第12讲 与相交有关概念及平行线得判定
考点·方法·破译
1.了解在平面内,两条直线得两种位置关系:相交与平行、
2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角得定义,并能用图形或几何符号表示它们、
3.掌握直线平行得条件,并能根据直线平行得条件说明两条直线得位置关系、 经典·考题·赏析
【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪 几对对顶角?一共构成哪几对邻补角?【解法指导】
⑴对顶角与邻补角就是两条直线所形成得图角、
⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角得两边就是另一个角得两边得反向延长线、
⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线、
有6对对顶角、 12对邻补角、 【变式题组】
01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则:
⑴∠ARC 得对顶角就是 、 邻补角就
是 、⑵中有几对对顶角,几对邻补角?02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角、 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角、
【例2】如图所示,点O 就是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC.
⑴求∠EOF 得度数;
⑵写出∠BOE 得余角及补角、
【解法指导】解这类求角大小得问题,要根据所涉及得角得定义,以及各角得数量关系,把它们转化为代数式从而求解;【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =21∠BOC ,∠FOC =2
1∠AOC ∴∠EOF =∠EOC +∠FOC =
21∠BOC +2
1∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC +∠AOC =180° ∴∠EOF =21×180°=90° ⑵∠BOE 得余角就是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 得补角就是:∠AOE 、【变式题组】
01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC =100°,则∠BOD 得度数就是( )A .20° B . 40° C .50° D .80°
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则
∠4= 、
【例3】如图,直线l 1、l 2相交于点O ,A 、B 分别就是l 1、l 2上得点,试用三角
尺完成下列作图:⑴经过点A 画直线l 2得垂线、 ⑵画出表示点B 到直线l 1得垂线段、
【解法指导】垂线就是一条直线,垂线段就是一条线段、 【变式题组】
A C
D
E F
A
B C D
E F P
Q R
A B
C
E
F
E
A A
C
D O (第1题图)
01.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 就是直线l 上三点,且PA =4cm ,PB =5cm ,PC =6cm ,则点P 到直线l 得距离为
( )A .4cm B . 5cm C .不大于4cm D .不小于6cm
02 如图,一辆汽车在直线形得公路AB 上由A 向B 行驶,M 、N 为位于公路两侧得村庄;
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 得位置时距离村庄M 最近、行驶到AB 上点Q 得位置时,距离村庄N 最近,请在图中得公路上分别画出点P 、Q 得位置、
⑵当汽车从A 出发向B 行驶得过程中,在 得路上距离M 村越来越近、、在 得路上距离村庄N 越来越近,而距离村庄M越来越远、 【例4】如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥CD ,OF ⊥AB ,∠DOF =65°,求∠BOE 与∠AOC 得度数、【解法指导】图形得定义现可以作为判定图形得依据,也可以作为
该图形具备得性质,由图可得:∠AOF =90°,OF ⊥AB. 【变式题组】 01.如图,若EO ⊥AB 于O ,直线CD 过点O ,∠EOD ︰∠EOB =1︰3,求∠AOC 、
∠AOE 得度数、
02.如图,O 为直线AB 上一点,∠BOC =3∠AOC ,OC 平分∠AOD. ⑴求∠AOC 得度数;
⑵试说明OD 与AB 得位置关系、 03.如图,已知AB ⊥BC 于B ,DB ⊥EB 于B ,并且∠CBE ︰∠ABD =1︰2,请作
出∠CBE 得对顶角,并求其度数、【例5】如图,指出下列各组角就是哪两条直线被哪一
条直线所截而得到得,并说出它们得名称:∠1与∠2:
∠1与∠3:
∠1与∠6:
∠2与∠6: ∠2与∠4:
∠3与∠5: ∠3与∠4:
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角得思路就是:首先弄清所判断得就是哪两个角,其次就是找到这两个角公共边所在得直线即截线,其余两条边所在得直线就就是被截得两条直线,最后确定它们得名称、
【变式题组】
