华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法

?

【学习目标】

1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法

解简单的数字系数的一元二次方程．

2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两

者之间相互比较和转化的思想方法．

3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的

实际意义，检验所得的结果是否合理．

?

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，

b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可

以化为a x 2=或b )a x (2

=-的形式，也可以用此法解．

(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所

以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解

的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2

2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项

系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、

c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方

程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；

④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的

实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫

做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0?方程有两个不相等的实数根．

△＝0?方程有两个相等的实数根．

△<0?方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，．

当a ＝1时，c x x b x x 2121=?-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；

(4)已知两数和与积求两数．

4．一元二次方程的应用

(1)面积问题；

(2)数字问题；

(3)平均增长率问题．

步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．

这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问

题的意义．

?

【经典例题精讲】

例1 解方程025x 2=-．

分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．

解：025x 2=-，

25x 2=，

25x ±=，x ＝±5．

∴5x 5x 21-==，．

?

例2 解方程

2)3x (2=+． 分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．

解：

2)3x (2=+， 23x ±=+，

23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．

?

例3 解方程

081)2x (42=--． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法

较好．

解：081)2x (42=--

整理，81)2x (42=-，

481

)2x (2=-，

292x ±

=-， ∴

25x 213x 21-==，．

注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；

若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=． ?

例4 解方程02x 3x 2

=+-．

分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．

解法一：

02x 3x 2=+-， (x －2)(x －1)＝0，

x －2＝0，x －1＝0，

∴2x 1x 21==，．

解法二：

∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，

∴

01214)3(ac 4b 22>=??--=-， ∴21

3x ±=．

∴1x 2x 21==，．

注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，

先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．

?

例5 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 2

2=-+--．

分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，

利用公式法求解．

解：把原方程左边展开，整理，得

0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．

∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--??--=-

22n 4mn 4m ++=

0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2

++=

2)

n 2m (m 3+±=．

∴n m x n m 2x 21-=+=，．

注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2

-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；

(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相

混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，

)n 2m ()n 2m (2+±=+±． ?

例6 用配方法解方程x 73x 22=+．

分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身

重要，要记住．

解：x 73x 22=+，

023x 27x 2=+-

， 0234747x 27x 22=+??? ??-??? ??+-2，

162547x 2

=??? ??-， ∴4547x ±=-． ∴

21

x 3x 21=

=，． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左

边就配成了一个二项式的完全平方．

?

例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：

(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．

分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=?的值的

符号就可以了．

解：

(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴

041)4(243ac 4b 22>=-??-=-． ∴方程有两个不相等的实数根．

(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，

∴09164)24(ac 4b 2

2=??--=-．

∴方程有两个相等的实数解．

(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+， 05x 7x 52=+-．

∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，

∴

554)7(ac 4b 22??--=- ＝49－100

＝－51<0．

∴方程无实数解．

注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．

?

例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．

分析：根据韦达定理

a c x x a

b x x 2121=?-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再

求出方程的另一根．但方法不如第一种．

解：设另一根为2x ，则

56x 25k x 222-=?-=+，， ∴53

x 2-=，k ＝－7． 即方程的另一根为53

-，k 的值为－7．

注意：一元二次方程的两根之和为

a b -，两根之积为a c ．

? 例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的

(1)平方和；(2)倒数和．

分析：已知21x x 23x x 2121-=?-=+，．要求(1)

2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ?+、的式子．

因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即

ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用

两数和与积表示两数的倒数和．

解：

(1)∵

21x x 23x x 2121-=?-=+，， ∴

212212221x x 2)x x (x x -+=+ ??? ??--??? ??-=212232 149+=

413=； (2)211221

x x x x x 1x 1+=+ 212

3

--

=

＝3．

注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、

倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．

?

例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．

分析：已知34x x 2m x x 2x x 2

2212121=+=?-=+，，，求m 就要在上面三个式子

中设法用

222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出． 解：设方程的两根为21x x 、，则

2m

x x 2x x 2121=?-=+，．

∵

212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴

)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=

＝－30． ∵

2m x x 21=， ∴m ＝－30．

注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得

m 的值．

?

例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．

分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形

式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=?-=+，．将p 、

q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=?++-．

解：设所求的方程为0q px x 2=++．

∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，

∴p ＝－12，q ＝20．

∴所求的方程为020x 12x 2=+-．

注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一

个．

?

例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出

它的根，即是这两个数．

解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．

∵q x x p 8x x 2121=?-==+，，

∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．

?

