专题02基本初等函数(知识梳理)
第一节 指数与指数函数
1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂: a
m n
=n
a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).
②负分数指数幂: a -
m n
=1
a
m n
=
1n a m
(a >0,m ,n ∈N *,且n >1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r +
s (a >0,r ,s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q). 2.指数函数的图象与性质
R
1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
2.指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意区分a >1或0 [谨记通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 考点二 指数函数的图象及应用 重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1.(2018·嘉兴能力测试)若函数f (x )=a x -b 的图象如图所示,则( ) A .a >1,b >1 B .a >1,0 C .01 D .0 解析:选D 由f (x )=a x -b 的图象可以观察出,函数f (x )=a x -b 在定义域上单调递减,所以0 2.已知a >0,且a ≠1,若函数y =|a x -2|与y =3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________. 解析:①当0 . ②当a >1时,作出函数y =|a x -2|的图象,如图b ,若直线y =3a 与函数y =|a x -2|(a >1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a <2,此时无解.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭ ⎫0,23. 答案:⎝⎛⎭ ⎫0,2 3 [由题悟法] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎫-1,1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [即时应用] 1.函数f (x )=1-e |x |的图象大致是( ) 解析:选A 将函数解析式与图象对比分析,因为函数f (x )=1-e |x |是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 满足上述两个性质. 2若函数y =|3x -1|在(-∞,k ]上单调递减,求k 的取值范围. 解:函数y =|3x -1|的图象是由函数y =3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示. 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k 的取值范围是(-∞,0]. 考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小,属中低档题. 常见的命题角度有: (1)比较指数式的大小; (2)简单指数方程或不等式的应用; (3)探究指数型函数的性质. [通法在握] 应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略 题型 求解策略 比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小 解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解 探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 [提醒]在研究指数型函数的单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论. 第二节对数与对数函数 1.对数 概念如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,log a N 叫做对数式 性质对数式与指数式的互化:a x=N⇔x=log a N log a1=0,log a a=1,a log a N=N 运算法则log a(M·N)=log a M+log a N a>0,且a≠1,M>0,N>0 log a M N=log a M-log a N log a M n=n log a M(n∈R) 换底公式换底公式:log a b=log c b log c a(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0) 2.对数函数的图象与性质 y=log a x a>10 图象 性质定义域为(0,+∞) 值域为R 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0 当x>1时,y<0; 当0 3.反函数 指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 1.在运算性质log a Mα=αlog a M中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为log a Mα=αlog a|M|(α∈N*,且α为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围. [谨记通法] 对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简; (2)将同底对数的和、差、倍合并; (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.如“题组练透”第1题易错. 考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领] (2018·杭州模拟)设f(x)=|ln(x+1)|,已知f(a)=f(b)(a A.a+b>0B.a+b>1 C.2a+b>0 D.2a+b>1 解析:选A 作出函数f (x )=|ln(x +1)|的图象如图所示,由f (a )=f (b ), 得-ln(a +1)=ln(b +1),即ab +a +b =0.所以0=ab +a +b < a + b 2 4 +a +b ,即(a +b )(a +b +4)>0,显然-10, ∴a +b +4>0.∴a +b >0.故选A. [由题悟法] 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. [即时应用] 1.函数f (x )=ln|x -1|的图象大致是( ) 解析:选B 当x >1时,f (x )=ln(x -1),又f (x )的图象关于x =1对称,故选B. 2.(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x +2x =5,x 2满足2x +2log 2(x -1)=5,则x 1+x 2=( ) A.52 B .3 C.72 D .4 解析:选C 2x =5-2x,2log 2(x -1)=5-2x ,即2x -1=52-x ,log 2(x -1)=52 -x ,作出y =2x - 1, y =5 2-x ,y =log 2(x -1)的图象(如图). 