01.如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中得同旁内角共有( )
A .4对
B . 8对
C .12对
D .16对 02.如图,找出图中标出得各角得同位角、内错角与同旁内角、
03.如图,按各组角得
位置判断错误得就是( )
A .∠1与∠2就是同旁内角
F B
A O C D E C D
B A
E O B A C D
O A
B A E D C
F E
B A D 1 4 2 3 6 5 A
B D
C H G
E
F
7 1 5 6 8
4 1
2 乙
丙 3 2 3 4 5
6 1 2 3 4
甲
B .∠3与∠4就是内错角
C .∠5与∠6就是同旁内角
D .∠5与∠7就是同旁内角
【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?并说明理由? ⑴∠CBD =∠ADB ;
⑵∠BCD +∠ADC =180° ⑶∠ACD =∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 角,有“
”即
有内错角、
【解法指导】⑴由∠CBD =∠ADB ,可推得AD ∥BC ;根据内错角相等,两直线平行、
⑵由∠BCD +∠ADC =180°,可推得AD ∥BC ;根据同旁内角互补,两直线平行、 ⑶由∠ACD =∠BAC 可推得AB ∥DC ;根据内错角相等,两直线平行、 【变式题组】
01.如图,推理填空、
⑴∵∠A =∠ (已知)
∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠C =∠ (已知)
∴AC ∥ED ( ) ⑶∵∠A =∠ (已知) ∴AB ∥DF ( )
02.如图,AD 平分∠BAC ,EF 平分∠DEC ,且∠1=∠2,试说明DE 与AB 得位置关系、 解:∵AD 就是∠BAC 得平分线(已知)
∴∠BAC =2∠1(角平分线定义)
又∵EF 平分∠DEC (已知)
∴ ( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴ ( )
∴AB ∥DE ( )
03.如图,已知AE 平分∠CAB ,CE 平分∠ACD.∠CAE +∠
ACE =90°,求
证:AB ∥CD.
04.如图,已知∠ABC =∠ACB ,BE 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB ,∠EBF =∠EFB ,求
证:CD ∥EF 、【例7】如图⑴,平面内有六
条两两不平行得直线,试证:在所有得交角中,至少有一个角小于31°、
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有得直线移动后,使它们相交于同一点,此时得图形为图⑵、
证明:假设图⑵中得12个角中得每一个
角都不小于31° 则12×31°=372°>
360°
1 A B C
2
3 4
5
6 7 A
B
C
D O
A B
E F
C A
B
C
D
E
A B C
D E
F
1 2 A B C
D E F
l 1
l 2
l 3 l 4
l 5
l 6
图⑴ l 1
l 2 l 3
l 4 l 5 l 6
图⑵
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】
01.平面内有18条两两不平行得直线,试证:在所有得交角中至少有一个角小于11°、
02.在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…,a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3,a 3⊥a 4,a 4∥a 5……那么a 1与a 2010得位置关系就
是 、03.已知n (n >2)个点P 1,P 2,P 3…Pn 、在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设S n 表示过这几个点中得任意
两个点所作得所有直线得条数,显然:S 2=1,S 3=3,S 4=6,∴S 5=10…则Sn = 、演练巩固·反馈提高
01.如图,∠EAC =∠ADB =90°、下列说法正确得就是( )
A .α得余角只有∠
B B .α得邻补角就是∠DA
C C .∠ACF 就是α得余角
D .α与∠ACF 互补 02.如图,已知直线AB 、CD
被直线EF 所截,则∠
EMB 得同位角为
( )A .∠AMF B .∠BMF C .∠ENC D .∠END
03.下列语句中正确得就是( )
A .在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B .过直线上一点得直线只有一条
C .过直线上一点且垂直于这条直线得直线有且只有一条
D .垂线段就就是点到直线得距离
04.如图,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,则下列结论中,正确得个数有( )
①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 得垂线段就是线段AB ④线段AB 得长度就是点B 到AC 得距离 ⑤垂线段BA 就是点B 到AC 得距离 ⑥AD >BD A .0 B . 2 C .4 D .6
05.点A 、B 、C 就是直线l 上得三点,点P 就是直线l 外一点,且PA =4cm ,PB =5cm ,PC =6cm ,则点P 到直线l 得
