最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》教材梳理

知识·巧学

一、相似三角形

1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，

k A C CA

C B BC B A AB ='

'=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.

4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质

1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.

2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.

如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.

图27.2-1

(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴

EC

AE

BD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；

②选取“画点”工具画三个点；

③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；

⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；

⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)；

⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)；

⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比.

拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).

三、相似三角形的判定 1.根据定义判定.

判定两个多边形相似的条件是对应边成比例，对应角相等，两条缺一不可.但是，三角形是最简单的多边形，有其特殊性，可以适当减少一些条件.

2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(如图27.2-3).

图27.2-3

(1)这个比就是相似比.等边三角形都是相似三角形.

(2)把两个三角形的三边先都按从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，最短边与最短边对应，最长边与最长边对应，来计算它们的比值 (作分子的都是同一个三角形的边，同样，作分母的都是另一个三角形的边)；只要三个比值都相等，就可断定这两个三角形相似了. 辨析比较 与全等三角形的判定定理SSS 相仿. 当k=1时，即三组边对应相等时，两三角形全等.

4.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

图27.2-4

(1)如图27.2-4，在△ABC 和△A′B′C′中，

k A C CA

B A AB ='

'=''，∠A=∠A′， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.

证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于 点E ，则△A′DE ∽△A′B′C′.

∴

.A C E

A C

B DE B A D A '

''=''=''' ∵A′D=AB ，∴

.B A B

A B A D A '

''=''' ∵k A C CA B A AB =''=''，∴A C CA

A C E A '

'='''..∴A′E=AC. 又∵∠A=∠A′,∴△A′DE ∽△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.

(2)等腰直角三角形都是相似形.

(3)与全等三角形的判定定理SAS 相仿.一定是夹角相等，非夹角不能判定相似(如图27.2-5).

图27.2-5

5.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (1)这是识别两个三角形相似的最简单方法.

(2)只有两个角相等的三角形不一定全等，但一定相似. (3)特殊三角形的相似.

①有一个锐角相等的直角三角形相似; ②顶角(或底角)相等的等腰三角形相似. 四、相似三角形的周长与面积

1.两个相似三角形的周长的比等于相似比. 相似多边形的周长的比等于相似比.

2.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.

3.相似三角形对应中线的比、对应高之比、对应角平分线的比都等于相似比. 五、跟相似有关的主要结论

上述结论可以由圆周角、弦切角等构成相似三角形得到.

2.射影定理(见第29.1《问题·探究》)

图27.2-10 如图27.2-10，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， 求证：(1)AC 2=AD·AB ；(2)AB 2=BD·AB ；(3)CD 2=AD·BD. 证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD.

在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，

∵∠B=∠ACD ，∠ACB=∠ADC=90°， ∴ Rt △ABC ∽Rt △ACD. ∴

AD

AC

AC AB ,即AC 2=AD·AB. 类似地，可证Rt △ABC ∽Rt △CBD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD. 于是有AB 2=BD·AB ，CD 2=AD·BD.

3.角平分线性质：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.

已知△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，AD 交BC 于D.求证：

AC

AB

DC BD =

图27.2-11

证明：过C 作DA 的平行线CE 交BA 延长线于E(如图27.2-11). ∵CE ∥DA ，∴

AE

BA

DC BD =. 又∵∠E=∠BAD ，∠ACE=∠DAC ，

∠BAD=∠DAC ，∴ ∠E=∠ACE.∴AC=AE. 代入上面的比例式，得

AC

AB

DC BD =. 六、相似三角形的实际应用

利用相似三角形的性质来进行测量、计算那些不能直接测量的物体的高度和距离. 要点提示 太阳光下，同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的. 知识拓展 视点、视线、盲区：

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区. 问题·探究

问题1 相似三角形高之比等于相似比吗？

导思：如图27.2-12所示，如果△ABC ∽△A′B′C′，AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高，且

k B A AB =''，可以猜想k D A AD

='

'.

