初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111
又n q q q ,,,21 是任意n 个整数
m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴
即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数
2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n
1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n
从而可知
12)(1(/6++n n n
3 证： b a , 不全为0
∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而
有形如by ax +的最小整数00by ax +
Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+
则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r
ax by ax +
+∴/00 下证8P 第二题
by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+
4 证：作序列 ,2
3,
,2
,
0,2
,,2
3,b b b b b b -
--
则a 必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q ，使
b q a b q 212
+<
≤成立
(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2
,2
-
=-==
，则有
2
22
2
0b t b q b q a b q a t bs a <
∴<
-=-==-≤
若0
,2
+=-=-
=，则同样有2
b t <
)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2
1,2
1+-
=-=+=
，则有
2
02
12
12
b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-
=+-=-=≤-
若 0
1,2
1++=-=+-
=
则同样有 2
b t ≤
综上 存在性得证 下证唯一性
当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11
而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤
1112
,2
矛盾 故11,t t s s ==
当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时
2b 为整数 2
,2),2(22
12311b t b t b b b b b ≤=-
+?=+
?=?
2
,2
,222211b t b t t bs t bs a ≤
-=+=+=
5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数
（1） 令S=n
14131211+
++++
，取M=p k 7532
1
???-这里k 是使n k
≤2最
大整数，p 是不大于n 的最大奇数。则在1，2，3，┄，n 中必存在一个k
n 20=，
所以 MS=n
M n M M M M +
++
+++
032
由M=p k 7532
1
???-知2
M ，
n
M M ,
,3
必为整数，
2
7530
p
n M ??=
显
然不是整数，
∴MS 不是整数，从而S 不是整数
（2） 令M=)12(7531-??-n k 则 SM=
1
21
25
3
++-+++n M n M M M ，
由M=)12(7531-??-n k 知1
2,
,5
,
3
-n M
M M ，而
1
2)12(753
1
21
+-??=
+-n n n M k 不为整数
∴SM 不为整数，从而1
215
13
1++++=
n S 也不是整数
1． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b
由带余
除
法
b
r r r r q r r r q r r r q r b r bq a n n n n n n n n n n <<<<≤==+=+=+=-++---1111112221110,,,,,
∴n r b a =),(。
∴d '|1bq a -1r =， d '|221r q r b =-，┄, d '|),(12b a r q r r n n n n =+=--,
即d '是),(b a 的因数。
反过来),(b a |a 且),(b a |b ，若),,(|b a d ''则b d a d |,|''''，所以),(b a 的因数都是b a ,的公因数，从而b a ,的公因数与),(b a 的因数相同。
2． 见本书P2，P3第3题证明。
3． 有§1习题4知：,,0,,Z t s b Z b a ∈?≠∈?使2
||,b t t bs a ≤
+=。，
1,t s ?∴，使,,2
2
||||,2
111 b t t t t s b ≤≤
+=如此类推知：
;
,,12n n n n n n t s t t t s +=?--
;
,,11111++-+++=?n n n n n n t s t t t s 且
1
2
212
||2
||2
||2
||||+--≤
≤
≤≤
≤
n n
n n n b t t t t
而b 是一个有限数，,N n ∈?∴使01=+n t
n n n n t t t t t t t t t b b a =======∴+)0,(),(),(),(),(),(1211 ，存在
其求法为 =---=-=))(,(),(),(1s bs a b bs a bs a b b a
6
12518468,1251()84689719,8468()7971976501,9719()9719,76501(?-=-=?-=∴4。证：由P3§1习题4知在（1）式中有 n