距离就是( )A .4cm B .5cm C .小于4cm D .不大于4cm
06.将一副直角三角板按图所示得方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB +∠DOC = 、
07.如图,矩形ABCD 沿EF 对折,且∠DEF =72°,则∠AEG = 、
08.在同一平面内,若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10、(a 1与a 10不重合)UDZkzHi 。rcCJJwl 。
09.如图所示,直线a 、b 被直线c 所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5,②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°,④
∠4=∠7,其中能判断a ∥b 得条件得序号就是 、10.在同一平面内两条直线得位置关系有 、
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G H a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1 2 3 4 5 6 7 8
1
A E
B
C
F
D
A B
C D
F
E M N
α
第1题图
第2题图
A
B D
C
第4题图
11.如图,已知BE 平分∠ABD ,DE 平分∠CDB ,且∠E =∠ABE +∠EDC.试说明AB ∥CD ?
12.如图,已知BE 平分∠ABC ,CF 平分∠BCD ,∠1=∠2,那么直线AB 与CD 得位置关系如何?
13.如图,推理填空:
⑴∵∠A = (已知)
∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠2
= (已知) ∴AC ∥ED ( )
⑶∵∠A + =180°(已知) ∴AB ∥FD.
14.如图,请您填上一个适当得条件 使AD ∥BC.
培优升级·奥赛检测
01.平面图上互不重合得三条直线得交点得个数就是
( ) A .1,3 B .0,1,3 C .0,2,3
D .0,1,2,3
02.平面上有10条直线,其中4条就是互相平行得,那么这10条
直线最多能把平面分成( )部分、A .60 B . 55 C .50 D .45
03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来得6个点之外,这些直线最
多还有( )个交点、A .35 B . 40 C .45 D .55
04.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点、05.如图就是某施工队一张破损得图纸,已知a 、b 就是一个角得两边,现在要在图纸上画一条与这个角得平分线平行得直线,请您帮助这个施工队画出这条平行线,并证明您得正确性、
06.平面上三条直线相互间得交点得个数就是( )
A .3
B .1或3
C .1或2或3
D .不一定
就是1,2,3
07.请您在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中得每条
直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法? 08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到?
09.如图,在一个正方体得2个面上画了两条对角线AB 、AC ,那么两条对角线得
夹角等于( )
A .60°
B . 75°
C .90°
D .135°
10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面得两个条件?
⑴任意两条直线都有交点; ⑵总共有29个交点、
第13讲 平行线得性质及其应用 考点·方法·破译
1.掌握平行线得性质,正确理解平行线得判定与性质定理之间得区别与联系;
A
C D E B A B C D E
F
1
2
A
B C D E F
第14题图
a b A
B
C
2.初步了解命题,命题得构成,真假命题、定理;
3.灵活运用平行线得判定与性质解决角得计算与证明,确定两直线得位置关系,感受转化思想在解决数学问题中得灵活应用、经典·考题·赏析
【例1】如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD , BC ∥AD ,∠A =38°,【解法指导】
两条直线平行,同位角相等;
两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,同旁内角互补、
平行线得性质就是推导角关系得重要依据之一,必须正确识别图形得特征,瞧清截线,识别角得关系式关键、
【解】:∵AB ∥CD BC ∥AD
∴∠A +∠B =180° ∠B +∠C =180°(两条直线平行,同旁内角互补) ∴∠A =∠C ∵∠A =38° ∴∠C =38° 【变式题组】
01.如图,已知AD ∥BC ,点E 在BD 得延长线上,若∠ADE =155°,则∠DBC 得度数为( )A .155° B .50° C .45° D .25°
02.(安徽)如图,直线l 1 ∥ l 2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D.65°
03.如图,已知FC ∥AB ∥DE ,∠α:∠D :∠B =2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 得度数、
