2002中国数学奥林匹克试题及解答

2002年中国数学奥林匹克试题及解答

（考试时间：2002年1月27号、28号）

试题：

一、

△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，b

（1）求在线段AB ，AC 内分别存在点EF （不是顶点）满足BE=CF 和∠BDE=∠CDF 的充分必要条件（用角A 、B 、C 表示）；

（2）在点E 和F 存在的情况下，用a ，b ，c 表示BE 的长。

二、设多项式序列)}x (P {n 满足：)1x (x 2)x (P 1x )x (P 2221-=-=，，且

222n 1n 1n )1x ())x (P ()x (P )x (P --=-+，n=2，3，…。设n S 为)x (P n 各项系数的绝对值之和，

对于任意正整数n ，求非负整数n k 使得n k n S 2-为奇数。

三、18支足球队进行单循环赛，即每轮将18支球队分成9组，每组的两队赛一场，下一轮重新分组进行比赛，共赛17轮，使得每队都与另外17支球队各赛一场，按任意可行的程序比赛了n 轮之后，总存在4支球队，它们之间总共只赛了1场，求n 的最大可能值。

四、对平面上任意四个不同点4321P P P P ，，，，求

j

i j i j i j

i

P P P

P 4

141min ≤≤≤≤≤≤∑的最小值。

五、平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点，证明平面上的全体有理点可分为三个两两不相交的集合，满足条件：

（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含这三个集合中每个集合的点； （2）在任意一条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合。

六、给定)1 2

1

(c ，∈，

求最小常数M ，使得对任意整数n ≥2及实数n 21a a a 0≤?≤≤<，只要满足

∑∑===n

1

k k

n

1

k k

a

c

ka

n

1

，总有

∑∑==?

≤n

1

k m

1

k k

k

a

M a

，其中m 是不超过cn 的最大整数。

解答：

一、（1）由条件BE=CF ，∠BDE=∠CDF …①，得CDF BDE S S ??=，∴BD ·DE=CD ·DF …②，

C D F c o s DF CD 2DF CD CF BE BDE cos DE BD 2DE BD 222222∠

?-+===∠?-+…③

由①、②、③，得2222DF CD DE BD +=+…④ 由②、④得BD+DE=CD+DF …⑤

以及22)DF CD ()DE BD (-=-…⑥

由⑥知，BD-DE=CD-DF …⑦，或BD-DE=DF-CD …⑧ 若⑦成立，则由⑤，BD=CD 这与条件b

于是⑧成立，由⑤、⑧，BD=DF ，CD=DE ，则△BDE ≌△FDC ， A 2

1

C F

D B >∠=∠∴。 反之，设A 21B >

，由b

1

C >。分别在AB 、AC 上取E ，F 使∠DEB=∠C ，∠DFC=∠B ，于是△BDE ≌△FDC ，且对应高相等。∴△BDE ≌△FDC ，从而BE=CF ，∠BDE=∠CDF ，因此所需的充要条件为A 2

1

B >

。 （2）当点E 、F 存在时，据△BDE ≌△FDC ，∴∠BED=∠C ，因此A 、C 、D 、E 共圆，

∴BE ·BA=BD ·BC ，即a c

b ac

c BE ?+=?，c b a BE 2+=

∴。 二、由条件，221n 1n 2

n )1x ()x (P )x (P )x (P -=--+，因上式右端与n 无关，故)

x (P )x (P )x (P )x (P )x (P )x (P 2n n 21n 1n 1n 2n ---+?-=-（n=3，4，…），

)P P (P )P P (P 2n n n 1n 1n 1n --+-+=+∴。

则

x 2P P P P P P P P P 2

131n 2n n n 1n 1n =+=?+=+---+递推

。

1n n 1n P xP 2P ---=∴（n=2，3，…），补充0P 0=，则此式对n=1也成立。特征方程

1x 22-λ=λ，1x x 2-±=λ∴（|x|>1）。

从而])1x x ()1x x [(2

1

x )x (P n 2n 22n ----+-=

。 记1x )x (v )x (u )1x x (2n 2-?+=-+（u(x)，v(x)为x 的多项式）

则1x )x (v )x (u )1x x (2n 2-?-=--，（1x 1x 22---与 的偶次幂相同，而奇次幂仅相差一个符号）

1x )x (v 2)1x x ()1x x (2n 2n 2-=----+∴。

从而)1x ()x (v )1x (2

1

x 1x )x (v 2)x (P 2222

n -=-=-?

