高考中的数学建模问题(18页)

高考中的数学建模问题

【一】数学应用题的分析和处理

（A）解应用题的基本程序：

解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际出发，经过去粗取精、抽象概括，利用学过的数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论后返回到实际问题中去验证。思路如下图：

实际问题转化为数学问题数学问题

问题解决数学解答

实际问题结论回到实际问题数学问题结论

（B）解应用题的一般程序

（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础

（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关

（3）解求解数学模型，得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程

（4）答将数学结论还原给实际问题的结果

( C ) 中学数学中常见应用问题与数学模型

（1）优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决

（2）预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决

（3）最（极）值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值

（4）等量关系问题建立“方程模型”解决

（5）测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决

典型题例示范讲解

题1:

1.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ， G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示 （单位：万元）。请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心 与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费 用（万元）是B A ．12 B ．13 C ．14 D ．16

2. 某商场在元旦促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为B

A ．130元 B.330元 C.360元 D.800元

3. 我国发射的神舟6号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个

焦点的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350 公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大 视角为 （ B ） （A ）67216371arcsin 2 （B ）65716371arcsin 2 （C ）67216371arccos 2 （D ）6571

6371

arccos 2

4. 一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面

积分别为YCY （ C ）

A ．b a 81,8

B ．b a 64

1,

64 C ．b a 1281,

128 D ．b a 256

1,256

5. 2006年度某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：

人

在6000，10000，14000，18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是B

A ．6000

B ．10000

C ．14000

D ．18000

6.正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 C A .

641 B . 6413 C. 6437

D . 64

61

7．已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，O 为ABC ?外心，动点P 满足

???

???++-+-=→→→→

OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的D

A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点

8.一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则

原来一组数据的平均数和方差分别是 A

A ．81.2，4.4

B ．78.8，4.4

C ．81.2，84.4

D ．78.8，75.6

题2．(06广西重点中学)某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售。结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售价的60%。

（1）求调价后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？

（2）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每

件产品利润=每件产品的实际销售价一每件产品的成本价）

解：（1）设每件产品的新单价为x 元…………………………………………1分

由已知：该产品的成本是2000×60%=1200元………………………………2分 由题意：x ·80%－1200=20%（80%·x ）……………………………………3分 解得：x=1875（元）……………………………………………………………4分 ∴80%·x=1500元………………………………………………………………5分

所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元.……6分

（2）设今年至少应生产这种电器m 件，则由题意，

得m(1500－1200)≥200000…………………………………………………… 8分 解得：m ≥666

3

2

……………………………………………………………… 9分 ∵m ∈N ，∴m 的最小值应为667件…………………………………………11分 答：今年至少售出667件产品，才能使利润总额不低于20万元.……… 12分

题3．(06北京海淀区)如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处。某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A ，20s 后监测点C 相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.

（1）设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km ）。 （1）依题意，有PA-PB=1.5×8=12(km). PC-PB=1.5×20=30(km) ∴PB=(x-12)(km),

PC=30+(x-12)=(18+x)(km). 在△PAB 中，AB=20km

AB PA PB AB PA PAB ?-+=∠2cos 2

22

x

x x x x 5323202)12(20222+=?--+=

同理，x

x

PAC 372cos -=

∠ ∵,cos cos PAC PAB ∠=∠

∴

x

x

x x 3725323-=

+ 解之，得)(7

132

km x = (2)作PD D ，a 于⊥在△ADP 中，

).(71.175

327132

3532

3cos km x

x x APD PA PD ≈+?

=+?

=∠= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71km

题4(06山东省潍坊)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应

求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数. ① f(x)=p · q x ; ② f(x)=px 12

++qx ;

③ f(x)=x(x-q)2+p.（以上三式中p 、q 均为常数，且q ＞1）. (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

（2）若f(0)=4，f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是[0，5]，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）；

（3）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.

（1）应选f(x)=x(x-q)2+p.

因为①f(x)=p ·q x 是单调函数；

②f(x)=px 2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；

③f(x)=x(x-q)2+p 中,f ′(x)=3x 2-4qx+q 2, 令f ′(x)=0，得x=q,x=

3

q

,f(x)有两个零点. 可以出现两个递增区间和一个递减区间.

