日本的中小学数学教育
第一章日本的中小学数学教育
日本和我国同属东方文化系统，在数学教育方面有不少相似之处，然而近几十年来日本数学教育的改革更多地学习和借鉴了西方的改革思想和经验，并有机地融入自己传统中，形成了自己的特色和优势，受到了世界各国的重视。
1998年12月，日本文部省依据中央教育课程审议会关于各类学校各科教育课程改革的基本精神，公布了新的中小学数学学习指导要领（相当于中国的数学教学大纲），并定于小学和中学从2002年、高中从2003年分别开始实施。新的数学学习指导要领反映了面向21世纪的日本中小学数学教育的基本理念和方向，故意义深远，引人注目。为此，本章将对日本新的小、中、高数学学习指导要领的基本思想和数学课程的目标、内容及教材的特点进行概要介绍与分析，以期对我国数学教育的改革和发展有所启示和借鉴。
一、学制与课程设置
1．学制
6、3、3；义务教育9年。
2．课程设置
（1）小学：国语、社会、算术、理科、音乐、图画手工、家庭、体育。
（3）中学：国语、社会、算术、数学、理科、音乐、美术、保健体育、技术·家庭、外语、德育、课外活动。
二、日本的教师教育
1、大学教育
2、在职教育
3、各种培训
三、日本基础教育数学课程改革的经纬
在战后的几十年中，日本大体上每十年就要对《学习指导要领》修订一次。以《学习指导要领》的修订为基准，可把战后日本基础教育数学课程的变迁过程分为以下6个时期。
1．单元学习时期
1947年3月，日本颁布了新的《教育基本法》和《学校教育法》。同年4月实施新的学制，小学6年，中学3年，高中3年，并实行9年义务教育。同年5月公布了中、小学数学学习指导要领（试行草案），并发行了所谓“单元学习”为中心的教科书。从1948年开始，日本根据文部省学校教育局颁布的《高等学校设置的基准》编制了高中数学教科书，教学科目为解析Ⅰ、几何学、解析Ⅱ。1951年文部省颁布了高中数学学习指导要领（试行草案），在高中又添设了《一般数学》。
单元学习时期中、小学数学教科书的教学内容以生活需要为主，并要求学生能自己去解决问题，本质是以儿童为中心的自学活动，其学习活动为一个所谓解决问题的过程。
与中、小学数学教科书相对照，高中教科书则为纯粹的数学体系，解析Ⅰ为代数；解析Ⅱ为函数、微积分与概率统计；几何为初等几何和解析几何；《一般数学》是利用数学解决现实生活中的问题，可见高中的数学水平是较高的。这是因为教育革新委员会第三次会议对此有所要求，大学方面也要求高中给予较高的数学教育。
2．系统学习时期
1958年日本数学教育已转入系统学习的新时期。
这次改革明确提出以下方针：
①使学生理解数学的概念、原理、法则，并养成应用他们的能力；
②使数学建立体系，使学生理解建立此体系的想法及其意义；
③使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力；
④使学生理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；
⑤使学生了解对事物的数学的观察方法，和思考方法的意义，并据此养成
对事物的正确处理能力和态度。
系统学习的主要精神，并不是使学生对所学知识在形式上系统的理解，重要的是使学生在心理上进行系统的思考，提高逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的体系，因此，这一时期被称为系统学习时期。
如1960年修订的高中数学学习指导要领中不但明确指出要使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力，同时还要使学生理解数学体系的建立和建立此体系的思想方法、意义，理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯，其必修课程《数学Ⅰ》中增加了不等式、空间坐标、数学和论证等内容；在《数学ⅡB》和《数学Ⅲ》中增加了向量和复数平面等内容。这次改革的主要特点是为了面向学生的就职，开设了《应用数学》，它是数学Ⅰ、数学Ⅱ的后继课。
3．数学教育的现代化时期
1964年日本为了了解SMSG的改革情况，请来了E. Moise和D. E. Rickmond 两位教授，在东京、京都两地召开了研究会，他们的讲演给日本的数学教育改革起了很大的推动作用。于是、日本于1969年颁布了新的小、中、高数学学习指导要领。
其改革的指导思想是：“目前世界各国数学教育现代化还在进行中，与其在形式上增加新的内容，不如仍用过去的教学内容，用现代数学的新观点来阐述教材，改进教学方法，通过这种办法，向数学教育现代化的目标前进。”
总目标是：“对事物取其数学侧面，养成进行逻辑思维，综合地、发展地考查和应用数学的能力和态度。”
精选了对日常生活、进一步学习以及加强数学理解能力有用的题材作为教学内容，在中学导入了集合的用语和符号；用对应定义函数；强调变换，导入拓扑的基本观点；强调概率和统计。在高中增加了集合和逻辑的内容、向量、矩阵、平面几何的公理结构、计算机程序与框图等新内容。日本和欧美一些国家一样，现代化教材实行的结果，出现了意想不到的恶果。
4．轻松愉快的数学教育时期
1978年，日本在反省了数学教育现代化的若干弊端以后，制定了“轻松愉快”的教育方针：①建立有特色的学校；
②发展个性；
③轻松愉快的学校生活；
④重视劳动。在此方针的指导下，新颁布了小、中、高数学学习指导要领，在要领中强调：“使学生充分理解数学的基本概念和原理，进一步培养学生的数学意识和思考方法。”
在教学内容方面进行了如下的改革：
①恢复了一些传统内容；
②删去了一些新内容，如平面几何的公理结构；
③降低了对某些抽象理论的要求，如降低了对集合与逻辑、代数结构等内容
的要求；④有些内容在量上有所减少。
这次修改的高中数学学习指导要领尽管比前次要求降低了，但微积分、概率统计、向量、矩阵等内容基本保持了原来的程度。修改的主要目的是减轻学生的负担，使教材更便于接受，提高教学效果。
5．适应多样化的数学教育时期
80年代中期的临时教育审议会以后，作为基础教育重要内容的中小学课程改革，比以往任何时候都受到重视。针对日本教育面临的偏重学历、过度的考试竞争、青少年心理健康、学校教育的划一化和僵化等一系列问题，临时教育审议会提出教育应朝着尊重个性的方向改革。
日本于1989年对学习指导要领进行了修订，这次修订的着眼点是三个方面：适应高度信息化的社会；适应社会和学生的多样性；适应国际化的时代。
在小学低年级更加重视综合性、体验性的学习；在初中增设了“课题学习”；在高中阶段扩大了选修课的范围和比重等。
如高中数学课程在适应多样化方面，对于那些将来从事的职业几乎不需要用到数学的学生，则只学习数学Ⅰ；对于要升入大学文科系的学生，则学习数学Ⅰ、数学Ⅱ，同时也可选修《数学A》、《数学B》、《数学C》中的部分内容；对于要升入大学理科系的学生则学习数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，同时再选修《数学A》、《数学B》、《数学C》中的部分内容。由此可见学生对数学课程有多样选择的可能。
6．面向21世纪的数学教育改革
1996年8月，日本中央教育审议会发表题为《关于面向21世纪的我国教育》
的咨询报告。报告指出，面对今后日益信息化、国际化和科技迅猛发展的、不断变化的社会，教育要注重对学生基本素质和能力——
“生存能力”的培养，即要培养学生自己发现问题、自己学习、独立思考、判断、行动的能力，以及更好地解决问题的能力；培养学生具有健康的身心，自律意识，关心、同情他人的情感和品格以及与他人合作的能力。
该报告强调，今后日本学校教育的基本任务就是培养学生的“生存能力”，必须使教育由注重灌输知识向注重培养学习能力和独立思考能力转变。
因此，要从以下几方面对现有的学校课程进行改革：
①精简那些容易陷入死记硬背的内容，严格筛选基础和基本的教育内容，削
减课时；②通过加强课程的弹性化，改善教学方法，创建有特色的学校，推进个性化教育；
③加强道德教育，培养丰富的人格，应重视志愿服务，自然体验等活动，并开展丰富多彩的健身体育运动；
④适应国际理解、信息、环境、志愿服务等综合学习和课题学习的需要，设定“综合学习时间”，各学校可根据实际情况开展有特色的教育活动。
根据中央教育审议会的报告精神，日本教育课程审议会从1996年8月开始，就课程改革的方针、课程体系的构建、学科教育的内容等一系列重大问题进行了研讨，并分别于1997年11月和1998年6月发表了关于教育课程标准改革的中间报告、最终审议报告，并确定了此次课程改革的目标。
课程改革的总目标：培养学生具有丰富的人性和社会性、具有自立于国际社会的日本人的意识；培养学生的学习能力和独立思考的能力；通过开展宽松的教育活动，切实加强基础，充实发展个性的教育；使各个学校能够发挥主动性、创造出有特色的教育。
基于上述课程改革目标，中央教育课程审议会确定了如下的小、中、高数学教育课程改革的基本方针：
（1）通过小学、中学以及高中的教育，使学生掌握关于数量和图形的基础知识和基本技能，在此基础上，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础，使学生认识到数理地考察和处理事物现象的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识、数学思想方法的态度；
（2）为达到上述目标，要重视数学知识和现实生活中各种事物现象的联系，使学生在宽松的环境中，通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，一边体验学习的乐趣和充实感一边进行学习。并且要重视教学内容的改善。
文部省根据上述报告，着手修订课程标准，并于1998年11月颁布了新的学习指导要领，拉开了新一轮课程改革的序幕。下面将围绕日本课程审议会的咨询报告和文部省新颁布的《学习指导要领》，对日本数学教育课程改革的动向、特征及其意义做些分析。
四、日本最新中小学数学学习指导要领
中学数学学习指导要领