-=

∑∑

∑

=-σ=+-++-+≤+≤-?

-=-?-=m

k k

2m 2k m k

m )1m 2(n 1m 2n

2

m 21

m 2n 1m 2n

)

n 1m 20(2

x

C )

1(x C )1x ()1x (x C )1x

(n

（其中n σ为适合0≤2m+1≤n 的m 的最大值，即???????--=σ为偶数当为奇数当n 2

2n n 2

1

n n ）

∑∑σ=+σ=---?

-=n

n

k

m k

n 1m 2n

0k 1

k 2n k

2

C C x

)

1()1x (，

∑∑

∑

∑σ=σ=+σ=+σ===∴n

n

n

n

k k

m

m 1

m 2n

k m k n 1m 2n

k n C

C 2

C C 2

S

①??=∑σ=+ 2C

2

n

m m 1

m 2n

为找出n S 的2因子最高幂次n k 与n 的关系，将①的右端表为另一形式： ])21()21[(2

1S n n n --+=

，记n n n )21()21(t -++=。

则2t t 2S 1S 1010====，，，且②?+=+n n n )21(2S 2t 易知，当n ≥2时，)2C

1(22C

2t 0

m m m 2n

m m m 2n

n ∑∑≥≥?+

=?=。

从而

n t 2

1

为奇数。

（此结论对n=1也成立） 又，对任意m ，n ∈N ，有 n m n m n m n m )21(2)21(22

1

)21(2S 2t +?+?=+=++++ )S 2t )(S 2t (21

n n m m ++=

)]S t S t (2S S 2t t [(2

1

m n n m n m n m +++=。

比较两端无理项得，③?+=+m n n m n m S )t 2

1

(S )t 21(S

令m=n ，则④??=n n n 2S 2)t 2

1

(S

又据①，当r 为奇数时，

⑤奇数??=+?+++=+σσ2)r C 2C 2C 2C (2S 1

2r

r 5r 23r 1r r 2m r 222m r 21m r 21m r 21m r 2m r 2n S 2)t 2

1)(t 21(S 2)t 21

(S S -----??=?==

=…

（奇数）?=???=+--1

m r m r r 22m r 21m r 22

S 2)t 2

1)(t 21()t 21()t 21

(。 1m k n +=∴。

若用数论函数表示，则n 2Pot k 2n =。

三、将18支球队顺次编号为1，2，…，18，并按奇数与偶数分成二个子集：A={1，3，5，…，17}，B={2，4，6，…，18}。然后将每场比赛的队（x ，y ）按其和x+y 被9除的余数情况而规定轮次，并且先在同奇偶的队间各安排4场，再将挂单的二个队安排一场比赛，即要求：第r 轮中每场比赛的队（x ，y ）满足x+y ≡r （mod9）即： 第一轮：（x ，y ）比赛两队满足x+y ≡1（mod9）；

???16) (12 18) (10 6) (4 8) (215) 13 )17 11( )7 3( )9 1(，，，，，，，

，（，，，，，，，以及（5，14）。

第二轮：（x ，y ）满足x+y ≡2（mod9）；

?

??12) (8 14) (6 16) (4 18) (211) 9 )13 7( )15 5( )17 3(，，，，，，，，（，，，，，，

，以及（1，10）。

第三轮：（x ，y ）满足x+y ≡3（mod9）；

?

??16) (14 18) (12 8) (4 10) (217) 13 )7 5( )9 3( )11 1(，，，，，，，，（，，，，，，，以及（6，15）。

第四轮：（x ，y ）满足x+y ≡4（mod9）；

?

??12) (10 14) (8 16) (6 18) (413) 9 )15 7( )17 5( )3 1(，，，，，，，，（，，，，，，，以及（2，11）。

第五轮：（x ，y ）满足x+y ≡5（mod9）；

?