(2)由f(0)=4,f(2)=6得

?

??+-==,)2(26,

42

p q p 解之得??

?==,

3,

4q p （其中q=1舍去）.

∴函数f(x)=x(x-3)2

+4，即f(x)=x 4962

3

++-x x （0≤x ＜5）

（3）由f(x) ＜0，解得1＜x ＜3

∴函数f(x)=x 4962

3

++-x x 在区间（1，3）上单调递减， ∴这种果品在5月，6月份价格下跌.

题5(06广西钦州)已知有三个居民小区A 、B 、C 构成△ABC ，AB ＝700m 、BC ＝800m 、AC ＝300m ．现计划在与A 、B 、C 三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙．据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝．每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成本10万元；距离厂房平均每25m 噪音均匀降低1分贝．

（1）求∠C 的大小；

（2）求加工厂与小区A 的距离．（精确到1m ）；

（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵隔音墙?

（计算时厂房和小区的大小忽略不计） 解：（1）由余弦定理得cos ∠C ＝

1

2

，∠C ＝60o； ··············································· 3分 （2）由题设知，所求距离为△ABC 外接圆半径R ， ··································· 4分

由正弦定理得R ＝

700

2sin C

∠＝404． ················································· 6分

答：加工厂与小区A 的距离约为404m ； ········································· 7分 （3）设需要安装x 道隔音窗，建造y 堵隔音墙，总成本为S 万元，由题意得：

40485315150,2503,

0,

,N .

x y x y x y *?---?≤???≤≤?

?≥?∈??即5 6.28,03,0,,N .x y x y x y *+≥??≤≤??≥??∈? ·································· 9分 其中S ＝3x ＋10y ，当x ＝2，y ＝1时，S 最小值为16万元． ············· 11分 答：需安装2道隔音窗，建造1堵隔音墙即可． ······························ 12分

题6(06上海徐汇区))人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据： ●截至05年6月底，俄罗斯人口为431.1亿，人口密度每平方公里只有38.8人； ●04年一年俄人口就减少了76万，05年1月至5月共又减少了9.35万； ●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约1亿人口，比目前锐减%30。 试根据以上数据信息回答下列问题：

（1）以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）

（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人？ 解：（1）由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少

5824.617

9

.3576≈+万人，

2005年6月底至2050年6月底共经过5404512=?个月，若每月人口减少数相同，

则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为504.107555405824.614310=?-万，即约为076.1亿。 （2）设从05年6月底起，经n 个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人，

于是有8.876105824.638.851431.1538

.8431.1105824.6431.14

4≈??

?? ??

->?

题7:某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：

方案 类 别 基本费用 超时费用

甲 包月制

70元

乙 有限包月制（限60小时） 50元 0.05元/分钟（无上限） 丙

有限包月制（限30小时）

30元

0.05元/分钟（无上限）

假定每月初可以和电信部门约定上网方案．

(Ⅰ)若某用户每月上网时间为66小时，应选择 ▲ 方案最合算；

(Ⅱ)王先生因工作需要在家上网，所在公司预测其一年内每月的上网时间T (小时)与月份n 的函数关系为3237

()(112,4

n T f n n n +==≤≤∈N)．若公司能报销王先生全年上网费用，问公司最少会为此花费多少元？

(Ⅲ)一年后，因公司业务变化，王先生每月的上网时间T (小时)与月份n 的函数关系为

3

()10()30,5n T g n n *==+∈N ．假设王先生退休前一直从事此项业务，公司在花费尽量少的前提下，除为

其报销每月的基本费用外，对于所有的超时费用，公司考虑一次性给予补贴a 元，试确定最合理的a 的值，并说明理由．

解：(Ⅰ) 乙 ．……………………………………………………………………2分

(Ⅱ)当30T ≤时，选择丙方案合算；

当30T >时，由303(30)50T +-≤，得2

30363T <≤，此时选择丙方案合算；

当2

36603

T ≤≤时，选择乙方案合算；

当60T >时，由603(30)70T +-≤，得2

60663

T <≤，此时选择乙方案合算；

当2

663

T ≥时，选择甲方案合算．

综上可得：当2

(0,36]3

T ∈，选择丙方案合算；……………………………………3分

当22

[36,66]33T ∈时，选择乙方案合算；……………………………………………4分

当2

[66,)3T ∈+∞时，选择甲方案合算．……………………………………………5分

∵3(1)()4f n f n +-=，∴{}()f n 是首项为(1)60f =，公差为3

4

d =的等差数列，且每月上网时间逐月递增． 令323726643n T +=

≥，得899

n ≥． ∴前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．……………………7分 此时，一年的上网总费用为