根据中央教育课程审议会制定的数学教育课程改革的基本方针，考虑到中学阶段是义务教育，数学与现实生活有着密切的联系，它不仅对人们的日常生活，而且对人类文化和社会发展具有很大的作用。因此，中学时期要使学生有充裕的时间，确实理解和掌握作为国家或社会的一员，在社会上生活所必要的关于数量和图形的基础知识和基本技能，并能积极主动地进行自己发现问题和解决问题的学习活动。
改善的具体要求是：
（1）数与式（代数）：加深对使用字母进行思考的必要性的认识，培养学生积极理解和说明代数式意义的基本能力和态度；
（2）图形（几何）：为了使学生能够积极发现问题和解决问题，要重视论据清楚，论证合理的表达能力和逻辑思维能力的培养，特别是图形的证明；
（3）数量关系（函数、概率统计）：使学生掌握分析事物变化的手段，思考方法以及对随机现象进行正确判断的基础知识和能力；
（4）课题学习：使学生通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，加深学生对数学思想方法的理解，促进学生思维的发展。
依据上述修订的基本思想，文部省对现行的中学数学教学大纲进行了修订，修订后的中学数学教学大纲从知识和技能、能力、态度和方法等方面提出了中学数学课程的目标要求，包括中学数学课程的总目标和各领域的具体目标。总目标提出了中学数学所要达到的共同目标，各领域的目标则结合知识内容，具体提出
通过完成什么样的学习内容来达到目标，也就是完成目标的途径和方法。
中学数学课程的总目标：“加深学生对数量图形等基本概念、原理和法则的理解，使学生掌握数学的表达方式以及处理问题的方法，提高学生以数理地考察事物现象的能力，并使学生体会到数学学习活动的乐趣和数学思想方法的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识，数学思想方法等的态度。”
新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、重视能力、态度和数学的思想方法的培养。并在此基础上又有所发展，增加了“使学生体会到数学学习活动的乐趣”，突出了对情感体验和学习兴趣的重视。“数学活动学习的乐趣”不是指“数学活动”本身有趣，而是通过数学活动体会到的数学学习的乐趣。学习数学不但要记住公式和法则，更重要的是理解数学结论产生、发展的认识过程，通过具体的观察、操作和实验，归纳、抽象出数学结论的活动和运用数学知识、方法解决身边的事物现象的问题解决活动，使学生体验到发现和创造数学的愉快和学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学兴趣和动机，给学生以学习数学的动力。
中学数学的教学内容仍是按年级顺序编排，每年级都包括数和式（代数）、图形（几何）和数量关系（函数与概率统计）三部分内容。但依据中央教育课程审议会的课程改革精神，现行数学教学内容的三分之一被削减或转移到高中。
削减的内容有1年级的平行移动、旋转移动以及对称移动、立体的截面和投影、满足条件的图形；2年级的数的表示法（2进制、近似值）；3年级的平方根表。
转移到高中的内容是1年级的数的集合；2年级的一元一次不等式、三角形的重心、3年级的有理数和无理数的用语、一元二次方程解的公式、圆的部分性质、相似图形的面积和体积的比、球的体积和表面积、资料的整理和标本的调查、各种事物现象和函数。调整后的初中数学教学内容和课时如下表1：
表1 新初中数学教学大纲的教学内容和课时
从上面的介绍可以看出，日本中学数学课程改革有以下几个特点：
（1）进一步精简学习内容，使学生在宽松的学习环境中，切实掌握基础知识和基本技能。在上一轮课程改革时,根据科学技术发展和日本学生的实际情况,日本数学课程改革就较大幅度简化了学习内容。这次改革又进一步精简了一些学习内容，较大幅度降低了代数计算等技能要求。
（2）增加了选择性学习。新学习指导要领增加了选修课课时,使课程具有较大的弹性,适合不同学生的需要。提倡选择性学习构成了日本中学数学课程的一大特色。学习指导要领认为,数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。如探究数学的某个内容或者专题、有关数学的实际活动、应用数学的活动、数学史的有关专题等课题学习都可以作为选择学习的内容。学习的程度也应有一定的弹性,在选择性学习中学生可以根据自己的实际情况选择补习、补充、发展、深化等不同程度的学习，使不同发展水平的学生都有收益,有利于学生的个别差异。
（3）重视课题学习（问题解决学习）。
“课题学习”是日本在“问题解决”的影响下，结合本国实际情况提出来的，并于1989年作为中学数学教学内容写进了中学数学学习指导要领（相当中国的数学教学大纲）。现在“课题学习”几乎成为日本中学数学教育的主流，深受广大教师和学生的欢迎。根据日本数学教育学会和教育课程研究委员会对全国教师的调查表明：赞成“课题学习”的约占90％。
1999年，日本新颁布的中学数学学习指导要领更加重视“课题学习”，并在“课题学习”的目的、内容等方面提出了新的要求。因此，本文将结合日本新的
数学学习指导要领，对日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版的中学《数学》教材中的“课题学习”的内容和特点进行介绍和分析，以其对我国中学数学教育的改革和发展有所启示。
一、“课题学习”的目的
日本新的中学数学学习指导要领中指出：“为了促进以学生为主体的学习，培养学生的数学观点和思考方法，要设置将各部分内容综合起来的、和日常生活相联系的课题，通过操作、观察、实验、调查等活动进行课题学习，并要把这种课题学习放在各个年级教学计划的适当位置加以实施。”
从以上这段文字中可以看出，日本在中学数学课程中设置课题学习的目的是多方面的，但主要目的是：促进以学生为主体的学习活动，培养学生的数学观点和思考方法。教育出版株式会社2001年出版的中学《数学》教材中的“课题学习”充分体现了这一点。在这套教材中共有18个课题学习的内容，每个课题学习不但给出了要解决的问题，还处处注意启发学生思考，由浅入深地给出了思考问题的方法。如二年级的“点数和面积问题”：
课文：在图1中，排列着一些横竖间隔都是1cm的点，Ａ，Ｂ是由连接一些点构成的图形，请考察下图中图形Ａ，Ｂ的面积和边上的点、内部的点具有怎样的关系？
·············
·············
·············
··A·······B····
·············
·····图1 ········
（1）图1中的Ａ、Ｂ是两个不规则的图形，可能不太容易思考。请求图2中这些规则图形的面积、边上的点、内部的点，并完成下表1。
·················
·················
··A···B···C···D···E···
·················
···图2·············
表1
（2
由表1和表2很难马上知道图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系。为了容易思考，首先着眼于图形内部的点，按着顺序考虑。
设图形边上的点数为X，图形的面积为Y，
（3）当图形内部有1个点时（如图3），求出图形边上的点数和面积，并完成下表3，找出用X表示Y的关系式；
·················
·················
··············
·A···B····C····D··图3··
（4）当图形内部有2个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式；
（5）当图形内部有3个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式；
（6）根据前面的考察，当图形内部有N个点时，猜想X与Y的关系式。
（7）在（6）中猜想的关系式是否正确？请用（1）和（2）的结果进行验证。
（8）自己画一些图形，进行验证。
不难看出，从问题到问题，始终注意让学生自己动脑思考，并说明怎样进行思考，使学生学会思考，学会发现问题，学会从特殊到一般、归纳、抽象的思考方法，加深对数学思想方法的理解。在课题解决的过程中，重视通过操作、观察、实验等活动，调动学生学习的主动性，提高学生独立发现问题，主动解决问题的能力。
二、“课题学习”的内容
日本新的中学数学学习指导要领要求在各个年级的数学教学中，都要恰当地进行课题学习。为了配合“课题学习”的实施，2001年日本出版的中学数学教科书都有课题学习的内容，选择的课题分布在中学数学的数式，图形，数量关系（包括函数和概率）几项内容之中。这些课题有的与现代信息技术有关；有的和数学应用有关；有的和数学的模型化、一般化有关；有的和数学美、数学的优越性、趣味性有关。这说明了课题的设置既考虑到了数学的需要又要考虑到教育的需要。在中学《数学》这套教材中设置了18个课题，这些课题可分为以下四类：应用性课题、综合性课题、发展性课题、与数学史有关的课题。
1．应用性课题
应用性课题是和学生的日常生活密切联系的问题。在解决这类问题的过程中，能够使学生体会到学习的愉快，解决问题的成就感和满足感，提高应用数学的意识。如一年级的“交通流量问题”：
右图是某一地区的道路图，箭头表示通行的方向，
在各岔路口交通流量平分，那么通过A地的车辆数和
通过D地的车辆数之间具有什么关系？
（1）如果通过A地是48辆车，那么通过B地、
C地、D地各是多少辆？
（2）设通过A地的车辆数为x，通过D地的车
辆数为y，求出x和y之间的关系。
（3）自己画一个道路图，若在各岔路口交通流量
平分，请制作一些问题。图4 此外还有三年级的“电话线问题”：准备在一个棒球队内部建立电话联系网，为了使教练的想法准确、快捷地通知给38位队员，该怎样建立电话联系网？要注意（1）如果教练自己分别通知所有队员，教练的负担太重，浪费时间。（2）如果按顺序一个人一个人往下传，最后一个人获得的信息未必正确。
日本中学数学教育界十分重视通过这类题目提高学生对数学的关心和兴趣，培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使学生明白用数学处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学用于日常生活的态度，以此达到日本数学课程的目标。