??18) (14 8) (6 10) (4 12) (217) 15 )9 5( )11 3( )13 1(，，，，，，，，（，，，，，，，以及（7，16）。

第六轮：（x ，y ）满足x+y ≡6（mod9）；

???14) (10 16) (8 18) (6 4) (213) 11 )15 9( )17 7( )5 1(，，，，，，，

，（，，，，，，，以及（3，12）。

第七轮：（x ，y ）满足x+y ≡7（mod9）；

?

??18) (16 10) (6 12) (4 14) (29) 7 )11 5( )13 3( )15 1(，，，，，，，，（，，，，，，

，以及（8，17）

第八轮：（x ，y ）满足x+y ≡8（mod9）；

?

??14) (12 16) (10 18) (8 6) (215) 11 )17 9( )5 3( )7 1(，，，，，，，，（，，，，，，，以及（4，13）。

第九轮：（x ，y ）满足x+y ≡9（mod9）；

?

??10) (8 12) (6 14) (4 16) (211) 7 )13 5( )15 3( )17 1(，，，，，，，，（，，，，，，，以及（9，18）。

在这九轮比赛中，共含有4×9=36个（奇，奇）型搭配，36个（偶，偶）型搭配，而2

9C 36=，

即在这九轮中，一切（奇，奇）型搭配，（偶，偶）型搭配均已出现，即任一对（奇，奇）号球队都比赛过，任一对（偶，偶）号球队也比赛过。

今在这18个队中任取三个队，设编号为a ，b ，c ，其中必有二数同奇偶，即比赛过。 现对于任意四个队a ，b ，c ，d ，由于a ，b ，c 中必有两队比赛过，设（a ，b ）比赛过，去掉a ，考虑b ，c ，d 三个队，其中又必有二个队比赛过。因此按这种分组方式进行9轮比赛后，任何四个队a ，b ，c ，d 之间至少比赛过两场。于是，适合条件的n 必应满足n ≤8。 下面我们可以进一步证明7n max =。

设18支球队按任一可行的方式分组，并赛完n 轮（n ≤7），则每一队恰好赛过n 场。而与另外17-n 个队未赛过（17-n ≥10）。

今用18个点表示这18支球队，如u ，v 两队已赛过，则在u ，v 间连一条边，于是得图G ，G 的每个顶点的度数皆为n 。

在G 中任取不相邻的二个顶点21a a ，，14n 2)a (d )a (d 21≤=+ ，故G 中异于21a a ，的16个点中至少有一点3a ，它与21a a ，都不相邻。于是}a a a {M 3211，，=的点两两不相

邻，G 的其余15个点记为：}b b b {N 15211，，

，?=， 由于1M 中任二点不相邻，每一点度数为n ，故连结11N M 、之间的边数恰有3n 条（3n ≤21）。

（i ）若集1N 中有一点，例如1b ，向集1M 只发出一条边，则四点1321b a a a ，，，为所求（恰有一条边）；

（ii ）若集1N 中的每个点，或者向1M 不发出边，或者向1M 发出的边数≥2，由于连结

11N M ，之间的总边数3n ≤21，则1N 的15个点之中，至少有5个点与1M 中的点不相邻，

设这5个点为54321b b b b b 、、、、。

若这5点之间有某二点相邻，设为21b b 、，则四点2121b b a a 、、、为所求，若

}b b b b b {54321，，，，中，任二点不相邻，将其并入1M ，令}b b b b b {M M 5432112，，，， =；

（iii ）改记}u u u {M 8212，，

，?=，其余的点构成集}v v v {N 10212，，，?=，2M 中，任二点不相邻，任一点度数为n ，则连结22N M ，之间的边数为8n 。于是2N 的10个点之