9

1

3237

[503(

60)]3704

n n =++-+?∑ 9

19

450(1)2104

n n ==+-+∑

45081210741=++=．

答：一年内公司最少会为王先生花费上网费741元．………………………………9分

(Ⅲ)由3

()10()30()5

n T g n n *==?+∈N 知，(1)36,()30g g n =>，且{}()g n 是递减数列，

∴选择丙方案合算．………………………………………………………………10分 若上网n 个月，王先生的超时总费用为

333[()30]30()45[1()]55n

n

n n

k k

g n -==-∑∑．………………………………………13分 答：公司考虑一次性给予补贴a 元，最合理的a 的值为45元．………………14分 题8. (06年天津)一位射击选手以往1000发子弹的射击结果统计如下表：

假设所打环数只取整数，试根据以上统计数据估算：

（I ）设该选手一次射击打出的环数为ξ，求)5.7(≥ξP ，ξE ； （II ）他射击

5次至多有三次不小于8环的概率；

（III ）在一次比赛中，该选手的发挥超出了按上表统计的平均水平。若已知他在10次射击中，每一次的环数都不小于6，且其中有6环、8环各1个，2个7环，试确定该选手在这次比赛中至少打出了多少个10环？

解：(I)ξ的分布列为：

P 0.25 0.35 0.20 0.13 0.05 0.02

80.0)10()9()8()5.7(==+=+==≥ξξξξP P P P 3分

56

802050506130720

0835*******.......E =?+?+?+?+?+?=ξ 5分

（II ）32768.08.0)5(,

4096.02.08.0)4(55

554

455=?==??=C P C P

故所求为1-0.4096-0.32768=0.26272 8分 （III ）设这次比赛中该选手打出了m 个9环，n 个10环 则依此次比赛的结果该选手所打出的环数η的分布列为：

η

10 9 8 7 6 P

n/10

m/10

0.1

0.2

0.1

8.210++

=∴n E η76.510

>+∴>n E E ξηΘ 10分 又m+n=66.3>∴n ,故在此次比赛中该选手至少打出了4个10环 12分

题9(06宣武区) 飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东方向，相距6km ，C 在B 的北偏东30°，相距4km ，P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s 。 （I ）求A 、C 两个救援中心的距离； （II ）求在A 处发现P 的方向角；

（III ）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。

解：（I ）以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则

()()()

A B C -3030523，，，，，

则()(

)

AC km =

++=5323

2192

2

即A 、C 两个救援中心的距离为219km ………………4分 （II ）∵||||PC PB =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上

又∵||||PB PA -=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且AB =6

∴双曲线方程为()x y x 22

45

10-=< BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370

联立两方程解得：x =-8

()

∴，，∠P k PAB PA -==-8533tan

∴∠PAB ＝120°

所以P 点在A 点的北偏西30°处………………9分

（III ）如图，设PQ h PB x PA y ===，，

∵QB QA x h y h -=+-+2222

()=

-+++=-++++x y

x h y h

x y x y x h y h

2

22

22

2

2

2

2

2

·

又∵

x y x h y h

++++<2

2

2

2

1

∴∴

QB QA PB PA

QB QA PB PA -<--

<

-

1

1

1

1

即A 、B 收到信号的时间差变小………………13分

【二】研究性、探索性问题

A.探索性问题的综合题的解题思路

当问题给出条件，而结论不确定，若探索结论是否存在时，可以先假设结论存在，而后进行推理，发现矛盾则转化为反证法的证明，反之，则结论存在。 B.研究性课题的问题

（一）新定义型的问题: 认真审题,弄懂题意,构思解题方案;

（二）多选型的填空题：即给出若干个命题或结论，要求选出所有满足题意的命题或结论。 要求要有扎实的基本功和明辨是非的能力。 题10: 1.下列命题：

① 若不等式|x-4|+|x-3|＜a 的解集非空，则必有a ≥1; ② 函数y=sinxcosx+cos 2x 最小正周期是2π

③ 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=a 对称； ④ 若f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.