图27.2-12

探究:猜想要经过证明才能作为结论使用. 老师：通过三角形相似证明比例式是常用的一种方法，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，这里AD 、A′D′分别是在Rt △ABD 与Rt △A′B′D′中，只需要证这两个三角形相似即可.要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？

丁婷：两个三角形是直角三角形，有一对直角相等，还差一对锐角相等，但从问题的已知条件△ABC ∽△A′B′C′看，知道∠B=∠B′，所以可以先用三角形相似的性质，得到一组角相等，从而为证另一对三角形相似提供了一个条件，证明过程如下： 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′.

又∵AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. ∴△ABD ∽△A′B′D′.

∴

k D A AD

B A AB ='

'=''. 老师：请大家用语言来总结这个结论.

李亮：相似三角形的对应高的比等于相似比.

丁聪：我认为还可以总结得更一般些：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.

老师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错.但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误.能不能再举例子说明你们这个结论的正确性？

余童：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论. 老师：好的，来看一看，如何证明？ (上述结论都可以证明)

问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？

导思：根据相似多边形的定义，需要从边和角两个方面判定.

在判断的过程中，可以通过作对角线把四边形问题转化为三角形问题探索. 探究:从特殊图形入手，逐渐减少对应条件. (1)角的条件：

①矩形(含正方形)的角都相等；

②平行四边形(含菱形)以及等腰梯形只要有一个内角相等，其它的三个角也就对应相等了. (2)边的条件：

①两个菱形(含正方形)的边都是对应成比例的； ②平行四边形(含矩形)需要知道两邻边对应成比例； ③等腰梯形需要知道腰、上底、下底三边的比是否相等.

结论：(1)有一个角对应相等，并且两邻边的比相等的平行四边形相似； (2)两邻边的比相等的矩形相似； (3)有一个角对应相等的菱形相似； (4)任意正方形相似；

(5)有一个角对应相等，并且腰、上底、下底长的比都相等的等腰梯形相似. 典题•热题

例1 (2006辽宁大连中考) 如图27.2-13，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 点中的( ) A.F B.G C.H D.O

图27.2-13

思路解析：在格点中可以知道三角形的边长和大致形状，本题中，△ABC 是等腰直角三角形，和它相似的△DME 也必须是等腰直角三角形，各选项中，只有点G 符合要求. 答案：B

变式方法 在格点中给定一组三角形，判定哪些相似.

如图27.2-14，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是

( )

图27.2-14

同一个三角形中把边长按大小顺序排列，分别与△ABC 的三边比较，若它们的比相同，则这两个三角形相似.选B.

例 2 (2006浙江嘉兴中考) 如图27.2-15，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________.

图27.2-15

思路解析：图中Rt △ABC ∽Rt △ADE ，写出已知线段和所求线段的有关比例式. ∵∠CAB=∠DAE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADE.∴AC ∶AE=AB ∶AD. 在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，所以AB=5. 把AC=3，AE=2，AB=5代入比例式，得AD=3

10. 答案：

3

10 深化升华 用相似性质计算线段长时，一定要注意线段的对应；计算中，只需选定与已知线段和所求线段有关的比例式.

例3 如图27.2-16，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置，求球拍击球的高度.

图27.2-16

图27.2-17

思路解析：把三角问题转化为数学问题，结合图形，标上相应的字母；根据题目的意思，图中的两个三角形是相似的，运用相似三角形的边对应成比例就可以求出这个高度了. 解：如图27.2-17所示，分别用BD 表示球网，CE 表示球拍的高度，

∵∠A=∠A(公共角)，∠ABD=∠ACE=90°，

∴△ABD ∽△ACE(如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似). ∴

CE BD AC AB =，即h

8

.01055=+. 解得h=2.4(米).

答:球拍击球的高度为2.4米.

