三角函数题型总结-教师版

高三数学三角函数题型大全

一、求值化简型

1、公式运用

〖例〗(2004淄博高考模拟题)（1）已知tan α=3,求：αα22co s 4

1

s i n 32+的值。 （2）已知tan α+sin α=m, tan α-sin α=n (),2

Z k k ∈≠

π

α, 求证：n

m n

m +-=

αco s . （1）解：24112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222++-=+-++--=+αααααα 24

112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322

222++-=+-++--=+αααααα

24

11

2cos 812cos 3181)12cos 2(8131++-=+-++

ααα=++--=24

11sin cos sin cos 2452

22

2

αααα=++--=2411sin cos sin cos 245222

2αααα2411tan 1tan 122++-αα85= （2）证明：两式相加，得α

ααcos sin 2tan =+=n m 两式相减，得2sin n

m -=α

所以 n

m n

m n m +-=

+=ααsin 2cos 〖举一反三〗（2004.湖南理）（本小题满分12分） 1、已知1cot tan sin 2),2

,4(,41)24

sin(

)24

sin(2--+∈=

-?+αααπ

πααπ

απ

求的值. 解：由)24cos(

)24sin(

)24

sin(

)24

sin(

απ

απ

απ

απ

+?+=-?+ ,4

1

4cos 21)42sin(21==+=ααπ

得 .214cos =α 又.12

5),2,4(π

αππα=

∈所以 于是 α

αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+

-=-+-=--+ .32

5)322

3()6

5cot 26

5(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα

2、（2013年西城二模）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ

∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转

3

π

，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．

（Ⅰ）若3

1

1=

x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3

x π

=+α．

因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3

=

α，

所以 sin ==

α． ………………3分

所以 21cos()cos 32x π=+=

=

αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3

y π

=+α． 所以 111111

cos sin sin 2224S x y =

=?=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343

S x y πππ

==-+?+=-+ααα． ……………9分

依题意得 2sin 22sin(2)3

π

=-+αα， 整理得 cos 20=α． ………………11分

因为

62ππ<<α， 所以 23

π

<<πα， 所以 22π=α， 即 4

π

=α． ………………13分

2、三角形中求值

〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值.

【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3sin A =

.所以

2sin cos sin A A A =

.故cos A =.

(II)由(I)知cos 3A =

,所以s i n o s 3

A ==.又因为∠B=2∠A,所以

2

1c o s 2c o s 13B A =

-=.所以sin 3

B ==.

在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C

c A

=

=.

【举一反三】

（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ?的内角,,A B C 的

对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B

(II)若sin sin A C =

,求C . 【答案】

③三角不等式

（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632

x

f x x x

g x π

π=-

+-=.

(I)若α是第一象限角,且()5

f α=

求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.

【答案】解: (I)5

3

3sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(=

=?=++-=

ααf x x x x x x f . 5

1

cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===?∈=?ααααπααg 且

(II)2

1

)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+?

-≥?≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈?+

+

∈+

?],3

22,2[]652,6

2[6

π

πππππ

ππ

二、图像和性质型 1、求范围

①sin()y A x B ω?=++型

〖例〗（2008北京卷15）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??

=+ ??

?

（0ω>）

的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

??????

，上的取值范围．

解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=

+112cos 222

x x ωω=-+

π1sin 262x ω?

?=-+ ??

?．

因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262

f x x ??=-

+ ??

?． 因为2π03

x ≤≤， 所以ππ7π2666

x --≤≤，

所以1πsin 2126x ??-

- ???

≤≤， 因此π130sin 2622x ?

?-+ ??

?≤≤，即()f x 的取值范围为302??

????

，． ②二次函数型

〖例〗（2008四川卷17）求函数24

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 【解】：2

4

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-

()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-

2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()2

1sin 26x =-+

由于函数()216z u =-+在[]

11-，中的最大值为 ()2max 11610z =--+= 最小值为

()2min 1166z =-+=

故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6

2、求单调区间

〖例〗[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ????3x ＋π

4.

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f ????α3＝4

5cos ????α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．

解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为????－π2＋2k π，π

2＋2k π，k ∈Z ，

由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3

，k ∈Z .