其中错误．．的命题的序号是_____________（把你认为错误．．

的命题的序号都填上）(1)(2)(3) 2.正方形ABCD 的两对角线AC 与BD 交于O ，沿对角线BD 折起，使∠AOC=90ο对于下列结论：①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60ο

角；④AB 与平面BCD 成60ο

角，其中正确的结论是_____________________。①2③

3.某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往

该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线匀速返回。设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f (x)的函数关系的为C

C.

B.

A.

y

y

x

x

o

o

o y

x

4.对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21Λ（n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，

数组()1,3,4,2中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组()654321,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是2，则()123456,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是 13 。

5.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，

n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示.设a=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，b=（b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n ），

规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====

n i n

i i i n

i i

i b a b

a 1

1

221)

)((cos θ. D

当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cos θ= （ ）

A ．

n

n 1

- B ．

n

n 3

- C ．

n n 2

- D ．

n

n 4

- n

n n

n n 4

)

2(2)

111)(111(1

11111)1(1)1(1cos 222222-=

?-+-=

++++?+?+?+-?+-?=

ΛΛΛθ 6.定义运算符号：“

∏

”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记

作

∏=n

i i 1

，∏=*

=∈n

i i n a T N

n 1

).(记，其中a i 为数列)}({*∈N n a n 中的第i 项.

①若12-=n a n ，则T 4= ；

②若=∈=*

n n a N n n T 则),(2 .

105；2

1)1

(,2;1,1-=≥==n n a n a n n

7．定义一种运算“*”，对于N n ∈，满足以下运算性质：

① 12*2=；② 3)2*2(2*)22(+=+n n 。则2*2004的数值为__________。 3004

8．上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为

年份 2003年 2004年 2005年 2006年

常住人口出生数 6.8万 1.9万 7.9万 09.12万

根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从________年开始，常住人口出生数超过

2003年出生数的2倍。

2010

9．已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成角分别为βα、，则1cos cos 22=+βα。若把它推广到空 间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________

_____________________________________________________。

长方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与棱11111D A B A A A 、、所成的角分别为γβα、、

，则1cos cos cos 222=++γβα，2sin sin sin 222=++γβα。或是：长方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面

D A C A B A 1111、、所成的角分别为γβα、、

，则2cos cos cos 222=++γβα，1sin sin sin 222=++γβα。或是：长方体C A 1中，对角面11ACC A 与平面1111ADD A ABB A 、所成的二面角分别为βα、

，则1cos cos 22=+βα。 10、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：

媒体A ：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。” 媒体B ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同

时增加了不少附加条件。”

媒体C ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”

请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 C （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

11、如图，已知ABCD 和1111D C B A 都是正方形，且11//B A AB ，1111DD CC BB AA ===， 若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体 构成集合M ，则从集合M 中任取两个向量恰为平行向量的概率是

33

7

（用分数表示结果）。 自然数列按如图规律排列，若数2006在第m 行第n 个数，则=m n 63

53 。

A B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

12下表给出一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行，第j 列的数为*)(N j i j i a ij ∈≥，，，则第3列的公差等于_____________，ij a 等于_____________。

16

1，1

2+j i

Λ

Λ16383434

12141，，，

13类似于十进制中逢10进1,十二进制的进位原则是逢12进1,采用数字0,1,2…,9和字母M 、N 共12个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：

例如，由于2

563312101211=?+?+，所以，十进制中563在十二进制中就被表示为3MN 。那么，十进制中的2008在十二进制被表示为D

A.1N24

B.1N15

C.12N4

D.11N4

题11.已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，n n a a a S +++=Λ21，并有n S 满足2

)

(1a a n S n n -=

。 （1）求a 的值；

（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；

（3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b n <，且b b n n =∞

→lim ，则称b 为

数列{}n b 的“上渐近值”，令2

1

12+++++=

n n n n n S S S S p ，求数列{}n p p p n 221-+++Λ的“上渐近值”。 解：（1）02

1

111=-=

=a a a S ，即0=a （2）()2

11

1----=

-=n n n n n a n na S S a

121---=

?n n a n n a ()p n a n n n n 11

2

233432212-=?????--?--=Λ ∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。 （3）

()()2121p n n a a n S n n -=+=

，2112+++++=n n n n n S S S S p ??

