(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案

一、填空题(每题 5 分，共 20 分)

1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.

2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.

3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：

(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；

(3)冰淇淋的售价p .

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .

4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A

长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向

均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .

二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)

1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一

多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有

1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数

只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .

三、计算题(每题 20 分，共 40 分)

1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .

(2) 原材料的利用情况 .

2. 两个水厂A

1 , A

2

将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的

需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？

四、 综合应用题(本题 20 分)

某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .

注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .

小区 单价/元

水厂

A

1

A

供应量 / t

170

B

3

4

B

1

1 0

7 1

B

2

6

数学建模 06 春试题模拟试题参考解答

一、填空题(每题 5 分，共 20 分)

1. 奇数顶点个数是 0 或 2；

2. 约 40.1876 ；

3. N = Kn(T

10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.

二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)

1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：

盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.

注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

2. 解： 根据题意可知：下一年病人数 =当年患者数的一半+新患者. 于是令 X 为从 2000 年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：

X = 0.5X +1000

n+1 n

得递推公式 X n =

1

2n X 0 + 2000(1 2

1

n ). 由 X 0 = 1200 , 可以算出 2005 年时的患者数 X 5 = 1975 人. 由递推公式容易看出， X 是单调递增的正值数列， 且X

2000 , 故结论正确 .

三、计算题(每题 20 分，共 40 分)

1. 解：设 x 1 , x 2 表示甲、乙两种产品的产量，则有

原材料限制条件： x 1 + 3x 2

22和x 1 + x 2 20,

又由产品乙不超过 6 件以及两种产品比例条件有另外两个条件：

x 2 6, 以及 2x 1 5x 2 0,

n n

n

目标函数满足max z = 3x1 + 9x2 , 便可以得到线性规划模型：

max z = 3x

1+ 9x

2

|

1

|2x -

( x 1 +

| x +

s.t.〈

x 11

,

3x

2

x

2

x 2

5

x

2

x

2

共 共 共 共

>

2

2, 2

0, 6,

0, 0.

(1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组(这是因为第一个约束条件所在直 线的斜率与目标函数直线的斜率相等) ，其中的两个方案为该直线段上的两个端点：

X 1 = (4,6)T , X 2 = (10,4), 目标值均为 z = 66 (百元) .

(2)按照上面的第一个解，原材料 B 将有 10 个单位的剩余量，而按照第二个解，原 材料 B 将有 6 个单位的剩余量 .不论是哪一个解，原材料 A 都全部充分利用 .

2. 解： 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题 .为此，虚 设一个水厂 A ， 其供水量为30 吨，相应的运价均定为 0，便得到一个产销平衡的运输问题

如下表所示：

小区 单价/元 水厂

A

1

A

2

A

供应量/ t

170

200

B

2

6

5

B

3

4

6

B

1

10

7

再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：

A 1——20) B

2

, A

1

——150) B

3

, A

2

——130) B

1

, A

2

——70) B

2

,

小区B 将有 30 吨水的缺口 .

总费用为6根20+4根150+7根130+5根70=1980(元).

四、综合应用题(本题 20 分)

解： (一)问题分析

1. 一段时间内需要下泄的水量主要由两部分组成：已有的超过安全线部分的水量和上

1

游河水不断流进的部分水量；

2. 每个泄洪闸的泄洪速度是否相同的应该予以考虑，而每小时流入水库的水量也在考虑之列.

(二)模型假设

1. 设泄洪开始时，超过安全线的水量为定值x(m3 )；

2. 上游流入水库的流量为定值z(m3 ) / h；

3. 每个泄洪闸的泄洪速度是相同的，均为y(m3 ) .

(三)模型建立

依据假设以及题设条件，应有以下两个式子成立

= 30, (1)

= 10, (2)

此即所求数学模型 .

(四)模型求解

这是一个含有三个量的二元方程组，需要消去一个参数，为此，由( 1) 、(2)两式得

x = 30z, (3)

y = 2z, (4)

若同时打开k 个泄洪闸，则所需要的时间为

t=

x + tz

(5)

,

ky

将(3)、(4)两式代入(5)式，化简后可解出

30

t=,

2k一1

于是按照要求应有上式小于 3，便可解得k > 5.5, 故应该至少打开 6 个闸门.

