数学建模题目及详细答案

数学建模题目及详细答案

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09 级数模试题

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地， 次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ：

(1) 地面为连续曲面

(2) 长方形桌的四条腿长度相同

(3) 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的

(4) 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时

接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A 、 B 、C 、D 处， A 、 B,C 、 D 的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在 x 轴上的线 ab,则 ab 也 与

A 、

B ，

C 、

D 平行。当方桌绕中心 0旋转时，对角线 ab 与 x 轴的 夹角

记为 。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 f ( ) 为 A 、B 离地距离之和，

g( )为 C 、D 离地距离之和， 它们的值由 唯一确定。由假设(1)， f( ), g( ) 均为 的连续函数。又由假设(3)，三条腿总能同时着地，

不妨设 f (0) 0, g(0)

0g (若 g(0) 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转)

，于是问题

归

结为：

已知 f( ), g( ) 均为

的连续函数，

f (0) 0, g(0)

0 且对任意 有 f ( 0)g(

0) 0 ，求证存

在某一 0，使 f ( 0)g( 0) 0 。

证明：当θ =π时，AB 与 CD 互换位置，故 f( ) 0 ，g( ) 0。作 h( )

f( ) g(

) ，显然， h( )

也是 的连续函数， h(0)

f (0) g(0) 0 而 h( ) f ( ) g( )

0 ，由连续函数的取零值定

理，存在 0 ，0

，使得 h( 0) 0

，即 f( 0)

g( 0) 。又由于 f ( 0)g( 0) 0 ，故必有

f( 0) g( 0) 0 ，证毕。

2.

学校共 1000 名学生， 235人住在 A 宿舍，

333人住在 B 宿舍， 432人住在 C 宿舍。学生 们要组织一个 10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的

委员数。 ( 15 分) 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设： A 宿舍的委员数为 x 人， B 宿舍的委员数为 y

人， C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进 1，其余取整数部分。 则

x+y+z=10 ；

放不稳， 然后稍微挪动几

故 f ( ) g( ) =0必成立(

15 分)

x/10=235/1000 ；

y/10=333/1000 ；

z/10=432/1000 ；

0 x 10

0 y 10，x,y,z 为正整数；

0 z 10

解得：x=3

y=3

z=4

3. 一饲养场每天投入 5 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加 2 公斤目前生猪出售的市场价格为每公斤8 元，但是预测每天会降低0.1 元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15 分）

解：设在第t 天出售这样的生猪（初始重80 公斤的猪）可以获得的利润为z 元。每头猪投入：5t 元

产出：（8-0.1t ）（80+2t ）元

利润：Z = 5t + （8-0.1t ）（80+2t ）=-0.2 t^2 + 13t +640

=-0.2 （t^2-65t+4225/4 ）+3405/4

当t=32 或t=33 时，Zmax=851.25（元）因此，应该在第32 天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。

4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品， 1 桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成 3 公斤A1，或者在设备乙上用8 小时加工成 4 公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1 获利24 元，每公斤A2获利16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33 元可买到 1 桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? （5）A1 的获利增加到30 元/ 公斤，应否改变生产计划？（15 分）解：设：每天生产将x 桶牛奶加工成A1，y 桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z 元加工每桶牛奶的信息:

x+y<=50

12 x8y480

03x100

y0

Z=24*3x + 16*4y=72x+64y

解得，当x=20 ，y=30时，Zmax=3360 元则此时，生产生产计划为20 桶牛奶生产A1，30 桶牛奶生产A2。 ( 2 )设：纯利润为W元。

W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710( 元)>0 则，牛奶33元/ 桶可以买。

(3) 若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：

12x 8 y480

03x100

y0

W=39x+31y

解得，当x=0，y=60 时，Wmax=1860元则最多购买60 桶牛奶。

(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为

n 元。

n=Wmax/480=3.875 (元)

(5) 若A1的获利为30 元，则其优化条件不变。

Z1=90x+64y

解得，当x=0，y=60 时，Z1max=3840（元）因此，不必改变生产计划。

5. 在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有98℃，将它放在18℃的水池里， 5 分钟后，鸡蛋的温度为38℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到20℃，还需多长时间?（15 分）