中必有一点向2M 发出的边数k ≤n-1≤6。设此点为10v ，若1≤k ≤6，即是说，

10v 至少与2M 中的二个点不相邻，且必与2M 中的一点相邻。设10v 与21u u ，不相邻，而与3u 相邻，则四

点10321v u u u 、、、为所求（恰有一条边）；若k=0，即10v 与2M 的每点都不相邻，改记10v 为9u ，且将其并入2M 。

令}u u u u {}v {M M 98211023，，，，?== }v v v {}v {N N 9211023，，

，?=-=。 3M 中任二点不相邻，任一点度数为n ，故连结3M ，3N 的边数共9n 条，由于3N 的9个点，每点的度数也是n ，则3N 的每点必须向3M 发出n 条边，故3N 中任二点也不相邻。 取31N v ∈，由于1v 向3M 发出n 条边，而n ≤7，故3M 中必有三点与1v 不相邻，设为

21u u ，，且必有一点与1v 相邻，设为3u ，则四点1321v u u u 、、、为所求（恰有一条边）。

综以上讨论得，当比赛轮数n ≤7时，按任何可行的方案分组，赛完n 轮后，总有四个队，它们之间恰好只赛了一场。 因此n 的最大可能值是7n max =。 四、记j i 4

j i 1P P min m ≤≤≤=，∑

≤≤≤=

4

j i 1j i P P m 1

k ， 引理：在△ABC 中，如AB ≥m ，AC ≥m ，∠BAC=α，则2

sin m 2BC α≥。

（作分解线

AD ，并作

AD

的垂线

BE ，CF ，则

2

s i n

m 22s i n AC 2sin

AB CF BE BC α

≥α+α=+≥）。 先考察二个特殊图形：对于正方形，224k +=，对于顶角为60°的菱形，35k +=。因此猜想35k min +=。 1．如四点中有三点共线，

有m 3PP PP PP m 4P P P P P P 321313221≥++≥++，，于是357k +>≥。

2．今设无三点共线，考虑四点的凸包

（i ）如凸包为三角形4321P P P P ，在形内，不妨设?≥∠120

P P P 241。由引理m 360sin m 22

P P P sin

m 2P P 2

4121=?≥∠?≥，

m )35(P P P P P P P P P P P P 342414313221+≥+++++∴， 35k +≥∴。

（ii ）如凸包为四边形。

①如有一内角≥120°（设?≥∠120P P P 412），由引理，m 3P P 42≥，于是35k +≥。

②若四个内角均≤120°，因四边形总有两相邻内角和≥180°。 设α+β≥180°，α≥β，又由，则β≥60°，0≤α-β≤60°。

于是

?≥β+α454，?≤β

-α≤154

0。 4

c o s

4s i n m 4)2s i n 2(s i n m 2P P P P 3142β

-αβ+α=β+α≥+ m )13()30sin 60(sin m 215cos 45sin m 4+=?+??=??≥， m )35(P P P P P P P P P P P P 314214433221+≥+++++∴。 从而35k +≥。综上，求得35k min +=。

五、用记号（x ，y ），（x ，y ，z ）表示坐标或向量，D )z y x (，，表示诸整数的最大公约数，2Q 表示平面上的有理点集。

对任一有理点2Q )y x (∈，，经通分后总可表示)w

v

w u ()y x (，，=，其中u ，v ，w 为整数，w ≥1且1)w v u (D =，，。 事实上，设)a a b a a a b a ()a b a b (

)y x (2

12

121122211，，，==，若d )a a b a b a (D 212112=，，，则1)d a a d b a d b a (

D 212112=，，，令w d

a

a v d

b a u d b a 212112===，，，则（u ，v ，w ）=1且)w

v

w u ()y x (，，=。

我们不必考虑只含有一个有理点的直线，因为无论对2Q 怎样划分，这种直线只能含有其中一个子集的点。

今设直线l 上含有二个有理点，取两点式，经化简后，可设直线l 的方程为ax+by+c=0，a ，b ，c 为整数且1)c b a (D =，，。 而点)w

v w u (

，在l 上当且仅当au+bv+cw=0…① 为讨论方便，以下我们用向量（a ，b ，c ）表示直线ax+by+c=0，用向量（u ，v ，w ）表示有理点)w v w u (