例13 如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为

2m 540，那么道路的宽度应是多少？

分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2

x x 20x 32-+．

题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．

解：设道路的宽度为x m ，则

2032x x 20x 325402?=-++．

0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，

x －2＝0，x －50＝0，

∴50x 2x 21==，．

∵x ＝50不合题意，

∴取x ＝2．

答：道路的宽度为2m ．

注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面

积和时应减去重合面积2x ．

?

例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，

求这两个月平均每月增长的百分率是多少？

分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，

增长两次后的产量是2

)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是

n )x 1(5000b +=． 这就是重要的增长率公式．

解：设平均每月增长的百分率为x ．则

7200)x 1(50002=+，

2536

)x 1(2=+，

56

x 1±=+，

∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．

答：平均每月增长的百分率是20%．

注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．

?

【中考考点】

一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．

例15 (2003·济南市)已知方程组???=+=++-②①

01y -x 022a y x 的两个解为???==???==2211y y x x y y x x 和，且21x x 、是两个不相等的实数，若11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，

(1)求a 的值；

(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？

分析：21x x 、是方程组中x 的两个解，故应首先消去y ，得到关于x 的方程．再

根据根的判别式及根与系数的关系可得解．

解：(1)由②得y ＝x ＋1，代入①整理，

得01a x x 2

=++-．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴0)1a (4)1(2>+--=?， 43

a -<．

又∵1a x x 1x x 2121+=?=+，，代入11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，

得

11a 6a 8x x 5)x x (221221--=-+． 整理，得07a a 82=--． 解得

87a 1a 21-==，． 而

43a -<， ∴87a -

=．

(2)∵0811a x x 01x x 2121>=+=?>=+，，

∴0x 0x 21>>，．

且01x y 01x y 2211>+=>+=，，

∴存在方程组的两个解都是正数．

注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．

?

例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，

直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )

A ．y ＝2x －3

B ．y ＝2x ＋3

C ．y ＝－2x ＋3

D ．y ＝－2x －3

分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ?的值，再求直线解析式．

解：∵3x x 23x x 2121-=?=+，， ∴??? ??0 23A ，，B(0，－3)．

将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得

?????+=-+=b 03b k 230，

∴???-==3b 2k ．

∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．

故选A ．

?

【常见错误分析】

例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2

=++-有两个实数根，则m 的取值

范围是__________．

错解：要使方程有两个实数根△≥0，

∴0m m 4)]1m 2([2≥?-+-， 4m ＋1≥0，41

m -≥．

∴m 的取值范围是

41

m -≥．

误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．

正解：要使方程有两个实数根，需满足

???≥?≠00m ，

∴0m m 4)]1m 2([2≥?-+-=?，

4m ＋1≥0，

41

m -≥．

∴m 的取值范围是

41

m -≥，且m ≠0． ?

例18 如果方程0q px x 2

=+-的两个根和2和－3，求p ，q ．

错解：根据根与系数的关系

2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ，

故p ＝1，q ＝－6．

误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．

正解：根据根与系数的关系

2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ，

∴p ＝－1，q ＝－6．

?

【学习方法指导】

本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好．要重视一元二次方程四种解法的探索过程．其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用而忽视

它．

?

【规律总结】

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，

b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可

以化为a x 2=或b )a x (2

=-的形式，也可以用此法解．

(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使

方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所

以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解

的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2

2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项

系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、

c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方

程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2

=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；

④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的

实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0?方程有两个不相等的实数根．

△＝0?方程有两个相等的实数根．

△<0?方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，．

当a ＝1时，c x x b x x 2121=?-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；

(4)已知两数和与积求两数．

4．一元二次方程的应用

(1)面积问题；

(2)数字问题；

(3)平均增长率问题．

步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．

这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问

题的意义． ?

【同步达纲练习】

一、填空题

1．方程3)5x (2=+的解是_____________．

2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，

方程的另一根是_____________．

3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．

4．已知5和2分别是方程0n mx x 2

=++的两个根，则mn 的值是

_____________．

5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是

_____________．

6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________． 7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________．

8．如果关于x 的方程0c x 5x 2

=++没有实数根，则c 的取值范围是

_____________．

9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2cm 48，则它的周长是_____________．

10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月

增长的百分率为_____________．

?