n n n n n b r r r r r 2
2
2
2
01
12
211≤
≤
≤≤
≤
<=---+ ，而1≥n r
b b n
n
≤∴≤∴2
,2
1， 2
l o g l o g l o g 2b b n =
≤∴，即2
log log b n ≤
1，证：必要性。若1),(=b a ，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：),(b a bt as =+，
1=+∴bt as
充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为
b a a b a |
),(,|),(，所以)|,(bt as b a + 即1|),(b a 。又0),(>b a ，
1),(=∴b a
2．证：设121],,,[m a a a n = ，则),,2,1(|1n i m a i =
),,2,1(|||1n i m a i =∴又设221|]|,|,||,[|m a a a n = 则 12|m m 。反之若2|||m a i ，则2|m a i ，21|m m ∴。 从而21m m =，即],,,[21n a a a =221|]|,|,||,[|n a a a
3．证：设（1）的任一有理根为
q
p ，1,1),(>=q q p 。则
0)
(
)(
01
1
1=++++--a q
p a q
p a q
p a n n n
n
001
11
1=++++∴---n
n n n n n q
a pq
a q p a p a （2）
由n
n n n n n q a pq
a q p a p a 01
11
1)2(+++=---- ，
所以q 整除上式的右端，所以n
n p a q |，又1,1),(>=q q p ，所以
n n
a q p q |,1),(∴=；
又由（2）有n
n n n n n q a pq
a q p a p a 01
11
1-=+++---
因为p 整除上式的右端，所以n q a P 0| ，1,1),(>=q q p ，
所以n n
a p p q |,1),(∴=
故（1）的有理根为
q
p ，且n a q a p |,|0。
假设2为有理数，02,22
=-∴=x x ，次方程为整系数方程，则由上述结论，
可知其有有理根只能是
2,1±±，这与2为其有理根矛盾。故2为无理数。 另证，设
2
为有理数2=
,q
p 1
,1),(>=q q p ，则
1),2(),(,2,22
222222
2
2>==∴=∴=
q
p q q p p q
q
p
但由1,1),(>=q q p 知1),(22=q p ，矛盾，故2不是有理数。
1． 见书后。
2． 解：因为8|848,所以B A A ?=?==3
210349856
882798848
,|8，
又8|856，所以8|B ，C B ?=?=3212937328，
又4|32，所以4|C ，D C ?=?=223234334
又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，E D ?=?=2
3359379， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，39939?=E 又3
113133133993?=?=
所以3
5
8
1132=A ；同理有372317117532500081057226632
3
4
3
3
???????=。
3．证： ),min(i i i βαγ=，∴i i i i βγαγ≤≤≤≤0,0 ∴i
i i i
i i i i
p p p p βγαγ|,| )2,1(k i = i
i
i k
i i
k
i p p αγ∏
∏==∴1
1
，i i
i k
i i
k
i p p β
γ∏
∏==∴1
1
.
∴),(|2121b a p p p k k γγγ ，又显然k
k p p p b a γγγ 2121|),(
∴),(2121b a p p p k k =γγγ ，同理可得],[2121b a p p p k
k =δδδ ，},max{i i i βαδ= 推广.设k k p p p a 11211
21
1β
ββ =,k k p p p a 22221
21
2β
ββ =,nk n n k n p p p a β
ββ 21
21
,=
(其中j p 为质数i a k j ,,,2,1 =为任意n 个正整数0,,,2,1≥=ij n i β ) 则k j a a a p p p ij n i ij n k ik i i ,,2,1}{),,,,(min
1212121 ==
=≤≤βγγ
γ
γ
k j a a a p p p ij n
i ij n k ik i i ,,2,1}{],,,,[max
1212121 ==
=≤≤βδδ
δδ
4．证：由),(2121b a p p p k k =γγγ ,],[2
1
21b a p p p k
k =δδδ ,有
==+++k
k
k p p p b a b a δγδγδγ 2
2
1
1
21],[,）（ab p p p k
k
k =+++βαβαβα 2
2
1
1
21
从而有)
,(],[b a ab b a =
．
５．证：（反证法）设l l n k (2=为奇数）则 ]12
2
)[12
(1)2
(1212)
2(2)
1(22
2
2
++-+=+=+=+-?-?? l l l l
n k
k
k
k
k