误区警示 本题中不要把BC 当作是这两个相似三角形的对应边.常见错误：

图27.2-18

如图27.2-18，∵ DE ∥BC ，∴

BC

DE

EC AE BD AD ==. 错误原因是把BD 、EC 作为三角形的对应边了.

例4 (2006北京中考) 如图27.2-19，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，AB=6，AE=8，ED=4，求CD 的长.

图27.2-19

思路解析：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 本题中，△ABE ∽△DCE ，列出比例式.

解：∵弦AC 与BD 交于E ，所以A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，

∴∠B=∠C ，∠A=∠D(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∴△ABE ∽△DCE. ∴

DE AE AC AB =.∴4

8

6=DC .∴CD=3. 深化升华 在圆的问题中，有关比例线段问题都可以用圆周角、弦切角转化为相似三角形问题(见本节“知识·巧学”第五点)

例5 (2006湖北武汉中考) 如图27.2-20，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )

A.①④

B.①②

C.②③④

D.①②③

图27.2-20 图27.2-21

思路解析：本题涉及的三角形较多，其中由矩形的性质可以得到有两组全等形，另外较特殊的是直角三角形.

①用“同角(或等角)的余角相等”，可以得到几个直角三角形的一个锐角相等，因此图中的所有的直角三角形都相似的. ②由Rt △BEA ∽Rt △AEF ，得到

EF

AE

AE BE =，因为E 为AD 的中点，所以AE=ED ，则EF

ED

ED BE =， 在△FED 与△DEB 中，因为

ED

BF

EF ED =，∠FED=∠DEB ，所以△FED ∽△DEB. ③根据△FED ∽△DEB ，得到∠EDF=∠EBD ，它们的余角相等(∠FDC=∠BGA)，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠FCD=∠BAG ，所以△CFD ∽△ABG . ④△ADF 与△CFB 的形状不同，不能相似. 答案：D

深化升华 ①如图27.2-21，若DE 2=EF·EB 时，则△DFE ∽△EBD ； ②比例中项问题通常换成比例式，转化为相似三角形中的对应线段的比.

例6 (2006安徽中考) 汪老师要装修自己带阁楼的新居(图27.2-22，右图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m ，楼梯洞口宽AF=2 m ，阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助汪老师解决下列问题：

(1)要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？ (2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm ，每个台阶宽要大于20 cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？

图27.2-22

思路解析：根据图中的字母与尺寸，把实际问题数学化.

本题的数据集中在△ABC 和△GFA 中，可以看出这两个三角形的相似的，用相似三角形的性质解决问题.

台阶宽度之和等于楼梯的总长，高度之和等于楼梯的总高，根据题目中的要求，可以列出不等式组，用不等式组解决问题.

解：(1)根据题意，有AF ∥BC ，∴∠ACB=∠GAF. ∵∠ABC=∠AFG=90°，∴△ABC ∽△GFA. ∴

FG

AB

AF BC =.得BC=3.2(m)，CD=(2+3)-3.2=1.8(m). (2)设楼梯应建n 个台阶，则

⎩

⎨

⎧<>.2.32.0,

8.22.0n n 解得14

楼梯应建15个台阶.

方法归纳 生活中，有很多直角三角形相似问题，而直角三角形相似的条件只要有一组锐角相等即可.找到能解决问题的三角形是关键，尽量把数据集中到少数三角形中.

新人教版九年级下册第二十七章“相似”简介教材分析

新人教版九年级下册第二十七章“相 似”简介教材分析 最新资料九年级下册第二十七章“相似”简介课程教材研究所宋莉莉 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似．本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究．本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形．此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换——位似．为了进一步培养学生的推理论证能力，本章对许多新结论进行了证明，证明的思路各具特色．全章包括三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要14课时，具体安排如下（仅供参考）： 27．1图形的相似 2课时 27．2相似三角形 7课时 27．3位似 3课时 数学活动 小结 2课时