二、选择题

11．方程0x x 2=+的解是( )

A ．x ＝±1

B ．x ＝0

C ．1x 0x 21-==，

D ．x ＝1 12．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的

取值范围是( )

A ．k>9

B ．k<9

C ．k ≤9，且k ≠0

D ．k<9，且k ≠0

13．把方程084x 8x 2=--化成

n )m x (2=+的形式得( ) A ．100)4x (2=- B ．

100)16x (2=- C ．

84)4x (2=- D ．84)16x (2=- 14．用下列哪种方法解方程

4x 2)2x (32-=-比较简便( ) A ．直接开平方法 B ．配方法

C ．公式法

D ．因式分解法

15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )

A ．2

B ．3

C ．－2或3

D ．－3或2

16．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )

A ．02x 4x 32=-+

B ．x 65x 22=+

C ．02x 62x 32=+-

D ．01mx x 22=-+

17．已知方程

0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的值为( )

A ．p ＝8，q ＝－6

B ．p ＝－4，q ＝－3

C ．p ＝－3，q ＝4

D ．p ＝－8，q ＝－6

18．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )

A ．53x --=，k ＝－6

B ．53x --=，k ＝6

C ．53x +=，k ＝－6

D ．53x -=，k ＝6

19．两根均为负数的一元二次方程是( )

A ．05x 12x 72=+-

B ．05x 13x 62=--

C ．05x 21x 42=++

D ．08x 15x 22=-+

20．以3和－2为根的一元二次方程是( )

A ．06x x 2=-+

B ．06x x 2=++

C ．06x x 2=--

D ． 06x x 2=+-

?

三、解答题

21．用适当的方法解关于x 的方程

(1)

12)1x 2(4)1x 2(2=---； ?

?

?

(2)

6)1x ()3x 2(22=--+； ?

?

? (3)x 4)3x )(3x (=+-；

?

?

?

(4)027)1x 4(2

=--．

?

?

?

22．已知7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？

?

?

?

23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．

?

?

?

24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程

3k )3x )(1x (2-=+-一定有两个不相等实数根．

?

?

?

25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值

范围．

?

?

?

26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x

的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．

?

?

?

27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到

万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．

?

?

?

28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足43x x 21=，求

m 的值．

?

?

?

参考答案

【同步达纲练习】

一、

1．35x 35x 21--=+-=，

2．4，41

3．1或

32-

4．－70 5．－23，无实数根

6．62m ±=

7．0或24

8．

425c >

9．28cm

10．20%

二、

11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C

20．C

三、

21．

(1)用因式分解法

21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；

(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，；

(4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．

22．x ＝1或21

．

23．a ＝－6，b ＝8．

24．解：

3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 422

22>+=+=?，

∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根．

25．23

S -≤，且S ≠－3． 26．m ＝4．

27．解：设增长的百分率为x ，则

6129)x 1%)(101(1002.=+-?． 22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．

∴增长的百分率为20%．

28．解：提示：解?????????=-=?-=+43

x x m

3x x 5

m x x 2122121，

解得m ＝10，或

310m =．

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

(完整word版)华师大版一元二次方程单元测试题

一元二次方程单元检测题 一、选择题。（每题3分，共30分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A.2)1(x x x =- B.02=++c bx ax C.01122=++x x D.012=+x 2、若方程042 =-+bx x 的两根恰好互为相反数，则b 的值为（ ）。 A. 4 B. –4 C. 2 D. 0 3、将一元二次方程式0562=--x x 化成b a x =+2)(的形式，则b 等于（ ）。 A. -4 B. 4 C. -14 D. 14 4、关于x 的一元二次方程01)1(2 2=-++-a x x a 的一根是0，则a 的值为（ ）。 A. 1 B. –1 C. 1或-1 D. 0 5、若关于x 的一元二次方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是（ ）。 A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 6、已知222-+y y 的值为3，则1242++y y 的值为（ ）。 A. 10 B. 11 C. 10或11 D. 3或11 7、若关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实根分别为5，-6，则二次三项式n mx x ++2可分解为（ ）。 A. )6)(5(-+x x B. )6)(5(+-x x C. )6)(5(++x x D. )6)(5(--x x 8、关于x 的方程02 =++q px x 的两根同为负数，则（ ）。 A. 0>p 且0>q B. 0>p 且0q D. 0

一元二次方程教案设计

《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪

教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

华师大版九年级数学上册一元二次方程 单元测试卷

一元二次方程 单元测试卷 时间:120分钟 满分;120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或-1 2．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ） （A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）11 3．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++ 0.03- 0.01- 0.02 0.04 Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x << 4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定 5．某城市2007年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2009 年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是 A ．300(1＋x )=363 B ．300(1＋x )2=363 C ．300(1＋2x )=363 D ．363(1－x )2=300 6．现定义某种运算()a b a a b ?=>，若2(2)2x x x +?=+，那么x 的取值范围是（ ） （A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x > （D ）1x <- 7、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子 b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n -- 8、用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ） A.(a +2)2-1 B. (a +2)2-5 C. (a +2)2+4 D. (a +2)2-9 9、关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．3± 10、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百 分率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．55 (1+x )2=35 B ．35(1+x )2=55 C ．55 (1－x )2=35 D ．35(1－x )2=55

