高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数（含解析）
2020年高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数
一、单选题
1.设a=log32，b=log53，c=，则（）
A. a B. a C. b D. c 2.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（） A. a B. b C. b D. c 3.设函数,则（） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 4.设，则（） A. B. C. D. 5.设函数，则f(x)（） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 6.若，则（） A. B. C. D. 7.若定义在R的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（） A. B. C. D. 8.设，则的大小关系为（） A. B. C. D. 9.已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 10.函数的图象大致为（） A. B. C. D. 11.已知函数，则不等式的解集是（）． A. B. C. D. 12.函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（） A. B. C. D. 13.已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（） A. a＜0 B. a＞0 C. b＜0 D. b＞0 14.若，则（） A. B. C. D. 二、多选题 15.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（） A. B. C. D. 16.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且 ，定义X的信息熵.（） A. 若n=1，则H(X)=0 B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C. 若，则H(X)随着n的增大而增大 D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且 ，则H(X)≤H(Y) 三、填空题 17.函数的定义域是________． 18.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是________. 四、解答题 19.已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】A 解:因为，， 所以. 故答案为：A 【分析】分别将a,b改写为，，再利用单调性比较即可. 2.【答案】A 解:由题意可知、、， ，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故答案为：A. 【分析】由题意可得a、b、，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得 出，综合可得出a、b,c的大小关系. 3.【答案】A 解:因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故答案为：A． 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再 根据函数的单调性法则，即可解出． 4.【答案】B 解:由可得，所以， 所以有， 故答案为：B. 【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到，即，进而求得 ，得到结果. 5.【答案】D 解:由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 6.【答案】B 解:设，则为增函数，因为 所以 ，所以，所以. ，当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 7.【答案】D 解:因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：D. 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 8.【答案】D 解:因为， ， ， 所以. 故答案为：D. 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 9.【答案】D 解:注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：D. 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 10.【答案】A 解:由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点 对称，CD不符合题意； 当时，，B不符合题意. 故答案为：A. 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 11.【答案】D 解:因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故答案为：D. 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 12.【答案】A 解:y＝f（x）＝xcosx+sinx， 则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D， 当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B， 故答案为：A． 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点． 13.【答案】C 解:设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x轴有三个交点， 即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b）， 由题意知，f（0）≥0恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0， 可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D； 我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上． 则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时a＝b＜0显然成立； 若b＝b+2a，则a＝0不成立； 若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意， 综上b＜0恒成立． 故答案为：C． 【分析】设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零点，根据f（0）≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论． 14.【答案】A 解:由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为R上的增函数， ， ，，，则A符合题意，B不符合题意； 与的大小不确定，CD无法确定. 故答案为：A. 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各 个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果. 二、多选题 15.【答案】A,B,D 解:对于A，， 当且仅当时，等号成立，A符合题意； 对于B，，所以，B符合题意； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，D符合题意； 故答案为：ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 16.【答案】A,C 解:对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确. 对于B选项，若，则，， 所以， 当时，， 当时，， 两者相等，所以B选项错误. 对于C选项，若，则 ， 则随着的增大而增大，所以C选项正确. 对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （）. . 由于，所以，所以， 所以， 所以，所以D选项错误. 故答案为：AC 【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性. 三、填空题 17.【答案】 解:由题意得， 故答案为： 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 18.【答案】-4 解:，因为为奇函数，所以 故答案为：-4 【分析】先求，再根据奇函数求 四、解答题 19.【答案】（1）解：因为，作出图象，如图所示：（2）解：将函数的图象向左平移1个单位，可得函数的图象，如图所示： 由，解得． 所以不等式的解集为． 