最新资料九年级下册第二十七章“相似”简介课程教材研究所宋莉莉 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似．本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究．本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形．此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换——位似．为了进一步培养学生的推理论证能力，本章对许多新结论进行了证明，证明的思路各具特色．全章包括三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要14课时，具体安排如下（仅供参考）： 27．1图形的相似 2课时 27．2相似三角形 7课时 27．3位似 3课时 数学活动 小结 2课时

新人教版九年级下册第二十七章“相似”简介教材分析

新人教版九年级下册第二十七章“相似” 简介教材分析 课程教材研究所宋莉莉 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似．本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究．本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形．此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换——位似．为了进一步培养学生的推理论证能力，本章对许多新结论进行了证明，证明的思路各具特色．全章包括三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要14 课时，具体安排如下（仅供参考）： 27 ．1 图形的相似 2 课时 27 ．2 相似三角形7 课时 27 ．3 位似 3 课时 数学活动

小结 2 课时 一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容在“全等三角形”一章中，学生学习了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．本章以此为基础，按照研究对象的“一般T特殊T特殊位置关系”的顺序展开研究.首先，教科书从现实世界中形状相同的物体谈起，然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形，举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系. 接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形，由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质. 对于相似多边形的判定，教科书以三角形为载体进行研究，此外，还研究了相似三角形的其他性质和应用. 最后，教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形. 本章的知识不仅将在后面学习 “锐角三角函数” 和“投影与视图” 时得到应用，而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.本章共有三节内容.第1 节 “图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质；第2 节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定和性质，以及相似三角形在测量中的应用；第3 节“位似”研究了一种特殊的相似图形——位似图形的画法，以及如何在平面直角坐标系中用坐标表示位似变换. 在“ 27. 1 图形的相似”中，教科书首先列举了生活中具有形状相同形象的物体（汽车与它的模型、大小不同

最新人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似》教材梳理

疱丁巧解牛 知识·巧学 一、相似的概念 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似形. “相同形状”也就是一个图形可看作是由另一个图形放大、缩小或复制得到的. 方法归纳相似关系中只关注图形的形状是否相同，不考虑它们的大小和位置之间的关系.也就是说：只要两个图形形状相同，不论大小是否相同，位置如何摆放都是相似形. 2.生活中常见的相同形状的图形主要有以下几种类型： (1)同一地区按不同的比例尺所绘制的地图； (2)同一张底片扩印出来的照片，电影胶片上的图像与它映照到屏幕上的图像； (3)通过放大镜、眼镜所看到的图形与实际图形； (4)沙盘模型与建筑原型是相似形. 3.相似多边形：形状相同的多边形是相似多边形. 例如：国旗上的5个五角星都相似. 要点提示 形状相同的前提是边数相同. 4.相似与全等：全等是相似的特殊情形. 形状相同，两图形相似；形状相同并且大小也相同，两图形全等. 辨析比较“放大镜”与“哈哈镜”. 放大镜是一种用来观察物体细节的简单目视光学器件，是焦距比眼的明视距离小得多的会聚透镜.使用放大镜，令其紧靠眼睛，并把物体放在它的焦点以内，成一正立放大的虚像，这个“像”与物体本身相似. 哈哈镜镜面凹凸不平，根据凹凸镜成像原理，成的是或大或小的虚象，照出人来就奇形怪状了，所以哈哈镜的“像”与物体本身不相似. 二、比例线段 1.线段的比：线段的比是指用同一长度单位量得两条线段的长度的比. ①两条线段的比与长度单位的选择无关； ②求两条线段的比时，若其单位不同，则必须使单位相同再求比； ③两条线段的比是一个正数； ④两条线段的比a∶b中，要清楚谁为前项. 例如：线段a=10 cm，b=15 cm，则线段a与b的比是10∶15=2∶3，a是前项，b是后项；线段b与a的比是15∶10=3∶2，b是前项，a是后项. 10cm，则线段AB与AC的比是正方形ABCD中，AB=10 cm，对角线AC=2 10=2∶2. 10∶2 2.比例线段：比例线段是指在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比a∶b等于另外两条线段的c∶d，即a∶b=c∶d.那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段. 例如：四条线段1 cm、2 cm、3 cm、6 cm满足1∶2=3∶6，所以1 cm、2 cm、3 cm、6 cm是比例线段. 要点提示①四条线段才能成比例；②线段成比例时，一定要将线段按顺序列出，不可颠倒，一般可以按大小顺序写出. 3.比例中项：若作为比例内项的两条线段相同，即a∶b=b∶c，则线段b叫做a、c的比例中