九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案新版华东师大版

第22章一元二次方程 22．1 一元二次方程 1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识． 重点 判定一个数是否是方程的根． 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 一、情境引入 教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题． 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x2＋10x－900＝0.(1) 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率． 解：设这两年的年平均增长率为x. 我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册， 同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册， 可列得方程5(1＋x)2＝7.2， 整理可得 5x2＋10x－2.2＝0. (2) 二、探究新知 教师指出问题，学生小组讨论，归纳． 问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： (1)都是整式方程； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数是2. 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，

一元二次方程教案

学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．

新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语

华师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 单元测试题(无答案)

第22章一元二次方程单元测试题 （满分120分；时间：120分钟） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 题号一二三总分 得分 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 若关于y的一元二次方程ky2?7y?7=0有实根，则k的取值范围是（） A.k>?7 4B.k≥?7 4 且k≠0 C.k≤?7 4 D.k>?7 4 且k≠0 2. 用配方法解方程x2?4x+2=0，下列变形正确的是（） A.(x?2)2=2 B.(x?4)2=2 C.(x?2)2=0 D.(x?4)2=1 3. 已知关于x的一元二次方程(a?1)x2?2x+a2?1=0有一个根为x=0，则a的值为() A.0 B.±1 C.1 D.?1 4. 若代数式x2?6x+5的值是12，则x的值为（） A.7或?1 B.1或?5 C.?1或?5 D.不能确定 5. 方程x(x+2)=x+2的两根分别为（） A.x1=?1，x2=2 B.x1=1，x2=2 C.x1=?1，x2=?2 D.x1=1，x2=?2 6. 关于x的一元二次方程ax2?bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b?8a+3的值为() A.?3 B.3 C.6 D.9 7. 一元二次方程x2?4x+1 4 =0根的情况是（）

A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 8. 若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2?1=0的一个根是0，则这个方程的另一个根是（） A.1 2 B.?1 2 C.1 D.?1 9. 方程x2=3x的解是（） A.x=0 B.x1=0，x2=?3 C.x=3 D.x1=0，x2=3 10. 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为（） A.x(x+1)=3080 B.x(x?1)=3080 C.2x(x+1)=3080 D.x(x?1)=3080×2 二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 11. 一元二次方程x2?4x?1=0可以配方成(x?2)2=________． 12. 当k＝________时，关于x的方程kx2?4x+3＝0，有两个相等的实数根． 13. 某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元．已知2013年至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则增长率为________．14. 若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为________． 15. 若α，β是一元二次方程x2?4x+2＝0的两根，则2 α+2 β 的值是________． 16. 若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是________（只写一个）．

2013年华师大九年级上第23章一元二次方程2检测题含答案

第23章 一元二次方程检测题 （本检测题满分:120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题2分，共24分） 1.下面关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②()()223911x x --+=；③13x x +=； ④() 2210a a x a ++-=1x -．其中是一元二次方程的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.（2013·河南中考）方程()()23x x -+=0的解是（ ） A.2x = B.3x =- C.122,3x x =-= D.122,3x x ==- 3．（2013·山东潍坊中考）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是（ ） A.当0k =时，方程无解 B.当1k =时，方程有一个实数解 C.当1k =-时，方程有两个相等的实数解 D.当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解 4.若()()160x y x y +--+=，则x y +的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．-2或3 D ．2或-3 5.（2013·四川泸州中考）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ） A.1k >- B.10k k <≠且 C.10k k ≠且≥- D.10k k >-≠且 6．（2013·安徽中考）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A.()24381389x += B.()2 3891438x += C.()238912438x += D.()243812389x += 7.利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，?则第二 季度共生产零件（ ） A ．100万个 B ．160万个 C ．180万个 D ．182万个 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分率 是（ ） A.10% B.19% C.9.5% D.20% 9.关于x 的一元二次方程2(2)0x mx m -+-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 10．已知,,a b c 分别是三角形的三边长，则方程()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 11.（2013·浙江丽水中考）一元二次方程2(6)16x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是64x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A.64x -=- B.64x -= C.64x += D.64x +=- 12.（2013·兰州中考）用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程是（ ） A.2(1)0x += B.2(1)0x -= C.2(1)2x += D.2(1)2x -= 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．（2013·天津中考）一元二次方程(6)0x x -=的两个实数根中较大的根是 . 14．已知关于x 的方程2230x x k ++=的一个根是－1，则k =_______． 15．（2013·兰州中考）若10b -，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法测试题1