所以，函数f (x )的单调递增区间为????－π4＋2k π3，π12＋

2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?

???α＋π4＝4

5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)，

所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45????cos α cos π4－sin αsin π

4(cos 2 α－sin 2 α)，

即sin α＋cos α＝4

5(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π

4＋2k π，k ∈Z ，

此时，cos α－sin α＝－ 2.

当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5

4

.

由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52

. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－

52

.

3、和图像结合

〖例〗（2008广东卷16）．（本小题满分13分）

已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ??

???

，．

（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ?

?∈ ??

?

，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值． 【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n (

)f x x ?=+，

将点1(,)32M π代入得1

sin()32

π?+=，而0?π<<，536π

?π∴

+=，2π?∴=，故()sin()cos 2

f x x x π

=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ=

=，而,(0,)2π

αβ∈

，45sin ,sin 513

αβ∴=， 3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365

f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=。

〖举一反三〗

1（2008天津卷17）（本小题满分12分） 已知函数2

2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是

2

π

． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （Ⅰ）解：

()2

42sin 22

4sin 2cos 4cos 2sin 22

2cos 2sin 12sin 2

2cos 12+??? ?

?

+=+??? ??

+=++=+++?

=πωπωπωωωωωx x x x x x x

x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2

π，可得

222π

ωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ?

?

+=

πx x f ．

当ππ

π

k x 22

4

4+=

+

，即()Z k k x ∈+

=

216

ππ

时，??? ?

?+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+

，此时x 的集合为?

??

???∈+=Z k k x x ,216|ππ．

2（2008安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域

解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =

+-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

+-

1cos 22cos 222

x x x =

+- sin(2)6

x π

=-

2T 2

π

π=

=周期∴ 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）

5[,],2[,]122636x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-

在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，

所以 当3

x π

=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

22f f π

π-

=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ

-

上的值域为[2

- 3（2008山东卷17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数

y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2

π

（Ⅰ）求f （

8

π

）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移

6

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3?ω?ω+-+x x

＝??

??

??+-+)cos(21

)sin(232?ω?ωx x

＝2sin(?ω+x -6

π) 因为 f (x )为偶函数，

所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，

因此 sin （-?ω+x -

6π）＝sin(?ω+x -6π). 即-sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6π)=sin x ωcos(?-6π)+cos x ωsin(?-6

π

),

整理得 sin x ωcos(?-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （?-6

π

）＝0.

又因为 0＜?＜π，故 ?-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2

π

)=2cos x ω.

由题意得

.

2,2

22　＝ 所以 ωπ

ω

π

?

=

故 f (x )=2cos2x . 因为

.24

cos 2)8(==π

πf

（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个

6

π个单位后，得到)6(π

-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4

倍，纵坐标不变，得到)6

4(π

π-f 的图象.

).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=??

?

???-=-=f f x g 所以 当 2k π≤3

2

π

π

-

≤2 k π+ π (k ∈Z),

即 4k π＋≤

32π≤x ≤4k π+3

8π (k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ???

???

++384,324ππππk k (k ∈Z)

4、（2008湖北卷16）.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12

f t

g x x f x x f x x ππ=

=?+?∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.

解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x x

g x x

x

x x

--=+++ 2

2

2

2

(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x x x x

--=+ 1sin 1cos cos sin .cos sin x x

x

x x x

--=+

17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π??

∈π∴=-=- ???

1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+-- sin cos 2x x =+-

2.4x π?

?

+

- ???

（Ⅱ）由1712x ππ≤

＜，得55.443

x πππ

+≤＜ sin t 在53,42ππ?? ???上为减函数，在35,23ππ??

???

上为增函数，

又5535sin

sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π??∈π ???

），

即1sin()2)23424

x x π

π-≤+-

≤+--＜，＜，

故g (x )的值域为)

2,3.?-?

5、（2008陕西卷17）．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 444

x x x

f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令π()3g x f x ??

=+

??

?

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：

（Ⅰ）

2()sin

2sin )24x x f x =

-sin 22x x =+π2sin 23x ??