2．综合性课题
综合性课题是综合运用以前学习的知识、技能和方法能够解决的问题。如“3、4阶幻方阵的求法”等，象上面的“点数和面积问题”，为了求图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系，必须综合运用以前学过的几何、函数等知识，具有综合解决问题的能力。
综合性课题一般是综合运用若干个以前学过的内容和方法才能解决的问题，只利用一个领域或一章学过的内容是不能解决的。通过这样的课题学习，可以使学生体会到数学观点和数学思考方法的益处，培养学生综合运用知识、技能和方法解决问题的能力。
3．发展性课题
发展性课题是对学过内容的深入探讨。把学生关心的、感兴趣的、想进一步思考的问题作为课题，能够加深对所学内容和方法的理解，如
学过了三角形的相似之后，教材出现了下面的课题：
线段AB为10cm，在线段AB上取一点C，
使AC=4cm，CB=6cm。分别以AB，AC，CB
为直径作半圆（如图5），红线和蓝线哪个长？
（1）根据上面的结论，在任意线段AB上
任取一点C ，以AB ，AC ，CB 为一边作等边三角 形或正方形（如图6），考察一下红线和蓝线哪个
长？
（2）如图7，图中的有4个相似的五边形
请问红线和蓝线哪个长？
通过上面的考察，能说无论有几个相似的 图7 图形，结论都成立吗？
此外还有“求对角线的条数”“勾股定理的证明方法”“火柴棒的问题”等。
4． 与数学史有关的课题
与数学史有关的课题是一些数学史上的著名问题。如“兰德纸草书上的问题”：将100快面包分给5个孩子，各人得到的面包按着一定的数量增加，于是，获得最少的两孩子的面包数之和是获得最多的三孩子的面包数之和的1/7，问5个孩子各获得多少面包。教材不但给出了用列方程组解决该问题的想法，还介绍了古代埃及人的解法，有关数学史的记载和论述紧扣要解决的问题。通过这类问题使学生理解数学与人类的关系，提高学生对数学的兴趣和关心，给学生以学习数学的动力和信心。
综上分析，我们不难体会到日本教材对问题解决及其思考方法的重视。通过这样的课题学习，不但使学生掌握了数学的某些知识，还使学生认识到学习数学的意义，对于培养学生对日常事物进行有条理思考的能力，理解数学的用处等是十分重要。同时，这些课题能活跃学生们的思路，启发学生在课题解决的过程中去寻找条件，尝试探索，发现问题，解决问题，有利于培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。
一、中日两国初中几何课程内容难度的比较
如第四章第四节所述，我们将利用课程难度系数，对中日两国义务教育阶段几何课程的内容难度进行比较分析。选取的样本是日本1999年的《指导要领》及相配套的教材《中学数学》，我国2000年《教学大纲》及相配套的人教版数学教材和2001年的《课程标准》及相配套华东版数学教材。
根据第四章第二节课程深度、课程广度和课程时间的计算方法，我们确定了日本几何课程、我国新几何课程和旧几何课程的标准知识点和辅助知识点（参考附录1—1和附录1—2），并对每个知识点的“深度水平”进行逐一鉴定，然后用公式（4.2）计算出课程深度的加权平均数，结果如表5.1所示。
表5.1：中日几何课程内容难度的量化指标
*百分比及加权平均数的计算按四舍五入精确到小数点后两位。
这里需要说明的是：课程时间的确定。
（1）日本的数学学习《指导要领》明确地规定了初中数学课程的课时数，每年是105课时，三年则是315课时，其中1课时的时间和我国一样是50分钟。在日本教材《中学数学》的编写说明中，规定了每章的课时数，三册共18章，讲授时间为252课时，其中，几何内容占6章，课时数为91课时。这样，我们认为日本初中阶段几何课程的课时数为315×91/252≈114课时。
这个结果，和我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算是相符的。在日本的中考试卷中，一般地，几何题分数占总分的35.5%左右（见下节表5.5），这样就意味着，几何内容的学习时间应占总课程时间的35.5%，即315×35.5%≈112，这个数字比114课时只少了2课时。
（2）我国《课程标准》没有明确规定初中数学课程的课时数，但教育部颁布的《义务教育课程设置实验方案》规定义务教育阶段的数学课程的课时数应占总课时的13%~15%，初中三年的总课时数为3502课时，所以初中数学课程的总课时数在455课时至525课时之间，取其平均值为490课时。在华师版教材的教师用书中[81]，规定了每章的课时数，6册教材共28章，总课时数为375课时，其中10章是几何内容，课时数为147课时，因此，我们认为《课程标准》下的初中几何课程的学习时间是490×147/375≈192课时。
如果我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算的话，在实验区的中考试卷中，几何题分数占总分的39%左右（见下节表5.5），这样，几何内容的学习时间应为490×39%≈191课时，这个数字比192课时仅少了1课时。
（3）我国2000年的《教学大纲》是在1992年国家教育委员会制订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》的基础上进行修改的，如在“教学目的”中增加了培养学生的创新意识一类要求，并在“教学中应该注意的几个问题”中加以呼应和强调，此外，还增加了“改进教学测试和评估”一段；在“教学内容和教学要求”中，2000年大纲增加了以下“探究性活动”：长方体和它的表面，镶嵌，这些内容成为初中阶段“研究性课程”的有机组成部分；这份大纲还首次认可教学中“要有适度的开放题”，但没有对课程时间进行修改。根据1992年国家教育委员会颁布的《义务教育全日制小学、初级中学课程计划》的规定[82]，三年制初级中学数学课程的总课时数为500课时，其中，几何课程的学习的时间是215课时，占总课时数的43%。据此，我们认为《教学大纲》下的几何课程的学习时间为215课时。
另外，关于我国《教学大纲》中标有“*”的内容。《教学大纲》的解释是“标有‘*’的内容为选学内容，不属于毕业考试的命题范围，但可作为升学考试的内容。”由于是升学考试的内容，在中考试题中就会出现。如下面这道吉林省2005年中考试题，就需要用“切
割线定理”求解。因此，这部分内容虽说是选学内容，事实上各个学校都是按必修内容处理的，因此，我们将这些知识也算入了《教学大纲》的知识含量中。
题5·1 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，割线PCB交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC，垂足为E，AD交PB于点F。
(1)求证：PA=PF；
(2)若F是PB的中点，CF=1.5，求切线PA的长。
（1）证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点。
∴∠OPA=900
∴∠FAP+∠OAD=900
∵OD⊥BC 图1
∴∠DFE+∠D=900
又∵OA=OD
∴∠D=∠OAD
∴∠DFE=∠FAP=∠PFA
∴PA=PF
（2）PA是⊙O的切线，PCB是⊙O的割线，
∴PA2=PC·PB
∵F是PB的中点，
∴PB=2PF=2PA
∴∠D=∠OAD
PA2=（PA-CF）·2PA=（PA-1·5）·2PA
∴PA2-3PA=0
∴PA=3
下面，我们根据上述统计的数据先对中日两国初中阶段几何课程的难度因素分别进行比较，然后在利用难度系数进行整体的分析。
（一）课程广度
从表1中可以看到，日本《指导要领》，我国《课程标准》和《教学大纲》及所含有的
知识点分别是82个、133个和171个，如图5.1所示。
教学大纲课程标准指导要领
图5.1：中日几何课程广度的比较
从图5.1可以看出，在“课程广度”上，我国《教学大纲》的几何知识含量比《课程标准》的几何知识含量多38个知识点，是日本几何知识含量的2倍多，我国《课程标准》比日本《指导要领》多了50个知识点。
从具体知识上看，中日两国几何课程的基本内容是一样的，都包含平行线、三角形、全等三角形、相似三角形、四边形和圆。但在具体内容上，有较大的差别。
我国的《教学大纲》比《课程标准》多了正多边形与圆、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理等内容；而课程标准则增加了三视图、平移和旋转变换等内容。
和日本的几何课程相比，我国的《课程标准》比日本的《指导要领》多了锐角三角函数、梯形、圆及其性质等内容；然而，在空间图形方面，日本指导要领比我国的《教学大纲》和《课程标准》都多了以下内容：确定平面的条件、直线与平面的位置关系、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定、点到平面的距离、直线与平面平行的定义、两平面的位置关系、两平面垂直的定义、两平面平行的定义、两平面之间的距离、两平行平面与第三个平面相交的交线平行等内容。
（二）课程深度
统计表明，在我国教学大纲、课程标准和日本的指导要领的几何内容中，属于“了解”水平的知识的分别占20.02%、46.61%和22.89%；属于“理解”水平的知识分别占是17.54%，9.02%和32.50%；属于“掌握”水平的知识分别占55.85%、42.86%和43.34%；属于“灵活应用”水平的知识分别是6.43%、1.50%和1.20%，如图5.2所示。
图5.2：中日几何课程深度的比较
从图中可以看到，在“了解”水平上的，日本《指导要领》中知识点的百分比和我国《教
学大纲》接近，比我国《课程标准》少了24个百分点；在“理解”水平上，日本《指导要领》中知识点的百分比我国《教学大纲》多了5个百分点，比我国《课程标准》多了13个百分点；在“掌握”水平上，日本《指导要领》中知识点的百分比和我国《课程标准》接近，都比我国《教学大纲》少，少12个百分点；日本《指导要领》和我国《课程标准》很少含有“灵活应用”水平的知识，比我国的《教学大纲》少了5个百分点。