121)2(12122+=+<+ k ，∴12+n 为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． 2.(i)证:：设m =][α.则由性质II 知1+<≤m m α,所以n nm n nm +<≤α, 所以n nm n nm +<≤][α，所以1][+<≤m n n m α，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯 一整数ｍ，所以][]][[αα==m n n ． (ii}[证一]设 1,,2,1,0,1}{-=+< ≤n k n k n k α,则k n n k n k +=∴+<≤][][,1}{ααα ①当1-≤+n k i 时,][][,11}{ααα=+ ≤++<+n i n i k n i ; ②当n k i ≥+时,1][][,1}{2+=+ ≥+≥ + >αααn i n i k n i ; k n k k n n i n i n n n n n i n k n i k n i +=++-=+ + + = + = -+ ++++∴∑∑ ∑ -=--=---][)1]([])[(] [][]1[]1[]1[][1 1 10 ααααααααα ][][1 ααn n i n i =+ ∴∑-= [证二]令][][)(1 αααn n i f n i -+ = ∑-=,)(]1[]1[)1(1 ααααf n n i n f n i ≡+-++ = + ∑-= )(]1[]1[)1(1 ααααf n n i n f n i ≡+-++ = + ∑-= )(αf ∴是以 n 1为周期的函数。 又当0)(,,000)(,)1,0[≡∈∴=-=∈ααααf R f 时，即][]1[1 ααn n n i =+ ∑-=。 [评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．（i ）证：由高斯函数[x]的定义有10;10,][,][<≤<≤+=+=s r s r ββαα。则 1,][][<--+-=-s r s r βαβα 当][][][,0βαβα-=-≥-时s r 当1][][][,0--=-<-βαβα时s r 故 ][][1][][][][βαβαβαβα-=+--=-或 （ii ）证：设1,0,][,][<≤+=+=y x y x ββαα，则有2}{}{0<+=+≤βαy x 下面分两个区间讨论： ①若10<+≤y x ，则0 ][=+y x ，所以] [][][βαβα+=+，所以 ] [][][][][][][][2][2])[]([2][2][2]2][2[]2][2[]2[]2[ββαααββαβαβαβαβα+++=+++=+≥+++=+++=+y x y x ②若21<+≤y x ，则1][=+y x ，所以1][][][++=+βαβα。所以 ] [][][1][2][2])[]([22][][][][])1[]([2][2][2]) []([2][2][2]2][2[]2][2[]2[]2[1ββααβααββαβαβαβαβα+++=++≥-++++++=???→←-+++≥+++=+++=+-≥x x x x y x y x y x 2.3 1 证：由1)()2(2 2 222 2=+-± ++± b a b a b a a b 知),2(2 2 2 22 2 b a b a b a a b +-± +± 及)2,(2 2 2 2 22b a a b b a b a +± +-±都 是单位圆周12 2 =+y x 上的有理点。 另一方面，单位圆周12 2 =+y x 上的有理点可表示为0,,>= = p p r y p q x ，于是得 2 2 2p r q =+，又2 22p r q =+的一切非整数解都可表示为： )0,(,,,22222不全为b a b a r b a p ab q -=+==，于是第一象限中12 2=+y x 上的有理 点可表示为)0,(),, 2( 2 2 222 2 不全为b a b a b a b a a b +-+，由于单位圆周上的有理点的对称性，放 12 2=+y x 上的任意有理点可表为),2(2 2 222 2 b a b a b a a b +-± +± 及)2,(2 2 2 2 22b a a b b a b a +± +-± ，其 中a ，b 不全为0，±号可任意取。 3．2 1.证：由v u ,的取值可得s t t s p p p =-个数，若)(m o d 2211s t s t s p v p u v p u --+≡+， )(mod 2211t s t s t s p v p u v p u ---+≡+则)(mod 21t s p u u -≡， 又t s p u u -<≤21,0，21u u =∴。 又)(mod ),(mod 2121t t s t s t s p v v p v p v p ≡≡---，又t p v v <≤21,0，21v v =∴。 与11v p u t s -+∴22v p u t s -+为同一数，矛盾，故原命题成立。 3.（i ）的引理 对任何正整数a ，可以唯一的表示成0111 333a a a a a n n n n ++++=-- 的形式，其 中),,2,1(,30n i a i =≤≤。 证：（i ）133 31 31 3 1 1 ++++=--= -- n n n H 设),,2,1,1,0(,3330111 n i x x x x x A i n n n n =±=++++=-- )1()1(3)1(3 )1(30111 ++++++++=+--x x x x H A n n n n 由于i x 取值1,0±故1+i x 取值为0，1，2。这样的数有2H+1个，其中最小的 数为0，最大的数为2H ，所以A+H 可以表示下列各数：0，1，2，H 2, ，上列数中减去H 得H H H H ,,1,0,1,,2,1, -+-+--，则A 可表示上列各数，且表示唯一。 （ii ）事实上，只需斤，斤，斤，斤，n 33312 这样的（n+1）个砝码即可。由（I ） 知 1到H 中任一斤有且仅有一种表示法)1,0,1.()3(0 -=∑=i n i i i x x ，当1-=i x 时，将 砝码i 3放在重物盘中；当0=i x 时，不放砝码i 3；当1=i x 时，将砝码i 3放在砝码 盘中。如此即可。 3.3 1. 证：,1),(=m a i 由定理1知i a 所在的模m 的剩余系是与模m 互质的。又已知 )(21,,m a a a ? 两两对模m 不同余，所以这 )(m ?个整数分别属于不同的模m 的剩 余类。再由定理1知结论成立。 2 .