最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似》本章概要

第二十七章相似 本章概要 本章的主要内容包括相似图形的概念和性质、相似三角形的判定、相似三角形的应用举例和位似变换等.第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索出相似多边形的性质；第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积；第3小节“位似”研究了一种特殊的相似——位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换. 全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似比全等更具有一般性，所以本章所研究的问题实际上是在前面研究的图形全等和一些全等变换基础上的拓展.在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识.在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识，因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识.另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识：例如汽车模型的制作，必须保证模型与原型是相似的，因此这一章内容对于今后从事各种实际工作都具有重要作用. 本章重点是相似多边形的有关性质以及相似三角形的判断.难点主要有两个，一是证明两个三角形相似的条件和性质；二是理解在同一坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律. 学习策略 画图是本章学习的基础，不仅要学会在格点中作格点图，而且也应尝试脱离格点作出图形.另外，几何画板的“作图与度量”功能在学习中也可以运用.探究图形形状时，应从角的大小、边的长度以及顶点的位置(坐标)等不同角度进行量化分析，做到“数”与“形”的有机结合. 注意和全等的知识作类比.例如类比研究全等图形的性质得到相似多边形的性质；类比研究全等三角形的SSS、SAS方法，发现相似三角形的判定方法；通过把多边形分割为三角形，类比研究多边形内角和的方法，利用相似三角形的面积关系得到相似多边形面积比等于相似比的平方等等.在证明相似三角形的判定定理时，通过作全等三角形，把要证明的问题转化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转化为已知、从复杂转化为简单，等等. 学习时要注意综合应用规范证明.本章所涉及的问题有很多是和全等的问题结合在一起，也有一些是圆中的相似的问题，题目相对以前比较复杂，要加强解题思路的分析，树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题. 相似是生活中常见的现象，多用于测量.对于身边的问题，我们应该多观察，结合所学的知识去分析问题、解决问题.

人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结(无答案)

相似三角形基本知识 知识点一：相似图形 1.__________________的两个图形说成是相似的图形。 注意：（1） 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形______________得到的．（2）全等形是相似图形的一种____________． 2.相似多边形：如果两个多边形 _____________,对应角__________，对应边___________________,则这两个多边形是相似多边形。________________________记为相似比。 3.相似多边形的性质：对应角_________，对应边______________________。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的相似比是_________. 练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm ，则这两市之间的实际距离为 km ； 知识点二：平行线分线段成比例定理 (一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 已知l 1∥l 2∥l 3 ,可得 _____________,_______________，_________________ 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. ∵ DE ∥BC ∴_______________________________. 3、判定三角形相似定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 即： ∵ DE ∥BC ∴________________. 练习1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 练习2、如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ） A.BC=2DE B. △ADE ∽△ABC C. AC AB AE AD = D. ADE ABC S S ??=3 练习3、在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE , 则FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.4 1 D. 51 8、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ） A C D F E

人教版数学初三下学期第二十七章知识点总结

人教版九年级数学下册知识点总结 第二十七章、相似 知识点一：比例线段 1.比例 线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a c b d =，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例 的基 本性 质(1)基本性质：a c b d =?ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：a c b d =? a b b ±＝c d d ±；（b、d≠0） (3)等比性质：a c b d =＝…＝ m n ＝k(b＋d＋…＋n≠0)? ... ... a c m b d n +++ +++ ＝k.（b、d、···、n≠0） 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DE BC EF =. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则OA OB OD OC =. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 4.黄金分 割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC AB＝= 5－1 2 ≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－ F E D C B A l5 l4 l3 l2 l1 O D C B A E D C B A