另外，日本《指导要领》、我国《教学大纲》和《课程标准》的课程深度加权平均分别为2.23、1.99、2.48。
综合起来说明，我国《教学大纲》最深，其次是日本的《指导要领》，相对比较，我国的《课程标准》最浅。其原因是我国《课程标准》对知识的要求，“了解”层次的多，“理解”层次的少，从而降低了课程的深度；相反地，我国《教学大纲》对知识的要求，“了解”层次的少，“掌握”层次的多，因此加深了课程的深度。
（三）课程难度系数
根据表5.1的数据，利用第四章定义的课程难度系数公式（4.1），可计算出中日两国几何课程的难度系数：
N （日本）=
114
23.2α+11482
（1-α）=0.0196α+0.7192（1-α）
=0.7192-0.6996α
N （课标）=
192
99.1α+192133（1-α）=0.0104α+0.6927（1-α）
=0.6927—0.6823α
N （大纲）=
21548.2α+215
171（1-α）=0.0115α+0.7953（1-α） =0.7953—0.7838α
于是有：
N （日本）—N （课标）=0.7192-0.6996α—（0.6927—0.6823α）
=0.0265—0.0173α>0.0265—0.0173=0.0092>0 （1） N （大纲）—N （课标）=0.7953—0.7838α—（0.6927—0.6823α）
=0.1026—0.1015α>0.1026—0.1015=0.0011>0 （2）
由（1）和（2）说明，我国《教学大纲》的难度系数和日本《指导要领》的难度系数都比我国《课程标准》的难度系数大。
由于N （大纲）—N （日本）=0.7953—0.7838α—（0.7192-0.6996α）
=0.761—0.842α
若令0.761—0.843α>0， 则0<α<0.904
这说明，当0<α<0.904时，我国《教学大纲》的难度系数比日本《指导要领》的难度系数大。
由于α满足0<α<1，它反映了课程对于“可比深度”或者“可比广度”的侧重程度，
所以若α>0.904，则说明课程太侧重“可比深度”，而正是在这种情况下，日本《指导要领》的难度系数才比我国《教学大纲》的难度系数大。
在这里需要说明的是：我们在前面规定了“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平的权重分别是“1、2、3、4”。如果，我们规定它们的权重分别为“1、1·5、2、2·5”，则我国《教学大纲》、我国《课程标准》和日本《指导要领》的深度加权平均数分别为1·74、1·50和1·62。此时，中日两国几何课程的难度系数分别为：
N （日本）=
114
62
.1α+11482（1-α）=0.0142α+0.7192（1-α）
=0.7192-0.7050α
N （课标）=
19250.1α+192
133（1-α）=0.0078α+0.6927（1-α） =0.6927—0.6849α
N （大纲）=
21574.1α+215
171
（1-α）=0.0081α+0.7953（1-α） =0.7953—0.7872α
于是有：
N （日本）—N （课标）=0.7192-0.7050α—（0.6927—0.6849α）
=0.0265—0.0201α>0.0265—0.0201=0.0064>0 （3） N （大纲）—N （课标）=0.7953—0.7872α—（0.6927—0.6849α）
=0.1026—0.1023α>0.1026—0.1023=0.0003>0 （4）
N （大纲）—N （日本）=0.7953—0.7872α—（0.7192-0.7050α）
=0.761—0.822α 若令0.761—0.822α>0， 则0<α<0.926
由（3）和（4）说明，我国《教学大纲》的难度系数和日本《指导要领》的难度系数都比我国《课程标准》的难度系数大；当0<α<0.926时，我国《教学大纲》的难度系数比日本《指导要领》的难度系数大。
这说明，无论“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平权重的赋值是“1、2、3、4”还是“1，1·5、2、2·5”，对各国课程难度系数的影响不大，结论不变。
综上比较说明，日本几何课程的内容“窄而深”，我国新几何课程的内容“广而浅”，我国旧几何课程的内容则“即广又深”，且课程难度系数最大。
日本几何课程的“窄而深”设计模式，体现了21世纪日本数学课程改革的目标，即“精选教学内容，加强基础知识和基本技能的学习，要从为学生今后的学习和生活打基础的原则出发，严格精选教学内容，转变以知识量来衡量学生学力的学力观。”
[83]
那么，如何保持几
何课程的可比广度和可比深度的平衡？几何课程的平衡点是什么？这是几何课程改革的关键问题，也是需要我们进行深入研究的问题。
二、中日两国初中几何课程中习题难度的比较
（一）中日两国数学教材中几何题难度的比较
从上面中日几何课程内容难度的比较看，中日两国初中阶段几何课程的在课程广度、课程深度和课程时间上，有着较大的区别，反映在课程难度系数上也不一样。那么，一个自然的问题是：这种内容上的差异是否反映在教材的习题中呢？换句话说，中日两国初中数学教材中的几何习题难度是否存在差异？有哪些方面的显著差异？因此，我们对日本教材、我国华师版教材和人教版教材中几何内容与各章习题数量进行了统计，结果如表5.2所示。
5.2:中日两国中学教材中几何内容与各章习题数量
在统计各章节的题量时，我们采用了以下原则：
1、日本教材在习题的编号上是：大题用①、②、③…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我国华师版教材和人教版教材在习题的编号上是一致的：大题用1、
2、
3、…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我们约定，题量按照小题的个数计算。而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数。
2、这里统计的习题包括中日两国教材中的所有的“例题”、“问”、“问题”、“习题”、“练习题”、“复习题”、“自我测验题”以及以数学问题形式出现的“想一想”、“做一做”、“试一试”和“挑战角”。这些题目所形成的教材习题系统基本上反映了教材对学生的要求，因此，我们可以通过习题系统的综合难度来反映教材的综合深度。
从表5.2中可以看到，在中日两国初中教材中，不仅几何内容在各年级的分配有所不同，试题的数量差异较大。其中，日本教材习题的数量最少，其次是华师版教材，人教版教材的习题量最多，大约比华师版教材多一倍，比日本教材多两倍。这说明在训练强度上，人教版
教材要高于华师版教材，华师版教材高于日本教材。例如，日本教材、华师版教材和人教版教材都含有“相似形”一章，日本教材这一章的习题总量是57题，华师版教材有89题，而人教版教材这一章习题总量却是167题。因此，如果仅仅从数量上看，在同一课题上的训练强度，人教版教材是华师版教材的两倍，日本教材的三倍。
如果说，几何习题的总量可以反映中日两国教材的习题系统在数量上的水平高低，那么，我们希望通过数学题的综合难度去刻画习题系统的质量特征。为此，我们根据第四章表4·2的水平划分，对所取样本中的二年级和三年级教材中的所有几何习题逐一进行了鉴定，并利用公式（4·3）计算每个难度因素的加权平均。其结果如表5.3所示。
之所以选择二、三年级教材中的几何习题进行比较，原因是中日两国初中二、三年级的几何内容基本一致，习题也具有了一定的综合性。在习题数量上，日本这两个年级教材的几何题总数为269道，我国华东版教材是499道，人教版是1224道，分别占各自教材几何习题总量的60%左右，具有一定的代表性。
下面，我们就根据上述统计数据首先对五个难度因素分别进行比较，然后在利用数学题的综合难度模型进行整体分析。
1·背景水平
统计表明，
日本教材、华东版教材和人教版教材中不涉及实际背景的习题分别占98.14%、90.58%和94.68%；与“个人生活”有关的习题分别占0、4.4%和2.36%；属于“职业与公共常识”的题目分别占1.11%、4.2%和2.36%；属于“科学情境”的习题分别为0 、1.64%和0（见下面的图5.3）。
图5.3：中日教材中几何题在背景水平上的比较
从图中可以看到，日本教材中的几何题基本上属于“纯粹”的数学题；华东版教材与人教版教材相比，几何题在背景水平上有了较大的变化，与学生“个人生活”紧密相关的背景方面和“公共生活”方面比人教版教材的几何题目的百分比都多了2个百分点。
在这里有一个值得注意的现象是，虽然目前世界各国都在提倡所谓的“数学应用”、“课题学习”、“研究性学习”、“跨学科综合活动”，但在日本教材的几何习题中，极少出现以“生活情境”“科学情境”为背景的数学题。 看来，如何在数学课程中设置有意义的“生活情境”、“科学情境”是一个需要进一步研究的课题。
2· 探究水平
统计表明，日本教材、人教版教材和华东版教材中几何题目在“识记”水平上的百分比分别为23.04%、34.26%和21.90%；在“理解”水平上的百分比分别为71.74%、59.31%和71.65%；在“应用”水平上的百分比分别为3.34%、1.40%和5.06%；在“探究”水平上的百分比分别为1.85%、5.01%和1.384%（见下面的图5.4）。
中小学数学很重要的20种常见思想方法
中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
小学数学公式大全(最新最全)
