可. 7．（2分）（2022·北京）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．25 【答案】B 【解析】【解答】由已知条件可知 z = 3−4i i =−4−3i ，所以 |z|=√(−4)2+(−3)2=5 . 故答案为：B 【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.

专题21复数A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2021)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2021） 专题21复数A辑历年联赛真题汇编 1．【2000高中数学联赛（第01试）】设ω=cosπ 5+i sinπ 5 ，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) A．x4+x3+x2+x+1=0B．x4−x3+x2−x+1=0 C．x4−x3−x2+x+1=0D．x4+x3+x2−x−1=0【答案】B 【解析】本题也可以用检验法.显然|ω|=1,ω10=1， 所以ω+ω3+ω7+ω9=ω+ω3+ω3+ω̅=2cosπ 5+2cos3π 5 =4cos2π 5cosπ 5 =4cos2π 5 cosπ 5 sinπ 5 =1. 由根与系数的关系，从而排除A，D. 又有ωω3ω7+ωω3ω9+ωω7ω9+ω3ω7ω9=ω+ω3+ω7+ω9=1， 再排除C， 故选：B. 2．【1995高中数学联赛（第01试）】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z 2 ，…，Z20，则复数Z11995,Z21995,⋯，Z201995所对应的不同的点的个数是( ) A.4 B.5 C.10 D.20 【答案】A 【解析】解法1设Z1=cosθ+isinθ， 则Z k=(cosθ+isinθ)(cos2(k−1)π 20)+ isin 2(k−1)π 20 (1⩽k⩽20)， 由1995=20×99+15得Z k1995=(cos1995θ+isin1995θ)(cos3π 2+i sin3π 2 ) k−1 =(cos1995θ+isin1995θ)(−i)k−1(k=1,2,⋯,20). 共有4个不同的值， 故选A． 解法2不妨设Z1,Z2,⋯,Z20为1的20个20次单位根， 则Z11995,Z21995,⋯,Z201995必为1的4次单位根， 且不难得知Z11995，Z21995,⋯,Z201995包含了1的4个4次单位根，故Z11995,Z21995,⋯,Z201995所对应不同点的个数为4.

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角小题(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角小题 （精解精析） 一、选择题 1．(2021年高考全国甲卷理科)若cos 0, ,tan 222sin παααα⎛⎫ ∈= ⎪-⎝⎭，则tan α= ( ) A ． 1515 B ． 55 C ． 53 D ． 153 【答案】A 解析： cos tan 22sin α αα = - 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααα αααα ∴===--， 0,2πα⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，2 2sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=， 215cos 1sin 4αα∴=-= ，sin 15 tan cos 15 ααα∴==． 故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α． 2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛 的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB = ( ) ( ) A ． ⨯+表高表距 表目距的差表高 B ． ⨯-表高表距 表目距的差表高 C ． ⨯+表高表距 表目距的差 表距 D ． ⨯表高表距 -表目距的差 表距 【答案】A 解析：如图所示：

由平面相似可知， ,DE EH FG CG AB AH AB AC ==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EH AB AH AC AC AH CH --====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH -+⨯= ⨯=+--＝ +⨯表高表距 表高表目距的差． 故选：A ． 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图像，则()f x = ( ) A ．7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ D ．sin 212x π⎛ ⎫+ ⎪⎝ ⎭ 【答案】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图像，则()f x =（ ） A ． 7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ． sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 7sin 212x π⎛ ⎫- ⎪ ⎝ ⎭ D ． sin 212x π⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭ 4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848． 86(单位：m )，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ．B ．C 三点，且A ．B ．C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ．C 两点到水平面 A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈) ( )

十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题05 三角函数(教师版)

专题05 三角函数 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数()sin cos 33 x x f x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π B ．3π和2 C ．6π D ．6π和2 【答案】C 【分析】由题，( )34x f x π⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ ，所以()f x 的最小正周期为 2 6 13 T . 故选：C ． 2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）2 2π5πcos cos 1212-=（ ） A ． 12 B ． 3 C ． 2 D ． 2 【答案】D 【分析】由题意，2 2 22225cos cos cos cos cos sin 12 12122121212π ππππππ⎛⎫ -=--=- ⎪ ⎝⎭ cos 2 6 π == . 故选：D. 3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭ D ．sin 212x π⎛⎫ + ⎪⎝ ⎭ 【答案】B 【分析】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =

的图象，再把所得曲线向右平移 3 π 个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤ ⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣⎦的图象， 根据已知得到了函数sin 4 y x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤ ⎛⎫⎛ ⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎝ ⎭⎣⎦， 令23t x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ ,则,234212 t t x x πππ= +-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 逆向变换， 第一步：向左平移 3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛ ⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ 的图象， 即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ . 故选：B. 4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ） A ． ⨯+表高表距 表目距的差表高 B ． ⨯-表高表距 表目距的差表高 C ．⨯+表高表距 表目距的差 表距 D ． ⨯表高表距 -表目距的差 表距