由图知y =2x -1 与y =log 2(x -1)的图象关于y =x -1对称,它们与y =5 2 -x 的交点A ,B 的中点 为y =5 2-x 与y =x -1的交点C ,x C =x 1+x 22=74 , ∴x 1+x 2=7 2 ,故选C. [通法在握] 1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 2.比较对数值大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 第三节幂函数 1.五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质y=x y=x2y=x3y=x 1 2y=x -1 图象 定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 (-∞,0) 减,(0,+ ∞)增 增增 (-∞,0)和 (0,+∞)减 公共点(1,1) 1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. [小题纠偏] 1.已知函数f (x )=ax 2+x +5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是________. 答案:⎝⎛⎭⎫1 20,+∞ 2.给出下列命题: ①函数y =2x 是幂函数; ②如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点; ③当n <0时,幂函数y =x n 是定义域上的减函数; ④二次函数 y =ax 2+bx +c ,x ∈[m ,n ]的最值一定是 4ac -b 2 4a . 其中正确的是________(填序号). 答案:② 考点一 幂函数的图象与性质 基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1.幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( ) 解析:选C 令f (x )=x α,则4α=2, ∴α=1 2 ,∴f (x )=x 1 2. 2.已知幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m +1 为偶函数,则m =( ) A .1 B .2 C .1或2 D .3 解析:选A ∵幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m +1 为偶函数,∴m 2-3m +3=1,即m 2-3m +2= 0,解得m =1或m =2.当m =1时,幂函数f (x )=x 2为偶函数,满足条件.当m =2时,幂函数f (x )=x 3为奇函数,不满足条件.故选A. 3.若(a +1)12 <(3-2a )12 ,则实数a 的取值范围是________. 解析:易知函数y =x 12 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数, 所以⎩⎪⎨⎪ ⎧ a +1≥0,3-2a ≥0, a +1<3-2a ,解得-1≤a <2 3 . 答案:⎣ ⎡⎭⎫-1,23 [谨记通法] 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y =x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数y =x α(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断. (3)若幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. 考点二 求二次函数的解析式 重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 解:法一:(利用二次函数的一般式) 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨ ⎪⎧ 4a +2b +c =-1, a - b + c =-1, 4ac -b 2 4a =8, 解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a =-4, b =4, c =7. 故所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:(利用二次函数的顶点式) 设f (x )=a (x -m )2+n . ∵f (2)=f (-1),∴抛物线对称轴为x = 2+ -12=1 2 . ∴m =1 2,又根据题意函数有最大值8,∴n =8, ∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -1 22+8. ∵f (2)=-1, ∴a ⎝⎛⎭⎫2-1 22+8=-1,解得a =-4, ∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -1 22+8=-4x 2+4x +7. 法三:(利用两根式) 由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值y max=8,即4a-2a-1-a2 4a=8. 解得a=-4或a=0(舍去), 故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. [由题悟法] 求二次函数解析式的方法 [通法在握] 1.二次函数最值问题的3种类型及解题思路 (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动. (2)思路:抓“三点一轴”,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)关键:两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否可分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min. 专题10 基本初等函数(知识梳理) 一、指数与指数函数 (一)指数式的化简与求值 1、化简原则:①化根式为分数指数幂; ②化负指数幂为正指数幂; ③化小数为分数; ④注意运算的先后顺序。 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算。 2、结果要求:①题目以根式形式给出,则结果用根式表示; ②题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂形式表示; ③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂。 例1-1.已知4 1 < a ,则化简42)14(-a 的结果是( )。 A 、a 41-- B 、14--a C 、14-a D 、a 41- 【答案】D 【解析】a a a 41)41()14(4242-=-=-,故选D 。 变式1-1.化简3a a ?-的结果是( )。 A 、6 5a - B 、6 5a -- C 、65a - D 、5 2a - 【答案】B 【解析】∵0≤a ,则65656 5 3 1 21 3 12 1 3 )()()()()(a a a a a a a a a --=--=--= -?--= ?-=?-,故选B 。 变式1-2.