最新小学数学公式大全 公式定义 第一部分：概念 第二部分：定义定理（算术方面） 第三部分：计算公式 第四部分：几何体 第一部分：概念 1，加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2，加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3，乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4，乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5，乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5=2×5+4×5 6，除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O 除以任何不是O 的数都得O。 简便乘法：被乘数，乘数末尾有O 的乘法，可以先把O 前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7，什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8，什么叫方程式答：含有未知数的等式叫方程式。 9，什么叫一元一次方程式答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10，分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。 11，分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12，分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。 异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 13，分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 14，分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15，分数除以整数（0 除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 16，真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 17，假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。18，带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 19，分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外），分数的大 小不变。 20，一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 21，甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 分数的加，减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 22，什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5 或3：6 或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0 除外），比值不变。 23，什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3：6=9：18 24，比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 25，解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3：χ=9：18 26，正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关
21世纪初的日本数学教育改革
21世纪初的日本数学教育改革 一、2003年的中小学数学教学大纲的指导思想 1．人才价值观的转变与新大纲的出台 现在的日本作为世界经济大国和技术强国，已经不再象过去那样有现成的样板可以模仿了，它必须依靠自己的努力，使国土狭小、资源贫乏的日本探索出一条在经济、政治、文化以及科学技术诸方面保持世界强国地位的新路子。面对这一严峻的形势和挑战，日本力图进行新的教育改革，确保其世界强国的地位。因此，日本传统的人才价值观也随之发生了很大转变，它迫切需要一大批富于人性和构想力、具有创造性和独创性能力、发现问题和解决问题的能力、适应国际化（具有国际视野的人才）、领导组织能力的新型高素质的人才。 在90年代末，日本进一步深化中小学课程改革，制定了面向21世纪的教育改革方案。在1997年11月进行的日本教育课程审议会《中间报告》中提出了教育课程改革的指导方针：①要培养富于人性与社会性、在国际社会中生存的日本人的自觉性；②要培养自己学习、自己思考的能力；③在宽余的教育活动中，使学生掌握牢固扎实的基础知识和基本技能，以便充实个性教育；④各学校要开展能激发创造方法的教育。按照这个指导方针对中小学教学大纲进行了调整，于1999年3月颁布了从2003年开始实行的新教学大纲，新教学大纲中充分体现了新的教育理念和新型人才价值观。就数学教学大纲说，新大纲降低了课程内容的难度，减少了授课时间，小学减少142学时，初中减少70学时，高中的授课时数也有所减少，增加了数学实践和数学与人类社会的关系等内容。 2．新的数学教学目标新教学大纲中，对现行教学大纲的内容进行调整后重新确定了中小学数学教学目标： 小学数学教学目标：“通过有关数量和图形的算数↑的活动，使学生掌握基本知识和技能，培养学生对日常事物进行有条理的思考的能力，同时，注意活动的乐趣和数学处理的好处，进而培养学生自觉地把数学用于日常生活的态度。” 初中数学教学目标：“加深理解关于数量、图形等的基础概念、原理和规律，获得数学表达和处理的方法，提高对事物的数理考察能力，同时，了解数学活动的乐趣、数学的认识方法和思考方法的好处，并培养灵活运用数学的态度。” 高中数学教学目标：“加深对数学中的基本概念、原理和法则的理解，在提高用数学方法考察和处理事物现象的能力，通过数学活动培养创造性能力的基础，同时，认识使用数学的方法观察问题和思考问题的好处，培养积极灵活运用数学方法的态度。” 在这次改革中，特别强调了数学与实际生活的联系，通过宽余的作业、操作学习和问题解决学习，使学生体验学习的乐趣和充实感，使学生熟练掌握有关数量和图形的基础知识和基本技能、数学地思考问题的能力和创造性思维能力。 3．数学课程改革的实例为说明问题简单起见，这里只介绍高中数学课程改革的某些内容。高中基本上在维持现行课程结构基础上，按照学生的兴趣、关心和特点，全面地考虑到了数学学习的系统性和学生选择的多样性的有机结合，重新检讨了数学课程内容，并在安排课程 ↑日本把小学数学叫做“算数”。
常见中小学数学教学软件的比较
常见中小学数学教学软件的比较 目前，在中小学中使用的数学教学软件很多，但是怎么选择合适的数学教学软件来提高教学效率，取得教学效果的最优化呢？本文以证明勾股定理为例，对万用拼图实验室MP_Lab、平面几何实验室PG_Lab、动态数学实验室DM_Lab(以下简称Lab系列)，几何画板，Z+Z智能教育平台——超级画板三种教学软件进行比较，为教师在教学中选择合适的教学软件提供参考。 Lab系列是由澳门培道中学副校长韦辉梁先生开发的软件，Lab系列中的MP_Lab适用于小学《图形的认识》的教学，PG_Lab适用于小学《认识图形》和中学《平面几何》的教学，DM_Lab适用于中学《平面几何》、高中代数函数和解析几何的教学。 几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。几何画板适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）的教学。 Z+Z智能教育平台——超级画板是由中国科学院院士张景中教授主持策划，由东方科技集团投资开发的智能教育软件。“超级画板”兼顾了几何与代数的教学，可应用在代数运算、函数图像、概率统计、算法编程、解析几何、立体几何等方面。 笔者选取了新课标数学八年级下册第18章关于勾股定理的证明这一内容来比较三种软件的应用情况。勾股定理的内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b, 斜边长为c, 那么a2+b2=c2。 这里使用书中探究框里提出的证明方法，即证明直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积，如图1所示,S3=S2+S1。下面将对三种软件在证明过程中的使用进行比较。 一、画一个直角三角形 https://www.sodocs.net/doc/af13004753.html,b系列 （1）单击直角三角形按钮。 （2）在作图框内任意两点处点击，得到线段AB。 （3）移动鼠标可见一垂直线段，在作图框内任意位置点击鼠标，即做出直角三角形ABC。 2.几何画板 （1）点击画线工具，在画图区任意区域点击鼠标两次，画出线段。点击选择工具，选中线段的一个端点，单击菜单“显示→对象的标签”，将此端点命名为A。重复此操作，将线段另一端点命名为B，完成线段AB。 （2）选中点A和线段AB，单击菜单“构造→垂线”。
中小学数学应用题常用公式
中小学数学应用题常用公式 1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数)
小学数学公式大全(完整版)
小学数学公式大全整理（完整版） 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形的底=面积×2÷高a=2S÷h 三角形的高=面积×2÷底h=2S÷a 平行四边形的面积=底×高 S=ah 平行四边形的高=平行四边形的面积÷底h=S÷a 平行四边形的底=平行四边形的面积÷高a=S÷h 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 梯形的上底=面积×2÷高-下底 梯形的下底=面积×2÷高-上底