【例2】如图,已知AB ∥CD ∥EF ,GC ⊥CF ,∠B =60°,∠EFC =45°,求∠BCG
得度数、【解法指导】平行线得性质与对顶角、邻补角、垂直与角平分线相结合,可
求各种位置得角得度数,但注意瞧清角得位置、【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B =∠BCD ∠F =∠FCD (两条直线平行,内错角相等)又∵∠B =60° ∠EFC =45° ∴∠BCD =60° ∠FCD =45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF =90°(垂直定理) ∴∠GCD =90°-45°=45° ∴∠BCG =60°-45°=15°【变式题组】
01.如图,已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ,∠B =48°,则∠C 得得度数=_______________
02、如图,已知∠ABC +∠ACB =120°,BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ,DE 过点O 与BC 平行,则∠BOC =
___________03.如图,已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ,∠A =40°,∠D =50°,求∠NMP 得度数、A
B C
D
O
E F
A
E
B
C (第1题图) (第2题图) E A F G
D C B
B
A M
C
D N P (第3题图)
D
A
2 E
1 B C
B F
E A
C D 【例3】如图,已知∠1=∠2,∠C =∠D. 求证:∠A =∠F 、 【解法指导】
因果转化,综合运用、
逆向思维:要证明∠A =∠F ,即要证明DF ∥AC. 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D +∠DBC =180°, 即:∠C +∠DBC =180°;要证明∠C +∠DBC =180°即要证明DB ∥EC. 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1=∠3、
证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3(对顶角相等)所以∠1=∠3 ∴DB ∥EC (同位角相等?两直线平行)∴∠DBC +∠C =180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠C =∠D ∴∠DBC +∠D =180° ∴DF ∥AC (同旁内角,互补两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等)【变式题组】
01.如图,已知AC ∥FG ,∠1 02.如图,已知∠1+∠2=18003.如图,两平面镜α、β于β入射到α上,于α,则角θ等于【例4】如图,已知EG ⊥求证:AD 平分∠BAC.
条件给我们带来得结论,得条件,∠1=∠3)
证明:∵EG ⊥BC ,AD ⊥BC (垂直定义)∴EG ∥AD (∵∠1=∠3 ∴∠3=∠∴AD 平分∠BAC (角平分线定义) 【变式题组】
01.如图,若AE ⊥BC 于E ,∠1=∠2,求证:DC ⊥BC.
02.如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ,CE
平分∠ACB. 求证:∠EDF =∠BDF 、
3.已知如图,AB ∥CD ,∠B =40°,CN 就是∠BCE 得平
分线、 CM ⊥CN ,
求:∠BCM 得度数、
【例5】已知,如图,AB ∥EF ,求证:∠ABC +∠BCF +∠CFE =360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想,分析类比,
联想周角、构造两个“平角”或构造两组“互补”得角、
过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来,这就是关键、 【证明】:过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1+∠ABC =180° (两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ,∴CD ∥EF (平行 于同一条直线得两直线平行) ∴∠2+∠CFE =180°(两直线平行,
同旁内角互补) ∴∠ABC +∠1+∠2+∠CFE =180°+180°=360° 即∠ABC +∠BCF +∠CFE =360° 【变式题组】
01.如图,已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠APC 与∠PAB 、∠PCD 得关系,请您从所得四个关系中选出任
意一个,说明您探究得结论得正确性、A D M C
N E B F E
D 2
1 A
B C
α β P B C D A
∠P =α+β
3 2
1 γ 4
ψ D α β
E B C A
F
H F γ D α β E B C
A
F D E
B
C A B C
A A ′ l
B ′
C ′
结论:⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________