已知31 =+-x x ,求下列各式的值:(1) 2 12 1- +x x ;(2)2 2 -+x x ;(3) 2 32 3- +x x 。 【解析】(1)∵ 52)(2)()(1 2 212 12 12 212 212 1=++=+?+ = +-- - - x x x x x x x x ,∴ 52 12 1±=+-x x , 又由31 =+-x x 得0>x ,∴52 12 1=+- x x ; (2)72)(2122=-+=+--x x x x ; (3) ]1))[((])())[(()()(121 2 1221 2 12 12 21212 13 213 212 32 3-+ +=+?- += += +-- - - - - - x x x x x x x x x x x x x x 52)13(5=-=。 (二)指数函数的图像和性质 1、定义:一般地,函数x a x f =)((0>a 且1≠a )叫做指数函数,其中x 是自变量。 2、图象和性质: 专题02基本初等函数(知识梳理) 第一节 指数与指数函数 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂: a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1). ②负分数指数幂: a - m n =1 a m n = 1n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1). ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r + s (a >0,r ,s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q). 2.指数函数的图象与性质 R 1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 2.指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意区分a >1或01,b >1 B .a >1,01 D .00,且a ≠1,若函数y =|a x -2|与y =3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________. 解析:①当01时,作出函数y =|a x -2|的图象,如图b ,若直线y =3a 与函数y =|a x -2|(a >1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a <2,此时无解.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭ ⎫0,23. 答案:⎝⎛⎭ ⎫0,2 3 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数(μ是常数)叫做幂函数。 2幂函数的定义域,要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值,幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示:[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α>0时,图像都过(0,0)、(1,1 注意α>1与0<α<1的图像与性质的区别. ②α<0时,图像都过(1,1)点,在区间(0 上无限接近y轴,向右无限接近x轴. ③当x>1时,指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1.指数函数 1函数 (a 是常数且a>0,a ≠ 1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ,总有,又,所以指数函数的图形,总在x 轴的上方, 且通过点(0,1)。 若a>1,指数函数是单调增加的。若0 2.对数函数 由此可知,今后常用关系式,如: 指数函数的反函数,记作(a是常数且a>0,≠ a1),叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称(图1-22)。 的图形总在y轴上方,且通过点(1,0)。 若a>1,对数函数是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若01 0 2.2.2 函数的奇偶性 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 知识点一函数奇偶性的几何特征 思考下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢? 梳理图象关于y轴对称的函数称为______函数,图象关于原点对称的函数称为______函数.知识点二函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性? 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处? 梳理设函数y=f(x)的定义域为A. 如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数; 如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数. 如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有奇偶性. 知识点三奇(偶)函数的定义域特征 思考如果一个函数f(x)的定义域是(-1,1],那这个函数f(x)还具有奇偶性吗? 梳理判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于________对称. 类型一证明函数的奇偶性 命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性 例1 (1)证明f (x )=x 3-x 2 x -1 既非奇函数又非偶函数; (2)证明f (x )=(x +1)(x -1)是偶函数; (3)证明f (x )=1-x 2 +x 2 -1既是奇函数又是偶函数. 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定属于定义域. 跟踪训练1 (1)证明f (x )=(x -2) 2+x 2-x 既非奇函数又非偶函数; (2)证明 f x =x |x |是奇函数. 命题角度2 证明分段函数的奇偶性 例2 判断函数f (x )=? ?? ? ? x +52-4,x ∈-6,-1],x -5 2 -4,x ∈[1,6 的奇偶性. 函数及其基本初等函数 〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及 A 到 B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.(所以进行已知对应关系()f x 的函数,一定先求出函数的定义域) ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).而且无论闭区间或者开区间,,a b 均称为端点。 (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 (一)根式的观点 1、假如 x n a, a R, x R, n 1,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负 的 n 次方根用符号 n a 表示; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. 