? ??+-+=+++=211

2222n n n n n n

??? ??+-++--++-+-+-+-

=-+++21111116141513141213112221n n n n n p p p n ΛΛ 32111

2321112112

? ??+++-=??? ?

?+-+-+

=n n n n 又∵()32lim 21=-+++∞

→n p p p n n Λ，∴数列{}n p p p n 221-+++Λ的“上渐近值”为3。

题12.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2

32n

n S n +=。

(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若??

?=)

(2

)(为偶数为奇数n n a b n n

n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ；

(3) 张三同学利用第(2)题中的T n 设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去，而无法结束)。你是否同意李四同学的观点？请说明理由。

题13.下面的一组图形为某一四棱锥S—ABCD的侧面与底面。

（I）请画出四棱锥S—ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；

（II）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD；

（III）求二面角B—SC—D的大小。

解法一：（I）存在一条侧棱SA⊥面ABCD，如图所示。

∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD

∩ ，∴SA⊥面ABCD………………4分

又∵AB AD A

（II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EG

∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD

又∵CD ⊥AD 且SA ∩AD ＝A ∴CD ⊥面SAD ∴CD ⊥AF

∵Rt △SAD 中，SA ＝AD ，∴AF ⊥SD 又∵CD ∩SD ＝D ，∴AF ⊥面SCD

∵，FG CD AE CD ////==121

2

∴AE FG //=

∴四边形AEGF 为平行四边形 ∴EG ∥AF ∴EG ⊥面SCD

又∵EG ?面SEC ，∴平面SEC ⊥平面SCD ………………9分 （III ）过D 作DH ⊥SC 于H ，连结HB 、BD ∵△SBH ≌△SDH

∴∠BHS ＝∠DHS ＝90° ∴BH ⊥SC ∴∠BHD 为二面角B —SC —D 的平面角

Rt △SDC 中，DH SD DC

SC

a a a

a =

==··236

3

△BHD 中，cos ∠··BHD BH DH BD BH DH

=+-222

2

(

)

=

??

???+?? ?

?

?-=-

636322636

3

1

2

22

2

a a a

a a ·

· ∴∠BHD ＝120°

∴二面角B —SC —D 的大小为120°………………14分 解法二：（I ）同解法一………………4分

（II ）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A —xyz 。取SC 中点G ，连结EG ，SE ，EC ，则A （0，

0，0），B （a ，0，0），C （a ，a ，0），D （0，a ，0），S （0，0，a ），E a G a

a a 200222，，，，，??

????? ??

?

()()∵，，，，，，，，∵·，∴∵·∴EG a a CD a SC a a a EG CD EG CD EG SC a a

EG SC

→=?? ???→

=-→=-→→

=⊥→→=-=⊥02200022

22

又∵∩，∴SC CD C EG =⊥面SDC

∵EG ?面SEC ∴平面SEC ⊥平面SDC ………………9分

（III ）由（II ）得平面SDC 的一个法向量为EG a a →=?? ?

?

?022，，，设平面SBC 的法向量为

()n x y z =，，

()()∵，，，，，BC a SC a a a →=→

=-00

由n BC n SC ·，·→=→

=00可得：

000

0······x a y z a x a y a z ++=++-=??

?

()

∴x z =且y =0，设()n a a =，，0

则()cos ||||<→>=→→=?? ???=n EG n EG n EG a a a a a a

，··，，·，，·0022222

12 ∴，<→

>=?n EG 60，结合图形知

二面角B —SC —D 的大小为120°………………14分

数学建模竞赛简介

数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”

数学建模入门试题极其答案

1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜

坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 1．解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b ，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x 周方向走，v>0,而设语雨速为（x,y,z ）,行走距离为L ，则淋雨量Q 的表达式为： Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 记q=a|x|+b|z|,则 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L(v x -q +1),v>x 收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数， 其授借出数的册数为0。

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，

()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；

东南大学_数学建模试卷_09-10-3A(含答案)

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 （可 带 计 算 器 ） 题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人 注：以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -?? ==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-?? =?，则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-?? =-+?， 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ?? ??+==?????? ，，其正平衡点为 。 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 密 封 线 学号 姓名

8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ） A. yq xp +，满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ） A t e --1 B 2 )1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。（ ） A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i 个产地产量为 i a ，第j 个销售地 的需求量为 j b ，其中 105 1 1 i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为 ij d ，问如何安排运输， 才能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数（吨公里指运输量×路程）最少？请建立该问题的数学模型(不需求解，记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

数学建模模拟试题及答案.pdf

数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.