【例6】如图,已知,AB ∥CD ,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间得关系就是 ∠α+∠γ+∠ψ-∠β=180° 【解法指导】基本图形
善于从复杂得图形中找到基本图形,运用基本图形得规律打开思路、
【解】过点E 作EH ∥AB. 过点F 作FG ∥AB. ∵AB ∥EH ∴∠α=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG (平行于同一条直线得两直线平行)∴∠2=∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD (平行于同一条直线得两
直线平行)∴∠ψ+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠α+∠γ
+∠ψ-∠β=∠1+∠3+∠4-ψ-∠1-∠2=∠4+ψ=180°【变式题组】
01.如图, AB ∥EF ,∠C =90°,则∠α、∠β、∠γ得关系就是( )
A . ∠β=∠α+∠γ
B .∠β+∠α+∠γ=180°
C . ∠α+∠β-∠γ=90°
D .∠β+∠γ-∠α=90°
02.如图,已知,AB ∥CD ,∠ABE 与∠CDE 得平分线相交于点F ,∠E =140°,求∠BFD 得度数、 【例7】如图,平移三角形ABC ,设点A 移动到点A /,画出平移后得三角形A /B /C /、 【解法指导】抓住平移作图得“四部曲”——定,找,移,连、 ⑴定:确定平移得方向与距离、 ⑵找:找出图形得关键点、 ⑶移:过关键点作平行且相等得线段,得到关键点得对应点、 ⑷连: 按原图形顺次连接对应点、 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /得平行线l ③在l 截取BB /=AA /,则点B /就
就是得B 对应点,用同样得方法作出点C 得对应点C /、连接A /B /,B /C /,C /A /
就得到平移后得三角形A /B /C /
、【变式题组】
01.如图,把四边形ABCD 按箭头所指得方向平移21cm ,作出平移后得图形、
02.如图,已知三角形ABC 中,∠C =90°, BC =4,AC =4,现将△ABC 沿CB A /B /C /
得位置,若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /03.原来就是重叠得两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 得距离,就得到此图形,求阴影部分
得面积、(单位:厘米)B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
B B /
A
A /
C C /
西 B 30°
A
北
东 南
演练巩固 反馈提高
01.如图,由A 测B 得方向就是( ) A .南偏东30° B .南偏东60°
C .北偏西30°
D .
北偏西60°
02.命题:①对顶角相等;②相等得角就是对顶角;③垂直于同一条直线得两直线平行;④平行于同一条直线得两
直线垂直、其中得真命题得有( )
A .1
个 B .2个 C .3个 D .4个
03.一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶得方向与原来得方向相同,两次拐弯得角度可能就是
( )A .第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B .第一次向右拐50°,第二次向左拐130° C .第一次向左拐50°,第二次向右拐130° D .第一次向左拐60°,第二次向左拐120° 04.下列命题中,正确得就是( )
A .对顶角相等
B . 同位角相等
C .内错角相等
D .同旁内角互补
05.学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线得平行线得新方法,就是通过折一张半透明得纸得到得
[如图⑴—⑷]从图中可知,小敏画平行线得依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行、A .①② B .②③ C .③④ D .①④
06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直得公路,从A 地测得B 地得走向就是南偏东52°、现A 、B 两地要同时
开工,若干天后,公路准确对接,则B 地所修公路得走向应该就是( )A .北偏东52° B .南偏东52° C .西偏北52° D .北偏西38° 07.下列几种运动中属于平移得有( )
①水平运输带上得砖得运动;②笔直得高诉公路上行驶得汽车得运动(忽略车轮得转动);③升降机上下做机械运动;④足球场上足球得运动、A .1种 B .2种 C .3种 D .4种
08.如图,网格中得房子图案正好处于网格右下角得位置、平移这个图案,使它正好位于左上角得位置(不能出
格)
150° 120° D B C E 湖
4 3 2 1 A
B E F
C
D 4 P 2
3 1
A B E F
C
D
09.观察图,哪个图就是由图⑴平移而得到得( )
10.如图,AD ∥BC ,AB ∥CD ,AE ⊥BC ,现将△ABE 进行平移、 平移方向为射线AD 得方向、 平移距离为线段BC 得长,
则平移得到得三角形就是图中( )图得阴影部分、 11.判断下列命题就是真命题还就是假命题,如果就是假命题,举出一个反例、
⑴对顶角就是相等得角;⑵相等得角就是对顶角;