，。据①可知，有理点)w

v w u (，在直线l 上当且仅当向量（u ，v ，w ）与（a ，b ，c ）的内积为0。

现考虑诸整数的奇偶性，即将各分量置于模2（mod2）意义下讨论。并注意

1)c b a (D =，，，1)w v u (D =，，，则（a ，b ，c ），（u ，v ，w ）各有7种情况：

（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）， 它们分别对应于前7个正整数1，2，3，4，5，6，7的二进制表示式。 现在我们将所有直线（a ，b ，c ）划分为三类： )c b a (L 0，，=与1，3，5，7的二进制表示式对应； )c b a (L 1，，=与2，6的二进制表示式对应； )c b a (L 2，，=与4的二进制表示式对应。

即在mod2意义下，)c b a (L 0，，：≡（0，0，1），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，1） )c b a (L 1，，：≡（0，1，0），（1，1，0） )c b a (L 2，，：≡（1，0，0）。

再将有理点集2Q 分成三个子集：3212Q Q Q Q =，其中321Q Q Q ，，分别与上述7数在二进制表示式中的一位数，二位数，三位数相对应。即：

)w v u (Q 1，，：

≡（0，0，1） )w v u (Q 2，，：≡（0，1，0），（0，1，1）

)w v u (Q 3，，：≡（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）。

显然，321Q Q Q ，，两两不交，且由①可知，φ=φ=φ=322110Q L Q L Q L ，，。因此这种划分满足条件（2）。 又对于任一有理点)w v w u (

P 0

000，=，1w 0≥，1)w v u (D 000=，，以及任一正数r ，以0P

为圆心，r 为半径的圆盘记为r D ： }r )w v

y ()w u x (|)y x {(D 220

0200r ≤-+-

=，， 选取充分大的n ，使

②?<++22

n

22020r w 2

1

v u

并取10n 0

n 0n

0n 11Q )1

w 2v 2 1w 2u 2(

)y x (∈++=，，

20

n 0n 0n 0

n 22Q )w 21

v 2 w 2u 2()y x (∈+=，，，

30

n 0

n 0n 0n 33Q )w 2v 2 w 21u 2(

)y x (∈+=，，， 则2

2

n 22

02020n 20202020012001r w 21v u )1w 2(w v u )w v y ()w u x (<++<++=-+-， r 11D )y x (∈∴，，

22

n 2202020n 220022002r w 21v u w 21

)w v y ()w u x (<++<=-+-， r 22D )y x (∈∴，，

22

n 2202020n 220032003r w 21v u w 21

)w v y ()w u x (<++<=-+-， r 33D )y x (∈∴，。

从而φ≠φ≠φ≠3r 2r 1r Q D Q D Q D ，，，从而这种划分适合条件（1）。 六、记r=cn ，k=[r]，则条件化为：

①?=∑∑==n

1

k k

n

1

k k

a

r

ka

取0S 0=，∑==

k

1j j

k a

S ，则由①：

∑∑=-=--=-=

n

1

k 1k k

n

1

k k

)S S

)(r k (a )r k (0

∑∑-==-+--=

1

n 1

k k

n 1

k k

S

)r 1k (S )r k (

∑-=-

-=1

n 1

k k

n S

S )r n (

∑=-

-+=n

1

k k

n S

S )r 1n (。

即

②?-+=∑=n n

1

k k

S )r 1n (S

因数列}a {n 单增，故其算术平均序列}k S {

k 也必单增，

从而有m j S m

j

S ≤，对j=1，2，…，m 求和，得③?-=

≤∑

∑

-=-=m 1

m 1

j m

1

m 1

j j S 2

1

m j m S

S 对k=0，1，…，n-m ，

)S S (k ka )k m n ()S S )(k m n (k m n k m m k m +++-≤?--≤---， ]kS S )k m n [(m

n 1

S n m k m +---≤

∴+， )S S (2m 1n ]k S )k m n (S [m n 1S

S n m m

n 0

k n m n 0k m m n 0

k k

m n

m

k k +-+=+---≤=∴

∑

∑∑∑-=-=-=+=。 由②、③得n m n

1

k k n S 2

m

1n S 2n S S )r 1n (-++≤

=-+∑

=。 m m m n S c 11S r n n S r 2m 1n n S ?-=-≤-++≤

∴。由于M 为最小，则c

11

M -≤

。 下面说明c 11

-是最好的。

由于1c 2

1

<<，则2c-1>0，故对充分大的n ，有n(2c-1)≥1…④

又由m=[cn]，则m ≤cncn ≥m ，即n ≥m+1…⑤

今取定充分大的n （1

c 21

n -≥），作数列n 21'a 'a 'a ，，

，?如下： 1'a 'a 'a m 21==?==，m

n 'a 'a 'a n 2m 1m -λ

==?==++（λ为待定常数）；

则)m (cn '