数学模型期末考试试题及答案

山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试 卷 （本试卷共4页） 说明： 本次考试为开 卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严 禁相互借用。 一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别； 2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它； 二、简答题（本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ 1 > s 时)(t i 的变化情况 并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？ 三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 四、（本题满分20分） 某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。 五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵 选择就业岗位

数学建模简介

数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。

数学模型期末考试试题及答案

试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅

卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当；

数学建模试题

2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级 统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩： 一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。 二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分） 某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的设备能完

成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 x ; 1 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 2 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 3 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 x; 4 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 5 按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 6 按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 7 按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 8 按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为 x; 9 则目标函数为： 约束条件为： 目标函数整理得： （2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下： f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为：

数学建模优化问题经典练习

1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000

数学建模考试题(开卷)及答案

2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:

东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷(A卷)

东南大学2014学年数学建模与数学实验考试卷（A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 开卷闭卷半开卷 考试时间长度 120分钟 （可带计算器） 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效

注：以下各题只需计算到小数点后两位。 一 填空与选择（每题3分，共30分） 1 已知113,(mod19)02A A -??==???? 则 。 2 已知一组(1,1),(2,1),(3,2)-观测数据，则其分段线性插值多项式为 。 3 根据一组等距节点的观测数据分析知其2阶差分波动最小，则其最合适的拟合多项式阶数是 。 4 已知微分方程'()0.005(1/10000)(0)2000 x t x x x =-??=?，则其变化率最大时间为 。 5考虑V olterra 模型'0.050.001'0.10.0001x x xy y x xy =-??=-+? ， 则,x y 的周期平均值为 x y ?? ? ??? = 6 已知非线性差分方程 21(2)n n n x bx x +=-的正平衡点稳定 （b>0）， 则参数b 的取值范围为 。 7 记123 ()((),(),())a k a k a k a k =考虑马氏链 0.40.30.3(1)()0.40.40.2(0)(0.3.0.4.0.3)0.30.20.5a k a k a ????+==?????? ，，其正平衡点为 。

8 轮渡船上甲板总面积为A 。它能运载小轿车，每辆小轿车所占甲板面积为C ，能运载卡车，每辆卡车所占甲板面积为 L 。每辆小轿车要付渡船费p 元；每辆卡车要付q 元。调度想知道在渡船上运载多少辆小轿车(x) 和多少辆卡车(y)才能获取最大的利润？ 下列哪一个选项给出利润函数及需满足的约束条件？ （ ） A. yq xp + ，满足 A xL yC ≤+ B. yq xp +，满足 A yL xC ≤+ C. ))((q p y x ++， 满足A yL xC ≤+ D. ))((q p y x ++ ，满足A L C y x ≤++))(( 9 下面哪一个选项最接近小轿车从静止开始起步的的速度变化模型？ （ ） A t e --1 B 2)1(t - C 2t t - D 1t e -+ 10 模型检验是建模过程中的必要步骤，以下哪一个选项不是常见的模型检验过程。（ ） A 已知数据回代 B 分析参数变化对结果影响 C 与相关模型作对比分析 D 对未来趋势作预测 二 (10分) 假设某种物资有10个产地，5个销售地，第i 个产地产量为i a ，第j 个销售地的需求量为j b ，其中10511i j i j a b ==≥∑∑。由产地i 到销售地j 的距离为ij d ，问如何安排运输， 才能既满足各地销售要求，又使运输总吨公里数（吨公里指运输量×路程）最少？请建立该问题的数学模型(不需求解，记产地i 到销售地j 的运输量为ij x )

数学建模习题及问题详解

第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

数学建模的介绍

一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结

数学建模期末考试2018A试的题目与答案.doc

. . 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x 1.x 2.x 3.x 4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）