⑶两个锐角得与就是钝角;⑷同旁内角互补,两直线平行、
12.把下列命题改写成“如果……那么……”得形式,并指出命题得真假、
⑴互补得角就是邻补角; ⑵两个锐角得与就是锐角; ⑶直角都相等、
13.如图,在湖边修一条公路、如果第一个拐弯处∠A =120°,第二个拐弯处∠B =150°,第三个拐弯处∠C ,这时
道路CE 恰好与道路AD 平行,问∠C 就是多少度?并说明理由、
14.如图,一条河流两岸就是平行得,当小船行驶到河中E 点时,与两岸码头B 、D 成64°角、 当小船行驶到河中
F 点时,瞧B 点与D 点得视线FB 、FD 恰好有∠1=∠2,∠3=∠4得关系、
您能说出此时点所形成得角∠BFD 得度数吗?AxNVHhH 。t8jqWR1。 15.如图,AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明∠E 与∠F 得关系、
培优升级·奥赛检测 01.如图,等边△ABC 各边都被分成五等分,这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合得小三角形共有25个,那么在△ABC 内由△DEF 平移得到得三角形共有( )个。 02.如图,一足球运动员在球场上点A 处瞧到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 处以匀速直线
奔跑前去拦截足球、若足球滚动得速度与该运动员奔跑得速度相同,请标出运动员得平移方向及最快能截住足球得位置、(运动员奔跑于足球滚动视为点得平移)OnIJgPE 。
D
E
A
B C E
D B C
E
D
A
B C
E
D
A
B C E
D
A
B
C
、
、 、 A
F A D
E C
B
F E B A C G
D
03.如图,长方体得长AB =4cm ,宽BC =3cm ,高AA 1=2cm 、 将AC 平移到
A 1C 1得位置上时,平移得距离就是___________,平移得方向就是___________、04.如图就是图形得操作过程(五个矩形水平方向得边长均为a ,竖直方
向得边长为b );将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3,得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中,请您类似地画出一条有两个折点得直线,同样得向右平移1个单位,从而得到1个封闭图形,并画出阴影、⑵请您分别写出上述三个阴影部分得面积S 1=________, S 2=________, S 3=________、⑶联想与探究:如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲得柏油小路(小路在任何地方得水平宽度都就是1个单位),请您猜想空白部分草地面积就是多少?
05.一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时针旋转α°(0°<α°<180°),被称为一次操
作,若5次后发现赛车回到出发点,则α°角为( )A .720° B .108°或144° C .144° D .720°或144°
06.两条直线a 、b 互相平行,直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10,直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9,
将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段、若没有三条线段相交于同一点,则这些选段得交点个数就是( )A .90 B .1620 C .6480 D .2006
07.如图,已知AB ∥CD ,∠B =100°,EF 平分∠BEC ,EG ⊥EF 、 求∠BEG 与∠DEG 、
08.如图,AB ∥CD ,∠BAE =30°,∠DCE =60°,EF 、EG 三等分∠AEC. 问:EF 与EG 中有没有与AB 平行得直线?为
什么?09.如图,已知直线CB ∥OA ,∠C =∠OAB =100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOB
=∠AOB ,OE 平分∠COF 、⑴求∠EOB 得度数;
⑵若平行移动AB ,那么∠OBC :∠OFC 得值就是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值、⑶在平行移动AB 得过程中,就是否存在某种情况,使∠OEC =∠OBA ?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由、 10.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成
得角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由、JavYmMj 。d3X9Shr 。
11.如图,正方形ABCD 得边长为5,把它得对角线AC 分成n 段,以每一小段为对角线作小正方形,这n 个小正方形
⑶
⑷
F
E
B
A
C
G
D 100°
C
B 1
A
A 1
C 1
D 1
B
D
F E B A
C O
A
B
得周长之与为多少?12.如图将面积为a 2得小正方形与面积为b 2
得大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分面积?