22.2 一元二次方程的解法 ［课前预习］ 1、求下列各式中的x ： ⑴x 2 =225； ⑵x 2 -169=0； ⑶36x 2 =49； ⑷4x 2 -25=0． 2、用因式分解法写出下列方程的解： ⑴ x (x -2)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑵ （y +2)(y -3)=0 的解为y 1＝＿＿＿＿ y 2＝＿＿＿＿＿ ⑶ (3x +2)(2x -1)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑷ x 2 =x 的解为x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ 3、方程02=x 的根为 。 ［课内练习］ 4、解方程： （1）4x 2 -3=0 （2）(x -2)2 =5 （3）253 12 =x （4）(x +2)2=9 （5） (3x －1)2 =－5 （6）22 (2)4(3)x x -=+ 5、方程ax 2+c=0(a>0)有解的条件是______;其中的非负整数解为________。

6、解下列方程： （1）254x x =； （2）3x (x +2)=5(x +2) （3）3(2)(612)x x x ---=0 （4）x 2 -4=-(2-x )2 （5）2 (21)4(21)416x x +-++= （6）04222=-+-m mx x 7、解第6题中的方程3x (x +2)=5(x +2)，小明是这样解的： 方程两边同除以(x +2)，得 3x =5 ∴53 x = 这样解对吗？为什么？ 8、已知(x －3+3)(x －3)=0，求222(x-3)(x+1)x -9 x 2x 1x x ÷+++的值． ［课后评价］ 9、选择题： （1）方程x 2 =0的实根个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．以上答案都不对 （2）方程(x-a )2 =b (b ＞0)的根是（ ） A 、a -± B 、)a ±+ C 、a ± D 、a ±

一元二次方程全教案

21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x

一元二次方程组教案

5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+

想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法 【学习目标】 1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 解简单的数字系数的一元二次方程． 2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两 者之间相互比较和转化的思想方法． 3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的 实际意义，检验所得的结果是否合理． 【基础知识精讲】 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可 以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所 以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项 系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

一元二次方程教学案例及反思

一元二次方程教学案例及反思 一、案例背景 1、教材分析： 一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时，主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定义。 2、学生分析 在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。教师要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 3、教学目标： （1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 （2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。 （3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 4、教学重点： 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。 5、教学难点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 6、教学思路： 以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。 二、课堂实录： （一）复习引入 师：我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。 师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？ 生1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。 生2：不是“式子”应该是整式方程。 师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。

(最新整理)华师大版一元二次方程单元测试题

(完整)华师大版一元二次方程单元测试题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)华师大版一元二次方程单元测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)华师大版一元二次方程单元测试题的全部内容。

一元二次方程单元检测题 一、选择题。（每题3分,共30分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 。2)1(x x x =- B 。02=++c bx ax C 。01122=++x x D 。012=+x 2、若方程042=-+bx x 的两根恰好互为相反数,则b 的值为（ ）。 A 。 4 B. –4 C. 2 D. 0 3、将一元二次方程式0562=--x x 化成b a x =+2)(的形式，则b 等于（ ）。 A. -4 B. 4 C. -14 D 。 14 4、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一根是0，则a 的值为（ ）. A 。 1 B. –1 C 。 1或-1 D 。 0 5、若关于x 的一元二次方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是 （ ）。 A 。 —2 B 。 -1 C 。 0 D 。 1 6、已知222-+y y 的值为3，则1242++y y 的值为( ）。 A 。 10 B. 11 C. 10或11 D. 3或11 7、若关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实根分别为5，-6,则二次三项式n mx x ++2可 分解为（ )。 A 。 )6)(5(-+x x B. )6)(5(+-x x C 。 )6)(5(++x x D 。 )6)(5(--x x 8、关于x 的方程02=++q px x 的两根同为负数，则( ）。 A 。 0>p 且0>q B 。 0>p 且0q D. 0

一元二次方程教学案例.

一元二次方程教学案例 教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(?指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是:"使学生了解一元二次方程的概念"，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。 知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标:通过一元二次方程概念的教学，培养学生善于观察，发现，探索，归纳问题的能力，培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点，难点及确定重难点的依据 "一元二次方程"有着承上启下的作用，在今后的学习中有广泛的应用，因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念，一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理 在教学中，我发现有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差，缺乏应变能力，针对学生中存在的这些问题，本节课突出对教学概念形成过程的教学，采用探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学习。 三、教学方法和学法 教学中，我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手，类比发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学生发现规律，并总结规律，最后达到问题解决。 四、教学手段 采用投影仪 五、教学程序 1、新课导入: