【精品】初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全解析

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全解

析

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿）

数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、实数

十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形

恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式

含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

含绝对值的一元一次不等式。

简单的一次不定方程。

列方程（组）解应用题。

5、函数

y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。

二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

6、逻辑推理问题

抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。

简单的组合问题。

逻辑推理问题，反证法。

简单的极端原理。

简单的枚举法。

7、几何

四种命题及其关系。

三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。

面积及等积变换。

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。

第一讲整数问题：特殊的自然数之一

A1－001求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．

【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．

x＝1000a＋100a＋10b＋b

＝11（100a＋b）

其中0＜a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

A1－002假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．

【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2．

【证】设2n2＝kd，k是正整数，如果 n2＋d是整数 x的平方，那么

k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

A1－003试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．

【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋

1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

A1－004已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．

【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．

【证】设此算术级数公差是 d，且其中一项 a＝m2（m∈N）．于是

a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

A1－005求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．

【题说】 1964年全俄数学奥林匹克十一年级题 1．

【解】设 n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中 0＜b＜100．于是 n ＞10a，即 n≥10a＋1．因此

b＝n2100a2≥20a＋1

由此得 20a＋1＜100，所以a≤4．

经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≥422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．

A1－006求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．

【题说】 1964年～1965年波兰数学奥林匹克二试题 1．

【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．

A1－007证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

初中数学奥林匹克竞赛教程

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初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。 （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形； （2）若AD＝1，BC＝3，DC＝ 2 ，试判断△ DCF的形状； （3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△ PCD是等腰 三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。 2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终 点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN≌ △ADN； ②若∠ ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ ABC = 90 °，记点M运动所经过的路程为x （6≤x≤12）试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形. 3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N， 使OM＝ON，且OM⊥ ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左 转弯运动” ． 正方形ABCD和点P，P 点关于 A 左转弯运动到P1，P1关于B左转弯 运动到P2，P2 关于C左转弯运动到P3，P3 关于D左转弯运动到P4，P4 关于A左转弯运动到P5，??．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中 确定点P1 的位置； （2） P 两点的坐标为（0，4）、（ 1 0三点的坐 P

由。 （3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A、A

4、如图 1 和 2，在 20×20 的等 QAC 的面积为 y. (1) 如图 1，当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时，请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形； (2) 如图 2，在 Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系式， 并说明当 x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多 少？ (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时， y 取得最大值和 最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？ 5、如图①，△ ABC 中， AB=AC ，∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F ． (1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系，并说 明理由． (2) 如图②，若 AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?如果有， 分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ? (3) 如图③，若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF 6、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC,D 为 AC 上一点，且 ∠ BDC=12°4 ，延长 BA 到点 E ，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F ， 求∠ E 的度数。 距网格(每格的宽和高均是 1 个 单位长)中， Rt △ABC 从点 A 与 点 M 重合的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移， 当 BC 边与网的底部重合时，继续 同样的速度向右平移，当点 C 与点 P 重合时， Rt △ ABC 停止 移

数学奥林匹克初中训练二附答案

数学奥林匹克初中训练题(二) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支 共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需: (A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元 ( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则 此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2 ( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别 是,m n ,则有: (A) 1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%m n ( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x 取最大值,此最大值 为:(A)3+4+5+ (D)5 ( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满 足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5 (B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3 ( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N 为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于: (A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.若实数,x y 满足(1x y =,则 x y += . 2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设 ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当 12p p p + 取最大值时,∠A= .

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：互为相反数。b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。两个多项式x3+x2式x2x，与。，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：错误。C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C

解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2， 13 / 1 初中数学奥林匹克竞赛题及答案 。个．选C0共4－1，6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：。，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一D．D 个常数，新方程与原方程同解，对，这里所加常数为1，因此选9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；

初中数学奥林匹克竞赛题和答案精品

【关键字】条件、问题、矛盾、研究、需要、办法、速度、关系、满足、提高 初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

【精品】初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全解析

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全解 析

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 简单的一次不定方程。 列方程（组）解应用题。 5、函数 y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。 二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)