梯形的高=面积×2÷（上底+下底）a=2S÷（a＋b） 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2
数学课程发展国际视野
数学课程发展国际视野 ——日本数学课程的改革和发展 东北师范大学数学系李淑文孙连举日本和我国同属东方文化系统，在数学教育方面有不少相似之处，然而近几十年来日本数学教育的改革更多地学习和借鉴了西方的改革思想和经验，并有机地融入自己传统中，形成了自己的特色和优势，受到了世界各国的重视。 1998年12月，日本文部省依据中央教育课程审议会关于各类学校各科教育课程改革的基本精神，公布了新的中小学数学学习指导要领（相当于中国的数学教学大纲），并定于小学和中学从2002年、高中从2003年分别开始实施。新的数学学习指导要领反映了面向21世纪的日本中小学数学教育的基本理念和方向，故意义深远，引人注目。为此，本章将对日本新的小、中、高数学学习指导要领的基本思想和数学课程的目标、内容及教材的特点进行概要介绍与分析，以期对我国数学教育的改革和发展有所启示和借鉴。 一、日本基础教育数学课程改革的经纬 在战后的几十年中，日本大体上每十年就要对《学习指导要领》修订一次。以《学习指导要领》的修订为基准，可把战后日本基础教育数学课程的变迁过程分为以下6个时期。 1．单元学习时期 1947年3月，日本颁布了新的《教育基本法》和《学校教育法》。同年4月实施新的学制，小学6年，中学3年，高中3年，并实行9年义务教育。同年5月公布了中、小学数学学习指导要领（试行草案），并发行了所谓“单元学习”为中心的教科书。从1948年开始，日本根据文部省学校教育局颁布的《高等学校设置
的基准》编制了高中数学教科书，教学科目为解析Ⅰ、几何学、解析Ⅱ。1951年文部省颁布了高中数学学习指导要领（试行草案），在高中又添设了《一般数学》。单元学习时期中、小学数学教科书的教学内容以生活需要为主，并要求学生能自己去解决问题，本质是以儿童为中心的自学活动，其学习活动为一个所谓解决问题的过程。与中、小学数学教科书相对照，高中教科书则为纯粹的数学体系，解析Ⅰ为代数；解析Ⅱ为函数、微积分与概率统计；几何为初等几何和解析几何；《一般数学》是利用数学解决现实生活中的问题，可见高中的数学水平是较高的。这是因为教育革新委员会第三次会议对此有所要求，大学方面也要求高中给予较高的数学教育。 2．系统学习时期 1958年日本数学教育已转入系统学习的新时期。这次改革明确提出以下方针：①使学生理解数学的概念、原理、法则，并养成应用他们的能力；②使数学建立体系，使学生理解建立此体系的想法及其意义；③使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力； ④使学生理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；⑤使学生了解对事物的数学的观察方法，和思考方法的意义，并据此养成对事物的正确处理能力和态度。系统学习的主要精神，并不是使学生对所学知识在形式上系统的理解，重要的是使学生在心理上进行系统的思考，提高逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的体系，因此，这一时期被称为系统学习时期。如1960年修订的高中数学学习指导要领中不但明确指出要使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力，同时还要使学生理解数学体系的建立和建立此体系的思想方法、意义，理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的
数学发展的现状与中小学数学教育
数学发展的现状与中小学数学教育 周青 编者按：周青教授原是华东师范大学的一位年轻数学教授，现在在国家自然科学基金会数理学部担任领导职务，本文中高屋建瓴地提出了一些值得深思的问题，数学教育需要数学家的参与，希望本文能引起读者的关注。 对数学来说，过去的半个世纪是它发展的黄金时代，取得了非常大的成就。特别在最近的三十年中，数学各个分支之间出现了一些有活力的相互交叉和相互渗透，越来越展现出一种内在的统一性；与此同时，数学在外部的应用也表现出了越来越高的自觉性，这种应用的自觉性不仅体现在已有的数学知识的运用上，也体现在一些数学的最新发展中。这两个特征很好地体现了数学作为一门科学的活力。 近年来的所有数学上的重大突破，绝大多数都反映了各主要学科中许多思想日趋统一和各个分支的相互交叉和渗透。这使得数学的整体观念又重新出现了，不同领域的数学家们又重新意识到他们是在从事着一项共同的事业。 另一方面，我们的社会越来越离不开数学。从网络计算、信息安全和生物医学技术到计算机软件，通讯和投资政策都需要数学。这种依赖性不仅表现在依赖于那些已经有的数学理论和方法，而且也依赖于数学的最新突破。一些数学的最新发展很快渗透到应用之中，通过应用又将其它领域中的观念引入数学本身，刺激数学的进一步发展。待别是数学与计算机技术的紧密结合，产生了可直接应用的数学技术，成为许多高新技术的核心。作为一个例子，在波音777设计过程中，数学模型和强有力的模拟技术代替了许多实验，加速了设计的速度。 数学发展表现出来的这种内在的统一性和在外部应用中的自觉性还将在下个世纪中继续下去。这样的发展现状对我们的数学教育提出了什么样的要求呢？首先在教育中数学应该被当作一个整体来看待，要强调数学各个分支学科之间的联系；其次要注意加强培养灵活运用数学的能力和综合应用能力，注意数学与其它学科之间的联系。而这两点是相辅相成的，数学的整体观念的建立可以帮助理解数学，加强数学综合应用能力；反之，综合应用能力的加强可以帮助我们加深对数学的整体性的认识。 数学应该被当作一个整体来对待。从历史上看，数学原来就是一个整体。在古希腊的时候，几何就是全部的数学。我们现在代数中的一些命题在那时候都是用几何语言来叙述的，而后来工程技术的需要又曾经使代数成为整个数学的主体。现在我们讲的求和公式1＋2＋…+n＝n（n+1）/2在古希腊的时候是用下面的图来表达的，而三角形的两边之和大于第三边讲的就是算术平均大于几何平均，至于几何作图与二次方程的求解的关系就更加密切了。 直到十九世纪中叶的时候，数学的分工还不是那么的明确。现在我们还时常赞叹那时候的数学家怎么懂得那么多，曾经在那么多的领域中做出过贡献。二十世纪初叶起数学被人为地划分成众多的分支学科是数学发展的一个阶段，这使得数学的研究范围大大地扩大了，发
上海市中小学数学课程标准
上海市中小学数学课程标准 （征求意见稿） 一、导言 （一）课程定位 数学是以现实世界中的数与形为研究对象，在抽象、推理、应用的往复循环中逐步建立起来的一门科学。随着社会的进步和数学自身的发展，特别是在与计算机的结合过程中，数学的研究领域、研究方式、应用范围等方面得到了空前的拓展。 在人类文明史上，数学具有特殊的重要地位，它是其他科学的基础，也是一切重大技术发展的基础。在现代社会中，数学不仅对科学技术的进步仍然发挥着基础理论和基础应用的作用，而且已成为一种普遍适用的技术。数学又是现代文化的重要组成部分，它的内容、思想、方法和语言已经广泛渗入人们的日常工作和生活中，影响着人们的思维方式和社会文化的进步。数学是人们生活、工作和学习必需的工具，数学素养是现代公民必备的素养。 在基础教育阶段，数学是一门重要的基础课程，它对学生的整体发展、长远发展以及当前学习其他课程具有奠基意义，对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力以及辩证唯物主义世界观、方法论等具有独特作用。本课程面向全体学生，着眼于促进学生全面、和谐、主动地发展，致力于使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学，同时得到基本素质的培育和提高。 （二）课程理念 1．正确处理基础与发展的关系 数学课程应根据“以学生发展为本”的要求，正确处理基础与发展的关系。主要强调： ——不仅要关注学生掌握的数学知识和技能，为以后的学习打好基础;而且要关注数学学习对促进学生基本素质提高的作用，从而为学生走向社会 和终身学习奠定基础；还要充分注意学生的个性差异，使学生的数学学 习与其在个性方向上的发展相适应。 ——要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、 建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获 得终身受用的数学基础能力和创造才能。 2．充分关注数学课程中的学习过程 课程是由教学内容、学生、教师、教学环境整合而成的系统，是师生共同探求新知识的过程。数学课程的设计不仅要重视教学的内容和要求，更要充分关注课程中的学习过程，关注学生、教师的主体性和创造性的发挥。主要强调：——将课程与学习融为一体。要精选学生必需的数学知识，遵循学生认知心理发展的规律，组织合理的知识结构；要展现知识的生成、发展和形成的过程，
高等教育国际化内涵
高等教育国际化的内涵、影响和对策 作者：转载添 加时间： 2009-11-26 访 问量：122 经济全球化步 伐的加快，知识经 济的蓬勃发展，特 别是信息高速公路 的建设，高等教育 被WTO纳人服务贸 易总协定GATS，跨 国办学和大规模留 学潮以及国际间高 等教育的合作与交 流日益扩大，这一 切使高等教育国际 化的趋势不可阻 挡。研究高等教育 国际化的内涵和它 对发展中国家的双 重影响，因势利导 地制订符合本国高 等教育水平的正确 策略具有重要的理 论和实践意义。 一、高等教育国际 化的丰富内涵 联合国教科文 组织（UNESCO）所 属的国际大学联合 会（IAU）对高等教 育国际化给予了以 下定义：“高等教 育国际化是把跨国 界和跨文化的观点 和氛围与大学的教 学、科研和社会服 务等主要功能相结 合的过程，这是一 个包罗万象的变化 过程，既有学校内