证：设模m 的一个简化剩余系是)1(,,,,)(21m r r r r i m ≤≤? ，即1),(=m r i ，由于1),(=m a ，当ξ通过m 的简化剩余系)(21,,,m φξξξ 时，由定理3知，)(21,,,m a a a φξξξ 也通过模 m 的剩余系。故对)(1m i ?≤≤，存在))(1(m j j ?≤≤使 m r m a m r q m a r mq a j i j i i j i i = ?+ =? +≡}{ ξξξ， 2 ) ()(2 1}{ ) (1 ) (1 m m m m m r m a m j j m i i ?φξφ?=?= = ∴ ∑ ∑==. 3.（i ）证：由定理5知：p 为质数时，)11()(1p p p p p - =-=-ααααφ。 所以α α αφφφp p p p p p p p =- ++- +-+=+++)11()11()1(1)()()1(2 即证。 （ii ）证:设整数m 的所有正约数是)(21,,,m T d d d ,考察m 的完全剩余系m ,,2,1 （1） 对(1)中任一数a ,设(a, m)=d,则m d |,即(1)中任一数与m 的最大公约数是)(21,,,m T d d d 中的数。反之，对每一个,i d （1）中必有一数a 使i d m a =),(（例如i a a =），而且对（1）中任一数不可能出现).(),(,),(j i d m a d m a j i ≠==，于是，将（1）中的数按其与m 的最大公 约数的情形分类：（1）中与m 的最大公约数是1d 的数有)( 1 d m ?个；（1）中与m 的最大公约 数是2d 的数有)( 2 d m ?个；┄，（1）中与m 的最大公约数是1d 的数有)( 1 d m ?个；所以 m d m d m d m m T =+++)( )()() (2 1 ?φ? ,即m d m m d i i =∑|)( ?，注意 i d m 是m 的约数，所以m d m m d =∑|)( ? 3.4 1. 解:)6(mod 41024) 2(10 10 10 ≡≡-≡,即)(,4610 10 N q q ∈+=，因为1)7,10(=，由欧 拉定理有)7(mod 1106≡，所以)7(mod 4)3(10 110 )10(10 104 4 4 64 61010 ≡-≡≡≡≡+q q q 所以从今天起再过10 10 10 天是星期五. 3.(i)证：对a 用数学归纳法.①当a=2时,证明)(mod )(2121p h h h h p p p +≡+, ∑=-= +p i i i p i p p h h C h h 0 21 21)() (,对)1(p i C i p ≤≤有! i A C i p i p = 为整数i p A i !|?, 又因为),(),2(),1(p i p p === ,所以1),!(=p i 。)1()1(!|+--∴i p p i ，所 以可设! ) 1()1(i i p p q +--= 为整数。)(mod 0,|,p C C p pq C i p i p i p ≡=∴即。 所以)(mod )(2121p h h h h p p p +≡+。 ②假设命题对k 成立，即)(mod )(2121p h h h h h h k p p p k ++≡+++，则 对于)1(+k 有 )(mod )()(121121121p h h h h h h h h h h h h p k p k p p p k p k p k k +++++++≡++++≡++++ 所以命题对)1(+k 也成立。综合①，②可知对一切自然数a ，命题成立。 （ii ）证：)(mod 111) 111(1 1 p a a p a p p p p a p ≡+++=+++= 个个。 初等数论课程考核全真模拟试卷(A 卷) 1 (11分)试证：7个连续的整数的平方和不可能是完全平方数。 2 (9分)试证：49509901(171)+ 3. (11分)试证：不定方程2 2 59611x y -=没有正整数解。 4. (9分)设(),N x n 表示不超过x 且与n 互素的正整数的个数，求极限(),1lim ?x N x n x →∞ = 5. (13分)设p 和q 是素数，试证：(p,q)是孪生素数当且仅当pq+1是完全平方数。 6. (9分)设7p ≥是一个素数，试证：存在唯一的一个正整数x ，使得： {}()()1,2,,1!0mod x p x p ∈-+≡ 且120p-6 7. (13分)设p 和q 是两个不相等的素数，试证：()1 1 1mod q p p q pq --+≡ 8. (13分)设7p ≥是一个素数，整数,,x y z 满足方程2 2 2 x y z +=，令m=xy, n=xyz,试证： ()()()()12,60p p p m m p n n -- 9. (12分)Please talk about Fermat number 221n n F =+ and Mersenne number 21p p M =-. 全真模拟试卷参考答案及评分标准(A 卷) 1.证明：反证法，假设存在7个整数，分别是n －3,n －2,n －1,n,n ＋1,n ＋2,n ＋3,使得它 们的平方和是某个整数m 的完全平方，即：()3 2 23 k n k m =-+=∑，22728n m ∴+= ，因此7 整除2m ，而7是素数，故7整除m ，7m t =设，则2247n t +=，即()24mod 7 n ≡-，所 以4-是模7的平方剩余。另一方面，计算Legendre 符号得： ()()()2 2 7171 328412*********--??--????????==--=-=-?? ? ? ? ? ?????????? 这表明4-是模7的平方非剩余。两者相互矛盾，故反设不成立，命题结论为真。 2.证明：直接检验可知，9901是素数，计算Legendre 符号得： ()()()17199011711713171 2222221799017173711111990117177733------??????????????=-==-==-=-=- ? ? ? ? ? ? ??????????????? 所以17是模9901的平方非剩余，因此由Euler 判别条件可知：()99011 2 171mod 9901-≡-， 即49509901(171)+。 