1)cm 知识点二：相似三角形的性质与判定 5.相似三 角形 的判 定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC AB DF DE =， 则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如 图，若AB AC BC DE DF EF ==，则△ABC∽△DEF. 6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF 的面积之比为9：4. (2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2. F E D C B A F E D C B A F E D C B A

最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》教材梳理

知识·巧学 一、相似三角形 1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， k A C CA C B BC B A AB =' '=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′. 4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质 1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似. 2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同. 如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE. 图27.2-1 (2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴ EC AE BD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件； ②选取“画点”工具画三个点； ③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签； ⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ； ⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)； ⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)； ⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比. 拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).

人教版九年级数学下册第二十七章《相似》教材分析

第二十七章《相似》教材分析 一地位与作用 从数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。 从学生的数学认知发展来看，学生通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律，学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力，巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。 此外，相似被广泛应用于现实生活中（测物体的高度、测河宽，制作艺术字等）。在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。通过对相似的应用研究，可进一步的加强学生数学建模的意识，提高学生分析解决实际问题的能力，对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。 二课程学习目标 1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割； 2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题； 3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 4．结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力．

新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似 》全章教案

新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》全章教案 本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。 第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。 在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。 第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。

总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。 在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。 课堂引入： 1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。 2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 3.相似比是相似多边形对应边的比。 4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。

人教版初中九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结(含答案解析)

一、选择题 1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ） A ．1:2:3 B ．1:2:4 C ．1:3:5 D ．2:3:4 2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作O E 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1.5 3．如图，点D 、 E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4个 5．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、

E ，如果:3:1AD D F =，10BE =，那么CE 等于（ ） A ．103 B ．203 C ． 52 D ．152 6．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ） ①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:2 D ．2:1 8．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点 E ， F ， G ，则下列比例式正确的是（ ） A ． AE EF BE BD = B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC = 9．已知 a 3 b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a = 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB 等于（ ）

九年级第二十七章相似知识点

九年级第二十七章相似知识点在九年级数学课程中，相似是一个重要的概念。在第二十七章中，我们学习了一些与相似相关的知识点。本文将深入探讨这些知识点，并为读者提供更多的理解。 相似是指两个或多个图形的形状相似，但大小可能不同。我们可以通过以下几个方面来判断图形是否相似：比例是否相等、形状是否相同、边对应是否成比例。此外，还有一些特殊情况需要特别注意，比如全等图形一定是相似的，但相似图形不一定是全等的。 在相似三角形方面，我们学习了一些重要的定理。首先是“相似三角形的对应角相等”。这一定理告诉我们，如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。而如果两个三角形是相似的，它们的对应角也一定相等。 另一个重要的定理是“相似三角形的边比例相等”。这一定理告诉我们，如果两个三角形的边对应成比例，那么它们一定是相似的。而如果两个三角形是相似的，它们的边对应成比例。这个定理为我们解决相似三角形的问题提供了一个重要的方法，即通过设立比例等式来求解未知量。

在实际问题中，我们可以利用相似三角形的性质解决一些实际 的测量问题。比如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三 角形的性质以及一个测得的长度和相应角度来计算高楼的高度。 这一应用使我们能够在没有直接测量的情况下获取一些有用的信息。 除了相似三角形，我们还学习了相似多边形的知识。相似多边 形指的是边对应成比例的多边形。我们学习了两个重要的定理， 即“相似多边形的对应角相等”和“相似多边形的边比例相等”。这两个定理与相似三角形的定理类似，对于判断和求解相似多边形都 非常有用。 相似的概念不仅仅出现在几何学中，在实际生活中也有很多与 相似相关的现象。比如，我们可以发现一些事物之间的相似之处，比如大树和小树的形状相似，山川和河流的形状也相似。通过观 察和比较，我们可以深入理解相似的概念，并将其应用到更广泛 的领域中。 总而言之，在九年级数学课程中，相似是一个重要的概念。我 们学习了相似三角形和相似多边形的性质与定理，并应用这些知