部的变化，又有学校外部的变化；既有自下而上的，又有自上而下的；还有学校自身的政策导向变化。”高等教育国际化本身有着丰富的内涵，它强调各国要提高高等教育的水平，使之能被国际社会承认和接受；它同时强调空间上的开放性，要求各国都能开放国内教育市场，既能在国外办学又能容纳外国在本国办学；它强调国际教育资源的共享性，要求各国能广泛地开展国际交流与合作；它还强调各国的高等教育要不断改革，在教育理念、内容和方法上主动调整并适应国际交往和发展，正如UNESCO于2001年9月在日内瓦召开的国际教育大会的主题所宣示的：各国要在教育国际化的浪潮中“学会共存”。 伴随着经济全球化高等教育国际化同样具有双重性，它既为发展中国家的高等教育发展带来了机遇，同时又使其面临冲击和挑战。对于高等教育国际化带来的
小学四年级数学公式大全(打印版)
小学四年级数学公式大全（请同学们妥善保管） 1L=1000mL=1000cm3 1米（m）=100厘米（cm）1分米=10厘米1厘米=10毫米 同学们：注意在日常生活中“厘米”通常叫“公分”。（1厘米≈1公分） Δ：a×a=a2 a×a×a=a3 500g=1斤1kg=2斤1000g=1kg 1吨（t）=1000kg 1米=100厘米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100毫米 1里=500米1公里=1000米1km=1000m 1元=10角1角=10分 1年=365天（平年）=366天（闰年）1小时（时）=60分钟1天=24小时 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:a+b+c=a+(b+c) 乘法的分配律：（a+b）× c=a×b+b×c 乘法的结合律：（a-b）× c=a×c-b×c 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：（a ×b）× c=a×(b×c) 1：每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2：1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3：速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4：单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6：加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7：被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8：因子×因子＝积积÷一个因子＝另一个因子 9：被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1：正方形 C：周长S：面积a：边长 周长＝边长×4 C=4×a 面积=边长×边长S=a×a 2：正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3：长方形 C：周长S：面积a：边长 周长=(长+宽)×2 C=2×(a+b) 面积=长×宽S=a×b 4：长方体 V：体积S：面积a：长b：宽h：高 (1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2×(a×b+a×h+b×h)
我的中小学数学教学点滴谈
我的中小学数学教学点滴谈 发表时间：2014-12-31T14:50:00.000Z 来源：《中小学教育》2015年1月总第195期供稿作者：黎绍彬[导读] 数学知识与数学思想方法是密切相关的，它们相互影响，相互联系，事实上，知识的发生过程，也就是数学思想方法的发生过程。 黎绍彬广西玉林市兴业县教师进修学校537800 摘要：要用辩证唯物主义观点阐明教学内容，这样有利于学生学习基础知识，又有利于学生形成唯物主义世界观。班集体能集思广益，有利于学生之间的多向交流，课堂教学中有意识地搞好合作教学取长补短。设置悬念，或提供几个相互矛盾的方案、解答，使学生产生认知上的冲突，激发学生的好奇心和求知欲。 关键词：数学教学生活对立统一宽松和谐 数学是生活中的一分子，它是在生活这个集体中生存的，离开了生活这个集体，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的数学。同样，人类也离不开数学，离开了数学人类将无法生存。有人和学生做了这样一个实验，约定星期天一天不使用数学中的数字及方向和位置，看是否能度过这一天。我也采用了同样的实验，果然实验后，我让学生交流体会，他们大部分都是实验的失败者，因为他们在生活中随时都在用数学，如有的学生说，打电话、看电视、玩游戏时要用到数字，到商场买东西付钱时也要用到数字；还有的说，放学回家要知道准确的方向和位置……。为了使学生切实体会到数学源于生活，我提倡学生写数学日记，记录生活中发现的数学问题，达到了很好的效果。 一、对学生进行辩证唯物主义观点教育 数学中到处充满着辩证法，中学数学教学大纲明确指出：“要用辩证唯物主义观点阐明教学内容，这样有利于学生学习基础知识，又有利于学生形成唯物主义世界观。”在教学中可这样渗透辩证的观点：1.任何事物都不是一成不变的，科学在不断发展，人的认识水平也在不断提高。数系的扩充，代数与几何的结合，某些定理的推广，数学中发展的观点由此得到体现。 2.运动是物质的根本属性。在数学中，线、面可以看成点、线运动的轨迹，旋转体也是平面图形运动的产物，直线是向两边无限延伸的，在教学中作这些强调，使学生在潜移默化中接受了辩证法中运动的观点。 3.在数学中，正数与负数，整数与分数，有理数与无理数，实数与虚数等，这些概念是对立的，同时又是统一的。加与减的转化，乘与除的统一，乘方与开方的互逆，在教学中强调这些规律，学生便能从中接受到矛盾的对立统一和相互转化观点的教育。 二、建立新型的师生关系，创设宽松氛围、竞争合作的班风，营造创造性思维的环境首先，要使学生积极主动地探求知识，发挥创造性，必须克服那些课堂上老师是主角，少数学生是配角，大多学生是观众、听众的旧教学模式。学生在教育教学过程中能够与教师一起参与教和学中，做学习的主人，形成一种宽松和谐的教育环境；其次，班集体能集思广益，有利于学生之间的多向交流。课堂教学中有意识地搞好合作教学，使教师、学生的角色处于随时互换的动态变化中，设计集体讨论、查漏互补、分组操作等内容，锻炼学生的合作能力;最后，阅读作为人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径。是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的重要途径。 三、利用数学中图形的美,培养学生的兴趣 生活中大量的图形有的是几何图形本身，有的是依据数学中的重要理论产生的，也有的是几何图形组合，它们具有很强的审美价值，在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美，给学生最大的感知，充分体会数学图形给生活带来的美。在教学中尽量把生活实际中美的图形联系到课堂教学中，再把图形运用到美术创作、生活空间的设计中，产生共鸣，使他们产生创造图形美的欲望，驱使他们创新，维持长久的创新兴趣。利用数学中的历史人物、典故、数学家的童年趣事、某个结论的产生等等激发学生的创新兴趣。数学家成长的事迹，数学家在科技进步中的贡献，数学中某些结论的来历，既可以了解数学的历史，丰富知识，又可以增加学生对数学的兴趣，学习其中的创新精神。 四、在知识形成过程中渗透数学思想方法 数学知识与数学思想方法是密切相关的，它们相互影响，相互联系，事实上，知识的发生过程，也就是数学思想方法的发生过程。如概念的形成过程、结论的推导过程、思路的探索过程、规律被揭示的过程等等都蕴藏着大量的数学思想方法。因此，在教学中，教师应根据数学知识的特征，适当地选配有关的数学思想方法，有计划、有目的、有步骤地进行渗透，能使学生在掌握知识的同时，也获取了数学思想方法。注意挖掘隐藏于知识中的思想方法，初中数学教材内容是按照逻辑系统和认知理论相结合的思想来安排知识的顺序，并用演泽结构的方法把知识串联起来。教材中的数学概念、公式、法则、性质和定理等知识点以明显的方式呈现出来，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在知识的教学过程中，是无“形”的，要象数学知识一样纳入教材分析之中。数学课堂通常是被认为比较枯燥、缺乏生动和激情，因此，努力创建既宽松、富有人情味又便于学生善于思考、乐于探究的教学环境显得尤为重要。让学生在课堂学习活动中形成正确的学习方式和对数学的态度，只有当学生体会到数学的乐趣学生才会主动感悟数学，数学教学才能为学生的未来发展服务，在教学过程中不断摸索新的教学方法，以适应素质教育的较高要求。参考文献 [1]《中学数学教学概论》.北京师范大学出版社。 [2]《数学教育学》.江西教育出版社。 [3]《中小学生数学能力心理学》.上海教育出版社。
营商环境的世界标准与国际化内涵
营商环境的世界银行标准与国际化内涵 作者：辽宁社会科学院副院长、研究员梁启东 营商环境是一个国家或地区有效开展国际交流与合作、参与国际竞争的重要依托，是一个国家或地区经济软实力的重要体现，是提高国际竞争力的重要内容。世界银行发布的一项报告表明：良好的营商环境会使投资率增长0.3%，GDP增长率增加0.36%。 当前，沈阳着眼于建设引领东北振兴发展的中心城市和东北亚地区重要的中心城市，深入实施国际化战略、区域一体化战略、城市空间优化战略、产业多元化战略和人的现代化战略，打造国际化营商环境。这是落实“四个全面”战略布局、“五大发展理念”和“四个着力”要求的重要措施，是推动沈阳创新改革和率先实现全面振兴的战略举措。 世界银行关于营商环境的评价标准 世界银行经过十几年的探索、整理和归纳，建立了一整套衡量各国营商环境的指标体系，目前将10个重要指标纳入评价体系，分别是“开办企业、申请建筑许可、获得电力供应、注册财产、获得信贷、投资者保护、缴纳税款、跨境贸易、合同执行和办理破产”。当然其评价领域也动态调整，近一两年又增加诸如“营商环境便利度”指标等。该体系是世界上较为完善也被广泛认可的一套衡量标准。研究世