3. 证明：设22,x u y v ==，则所给方程成为59611u v -=，解此二元一次不定方程得其通 解为6130,0,1,2,5929u s s v s =+?=±±?=+? ，22 21u v s x y ∴-=+=-。 于是有两种情况，情形1，如果2s ，则2,2u 整除不整除v,从而，2,整除x 2不整除y,，但是()211m od 4,s +≡ ()2 2 1mod 4x y -≡-，两者矛盾；情形2，如果2,s 不整除2,2u 不整除整除v,从而， 2,不整除x 2整除y , 则()213mod 4,s +≡()2 2 1mod 4x y -≡，同样得到矛盾。综合上述两种情况，就有不定方程22 59611x y -=没有整数解。 4.解：根据题设条件有：()()(),1x x n N x n n n n ???? ?? ?? ≤≤+ ??????????? ，因而， () ()( ) ,1n N x n n x x n x x n x ????????≤≤+ ??????? ????，由夹逼定理知，11 lim x x x n n →+∞ ??=????，所以再次由夹 逼定理知道：()(),1lim x N x n n x n ?→∞ = 。 5.证明：充分性：设pq+1是完全平方数，即存在整数x ，使得21p q x +=，于是()()2 111p q x x x =-=-+，由于p 和q 是素数，故 1.1p x q x p q =-=+或和交换其值， 因而2q p -=，所以(p,q)是孪生素数。必要性：设(p,q)是孪生素数，则2q p -=，所以 ()()2 2 121211pq p p p p p +=++=++=+是完全平方数。 6.证明：存在性：因为7p ≥是一个素数，由Wilson 定理我们有：()()1!10mod p p -+≡，然而()()()()()()()()()1!123456!1206!mod p p p p p p p p p -=------≡--，所以()()()1206!10mod p p p -+-=，故存在1x p =-，使得()()!0mod x p +≡120p-6。唯一性：若还存在{}()()1,2,,1!0mod y p y p ∈-+≡ 且120p-6，则()mod x y p ≡，注意到{},1,2,,1x y p ∈- ，所以x y =是唯一的。 7. 证明：因为p 和q 是两个不相等的素数，由Euler 定理，()1 1m o d p q p -≡， ()1 1mod q p q -≡，所以()()1 1 1 1 1m o d ,1m o d q p q p p q p p q q ----+≡+≡，而(),1p q =， 因此()1 1 1mod q p p q pq --+≡。 8. (13分)设7p ≥是一个素数，整数,,x y z 满足方程222x y z +=，令m=xy, n=xyz,试证： ()()()()12,60p p p m m p n n -- 初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 3 b b b 3 b 第一章 §1 1 证明： a 1 , a 2 , a n 都是 m 的倍数。 ∴存在 n 个整数 p 1, p 2 , p n 使 a 1 = p 1m 1 , a 2 = p 2 m 2 , , a n = p n m n 又 q 1, q 2 , , q n 是任意 n 个整数 ∴ q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n = ( p 1q 1 + q 2 p 2 + + q n p n )m 即 q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n 是 m 的整数 2 证： n (n + 1)(2n + 1) = n (n + 1)(n + 2 + n - 1) = n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1) 6 / n (n + 1)(n + 2),6 /(n - 1)n (n + 1) ∴ 6 / n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1) 从而可知 6 / n (n + 1)(2n + 1) 3 证： a , b 不全为0 ∴在整数集合 S = {ax + by | x , y ∈ Z }中存在正整数，因而 有形如 ax + by 的最小整数 ax 0 + by 0 ?x , y ∈ Z ，由带余除法有 ax + by = (ax 0 + by 0 )q + r ,0 ≤ r < ax 0 + by 0 则 r = (x - x 0 q )a + ( y - y 0 q )b ∈ S ，由 ax 0 + by 0 是 S 中的最小整数知 r = 0 ∴ ax 0 + by 0 / ax + by ax 0 + by 0 / ax + by ∴ ax 0 + by 0 /(a , b ). ∴(a , b ) / ax 0 + by 0 下证 P 8 第二题 （ x , y 为任意整数） 又有(a , b ) / a ,(a , b ) / b 故 ax 0 + by 0 = (a , b ) ∴ ax 0 + by 0 / a , ax 0 + by 0 / b 4 证：作序列 ,- ,- b ,- ,0, , b , 2 2 2 2 , 则 a 必在此序列的某两项之间 初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; 2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103 A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___. 8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系. 