初中数学第二十七章相似知识点

知识框架 1. 相似： 每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。 相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a （或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 黄金分割：线段AB 被点C 黄金分割（AC

○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； ○ 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； ○ 4.直角三角形相似判定定理: ○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 5. 一定相似的三角形 （1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1） （2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）两个等边三角形一定相似。 6.三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 7.相似的性质 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。 （2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 （3）相似三角形周长的比等于相似比。 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 （6）若a:c =c:b，即c2=ab,则c叫做a,b的比例中项 （7）c/d=a/b 等同于ad=bc. 9.相似的应用：位似

【教材解读】九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形-知识解析

第二十七章相似 27.2 相似三角形 1.本节研究相似三角形的判定、性质和应用，它们是全章的重点内容. 2.类比三角形全等的判定方法，教科书介绍了五种判定三角形相似的方法.教科书按照下面的顺序展开内容：首先，给出根据定义判定三角形相似的方法，也就是满足三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；接着，类比判定三角形全等存在简便方法，提出判定三角形相似是否存在简便方法的问题；接下来，给出了平行线分线段成比例的基本事实，利用这个基本事实的推论，得到了判定三角形相似的第一个定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）；然后，由这个判定定理，推出了第二、三、四个判定定理（三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似）；最后，类比判定两个直角三角形全等的“HL”方法，证明了判定两个直角三角形相似的特殊方法. 3.引入平行线分线段成比例的基本事实，是为了利用它的推论证明判定三角形相似的第一个定理.因此，教科书对这个基本事实进行了“淡化”处理—在让学生通过画图、测量、猜想感知结论的基础上，直接给出基本事实；并将基本事实应用到三角形中，直接得出推论；不强调基本事实在判定线段成比例的应用. 4.“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的证明是本章的一个难点.为了降低难度，教科书加强了证明思路的引导.教学中可以引导学生按教科书上的思路思考：要用相似的定义证明△ADE与AE DE △ABC全等，关键是证明=c，而除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因此为了利用结论“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，需要作平行线，将DE也平移到△ABC的边上.从这个定理的证明过程可以看出，教科书借助结论“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，把两条线段的比“转移”为另两条线段的比，这个结论在证明过程中发挥了关键作用. 证明了这个判定定理，就可以利用它来证明其他的判定定理，因此它可以看成证明其他判定定理的引理.

九年级下册第二十七章相似三角形

《相似三角形》本章知识结构框图 一、相似三角形与全等三角形 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 对应角相等，对应边成比例的两个三角形 图形性质

形状、大小完全一样 形状一样、大小未必一样 表示方法 △ABC ≌△A ，B ，C ， △ABC ∽△A ，B ，C ， 性质 对应角相等，对应边相等 对应角相等，对应边的比相等 相似比 1AB BC AC A B B C A C ==='''''' ()AB BC AC k k A B B C A C ===''''''为正实数 区别与联系 （1） 找对应元素的方法一样 （2） 全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定全等 相似三角形是最为简单的相似多边形.解题时应注意以下问题： （1） 探求两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边. （2） 相似比是有序的，如△ABC 与△A′B′C′的相似比为k ，则△A′B′C′与△ABC 的相似比为 （3） 在研究相似多边形性质时，常将多边形分成若干个三角形.由相似三角形的有关性质推得相似多边形也有同样的性质. （4）相似三角形对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比，全等的三角形相似比为1. （5） 相似三角形的本质特征是这两个三角形具有相同的形状，但大小不一定相等. （6）相似三角形的传递性由△ABC ∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，可得△ABC ∽△A″B″C″.

