三角函数应用题

三角函数型应用题（高一）

1． 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道

FHE Rt ?(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的

接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =

米，AD =记BHE θ∠=.（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2

）若

sin cos θθ+=L ；

（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.

解：（1）

10cos EH θ=

，10

sin FH θ=

θθcos sin 10=

EF

由于10tan BE θ=?≤

，10tan AF θ=≤

tan θ≤≤

[,]63ππθ∈101010cos sin sin cos L θθθθ=++? ， [,]63ππθ∈. (2) 2cos sin =+θθ时，

21

cos sin ==

θθ,)12(20+=L ;

（3）

101010cos sin sin cos L θθθθ=

++?=sin cos 1

10()sin cos θθθθ++?

设sin cos t θθ+= 则

21

sin cos 2t θθ-?=

由于[,]63ππθ∈，

所以

1

sin cos )[

42t π

θθθ=+=+∈

201L t =

-

在内单调递减，

E

于是当

t =

时

,63ππθθ==

时 ，L 的最大值1)米. 答：当

6πθ=

或3π

θ=时所铺设的管道最短，为1)米.

2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD ，

AB =50米，BC =闲散步，

该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，考虑到小区整体规划，

要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°，如图所示． （1）设∠BOE =α，试将OEF ?的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．

解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α

.…………2分 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=

25

sin α

.……………………4分

又∠EOF=90°，∴

EF==25

cos sin αα

, ∴252525

cos sin cos sin l OE OF EF αααα

=++=

++

即25(sin cos 1)cos sin l αααα

++=． …………………………………………6分

当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π

6；

当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π

3

．

故此函数的定义域为ππ

[,]63

.……………………………………………………………8分

(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF ?的周长l 的最小值即可.

由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=

，ππ

[,]63

α∈

设sin cos t αα+=，则21

sin cos 2

t αα-?=，

∴225(sin cos 1)25(1)50

1cos sin 12t l t t αααα+++=

==

--……………………………………………12分 由，5ππ7π

12412

α≤+≤

t ≤≤

11t ≤-≤，

1

111t ≤-，……………………………………………………………15分

当π

4

α=，即BE=25

时，min 1)l =,

所以当BE=AE=25

米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元.…………16分

3. 如图，ABCD 是块边长为100m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。

解：设),900(?≤≤?=∠θθPAB 延长RT 交AB 于M

θθsin 90,cos 90==MP AM .cos 90100θ-==∴MB PQ

θsin 90100-=-=MP MR PR )sin 90100)(cos 90100(θθ--=?=∴PR PQ S PQ RC 矩形

θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=),900(?≤≤?θ

令2

1cos sin ),21(cos sin 2-=≤≤+=t t t θθθθ

950)9

10

(405021810090001000022+-=-?+-=t t t S PQRC

矩形-10

故当9

10=t 时，S 的最小值为2

950m ,当2=t 时 S 的2)2900014050(m -

4

60

的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形

PNMQ ，使点Q 在OA 上，点,N M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ,按下列要求写

T Q C

P

S

D

R

A

B

出函数的关系式：（1）①设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；②设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值．

解：（1）①因

为ON = ，

3

OM x =

， 所

以3M N x =-

，

… 2分

，

所

以

3

),(0,)2

y x x x =∈.…………… 4分

②因为PN θ=

，ON θ

，sin OM θθ=

=，

所以sin MN ON OM θθ=-=-……………………… 6分

所以sin )y θθθ-，

即2

3s i n c o s

y θθθ=，((0,))3

π

θ∈… 8分

（2

）选择2

3sin cos )6

y πθθθθ==+，............... 12分 (0,)3πθ∈ 52(,)666πππθ∴+∈ (13)

分所以max y =……… 14分

5． 如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ?的内接正方形PQRS 为一水池，ABC ?外的地方种草,其余地方种花. 若BC=a, ABC=θ∠，设ABC ?的面积为

1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值

2

1

S S 称为“规划合理度”. （1）试用a ,θ表示1S 和2S ；

（2）若a 为定值，当θ为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

P O

A

B

Q

M

N

A

B

C

P

Q R

S

（1）在Rt ABC ?中，cos ,sin AB a AC a θθ==，

2111

sin cos 22

S AB AC a θθ=

?=……………3分 设正方形的边长为x 则,cos sin x

BP AP x θθ

=

=， 由BP AP AB +=，得

cos cos sin x

x a θθθ

+=， 故sin cos 1sin cos a x θθθθ

=+

所以2

22sin cos (

)1sin cos a S x θθθθ

==+……………6分 （2）22

121

(1sin 2)1(1sin cos )112sin 212sin cos sin 2sin 24S S θθθθθθθθ++=?==++，…… 8分 令sin 2t θ=，因为02

