线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全
第一章 行列式
二三阶行列式
N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的
n 个元素的乘积的和
n n
n nj j j j j j j j j n
ij a a a a ...)1(21212121)
..(∑-=
τ
（奇偶）排列、逆序数、对换
行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T
D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性
⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j
i ij M A +-=)
1(
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则：
非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D
D x j j ??==、
齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：
①转置行列式：33
23
13
322212
31211133
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a →
②对称行列式:ji ij a a =
③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式:33
31
2221
13
1211
0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章 矩阵
n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律
乘法
n
m l
kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1
**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义
一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T
T =)( T
T
T
B A B A +=+)( T
T
kA kA =)( T
T
T
A B AB =)((反序定理) 方幂：212
1k k k k
A A
A +=
212
1)
(k k k k A A +=
矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）
单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵
阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素
阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A
=-1
(非
|A|=0、伴随矩阵)
2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆
倍乘阵 倍加阵） ???
? ?
?=O O
O I D r
r 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩
若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩
求法：1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式n
ij n n
ij
a k ka =
逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律：
1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--1
1)
(
2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且11
1)(--=
A k
kA 3、可逆矩阵A 的转置T
A 也是可逆的，且T T A A )()
(11
--=
4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111
)
(---=A B AB
但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但1
1
)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A 可逆，则1
1
--=A A
伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵：???
? ??=22211211
*
A A
A A A （代数余子式） 特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵???? ??=C O B A D 则???? ??-=-----11111
C O BC A A
D 2、准对角矩阵??
?
??
??
?
?=43
2
1
A A A A A ， 则??????
?
?
?=-----141
3
1
2
111
A A A A A 3、 I A A A AA ==*
*
4、1
*
-=A A A （A 可逆） 5、1
*
-=n A
A 6、()()
A A
A A
1
*
11
*=
=--（A 可逆） 7、()()*
*
T T A A = 8、()
***
A B AB =
判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*
1
1A A
A =- 求逆矩阵的方法：
定义法I AA
=-1
伴随矩阵法A
A A *
1
=-
初等变换法()()
1||-=A I
I A n
n
只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()
n
m ij a
A *=是m*n 阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m 阶初等矩
阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）
第三章 线性方程组
消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当n r ≠时，有无穷多解 r(AB)≠r(B)，无解
齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A) 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个 N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义P188） 定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。 秩:极大无关组中所含的向量个数。 定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（行）秩为r 。 现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系 线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合 单位向量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关 向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα= 判断是否为线性相关的方法： 1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的） 2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T 线性无关（充要）n r T n T T =?)....(21 ααα 推论①当m=n 时，相关，则0321=T T T ααα；无关，则0321≠T T T ααα ②当m 推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。 定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。 齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα （I ）的两个解的和21αα+仍是它的解； （I ）解的任意倍数αk 还是它的解； （I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。 非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ （II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解； 若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。 定理： 如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。 若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。 第四章 向量空间 向量的内积 实向量 定义：（α，β）=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2 k (α,β); (α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),( 1 1 1 1 j i s j j r i i j s j j r i i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,, 向量的长度),(ααα= 0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1 单位化 向量的夹角 正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T == 性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1 ，且1-A 也是正交矩阵； ２、若A 为正交矩阵，则1±=A ； ３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是 标准正交向量； 第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量 A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一 个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。 |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX 2、求特征值、特征向量的方法 0=-A I λ 求i λ 将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的） 特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ??? ? ? ?? 4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值 则1 -A --------λ 1 则m A --------m λ 则kA --------λk 若2 A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0 迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +??++2211 性质： 1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的 2、A 与1-A 有相同的特征值 3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、 5、P281 相似矩阵 定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1 ，则矩阵A 与B 相似，记作A~B 性质1、自身性：A~A,P=I 2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---1 11)( 3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-21 2- --C P P A P P =-)()(211 21 4、若AB ，则A 与B 同（不）可逆 5、若A~B ，则11 ~--B A B AP P =-1两边同取逆，111---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。 （特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若A~B ，则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩 例子：B AP P =-1 则1100100 -=P PB A O AP P =-1 A=O I AP P =-1 A=I I AP P λ=-1 A=I λ 矩阵对角化 定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量 注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致 2、A~^,则^与P 不是唯一的 推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281） 定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有i i K n A I r -=-)(λ 注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。 约当形矩阵 约当块：形如??? ? ? ? ? ??=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵??? ? ? ? ?=n J J J J 2 1 （i J 是约当块）称为约当形矩阵。 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1 。 第六章 二次型 二次型与对称矩阵 只含有二次项的n 元多项式f()称为一个n 元二次型，简称二次型。 标准型：形如 的二次型，称为标准型。 规范型：形如 的二次型，称为规范型。 线性变换 矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得 则称A 与B 是合同的，记作A B 。 合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、 化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项） ()0A r A n A Ax A A οο?? =?=?????不可逆 有非零解 是的特征值 的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i n A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ?? =??=? ?? ≠???? ?? =??????∈=? 可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵 总有唯一解R ? ????→??? 具有 向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο *===** =- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→ 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --????=????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 1121n a a n a a a a -????????????=???????? ????? ? 2 1 1 1 121 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???????? ??? ?? ? 1 1121 211 n n A A A A A A ----? ? ? ??? ?? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,,,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ??? 则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：1111 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=?????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, ,B A B E X ????