. 一、相似三角形的判定方法判定方法1 ∵___________ ∴△ABC∽△ADE 判定方法2 ∵________________ ∴△ABC∽△A，B，C， 判定方法3 ∵_____________，∠B=∠B，∴△ABC∽△A，B，C， 判定方法4

(人教版)南京九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结

一、选择题 1．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）． A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．1：4 2．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（ ） A ．72 B ．4924 C ．8425 D ．9125 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ） A ．()8,4- B ．()10,3- C ．()10,4- D ．()8,3- 4．如图，在菱形ABCD 中，660AB DAB =∠=︒,，A ， E 分别交BC 、BD 于点E 、 F ，2CE =，连接CF ，以下结论：①ABF CBF ≌；②点E 到AB 的距离是23③ADF 与EBF △的面积比为3∶2：④ABF 的面积为为 35 ，其中正确的是（ ）

A ．①④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③④ 5．如图，ABC 中，D E ∥BC ，AD:BD=1:3，则OE ：OB=（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:5 D ．1:6 6．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．1.5 7．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）

数学人教版九年级下册第二十七章 相似小结

第二十七章相似 本章小结 小结1 本章概述 本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换． 小结2 本章学习重难点 【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件． 【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题． 【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标． 小结3 中考透视 图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小． 相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等． 知识网络结构图

人教版九年数学下学期第二十七章 27.2： 相似三角形的性质和判定 讲义

人教版九年数学下学期第二十七章27.2：相似三角形的性质和判定讲义 相似三角形的 性质与判定 知识互联网 模块一成比例线段 知识导航 1 / 18

k b = 为正整数，且1b b + 三、平行线分线段成比例定理及推论 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB EC AB AC = ． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BC DE CE CD == ． l 3 l 2 l 1E D F C A B E D C A B E D C B A

人教版九年数学下学期第二十七章27.2：相似三角形的性质和判定讲义 图⑴图⑵图⑶建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话） 3 / 18

【例1】 ⑴ 若 (0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．83 C ．73 D ．72 ⑵ 已知(0)a c abcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ） A ．b d a c = B ．a b c d b d --= C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠) D ．a d a b c b +=+ ⑶ 已知457 x y z ==，则x y y z +=+ ． ⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的 实际距离为 m ． ⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm . 【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ∵457x y z ==，∴4557x y y z ++= ++，∴93124x y y z +==+．⑷ 100； ⑸【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ） A ．AD AE D B E C = B ．AB AC A D A E = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB = ⑵ 如图，已知3 2 AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE = ； ②若10cm BD =，则AD = cm ， ③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =， 则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论： ①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 【解析】 ⑴ D ；⑵ 52；4；24cm ；⑶ 2 3 ；⑷ B. 夯实基础 模块二 相似的相关知识点 F E D C B A P N M C B A E D A B C

九年级数学下册第二十七章《相似》综合知识点总结

考试范围：xxx ；满分：***分；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个B 解析：B 【分析】 根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题； 【详解】 ∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0 ∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点； 故选：B ． 【点睛】 本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 2．如果二次函数2112y x ax = -+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x a x x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．3C 解析：C 【分析】 由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案． 【详解】 解：∵二次函数2112 y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1， 解分式方程4311x a x x ++=--可得x ＝72 a -， ∵关于x 的分式方程 4311x a x x ++=--有正整数解，

九年级数学下册第二十七章《相似》综合知识点总结(含答案)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ） A ．15 B ．10 C ．152 D ．5 2．若 234a b c ==，则a b b c +-的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．-5 D ．-15 3．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（ ） A ．（52，﹣6） B ．（4，﹣6） C ．（2，﹣6） D ．3 (,6)2 - 4．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．2:3

5．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m = =，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD 的值为（ ） A ．1m n - B ．1m m n +- C ．1n m n +- D ．1 n m - 6．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ） A ．90 B ．180 C ．270 D ．3600 7．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ） A ．21cm B ．14cm C ．6cm D ．24cm 8．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ） A ． AE EF BE BD = B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC = 9．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