初一奥数题一 甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形 ABCD的面积的一半．

初一奥数题二 1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值． 2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB． 4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为 求a2＋b2＋c2的值． 5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解． 6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％) 7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？ 8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解． 9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第11章-相汇总

第十一章相似形与面积问题 第一节相似三角形 【知识点拨】 1、相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似； （3）三边对应成比例，两个三角形相似； （4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3、涉及的问题及解题思路： 证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。 解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。 【赛题精选】 例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。 求△ECG的面积。（2003年河北省竞赛题） 【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。 154 例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）

【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。 例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝ 2EC，FB＝2AF。 求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题） 例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l∥BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题） 【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。 (1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形； (2)若AD ＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状； (3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。 2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N . （1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN . ①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形. 3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置； （2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、 P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． B A

高中数学奥林匹克竞赛介绍

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。 了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。 国际赛史[top] 在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；到了16、17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，有时还举行一些公开的比赛，方程的几次公开比赛，赛题中就有最著名的费尔玛大定理：在整数n≥3时，方程没有正整数解；…… 近代的数学竞赛，仍然是解题的竞赛，但主要在学生（尤其是高中生）之间进行。目的是为了发现与培育人才。 现代意义上的数学竞赛是从匈牙利开始的。1894年，为纪念数理学会主席埃沃斯荣任教育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的数学竞赛，每年十月举行，每次出三题，限4小时完成，允许使用任何参考书，试题以奥妙而奇特的形式见长，一般都有富创造特点的简明解答。在埃沃斯的领导下，这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用，许多卓有成就的数学家、科学家是历届埃沃斯竞赛的优胜者，如1897年弗叶尔、1898年冯卡门等。 受到匈牙利的影响，数学竞赛在东欧各国蓬勃开展：1902年罗马尼亚，1934年前苏联，1949年保加利亚，1950年波兰，1951年前捷克斯洛伐克，……相继进行了数学竞赛。 把中学生的数学竞赛命名为“数学奥林匹克”的是前苏联，采用这一名称

最新武汉市全国初中数学奥林匹克竞赛预赛试题附答案

2009年全国初中数学竞赛预赛试题（武汉市） (2009年2月22日上午9：30～11：30，满分120分) 特别说明：试题前标有“八年级”的为八年级学生试题，九年级的学生做不给分；试题前标有“九年级”的为九年级的学生试题，八年级学生做不给分；没有特别标注的，为公共试题，八、九年级学生都要做． 一、单项选择题(每小题6分，共30分) 1．一个正数x 的两个平方根分别是a+l 与a －3，则a 值为（ ） A ．2 B ．-l C ．1 D ．0 2．如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则∠BAC 度数为（ ） A ．30° B ．36° C ．32° D ．40° 3．已知11a a -=，则1a a +的值为（ ） A.5± B.5 C.3± D.5或1 4．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别 为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是（ ） A.()21332S S S = + B. ()23112 S S S =- C. ()21312S S S =+ D. ()23132S S S =+ 5．已知一次函数y ax b =+的图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点(一2，0)，则不等式ax>b 的解集为（ ） A ．X>2 B ．X<2 C ．X>－2 D ．X<－2 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．对于任意实数a 、b 、c 、d 规定了一种运算a b ad bc c d =-,则当2 42535x -=-时，x =______________. 7．如图，已知：△AEC 是以正方形ABCD 的对角线为边的等边三角形，EF ⊥ AB ， 交AB 延长线于F ，则∠BEF 度数为______________ 8．如图①，直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，由B —C —D —A 沿梯形的边运 动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为Y ，函数图象如图②所示，则△ABC

初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)

全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级） 一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置 1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则 A、构成等边三角形 B、构成直角三角形 C、构成锐角三角形 D、三点在同一直线上 解：AB的解析式为y=1 3x+ 7 3 当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D 2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（） A、4个 B、6个 C、8个 D、12 解设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，?a≥7， 又b+c＞a，2a＜20?a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c） 有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5） （8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C 3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（） A、3 B、6 C、9 D、0 解31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C 4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（） A、120° B、135° C、150° D、以上都不对 解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A 易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k， PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45° 且PP’=2 2 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,