附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2 不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。 初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D ) 初等数论练习题 信阳职业技术学院 2010年12月 初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。 3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。 5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。 7、18100被172除的余数是___________。 8、?? ? ??10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题 1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k (mod p )。 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。 初等数论练习题二 一、填空题 1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。 2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。 3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n 22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。 7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、?? ? ??10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。 二、计算题 1、试求2004 2003 2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10 6x 180 (mod 5)。 3、已知a=5,m=21,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 三、证明题 1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。 2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。 3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。 4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。 5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。 一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。 初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10; 《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a https://www.sodocs.net/doc/7a2833436.html, 《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1 223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。 1. 30被-7除的带余除法表达式是( ) A.30=（－7）×（－5）－5 B.30=（－7）×（－4）+2 C.30=（－7）×（－3）+9 D.30=（－7）×（－6）－12 2．100至500的正整数中，能被17整除的个数是( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 3．设 α3|500!，但13+α 500！，则α=( ) A. 245 B.246 C.247 D. 248 4．以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( ) A. －14，－4，0，5，15，18，19 B. 7，10，14，19，25，32，40 C. －4，－2，8，13，32，35，135 D. －3，3，－4，4，－5，5，0 5.设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( ) A.(n +1，3n ＋1)=1 B.（2n －1，2n ＋1）=1 C.（2n ，n ＋1）=1 D.（2n ＋1，n －1）=1 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.?(120)=________________。 2.25736被50除的余数是________________。 3. 反转定律是________________。 4. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。 5. 不定方程9x －12y =15的通解是________________。 6.?? ? ??41323 =________________。 7. 实数的小数部分记为{x } ，则 {－4 5}＝________________。 初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab 初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分）初等数论练习题及答案
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