第06讲 实 数
考点·方法·破译 1.平方根与立方根: 若2x =
a (a ≥0)则x 叫做a 得平方根,记为:a
得平方根为x =其
中a 得平方根为x a 得算术平方根.
若x 3
=a ,则x 叫做a 得立方根.记为:a 得立方根为x .
2.无限不循环小数叫做无理数,有理数与无理数统称实数.实数与数轴上得点一一对应.任何有理数都可以表示为分数p
q
(p 、q 就是两个互质得整数,且q ≠0)得形式.3非负数:
实数得绝对值,实数得偶次幂,非负数得算术平方根(
或偶次方根)都就是非负数.即a >0,2n a ≥0(n 为正整数0(a ≥0) .经典·考题·赏析
【例1】若2m -4与3m -1就是同一个数得平方根,求m 得值. 【解法指导】一个正数得平方根有两个,并且这两个数互为相反数.∵2m ?4与3m ?l 就是同一个数得平方根,∴2m ?4 +3m ?l =0,5m =5,m =l
.
【变式题组】
01.一个数得立方根与它得算术平方根相等,则这个数就是____. 02.已知m
得最大整数,则m 得平方根就是____. ____.
04.如图,有一个数值转化器,当输入得x 为64时,输出得y 就是____.
【例2】(全国竞赛)已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=,则a +b
等于( )
A .-1
B . 0
C .1
D .2
有意义,∵a 、b 为非零实数,∴b 2
>0
∴a -3≥0 a ≥3
∵24242
a b a -++=
∴24242a
b a -++=,∴20b +=.
∴()2
20
30
b a b +=???
-=??,∴32a b =??=-?,故选C . 【变式题组】
0l .在实数范围内,
3b +=0成立,则a b =____.
02.
()2
30b -=,则
a
b
得平方根就是____. 03.(天津)若x 、y 为实数,
且20x +=,则2009
x y ??
?
??
得值为( )
A .1
B .-1
C .2
D .-2
04.已知x 就是实数,
1
x π
-得值就是( )
A .1
1π
-
B .1
1π
+
C .
1
1π
- D .无法确定
【例3】若a 、b 都为有理效,
且满足1a b -+=+求a +b 得平方根.
【解法指导】任何两个有理数得与、差、积、商(除数不为0)还就是有理数,但两个无理数得与、差、积、商(除数不为0)不一定就是无理数.
∵1a b -+=+∴
1a b -=??=
1a b -=??=,∴1312a b =??=?,
a +
b =12 +13=25.
∴a +b 得平方根为
:5==±. 【变式题组】
01.(西安市竞赛题)已知m 、n 就是有理数,且
2)m +(3-
n +7=0求m 、n . 02.(希望杯试题)设x 、y 都就是有理数,且满足方程(
123
π+)x +(132π
+)y ?4?π=0,则x ?y =____.
【例4】若a
?2得整数部分,b ?1就是9得平方根,且a b b a -=-,求a +b 得值.
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成
2=整数部分+小数部分.整数部分估算可得2,则小数部分
2 ?2
?4.∵a =2,b ?1=±3 ,∴b =-2或4 ∵a b b a -=-.∴a
01.若3
得小数部分就是a ,3
?
b ,则a +b 得值为____.
a ,小数部分为
b ,则
a )·
b =____. 演练巩固 反馈提高
0l .下列说法正确得就是( )
A .-2就是(-2)2得算术平方根
B .3就是-9得算术平方根
C . 16得平方根就是±4
D .27得立方根就是±3
02.设3a =-,b = -2,5
2
c =-
,则a 、b 、c 得大小关系就是( ) A .a
03.下列各组数中,互为相反数得就是( )
A .-9与81得平方根
B .4与 364-
C .4与364
D .3与9
04.在实数1、414,2-,0、1?5?
,5?
16,π,3、1?4?
,8
3
125
中无理数有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D . 5个
05.实数a 、b 在数轴上表示得位置如图所示,则( )
A .b >a
B .a b >
C . -a <b
D .-b >a
06.现有四个无理数5,6,7,8,其中在2+1与3+
1之间得有( )
A . 1个
B .2个
C . 3个
D .4个 07.设m 就是9得平方根,n =
()2
3.则m ,n 得关系就是( )
A 、 m =±n
B 、m =n
C 、m =-n
D 、m n ≠
08.(烟台)如图,数轴上 A 、B 两点表示得数分别为-1与3,点B 关于点A 得对称点C ,则点C 所表示得数为( )
A .-23-
B .-13-
C .-2 +3
D .l +3
09.点A 在数轴上与原点相距5个单位,点B 在数轴上与原点相距3个单位,且点B 在点A 左边,则A 、B 之间得
距离为____.10.用计算器探索:已知按一定规律排列得一组数:1,
2,3…,19
,20.如果从中选出若干个数,使它得与大于3,那么至少要选____个数.11.对于任意不相等得两个数a 、b ,定义一种运算※如下:a ※b =
a b a b +-,如3※2=32
32
+-=5.那么12、※4=____.12.(长沙中考题)已知a 、b 为两个连续整数,且a <7
13.对实数a 、b ,定义运算“*”,如下a *b =()
()
2
2
a b
a b ab
a b ?????≥<,已知3*m =36,则实数m =____.
14.设a 就是大于1得实数.若a ,
23a +,21
3
a +在数轴上对应得点分别就是A 、B 、C ,则三点在数轴上从左自右得顺序就是____.15、如图,直径为1得圆与数轴有唯一得公共点P .点P 表示得实数为-1.如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与
数轴得公共点为P ′,那么点P ′所表示得数就是____.
16.已知整数x 、y 满足x +2
y =50,求x 、y .
17.已知2a ?1得平方根就是±3,3a +b ?1得算术平方根就是4,求a +b +1得
立方根.
18.小颖同学在电脑上做扇形滚动得游戏,如图有一圆心角为60°,半径为1个单位长得扇形放置在数轴上,当
扇形在数轴上做无滑动得滚动时,当B 点恰好落在数轴上时,(1)求此时B 点所对得数;(2)求圆心O 移动得路程.
19.若b =315a - +153a - +3l ,且a +11得算术平方根为m ,4b +1得立方根为n ,求(mn ?2)(3mn +4)
得平方根与立方根.20.若x 、y 为实数,且(x ?y +1)2
与533x y --互为相反数,求22x y +得值.
培优升级 奥赛检测
01.(荆州市八年级数学联赛试题)一个正数x 得两个平方根分别就是a +1与a ?3,则a 值为( )
A . 2
B .-1
C . 1
D . 0 02.(黄冈竞赛)代数式x +1x -+2x -得最小值就是( )
A .0
B . 1+2
C .1
D . 2
03.代数式53x +?2得最小值为____.
04.设a 、b 为有理数,且a 、b 满足等式a 2
+3b +b 3=21?53,则a +b =____.
05.若a b -=1,且3a =4b ,则在数轴上表示a 、b 两数对应点得距离为____. 06.已知实数a 满足20092010a a a -+-=,则a ? 20092
=_______.
m 满足关系式 3523199199x y m x y m x y x y +--++-=-+--,试确定m 得值.
08.(全国联赛)若a 、b 满足35a b +=7,S =23a b -,求S 得取值范围. 09.(
北
京
市
初
二
年
级
竞
赛
试
题
)
已
知