(五)模型分析

1. 本问题将问题的解决归结为流进与流出水量的比较后，通过等量关系获得模型 .

尽管超水位的具体水量值并不清楚，但不影响问题的解决 .

2. 将上游流入水库的流量设为定值，自然是为了模型建立简化 .实际问题中要根据具体情况具体处理，尤其是问题涉及人们的生命安全时，宁可把问题考虑的更复杂些 .

3. 可以进一步考虑建立微分方程模型 .

数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是

一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也 与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的 夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ 唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故 ()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g = -<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；

(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案 一、填空题(每题 5 分，共 20 分) 1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是. 2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元. 3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： (1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C； (3)冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A 长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向 均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km . 二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分) 1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。 2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有 1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数 只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 . 三、计算题(每题 20 分，共 40 分) 1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

数学建模样题及答案

数学建模作业一 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数： （1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大 的。 （2） Q 值方法： m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…， m .当总席位增加1席时,计算 2(1)i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。 （3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除， 其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线， 表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的 席位。（试解释其道理。） （4） 试提出其他的方法。

数学建模作业二 假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为)(t x,t到t+ t时间内人口的增长与 x-)(t x成正比例(其中m x为最大容量).试建立模型并求解.作出解 m 的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 解：=r(x m-x),r为比例系数，x(0)=x0 解为：x(t)= x m-( x m- x0),如下图粗线，当t→∞时，它与Logistic模型相似。

数学建模作业三 一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。 若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？ 要求写出分析过程。 解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量 ① x(t)=2(100+t)-1.5(100+t)-2

数学建模题目及答案-数学建模100题

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 ] 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、 D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转） ，于是问题归结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在 某一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。 作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 {

数学建模与系统仿真章节测试题库及答案

数学建模与系统仿真章节测试题库及答案 数学建模与系统仿真章节测试题库及答案 第一章单元测试 1、数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,依据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构. A:错 B:对 答案:【对】 2、数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解,是对实际问题的完全解答和真实反映,结果真实牢靠。 A:对 B:错 答案:【错】 3、数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述. 数学建模就是建立数学模型的全过程(包括表述、求解、解释、检验).

A:对 B:错 答案:【对】 4、数学模型(Mathematical Model):重过程;数学建模(Mathematical Modeling):重结果。 A:错 B:对 答案:【错】 5、人口增长的Logistic模型,人口增长过程是先慢后快。 A:错 B:对 答案:【错】 6、MATLAB的主要功能有 A:符号计算 B:绘图功能

C:与其它程序语言交互的接口 D:数值计算 答案:【 符号计算; 绘图功能; 与其它程序语言交互的接口; 数值计算】 7、Mathematica的基本功能有 A:语言功能(Programing Language) B:符号运算(Algebric Computation) C:数值运算(Numeric Computation) D:图像处理(Graphics ) 答案:【语言功能(Programing Language); 符号运算(Algebric Computation);

数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f

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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=∂∂=∂∂p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=

数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案 一、填空题(每题5分,共20分） 1。 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是。 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客,每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒,则加入较快队1的条件是 。 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1。 要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (。 (提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的。） 三、计算题（每题25分，满分50分) 1。 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个,否则说明理由。 （2） 原材料的利用情况.

数学建模样题及答案

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数学建模作业一 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。 Q值方法： m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算 ，i=1，2，…，m 把这一席分给Q值大的一方。 d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 … A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333 166.5 111 83.25 … C 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。（试解释其道理。） （4）试提出其他的方法。 数学建模作业二 假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为,t到t+t时间内人口的增长与-成正比例(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 解：dxdt=r(xm-x),r为比例系数，x(0)=x0 解为：x(t)= xm-( xm- x0)ert,如下图粗线，当t→∞时，它与Logistic模型相似。 数学建模作业三

(完整版)数学建模试卷(附答案)

2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ϕ 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模 参考答案 2．约40．1876 3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法： 机理分析法，统计分析法，系统分析法 2、优化模型的一般形式 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ， 在约束条件 下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数 为可行域 三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+- =- . ,...,,,)(m i h i 210==x ) (x f u =. ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x ) (x f Ω ∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or . ,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x . ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x

数学建模题目及答案数学建模100题

09级数模试题 1． 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地,放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（1５分) 解:对于此题，如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2)长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (４）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、Ｂ、Ｃ、D 处，Ａ、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ａb ，则ａb 也与A 、B,C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 a ｂ与x 轴的夹角记为θ. 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、Ｂ离地距离之和， ()g θ为 C 、 D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设 (1), ()f θ,()g θ均为θ的连续函数.又由假设(3）,三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0 必成立 （∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转）,于 是问题归结为： 已知 ()f θ，()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ＝π时，A Ｂ与C Ｄ互换位置,故()0f π>，()0g π=.作()()()h f g θθθ=-,显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 ２．学校共１０00名学生，235人住在A 宿舍,3３3人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为ｘ人,B 宿舍的委员数为y 人，Ｃ宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进１,其余取整数部分。 则 x+y+z=10; ｘ/１0=2３５/１000；

数学建模题目及答案数学建模100题

09 级数模试题 1． 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地 ,放不稳，然后稍微挪动几 次，就可以使四只脚同时着地 ,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 (15分) 解:对于此题，如果不用任何假设很难证明 ,结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言 ,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A 、 B 、C 、D 处， A 、B,C 、 D 的初始位置在与 x 轴平行， 再假设有一条在 x 轴上的线a b ，则a b 也与 A 、B,C 、D 平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为9 . 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定 的。为消除这一不确定性，令 f(9) 为 A 、B 离地距离之和， g(9) 为 C 、D 离地距离之和， 它们的值由9 唯一确定。 由假设 (1), f(9) , g(9) 均为9 的连续函数.又由假设(3) ,三条腿总能同时着地， 故 f(9) g(9)=0 必成立 ( A 9 )。不妨设 f(0) = 0, g(0) > 0g (若 g(0)也为 0，则初始时刻已四条腿着地 ,不必再旋转) ,于 是问题归结为： 已知 f(9) ，g(9)均为9 的连续函数， f(0) = 0, g(0) > 0且对任意9 有 f(90 )g(90 ) = 0 ，求证存 在某一90 ，使 f(90 )g(90 ) = 0。 证明：当θ＝π时， AB 与 CD 互换位置 ,故 f(u) > 0，g(u) = 0.作 h(9) = f(9) g(9) ,显然， h(9) 也是9 的连续函数， h(0) = f(0) g(0) < 0 而 h(u) = f(u) g(u) > 0 ，由连续函数的取零值定 理，存在90 ， 0 < 90 < u ，使得h(90 ) = 0 ，即 f(90 ) = g(90 ) 。又由于 f(90 )g(90 ) = 0 ，故必有 f(90 ) = g(90 ) = 0 ，证毕。 2．学校共1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍,333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C 宿舍。学生 们要组织一 个 10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。 (15 分) 解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。 设：A 宿舍的委员数为x 人,B 宿舍的委员数为 y 人， C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1 ,其余取整数部分。 则 x+y+z=10; x / 1 0=235/ 1 000；

(完整版)数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 2. 设银行的年利率为0.2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元. 3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C 10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有 长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走km . 二、分析判断题（每题10分，共20分） 1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。 2. 某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性. 三、计算题（每题20分，共40分） 1. 某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）；乙的需要量依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况. 2. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？

数学建模题目及详细答案

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09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1） ，()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。 作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10； x/10=235/1000；

数学建模题目及答案

数学建模题目及答案 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）解对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处， A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为。θ容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令为A、B离地距离之和，f θ为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设 g θθ（1）， , 均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故 0必成f θ g θθ f θ g θ立（）。不妨设 , g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），∀θ 0 0 f = 0 0 g > 0 g 于是问题归结为已知 , 均为的连续函数， , 且对任意有，求证存 f θ g θθ 0 0 f = 0 0 g >θ 0 0 0 f g θθ=在某一，使。 0 θ 0 0 0 f g θθ=证明当θπ时，AB与CD互换位置，故，。作，显然， 0 f π> 0 g π= h f g θθθ= -也是的连续函数，而，由连续函数的取 h θθ 0 0 0 0 h f g =-< 0 h f g πππ=->零值定理，存在，，使得，即。又由于， 0 θ 0 0 θπ<< 0 0 h θ= 0 0 f g θθ= 0 0 0 f g θθ=故必有，证毕。 0 0 0 f g θθ==2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分）解按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设A宿舍的委员数为x人，B宿舍的