2、式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为随意实数; 当 n 为偶数时, a 0 . 3 、 根 式 的 性 质 : ( n a )n a ; 当 n 为 奇 数 时 , n a n a ; 当 n 为 偶 数 时 , n a n |a | a (a 0) . a (a 0) (二)分数指数幂的观点 m n a m (a 0,m, n 1、正数的正分数指数幂的意义是: a n N , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于 0. m m 1 )m (a 2、正数的负分数指数幂的意义是: a n ( 1 ) n n ( 0, m, n N , 且 n 1). 0 的负 a a 分数指数幂没存心义. 注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数. 3、a 0=1 ( a 0) a p 1/a p ( a 0; p N ) 4、指数幂的运算性质 a r a s a r s (a 0, r , s R) ( a r )s a rs (a 0, r , s R) ( ab) r a r b r (a 0, b 0, r R) 5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。二、指数函数的观点 一般地,函数 x y a ( a 0, 且 a 1) 叫做指数函数,此中 x 是自变量,函数的定义域为 R . 注意:○1 指数函数的定义是一个形式定义; ○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1. 三、指数函数的图象和性质 函数名称 指数函数 定义 函数 y a x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数 a 1 0 a 1 y 图象 y 1 O y a x y a x y (0,1) y 1 (0,1) x O x 定义域 R 值域 ( 0,+ ∞) 过定点 图象过定点( 0,1 ),即当 x=0 时, y=1. 奇偶性 非奇非偶 单一性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==?- . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指数幂没有意 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ (4)指数函数 例:比较 〖1.2〗对数函数 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (3)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 (5)对数函数 第5讲 基本初等函数、函数与方程 [考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点,常以压轴题形式出现. 基本初等函数(Ⅰ) 本节复习的基本初等函数包括:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数,三角函数在三角部分复习. 函数的图象上直观地反映着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面:作图,读图,用图. 掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域,值域,图象特征,单调性,奇偶性,周期性,零点、最值以及值的变化特点等,研究和记忆函数性质的时候应全面考虑. 函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质,我们可以通过解析式研究函数的性质,也可以通过解析式画出函数的图象,进而直观的发现函数的性质. 【知识要点】 1.一次函数:y =kx +b (k ≠0) (1)定义域为R ,值域为R ; (2)图象如图所示,为一条直线; (3)k >0时,函数为增函数,k <0时,函数为减函数; (4)当且仅当b =0时一次函数是奇函数.一次函数不可能是偶函数. (5)函数y =kx +b 的零点为⋅- k b 2.二次函数:y =ax 2 +bx +c (a ≠0) 通过配方,函数的解析式可以变形为⋅-++ =a b ac a b x a y 44)2(2 2 (1)定义域为R : 当a >0时,值域为),44[2 +∞-a b ac ; 当a <0时,值域为]44,(2 a b a c --∞; (2)图象为抛物线,抛物线的对称轴为a b x 2-=,顶点坐标为)44,2(2a b ac a b -- . 当a >0时,抛物线开口向上;当a <0时,抛物线开口向下. (3)当a >0时,]2,(a b --∞是减区间,),2[+∞-a b 是增区间; 当a <0时,]2,(a b - -∞是增区间,),2[+∞-a b 是减区间. (4)当且仅当b =0时,二次函数是偶函数;二次函数不可能是奇函数. (5)当判别式∆=b 2 -4ac >0时,函数有两个变号零点a ac b b 242-±-; 当判别式∆=b 2 -4ac =0时,函数有一个不变号零点a b 2- ; 当判别式∆=b 2 -4ac <0时,函数没有零点. 3.指数函数y =a x (a >0且a ≠1) (1)定义域为R ;值域为(0,+∞). (2)a >1时,指数函数为增函数;0<a <1时,指数函数为减函数; (3)函数图象如图所示.不具有奇偶性、周期性,也没有零点. 4.对数函数y =log a x (a >0且a ≠1), 《指数函数》知识点汇总 1、根式的基本性质 ⎪⎩⎪⎨ ⎧>±=⇔>∈=为偶数,为奇数 n a a n a x n N n a x n n n )0(,)1,( a a n n =)((n 是大于1的自然数) n n n b a ab ⋅=(的整数是大于1,0,0n b a ≥≥) b a b a n n n =)1,0,0(的整数是大于n b a >≥ ⎩⎨⎧=为偶数 为奇数 n a n a a n n |,|, ||2a a = n m n m a a =(1,,,0>∈>+n N n m a 且) n m np m p a a =(1,,,,0>∈>+n N p n m a 且) n m n m n m a a a 1 1= = - (1,,,0>∈>+n N n m a 且) )1,,0(的整数都是大于n m a a a mn n m >= 2、指数幂及运算性质 n m n m a a a +=⋅(R n m b a ∈>>,,0,0) ),,0,0(R n m b a a a a n m n m ∈>>=- mn n m a a =)((R n m b a ∈>>,,0,0) n n n b a b a =⋅)((R n m b a ∈>>,,0,0) 3、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且的图象和性质 )1(>=a a y x )10(<<=a a y x 函数图象 函数性质 (1)定义域:R ; (2)值域:),0(+∞; (3)过定点)1,0(; (4)当0>x 时,1>y ; (4)当0>x 时,10<专题10 基本初等函数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
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