→ 初等行变换 （当为一列时(I)的解法：构造()() 即为克莱姆法则） T T T T A X B X X =(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得 √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,,,s ηηη 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη 线性无关； ② 12,,,s ηηη 是0Ax =的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数. ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. ④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合. ⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=. ⑨ ()0r A A ο=?=. ⑩ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法惟一. ? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ???=??? A 经过有限次初等变换化为 B . 记作：A B = ? 矩阵A 与B 等价?()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示 ?1212(,,,,,,)n s r αααβββ??????12(,,,)n r ααα=????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关. 向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n . ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价. ? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 若A 是m n ?矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即： 12,,,n ααα???线性无关. Ax β= 1122n n x x x αααβ+++= 11 1211121 222221 2 ,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β?????? ????????????===?? ?????????? ?????? 12,1,2,,j j j mj j n αααα??????==???????? 1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A n Ax Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα??==?????→=<<≠???==?????→≠?=?=<≠ =? 当为方阵时 当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ?? ?????? ?????? ??????→?? ?≠?? ?=? 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解 线性方程组解的性质： 1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+??=?? =??++? ==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 211212112212112212,0(7),,,,1 00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλλη ληληλλλ????? ???? ??? ?=?-=? =??++=?++=??++=?++=? 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 √ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β= ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.?<方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 ,则该向 量组线性相关. m 是()()r A r A β 和的上限. √ 矩阵的秩的性质： ① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B ④ ()0()00 r A k r kA k ≠?=?=? 若 若 ⑤ ()()A r r A r B B οο?? =+?? ?? ⑥0,()A r A ≠若则≥1 ⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则 ,()()B r AB r A =若可逆则 ⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律: 0AB B AB AC B C ο =?==?= n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. (,)0αβ= . 1α==. √ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα= ③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ== 123,,ααα线性无关, 112122111313233121122(,) ()(,)(,) ()()βααββαβββαβαββαββββββ=????=-?? ?=- -?? 正交化 单位化：111βηβ= 222β η β= 333 βηβ= T AA E =. √ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n 的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=； ② T T AA A A E ==； ③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1. E A λ-. ()E A f λλ-=. 0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1n i A λ=∑tr √ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]12 12,,,n n a a b b b a ???????????? 、 21122()n n A a b a b a b A =+++ ,从而A 的特征值为： 11122n n A a b a b a b λ==+++ tr , 230n λλλ==== . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ ，()f x 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ ； ② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111 ,,,n λλλ , A *的全部特征值为12,,,n A A A . √ 1122,.m m A k kA a b aA bE A A A A A λλλλλλ-*??++????????? 是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m A k kA a b aA bE A x A x A A A λλλλλλ-*??++????? ???? 是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B √ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值 ,则A 与对角阵相似. 1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B -- 若,A B 均可逆 ② T T A B ③ k k A B （k 为整数） ④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征 向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr √ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同； ③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量； ⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）. A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有： []121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n P A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ ??????===?????? . √ 若A B , C D ,则：A B C D οοοο???? ???? ???? . √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =. 12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x = T B C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B = √ 12(,,,)T n f x x x X AX = 经过正交变换 合同变换可逆线性变换 X C =化为 2121 (,,,)n n i i f x x x d y =∑ 标准型. √ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 ()r A +正惯性指数负惯性指数 惟一确定的. √ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时, √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. √ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100?? ???????? -?? ???? -?? ???? ? ????? 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: ① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n n i i f x x x d y =∑ ,Λ的主对角上 的元素i d 即为A 的特征值. 线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο?? √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N 线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 （一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ， 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 . (3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 （4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ， 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 （1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 （2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列， 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵 线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? ⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件： 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 线性代数知识点总结归纳 第一章行列式 知识点1：行列式、逆序数 知识点2：余子式、代数余子式 知识点3：行列式的性质 知识点4：行列式按一行（列）展开公式 知识点5：计算行列式的方法 知识点6：克拉默法则 第二章矩阵 知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律 知识点8：矩阵的乘法运算及运算律 知识点9：计算方阵的幂 知识点10：转置矩阵及运算律 知识点11：伴随矩阵及其性质 知识点12：逆矩阵及运算律 知识点13：矩阵可逆的判断 知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解 知识点16：初等变换的概念及其应用 知识点17：初等方阵的概念 知识点18：初等变换与初等方阵的关系 知识点19：等价矩阵的概念与判断 知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式 知识点21：矩阵的秩的概念与判断 知识点22：矩阵的秩的性质与定理 知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例 第三章向量 知识点25：向量的概念及运算 知识点26：向量的线性组合与线性表示 知识点27：向量组之间的线性表示及等价 知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念 知识点29：线性表示与线性相关性的关系 知识点30：线性相关性的判别法 知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系 知识点33：求向量组的最大无关组 知识点34：有关向量组的定理的综合运用 知识点35：内积的概念及性质 知识点36：正交向量组、正交阵及其性质 知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法 知识点38：向量空间（数一） 知识点39：基变换与过渡矩阵（数一） 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 第一章行列式 一、行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T |.（行列互换，行列式不变） 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式. a u a i2 a i3 a n a i2 ^13 ka n a i2 a i3 a 2X a 22 a 23 — ka 2x ka’2 転23 = ka 2} a 22 a 23 角1 a 32 ?33 a 3i 角2 。33 脳31 ?33 若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 坷 1 坷］a n 纠3 41 a n 坷 3 a 21+b l a 22+b 2 如+4 — a 21 a 22 "23 + b l b 2 S 。31 “32 。33 。31 “32 “33 。31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 （行） 对应的元素上去，行列式不变. a \\ a i2 a i3 a u a n + ka !3 a i3 a CL CL a CL + ka a W 21 u 22 w 23 ^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33 °31 “32 + 氐 °33 。33 性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + ? ? ? + a in A in （1 = 1,2,? ? ?, n ） 推论2 性质4 。21 ^22 a 31 “32 ka [{ ka {2 。 13 。 23 a 33 。 21 °3a n "12 "13 a 22 ^23 a 32 = 40 = 0 性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5 线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【 线性代数复习总结大全 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=) 1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
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