界银行的通行标准，对于沈阳营造国际化营商环境有着积极的指导意义。 一是“开办企业”指标。反映开办企业的难度，主要测评企业从注册到正式运营所需完成的步骤，花费的时间和费用。包含“程序”（企业登记所需办理的程序总数）、“时间”（企业登记所需的总天数）、“成本”（成本占该经济体人均收入的百分比）、“实缴资本下限”（企业主在企业登记之前必须存入银行或经公证的数额）4个维度。 二是“申请建筑许可”指标。反映企业建设标准化厂房的难度，主要测评企业建设所需完成的步骤、花费的时间和费用，包括申请规定的许可证和批文，办理规定的公示和查验，以及接通水电通讯设施的整个过程。包含“程序”（新建厂房所需的程序总数）、“时间”（新建厂房所需的总天数）、“成本”（占该经济体人均收入的百分比）3个维度。 三是“获得电力供应”指标。反映企业获得电力供应的难易程度，主要测评一个企业获得永久性电力连接的所有手续，包括向电力企业提出申请并签订合同、从其他机构办理一切必要的检查和审批手续，以及外部的和最终的连接作业。包含“程序”（获得电力所需的程序总数）、“时间”（获得电力所需的总天数）、“成本”（占该经济体人均收入的百分比）3个维度。
小学数学公式大全(整理版)
小学数学公式大全 几何形体周长、面积，体积的计算公式 周长 长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 面积 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a×a（a= a） 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高 S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 圆的面积=圆周率×半径×半径 S=π×r2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。 公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。 公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。 公式：V=1/3Sh 三角形的面积＝底×高÷2 公式S= a×h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度 体积
单位换算 1公里＝1千米1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米（4）1吨＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤= 2市斤 （5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米 （6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米 （7）1元=10角1角=10分1元=100分 （8）1世纪=100年1年=12月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天 。 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月 1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600 秒数量关系计算 每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍 数速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 算术 加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
中小学数学思想方法(打印版)
王永春小学思想方法收集整理 目录 小学数学思想方法的梳理（一） (3) 一、符号化思想 (3) 1. 符号化思想的概念。 (3) 2. 如何理解符号化思想。 (3) 3. 符号化思想的具体应用。 (4) 4．符号化思想的教学。 (7) 小学数学思想方法的梳理（二） (7) 二、化归思想 (7) 1. 化归思想的概念。 (7) 2. 化归所遵循的原则。 (8) 4．解决问题中的化归策略。 (10) （1）化抽象问题为直观问题。 (10) （2）化繁为简的策略。 (10) （3）化实际问题为特殊的数学问题。 (11) （4）化未知问题为已知问题。 (12) （5）化一般问题为特殊问题。 (13) 小学数学思想方法的梳理（三） (14) 三、模型思想 (14) 1. 模型思想的概念。 (14) 2. 模型思想的重要意义。 (14) 3. 模型思想的具体应用。 (15) 4．模型思想的教学。 (17) 小学数学思想方法的梳理（四） (19) 四、推理思想 (19) 1. 推理思想的概念。 (19) 2. 推理思想的重要意义。 (21) 3. 推理思想的具体应用。 (21) 4．推理思想的教学。 (23) 小学数学思想方法的梳理（五） (26) 五、方程和函数思想 (26) 1．方程和函数思想的概念。 (26) 2. 方程和函数的关系。 (27) 3. 方程和函数思想的重要意义。 (28) 4. 方程和函数思想的具体应用。 (28) 4．方程和函数思想的教学。 (29) 小学数学思想方法的梳理（六） (31) 六、几何变换思想 (31) 1. 初等几何变换的概念。 (31) 2. 几何变换思想的重要意义。 (33) 3. 几何变换思想的具体应用。 (33)
中小学数学教学衔接浅谈
中小学数学教学衔接浅谈 一、互熟习悉教材，使数学教学具有延续性和一致性 要搞好中小学数学教学的衔接，首先要教材衔接和教员的教学衔接，相互换位思索：中学数学教学需求什么样的基础？小学数学已学过那些知识。 作为小学数学教员，应该了解初中的数学教材，知道初中数学学习需求那些基础知识，这样，才干有侧重点，为小先生进入初中学习打下必要的基础。 譬如假分数、带分数效果。在小学，比拟强调计算结果要化成带分数，教员在这方面也下了很多功夫，先生渐渐构成一种定势。但是，这恰恰给初中数学学习带来很大的费事，由于在列代数式、多项式运算、因式分解、解方程等等，省略了乘号，系数必需为假分数，而先生经常把写成。所以初中数学教员得再化鼎力气纠正先生原来构成的定势。其实，算术运算的结果能否要化成假分数还是带分数，这基本不影响到什么，假设小学数学教员了解到这些，事前做到有的放矢，通知先生在运算时结果可以是假分数，也可以是带分数，不要一口〝咬死〞，就既省力又为初中学习打下伏笔。又如关于〝π〞，在小学阶段，由于对字母替代数还不很了解，就以3.14来替代〝π〞，实践上，3.14只是〝π〞的近似数，但进入初一时，先生总以为〝π〞就是3.14，教员再三强调也难以纠正，所以在小学高段时，应及时说明，计算时允许
他们留着〝π〞，不一定要化成3.14。 作为初中数学教员，异样需求了解小学教材。如今新课标的小学教材中，许多内容如列代数式、解方程、统计等曾经占有较大篇幅，假定能在此基础上搞好新旧知识的架桥铺路任务，掌握新旧知识的衔接点，才干做到有的放矢，使先生的数学知识和才干都街接自若，就有利于提高数学教学的质量。譬如小学里的运用题大局部是用算术法去求解，是把未知量放在特殊的位置，用量求出未知量。虽然对一些比拟复杂的运用题，末尾用列一元一次方程来解答，但小先生习气算术方法解题，因此难以接受列方程，掌握列方程解题的先生不多。进入初中后，用列方程来解运用题，把未知量用字母来表示，且和量放在对等的位置上，设法找出等量关系，列出方程，求出未知量。刚升入初中的先生仍习气于用算术法来求解，不注重列方程解运用题的学习，这时教员要无看法地选择一些简便的运用题作为范例，用两种方法对比解说，在小学的基础上渐渐引导，由浅入深。在先生的作业中有些运用题也可以要求用两种方法去解，让其自己去比拟、去体会，从而激起先生的学习积极性，学会知识的灵敏运用，使先生逐渐体会到列方程解运用题的优越性，进而明白列方程解题的重要性及必要性，使先生的思想到达从算术方法至代数方法的飞跃。 二、生活效果数学化，数学效果生活化
中小学数学常用公式大全
中小学数学常用公式大全 体(容)积单位换算 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 长度单位换算1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成 本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 图形计算公式 1、小正方形：C周长 S面积 a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长 2、正方体：V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 3、长方形：C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) S=ab 4、长方体：V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形：s面积 a底 h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7、梯形：s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8、圆形：S面C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v体积 h:高 s：底面积 r：底面半径 c：底面周长 (1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体：v体积 h高 s底面积 r底面半径体积=底面积×高÷3 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数