解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。

设: 鸡蛋的温度为T，温度变化率就是dT/dt 其中t 为时间，水的温度为T1，则鸡蛋与水温差为T-T1 由题意有：

T- T1=kdT/dt （其中k 为比例常数）（1）

方程（1）化为：dt=kdT/ （T- T1 ）（2）

对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：

t=k*ln （T- T1 ）+C

则k*ln （98-18 ）+ C=0

5=k*ln （38-18 ）+c

t1=k*ln(20-18)+c-[k*ln(38-18)+c]=8.3 ( min)

所以，还需8.3 ( min )。

6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，

退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 (15 分)

解：设：

报纸具有时效性每份报纸进价 b 元，卖出价 a 元，卖不完退回份报纸 c 元。设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n 的意义。n 是每天购进报纸的数量，确定n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n 的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、 c 及r 来确定每日进购数n。基本假设

1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。

2、假设报纸每日的需求量是r ，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求

量r 的分布函数, 只知道每份报纸的进价b、售价 a 及退回价 c 。

3、假设每日的定购量是n。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。建立模型

应该根据需求量r 确定需求量n，而需求量r 是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n 值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r 与n 的量化关系，从实际出发最终确定n 值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。赚钱又可分为两种情况:

① r>n ，则最终收益为(a-b)n(1)

② r0

整理得：r/n>(b-c)/(a-c)(2)

2、由(2) 式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=(b-c)/(a-c)(3)

3、赔钱。

r/n<(b-c)/(a-c)(4)模型的求解

首先由(1) 式可以看出n 与最终的收益呈正相关。收益越多，n 的取值越大。但同时订购量n 又由需求量r 约束，不可能无限的增大。

所以求n 问题就转化成研究r 与n 的之间的约束关系。

然后分析(3) 、(4) 两式。因为(3) 、(4) 分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n 值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3) 、(4) 两式确立出的n 值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。

最后重点分析(2) 式。

显然式中r 表需求量，n 表订购量，(b-c) 表示退回一份儿报纸赔的钱。因为(a-c) 无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。由a>b>c, 可得a-c>a-b ，而(a-b) 恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把(2) 式中的(a-c) 换成(a-b) ，得到

r/n<(b-c)/(a-b) (5)

不等式依然成立。

由(5) 式再结合(1) 式可知收益与n 正相关，所以要想使订购数n 的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c) 与赚钱(a-b) 的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应

越多。

7. 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。(10 分)

简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。

具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程(见数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模的几个过程

1 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

2 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

3 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具)

4 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。

5 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

6 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

小学数学建模试题及答案

小学数学建模试题及答案 一、问题描述 某小学举行了一场数学建模比赛，共有100个参赛小组。每个小组有3名成员，他们需要在规定的时间内解决一系列数学问题。本文将给出其中的两道试题，并提供详细的解答。 二、试题一 题目：某超市打折促销，其中甲品牌的商品原价为10元/件，乙品牌的商品原价为15元/件。超市制定了以下几个商品组合的促销折扣方式: - 甲品牌购买3件，总价格打8折 - 乙品牌购买2件，总价格打9折 - 同时购买甲品牌和乙品牌的商品，总价格打7.5折 现在小明带着100元去购买这两个品牌的商品，请问他能够购买到几件商品？ 解答： 设小明购买的甲品牌商品件数为x，乙品牌商品件数为y。根据题目所给的折扣方式，可以列出以下方程组： 1. 10x + 15y = 100 （总价格不超过100元） 2. 0.8 * 10x + 15y >= 100 （甲品牌打折）

3. 10x + 0.9 * 15y >= 100 （乙品牌打折） 4. 0.75 * (10x + 15y) >= 100 （甲品牌和乙品牌同时打折） 通过解这个方程组，可以求得x和y的值。计算结果为x = 4，y = 4。因此，小明能够购买到4件甲品牌商品和4件乙品牌商品。 三、试题二 题目：小明和小红在校外进行了一次跑步比赛。比赛开始后，小红 以每分钟200米的速度匀速前进，小明则分段加速前进。具体规则如下： - 第1分钟小明跑出50米 - 从第2分钟开始，小明每分钟的速度都比前一分钟提高10米/分钟问：在多少分钟之后，小明能够超过小红？ 解答： 设小明在第n分钟时超过小红，则可以列出以下方程： 50 + 10 + 20 + ... + 10(n-1) > 200n 通过对1到n的整数求和，可以化简为： 50 + 10 * (1 + 2 + ... + (n-1)) > 200n 50 + 10 * ((n-1) * n / 2) > 200n 25n^2 - 225n + 100 > 0