=+ ???

． ()f x ∴的最小正周期2π

4π12

T =

=． 当πsin 123x ??+=-

???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??

+= ???

时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ?

?=+ ??

?．

∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????

???π2sin 22x ??

=+ ???2cos 2x =．

()2cos 2cos ()22x x g x g x ??

-=-== ???

．

∴函数()g x 是偶函数．

三、解三角形型 1、求基本元素

【例】（2008全国二17）．在ABC △中，5cos 13B =-

，4

cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积33

2

ABC S =△，求BC 的长．

. 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12

sin 13

B =，

由4cos 5C =，得3

sin 5

C =．

所以33

sin sin()sin cos cos sin 65

A B C B C B C =+=+=． ············ 5分

（Ⅱ）由332ABC S =△得133

sin 22AB AC A ???=，

由（Ⅰ）知33

sin 65

A =，

故65AB AC ?=， ····························· 8分

又sin 20

sin 13

AB B AC AB C ?==，

故2206513AB =，132

AB =． 所以sin 11

sin 2

AB A BC C ?=

=． ······················· 10分 〖举一反三〗

（2008江西卷17）．在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c

，a =tan

tan 4,22

A B C

++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c

解：由

tan

tan 422A B C ++=得cot tan 422

C C

+= ∴cos sin

224sin cos 22C C C C += ∴14sin cos

22C C =

∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566

C C ππ

==，或

由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+即sin()0B C -= ∴B C =，6

B C π

==

2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==

得1

sin 2sin 2

B

b c a A ====

2、求范围 ①均值定理型

〖例〗（2008全国一17）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且

3

c o s c o s 5

a B

b A

c -=

． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3

cos cos 5

a B

b A

c -= 可得3333

sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555

A B B A C A B A B A B -=

=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>

2

tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --=

==+++≤34

当且仅当1

4tan cot ,tan ,tan 22

B B B A ==

=时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为3

4

.

【举一反三】

[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．

(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .

由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1

2，当且仅当a ＝c 时等号成立，

∴cos B 的最小值为1

2

.

②二次函数型

（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cosC +(conA - sinA )cosB =0.

(1) 求角B 的大小;若a +c =1,求b 的取值范围。

【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=

即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3

B π

=

.

(2)由余弦定理,有2

2

2

2cos b a c ac B =+-.

因为11,cos 2a c B +==,有2

2113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2

114b ≤<,即有112

b ≤<.

③转化求范围

【例】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1.

(1)求角A 的大小；

(2)求△ABC 的周长的取值范围．

【正弦定理的高级运用，将边及对角正弦值转化】

解：(1)由(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，结合余弦定理可得2ab cos C sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )， 即2cos C sin A ＝sin C ＋2sin(A ＋C )，化简得sin C (1＋2cos A )＝0.

因为sin C ≠0，所以cos A ＝－1

2.

又A ∈(0，π)，所以A ＝2π

3

.

(2)因为A ＝2π

3

，a ＝1，所以由正弦定理可得

b ＝a sin B sin A ＝233sin B ，

c ＝233

sin C ，

所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin B ＋233sin C ＝1＋233???

?sin B ＋sin ????π3－B ＝1＋

23

3???

?12sin B ＋32cos B ＝1＋233sin ????B ＋π3.

因为B ∈?

???0，π3，所以B ＋π3∈????π3，2π

3，

则sin ????B ＋π3∈???

?3

2，1，

故l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin ????B ＋π3∈???

?

2，1＋233.

【例】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A ．

(1)求角A 的大小；

(2)求cos ???

?5π2－B －2sin 2C

2的取值范围．

【纯粹三角形内角之间的转化，比上题简单一步】

解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而可得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A ，

又B 是三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝3

2.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6

.

(2)cos ????5π2－B －2sin 2C

2＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ???

?5π6－B －1＝sin B ＋cos

5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1＝32sin B －3

2cos B －1＝sin ????B －π6－1，

由A ＝π6可知，B ∈????0，5π6，所以B －π6∈????－π6，2π3，从而sin ?

???B －π

6∈????－12，1， 因此3sin ????B －π6－1∈? ??