a cn

n

1

k k

λ+=∑=，

而λ++++=-λ

+=+=∑

∑∑∑∑

+==+===21m n 2)1m (m k m n k 'ka 'ka 'ka n

1

m k m

1k n

1m k k m

1k k n

1k k 。

由条件①：

∑

∑

===n

1

k k n

1

k k 'a cn

'ka ，得λ++++=

λ+2

1

m n 2)1m (m )m (cn ，解得⑥?-+++-=

λcn

21m n )

1m (m cnm 2

由④、⑤易得1m n ≥-λ

。

（这是由于[2cnm-m(m+1)]-(n-m)(n+m+1-2cn)=n[n(2c-1)-1]≥0。）

因此选取的数列}'a {k 为单增的正数列，且满足本题条件。

而对此数列：n

1

c 11cn

1n n

cn 21m n n m m '

a 'a 'S 'S m

1k k

n

1k k

m

n +

-=-+≥-++=λ+=

=

∑∑==，于是对

选取的数列}'a {k ，有

c

11

'S 'S n

1c 11m n -≤

≤

+

-。当n →+∞时，c 11'S 'S m n -→。 故对所有满足条件的数列}a {k ，使m n S S M ≥

成立的M 的最小值为c

11

-。 （本解答由南昌职业技术师范学院陶平生教授提供）

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关 系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案 (每题8分；总共120分) 一、选择.（将正确的答案填在相应的括号内） 1.找规律填数:（在横线上写出你发现的规律） 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 . (1)15,34 (2)17,18 (3)17,22 (4)23,25 2.甲乙两个数的和是218,如果再加上丙数,这时三个数的平均数比甲乙两数的平均数多 5,丙数是( ). (1)124 (2) 122 (3)140 (4)127 3.设X和Y是选自前500个自然数中的两个不同的数,那么(X+Y)÷(X-Y)的最大值 是( ). (1)1000 (2) 990 (3)999 (4)998 4.选择: 8746×7576 的积的末四位数字是 ( ). (1) 6797 (2) 9696 (3) 7669 (4) 6769 5. 现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少 种不同的支付方法？ (1)4 (2) 5 (3)10 (4)8 6.右图中,所有正方形的个数是( )个. (1)10 (2)8 (3)11 (4)9 7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字；可以组成（）个不同的四位数？ (1)10 (2)18 (3)11 (4)9

9. 学校进行乒乓球选拔赛；每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场；一共进 行了21场比赛；有多少人参加了选拔赛？ (1)7 (2)8 (3)11 (4)9 10 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形；正方形的周长是40厘米；那么 原来长方形的周长是多少？ (1)70 (2)80 (3)100 (4)96 11.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路 相对出发,8分钟后两人相距( )米. (1)75 (2)200 (3)220 (4)90 12甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码. 赵说：“甲是2号；乙是3号.” 钱说：“丙是4号；乙是2号.” 孙说：“丁是2号；丙是3号.” 李说：“丁是4号；甲是1号.” 又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半；那么丙的号码是几？ (1)4 (2)2 (3)3 (4)1 13有一根木材长4米,要把它锯成8段,每锯一段要用3分钟.共锯了( )分钟. (1)21 (2)24 (3)19 (4)20 14有一个两位数,这个两位数十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把它减去5,十位数字就与个数字相同,那么这个两位数减去10后是( ). (1)73 (2)82 (3)83 (4)72 15. 公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和是( )平方米. (1)204 (2)190 (3)196(4)100

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日） 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 三、设实数a ，b ，c 满足 3a b c ++=．求证： 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ． 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 解 对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A . 由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1 ＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1 ＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1， 36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70.