π

θ<<

，

所以02θπ<<，则sin 2(0,1]t θ=∈……………10分

所以1211

1()4

S t g t S t =++=，211()04g t t '=-+<，

所以函数()g t 在(0,1]上递减，……………12分

因此当1t =时()g t 有最小值min 9

()(1)4

g t g ==，

此时sin 21,4

π

θθ==……………14分

所以当4

π

θ=

时，“规划合理度”最小，最小值为

9

4

．……………15分 6． 如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ；

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板面的长 (用θ表示)；

⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

解：（1）DM =

θsin 2

，DN =θcos 2，MF =θ

tan 1，EN =θtan ， A B

∴EF=DM+DN-MF-EN =

θsin 2+θcos 2－θ

tan 1－θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （2

0πθ≤≤）

（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（2

0π

θ≤

≤），平板车的长度不能通过，

即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =2

12-t ，

=

θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1

2

42--t t

此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则4

2

+=m t ）或直接求导，以确定函数在]2,1[上的单调性；当2=

t 时取得最小值224-

7．（本小题满分15分） 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： （1）求棒长L 关于α的函数关系式：()αL ； （2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．

解：（1）如图，ααsin 2,cos 2==

BC AB ()

α=+==BC AB AC L （2）()()α

ααααcos sin sin cos 2+=

L

令??? ?

?

+=

+=4sin 2sin cos παααt ，因为40πα<<，所以(]

2,1∈t ，

则()2

1

21cos sin cos sin 22

-=-+=t αααα

t

t t t L 12

21

222-=-=

，当(]

2

,1∈t 时，t t 1-随着t 的增大而增大，所以??

? ??∈-22,01t t 所以[)+∞∈,4L 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 ………15分

8． 如图，A ，B ，C 是三个汽车站，AC ，BE 是直线型公路．已知AB ＝120 km ，∠BAC ＝

A

75°，∠ABC ＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km ）的速度往返于车站A ，C 之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km ）的速度从车站B 开往另一个城市E ，途经车站C ，并在车站C 也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A 、乙车从车站B 同时开出．（1）计算A ，C 两站距离，及B ，C 两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C 处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．

1.4

1.7≈

2.4

10.5≈）

（1）在△ABC 中，∠ACB ＝60°．∵

sin60sin75sin 45AB BC AC

==

???

，

∴120120sin 4596(km)sin 60AC ?

=

=

=?

，

120120sin 75132(km)sin 60BC ?

=

=

=≈?

． （2）甲车从车站A 开到车站C 约用时间为

96

196

=（小时）＝60（分钟）

，即9点到C 站，至9点零10分开出．乙车从车站B 开到车站C 约用时间为132

1.1120

=（小时）＝66（分钟）

，即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．

（3）10点时甲车离开C 站的距离为

50

9680(km)60

?=，乙车离开C 站的距离为44

12088(km)60

?=，两车的距离等于

=

＝810.584(km)?=．

9． 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即60C ?

∠=），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC θ∠=，问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？

B

解：在ABC ?中，由正弦定理：

sin sin sin()

33

AC AB BC

ππθθ==

+ ··································· 3分

化简得：sin AC θ=

s i n ()

3

BC πθ=+ 所以1sin 23

ABC S AC BC π

?=??

1sin sin()(sin )32

πθθθθθ=?+=? ·

···················

·············· 8分

21cos 2cos )3(2)2θθθθθ-=?=

1[sin(2)]26

π

θ=+-

即sin(2)6ABC S πθ?=-+2(0)3

π

θ<< ·············

········································ 12分

所以当2,62ππθ-=即3π

θ=时，max ()ABC S ?= ·············································

····· 14分

答：当60θ?

=时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。 ·····

·····················

······

··· 15分

另解：1sin 23ABC S AC BC π?=??sin sin()3πθθ=?+)cos ]33ππ

θ=-+-

)3πθ=-++2(0)3

π

θ<<（下同）

10． 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解：（1）设相遇时小艇航行的距离为s 海里，则

s ＝900t 2＋400－2×30t ×cos(90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400

故当t ＝1

3

时，s min ＝103，此时v ＝303．

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（2）如图，由（1）得OC ＝103，AC ＝10，故OC ＞AC ，

且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC ＞AC ．而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇．

设∠COD ＝θ（0＜θ＜π2），则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD ＝103

cos θ

，

30°

A

O

C D

θ

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103

v cos θ

，

所以10＋103tan θ30＝103 v cos θ ，解得v ＝153sin(θ＋π6

)

．又v ≤30，故sin(θ＋π6)≥32，从而π6≤θ≤π

2

．

由于θ＝π6时，tan θ取得最小值33，于是当θ＝π6时，t ＝10＋10

3tan θ30取得最小值2

3

.

此时，在△AOB 中，OA ＝OD ＝AD ＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东π

6

，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．