??－3＋22，3－1，

故cos ????5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为? ????－3＋22，3－1.

【例】【还是转化问题，在单位圆上坐标与三角函数的转化-如何选变量的问题】已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心O 在坐标原点)上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°得到OB ，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )

A.2

B.32 C ．1 D. 1

2

[小结] 在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点、角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，则只需将角的终边上点的纵(横)坐标除以该点到坐标原点的距离，即得该角的正(余)弦值．

【解】设从x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 所形成的角为α，根据三角函数定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α

＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋1

2cos α＝sin(α＋150°)，故其最大值为1.

③求面积

【例】（2008辽宁卷17）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=

．

（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

2

4a b ab +-=，

又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ······· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ··············· 6分

（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A =， ······················· 8分 当cos 0A =时，2A π=

，6B π=

，3a =

3

b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，

解得3a =

3b =．

所以ABC △

的面积1sin 23

S ab C =

=

． ················· 12分 【例】如图K22-1所示，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝3

3

，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝

43

3

. (1)求BC 的长；

(2)求△DBC 的面积．

图K22-1

【图形的转化】

解：(1)因为sin ∠ABC 2＝33，所以cos ∠ABC ＝1－2×13＝1

3

.

在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－4

3

a .①

在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB ＝4b 2＋163－41633b ，cos ∠BDC ＝b 2＋163

－a 2

83

3

b .

因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，

所以有4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163

－a 2

83

3

b ，所以3b 2－a 2＝－6.②

由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.

(2)由(1)得，sin ∠ABC ＝223，所以△ABC 的面积为12×2×3×22

3＝22，所以△DBC 的面积为22

3.

四、与向量结合型

〖例〗（2008福建卷17）（本小题满分12分）

已知向量m =(sinA ,cosA ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=

1

2sin()1,sin().66

2

A A ππ-=-=

由A 为锐角得,.663A A πππ

-==

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

cos ,2

A =

所以2

2

1

3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2

2

f x x x x s x =+=-+=--+

因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3

2

.

当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2

??-???

?

.

【举一反三】

1、（2013年高考陕西卷（理））已知向量1

(cos ,),,cos2),2

x x x x =-=∈a b R , 设函数()·

f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值.

【答案】解:(Ⅰ) ()·

f x =a b =)6

2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π

-=-=-?x x x x x x .

最小正周期ππ

==

2

2T . 所以),6

2sin()(π

-=x x f 最小正周期为π.

(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]6

5,6-

[sin ]6

5,6-

[)6

2(]2

,

0[π

ππ

ππ

π

x y x x =∈-

∈.

]1,2

1

[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-

=πππ

f f x x f . 所以,f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值分别为21,1-.

2、(2004天津联考题)平面直角坐标系有点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ，∈x [4,

4π

π-

]

（Ⅰ）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数);(x f （Ⅱ）求θ的最值.

(理)解：(Ⅰ

)x

OQ OP cos 2=? x 2

cos 1+=

)(cos 1cos 2cos 2

x f x

x

=+=

=

∴θ (Ⅱ)x

x x

x

x f cos 1

cos 2cos 1cos 2)(cos 2

+

=+=

=θ

且???

???-∈4,4ππx ??

????∈∴1,22cos x 223cos 1cos 2≤

+≤x x 1)(3

2

2≤≤x f 即

1cos 322≤≤θ 322cos max ar =θ；0min =θ 3、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14

分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0.

(1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.

【答案】解:(1)∵2||=

- ∴2||2

=- 即()

222

22=+-=-,

又∵1sin cos ||2

2

2

2

=+==αα,1sin cos ||2

222

=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥

(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴??

?=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即???-=-=β

αβ

αsin 1sin cos cos

两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =

β ∴2

1

sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα6

1

,65==

4、在ABC ?中，120BAC ∠=，2AB AC ==.

（Ⅰ）求AB BC ?的值；

（Ⅱ）设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，求B

P C P ?的最小值.