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也 与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的 夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ 唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故 ()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g = -<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；

数学建模习题集及标准答案

第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是

一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1

数学建模作业及答案

数学建模作业 姓名：叶勃 学号： 班级：024121

一：层次分析法 1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵 1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11/2433 217551/4 1/711/21/31/31/52111/31/5 3 1 1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 的特征根和特征向量 （1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为： #include #include using namespace std; #define n 3 //三阶矩阵 #define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){ cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0; while(1){ max=X[0]; for(i=0;i

X[i]=0; for(j=0;j

数学建模题目及答案

数学建模题目及答案 【篇一：2013全国大学生数学建模比赛b题答案】lass=txt>承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、 讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考 文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员 (打印并 签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013年 9 月 13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 碎纸片的拼接复原 摘要 本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准 确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类 条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复 原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解 决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评 价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。 面对题目中给出的bmp格式的黑白文字图片，我们使用matlab软 件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中 该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也 与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的 夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ 唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故 ()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g = -<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。

数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f

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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=∂∂=∂∂p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=

数学建模习题及答案

数学建模习题及答案 数学建模是一种将数学方法应用于实际问题求解的技能。通过数学建模，我们可以将现实世界中的问题转化为数学问题，并运用数学工具和计算机技术进行求解。在本文中，我们将讨论几个常见的数学建模习题及对应的答案。 1、人口增长模型 人口增长是现实生活中一个普遍的问题。该问题可以通过指数增长模型进行描述。假设初始人口数量为P0，年增长率为r，则t年后的人口数量可以表示为P0ert。例如，如果初始人口为1000人，年增长率为0.05，则10年后的人口数量为1000e0.0510约等于1628人。 2、投资回报模型 投资回报是金融领域中一个关键问题。该问题可以通过几何布朗运动模型进行描述。假设初始投资为S0，每日回报率为μ，标准差为σ，则t天后的投资回报可以表示为S0e^(μt + σWt)，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始投资为100元，每日回报率为0.01，标准差为0.05，则10天后的投资回报可以表示为100e^(0.01 × 10 + 0.05 × sqrt(10) × N(0,1))，其中N(0,1)表示标准正态分布的随机变量。 3、随机游走模型

随机游走是物理学中一个著名的问题。该问题可以通过随机过程进行描述。假设每次向上走或向下走的概率为p和q，则t步之后的位置可以表示为Xt = (Wt+1-Wt) ∑_{i=0}^{t-1} (-1)^i，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始位置为0，每次向上走和向下走的概率都为0.5，则5步之后的位置可以表示为X5 = (W6-W0) ∑_{i=0}^{4} (-1)^i。 4、传染病模型 传染病模型是公共卫生领域中一个重要的问题。该问题可以通过SIR 模型进行描述。假设总人数为N，其中易感者、感染者和康复者的人数分别为S、I和R，感染者的传染率为β，康复率为γ，则t时刻 的易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(t)、I(t)和R(t)。 例如，如果初始时刻易感者、感染者和康复者的人数分别为999、1 和0，传染率为0.2，康复率为0.1，则经过25天之后易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(25) ≈ 976.64、I(25) ≈ 22.36和R(25) ≈ 478.69。 这些数学建模习题是实际生活中经常遇到的问题。通过求解这些问题，我们可以加深对数学建模的理解和应用。这些问题的求解方法也可以帮助我们更好地解决类似的问题。 数学建模课后习题 数学建模课后习题：探索斐波那契数列的奥秘

数学建模样题及答案

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数学建模作业一 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。 Q值方法： m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算 ，i=1，2，…，m 把这一席分给Q值大的一方。 d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 … A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333 166.5 111 83.25 … C 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。（试解释其道理。） （4）试提出其他的方法。 数学建模作业二 假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为,t到t+t时间内人口的增长与-成正比例(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 解：dxdt=r(xm-x),r为比例系数，x(0)=x0 解为：x(t)= xm-( xm- x0)ert,如下图粗线，当t→∞时，它与Logistic模型相似。 数学建模作业三

数学建模小题目及答案

1.求下列积分的数值解： ⎰ +∞ +-⋅2 3 2 2 3x x x dx function y = myfun(x) y = 1./(x.*(x.^2 - 3*x + 2 ).^(1/3)); warning off all Q = quad(@myfun,2,100000) Q = quad(@myfun,2,10000000) Q = quad(@myfun,2,1000000000000000) warning on 当上限为100000,10000000,1000000000时， 定积分的值为x=1.4389,1.4396,1.4396。 因此，可以将1.4396作为此定积分的值。 2.已知 )s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ⎰=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 syms t,syms h; f=exp(t+h)*cos(t+h)+(t+h)^2*sin(t+h); int(f,t,0,10) ans = 1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*sin(h)*h ezplot('1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*co s(h)-2*sin(h)*h',[-10,10]) 3.画出16)5(2 2 =-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 主程序： [y,z]=cylinder(1:0.2:9,100); mesh(sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z); hold on; mesh(-sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z);

(完整版)数学建模试卷(附答案)

2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ϕ 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模 参考答案 2．约40．1876 3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法： 机理分析法，统计分析法，系统分析法 2、优化模型的一般形式 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ， 在约束条件 下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数 为可行域 三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+- =- . ,...,,,)(m i h i 210==x ) (x f u =. ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x ) (x f Ω ∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or . ,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x . ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x

数学建模考试试题及答案

数学建模及应用试题汇总 1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器， 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山 崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 2. 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1， 另一端温 度恒为 T2， (T1、T2 为常数， T1> T2)。金属杆横截面积为 A ，截面的边界长度为 B ，它 完全暴露在空气中，空气温度为 T3， (T3< ， T3 为常数)， 导热系数为α，试求金属杆 上的温度分布 T(x)， (设金属杆的导热 2为λ) 4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分,(每题必需决出胜负 )。规 则还规定，当其中一方的得分达 到 4 分时，竞赛结束。现希望知道： (1)甲队获胜的概率有多大？ (2)竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？ (3)甲获得 1 、2、3 分的平均次数是多少？ 5. 由于指派问题的特殊性， 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算 法。当系数矩阵为下式，求解指派问题。 「16 15 19 22] C = L17 19 22 16 」 6. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。假定三个女儿为 A 、B 、C ， 三位求 婚者为 X 、Y 、Z 。每位求婚者对 A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定： A B C x 「 3 5 26] 问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼(从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。 7. 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。但根据天气预 报， 15 天后天气肯定变坏。 有 40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期， 在 50%的可能 会遇到小风暴而使工期推迟 15 天， 另有 10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟 20 天。 对于可能出现的情况，考虑两种方案： 提前紧急加班，在 15 天内完成工程，实施此方案需增加开支 18000 元。 先按正常速度施工， 15 天后根据实际出现的天气状况再作决策。 如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。 如遇到小风暴，有两个备选方案： (i)维持正常速度施工，支付工程延期损失费 20000 元。 (ii) 采取应急措施。 实施此应急措施有三种可能结果： 有 50%可能减少误工期 1 天 ， 支付应急费用和延期损失费共 24000 元； 有 30%可能减少误工期 2 天，支付应急费用和 延期损失费共 18000 元； 有 20%可能减少误工期 3 天，支付应急费用和延期损失费共 12000 元。 如遇大风暴， 也有两个方案可供选择： (i)维持正常速度施工， 支付工程延期损失费 50000 y |27 10 28 | z |L 1 4 7 」|

数学建模实验题目解答

数学建模实验题目解答 题目一:慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w 跑向慢跑者.狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,并分析狗是攻击到慢跑者. 一,建立模型. 设时刻t 慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)), 又X=10+20cost, Y=20+15sint. 由于狗的运动方向始终指向慢跑者, 故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线， 即dy/dx=(Y-y)/(X-x), y ’=(dy/dt)/(dx/dt) 又运动时间相同: ,解得可得参数方程为: 二,求解模型 w=20时,建立m-文件xy1.m 如下: function dy=xy1 (t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = - + - + + - + = - + - + + - + = 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) sin 15 20 ( ) sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( ) cos 20 10 ( ) sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( 2 2 2 2 y x y t y t x t w dt dy x t y t x t w dt dx

dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); 取t0=0，tf=6.0，建立主程序fangcheng1.m如下: t0=0;tf=6.0; [t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,'-') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') 轨迹线如下图: 发现狗没有攻击到慢跑者,