解：（Ⅰ）由已知22cos1202AB AC ?=??=-. …………………2分

()AB BC AB AC AB ?=?- …………………4分

A B

C

2

AB AC AB =?-

246=--=- …………………5分

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)A ，

(2,0)B ，因为120BAC ∠=，2AC =，根据三

角函数定义，(1C -， …………………7分

点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，可设(2c o s

,2s i n

P αα，其中[0,

]3

α2π

∈. …………………8分

(2cos 2,2sin )(2cos 1,2sin BP CP αααα?=-?+

2

24cos

2cos 24sin αααα=--+-

2cos 2αα=--+ 4sin()26

απ

=-+

+. …………………10分 因为[0,]3α2π∈，所以[,]666αππ5π+∈，1

sin()[,1]62απ+∈，

当3

απ

=时，BP CP ?取得最小值2-，

所以BP CP ?的最小值为2-. …………………12分

五、综合运用

【例】[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－8

3

(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin

x )ln ???

?3－2x

π.证明：

(1)存在唯一x 0∈????0，π

2，使f (x 0)＝0；

(2)存在唯一x 1∈????π

2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.

证明：(1)当x ∈????0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －2

3cos x <0，函数f (x )在?

???0，π2上为减函

数．又f (0)＝π－83>0，f ????π2＝－π2－16

3<0，所以存在唯一x 0∈?

???0，π2，使f (x 0)＝0.

(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x

－4ln ????3－2πx ，x ∈????π

2，π.

令t ＝π－x ，则当x ∈????π2，π时，t ∈????0，π

2.

记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t

1＋sin t －4 ln ????1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）

.

由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，

当t ∈?

???x 0，π

2时，u ′(t )<0.

故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．

在????x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ????π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈?

???x 0，π

2，使u (t 1)＝0，

故存在唯一的t 1∈?

???0，π

2，使u (t 1)＝0.

因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈???

?π

2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.

因为当x ∈???

?π

2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1

∈???

?π

2，π，使g (x 1)＝0. 因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.

【例】[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－8

3

(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin

x )ln ???

?3－2x

π.证明：

(1)存在唯一x 0∈????0，π

2，使f (x 0)＝0；

(2)存在唯一x 1∈????π

2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.

证明：(1)当x ∈????0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －2

3cos x <0，函数f (x )在?

???0，π2上为减函

数．又f (0)＝π－83>0，f ????π2＝－π2－16

3<0，所以存在唯一x 0∈?

???0，π2，使f (x 0)＝0.

(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x

－4ln ????3－2πx ，x ∈????π

2，π.

令t ＝π－x ，则当x ∈????π2，π时，t ∈????0，π

2.

记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t

1＋sin t －4 ln ????1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）

.

由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，

当t ∈?

???x 0，π

2时，u ′(t )<0.

故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．

在????x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ????π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈?

???x 0，π

2，使u (t 1)＝0，

故存在唯一的t 1∈?

???0，π

2，使u (t 1)＝0.

因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈???

?π

2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.

因为当x ∈???

?π

2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1

∈???

?π

2，π，使g (x 1)＝0. 因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π. 【例】（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数

()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4

π

,将函数()f x 图像上的

所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2

π

个单位长度后得到函数()g x 的图像.

(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(

,)64

x ππ

∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.[来源:学,科,网]

(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.

【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π,0ω

>,得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4

π

,(0,)?π∈

故()sin(2)04

4

f ππ

?=?

+=,得2

π

?=

,所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将

cos y x =的图象向右平移

2

π

个单位长度后得到函数()sin g x x =

(Ⅱ)当(

,)64x ππ

∈时,1sin 2x <<

,1

0cos 22

x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>

问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64

ππ

内是否有解

设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(

,)64

x ππ

∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(

,)64x ππ

∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64

ππ

内单调递增

又1

()06

4

G π

=-

<,()04G π=

> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64

ππ

内存在唯一零点0x ,

即存在唯一的0(

,)64

x ππ

∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程

()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x

a x

=-

,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x

h x x

=-

,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况

22

cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32

x π

= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表

()h x

Z

1-

Z

当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞

故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点

由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=?,所以67121342n =?= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点

解三角形题型总结

解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.

例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.

高一三角函数题型总结

1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2. 2. 3. 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;

1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） 33 (D)± 3 3.) 4. ） 5.） * 6.）

三角函数诱导公式 诱导公式可概括为把 απ ±?k 2 的三角函数值转化成角α的三角函数值。（k 指奇数或者偶数， α相当锐角） 口诀“奇变偶不变，符号看象限。”其中奇偶是指2 π 的奇数倍还是偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 公式一：=+)2sin(απk =+)2c o s (απk =+)2t a n (απk

三角函数诱导公式练习题 1．若(),2,5 3 cos παππα<≤= +则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 5 4 - 2．sin （－6 π 19）的值是（ ） A 3 6 )= . 10.α是第四象限角,,则αsin 等于________． 13 12 cos =α

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

高考题历年三角函数题型总结

高考题历年三角函数题 型总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

三角函数题型学霸总结(含答案)-

三角函数题型学霸总结（含答案） 阳光老师：祝你学业有成 一、选择题（本大题共30小题，共150.0分） 1.点在函数的图象上，则m等于 A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值． 【解答】解：由题意知， 所以， 所以． 2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的作法，属于基础题． 熟练掌握五点法作图即可． 【解答】 解：用“五点法”画，的简图时， 横坐标分别为， 纵坐标分别为0，1，0，，0， 故选A． 3.函数y x，x的大致图象是

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案． 【解答】 解：“五点法”作图： x0 0100 10121 故选B． 4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关 键点的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题． 分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案． 【解答】 解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，

所以五个关键点为，，，，， 可知A不属于． 故选A． 5.已知函数的图象与直线 恰有四个公共点，，，，其中，则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题． 由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解． 【解答】 解：由 得 其图象如图所示，

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）

三角函数题型分类总结

专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .

三角函数基础题型归类(一)

2 - α , 例 1. （1）求值： cos600 ； （2）化简： cos 2( π 精品资料 欢迎下载 三角函数基础题型归类（一） 1、运用诱导公式化简与求值： 要求：掌握 2k π + α , π + α , -α , π - α , π π 2 + α 等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. π －α )+cos 2( +α ) 4 4 1 3π 练 1 （1）若 cos(π +α )= - ， 2 2 <α <2π , 则 sin(2π －α )等于 . （2）若 f (cos x) = cos3 x ，那么 f (sin30 ?) 的值为 . 17 （3）sin( - π )的值为 . 6 (4) 2、运用同角关系化简与求值： sin α 要求：掌握同角二式（ s in 2 α + cos 2 α = 1 , tan α = ），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. cos α 例 2 （1）化简 sin x 1 + sin x 1 - ； （2）已知 sinx+cosx = , 且 0

初中三角函数知识点题型总结+课后练习

锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4 5、0 锐角三角函数题型训练 类型一：直角三角形求值 1．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90== ?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.已知A ∠是锐角，17 8 sin = A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则 tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ． 4 5 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 C ．1 D ．4. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD = 3 16求∠ B 的度数及边B C 、AB 的长. 例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=3 sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ． 例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ABC 的值． 对应训练 1．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号） 2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形 对应练习： 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 特殊角的三角函数值 例1．求下列各式的值 ?-?+?30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－tan45°= 0 30tan 2345sin 60cos 221 ??? ? ???-?+?+= ?-?+?60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60?+? -? = B

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

高考三角函数重要题型总结

1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域。 2.已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+f 的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23 π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =g (Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像经过点π1 32M ?? ???，． （1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ??∈ ??? ，，，且3()5f α=，12()13f β= ，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[, ]12 f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2 sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π ∈x 且524)(0=x f 时，求)6 (0π+x f 的值。 7．已知1tan 3 α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 8.已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2 ． （Ⅰ）求π8f ?? ???的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数()y g x =的图象，

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

(推荐)高一三角函数题型总结

题型总结 1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：画直角三角形 利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的分式 齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα -=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2.α αα α22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）

3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求αsin .αcos αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 13 3 π= ; 练习题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α= 8 1,且4π<α< 2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3

解三角形常见题型归纳

解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2- C ．32 D ．23 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=，