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；（2）作出函数的图象，根据图象即可解出． 冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程 （原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则 实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16 的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最 大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0， －x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有 四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 专题07 三角函数 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2 x +cos 2 x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. （十）三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 基本初等函数I 1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数，且 (2)1f =，则()f x = ( ) A ．x 2log B ．x 21 C ．x 2 1log D ．22-x 答案 A 解析 函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数3 lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 3.（2009天津卷文）设3 .02 13 1) 2 1(,3log ,2log ===c b a ，则 ( ) A a 2020年高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数 一、单选题 1.设a=log32，b=log53，c=，则（） A. a A. B. C. D. 11.已知函数，则不等式的解集是（）． A. B. C. D. 12.函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（） A. B. C. D. 13.已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（） A. a＜0 B. a＞0 C. b＜0 D. b＞0 14.若，则（） A. B. C. D. 二、多选题 15.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（） A. B. C. D. 高中数学基本初等函数课后练习题（含答案）人教必修一第二章基本初等函数课后练习题（含答案）2．1 指数函数 2．1.1 根式与分数指数幂 1．27的平方根与立方根分别是() A．3 3，3 B．3 3，3 C．3 3，3 D．3 3，3 2. 的运算结果是() A．2 B．－2 C．2 D．不确定 3．若a2－2a＋1＝a－1，则实数a的取值范围是() A．[1，＋) B．(－，1) C．(1，＋) D．(－，1] 4．下列式子中，正确的是() A. ＝2 B. ＝－4 C. ＝－3 D．＝2 5．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是() A．－x＝ (x0) B. ＝ (y0) C．＝ (x0) D．＝－ (x0) 6．设a，bR，下列各式总能成立的是() A．( － )3＝a－b B. ＝a2＋b2 C. －＝a－b D. ＝a＋b 7．计算：＋ (a0，n1，nN*)． 8．化简：6＋4 2＋6－4 2＝__________. 9．化简：＋＋＝() A．1 B．－1 C．3 D．－3 10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值． 2.1.2 指数幂的运算 1．化简的结果是() A.35 B.53 C．3 D．5 2．计算[(－2)2] 的值为() A.2 B．－2 C.22 D．－22 3．若(1－2x) 有意义，则x的取值范围是() A．xR B．xR，且x12 C．x D．x12 4．设a0，计算( )2( )2的结果是() A．a8 B．a4 C．a2 D．a 5．的值为() A.103 B．3 C．－13 D．6 6．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2 ＋＝________. 7．化简： . 8．化简：ab3 ba3 a2b＝__________. 9．若x0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝__________. 10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)． (1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值； (2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求gx＋ygx－y的值．2.1.3 指数函数及其图象 1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是() A．y＝(－4)x B．y＝x(1) C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a0，且a1) 2．y＝2x＋2－x的奇偶性为() A．奇函数 B．偶函数 C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理） 一、函数的单调性 (一)函数的单调性和单调区间定义： 1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ?，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=?x x x ，则当0)()(12>-=?x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=?x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。 2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 [多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。 A 、x x f =)( B 、)1(log )(2 1+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w 【答案】BC 【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(2 1+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数， |1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数， 则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。 (二)对函数单调性定义的理解 1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。 如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。 2、任意性：①“任意取1x 、2x ”，不能取两个特殊值； ②1x 、2x 有大小，通常规定012>-=?x x x ； ③1x 、2x 必须同属于定义域的某个子区间。 3、区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集。如函数2x y =的单调递增区间是)0[∞+，，在)20(，上递增，但不能说区间） ，20(是该函数的递增区间。 高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用 一、单项选择题 1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=x x 2-1−1 2的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2021·福建泉州一模)已知a=3 2,b=√3√ 2,c=ln3 ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+a x (a>1)的图象大致是( ) 4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,5 2) B.(5 2,4) C.(5 2,+∞) D.(4,+∞) 5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论: 甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=5 2有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1, -ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根 之和为() A.2 B.3 C.4 D.1 7.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0 2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数 一．选择题（共7小题） 1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( ) A ．[0，3] B ．(0，3] C ．[0，)+∞ D ．(-∞，3] 2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ． 3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，8] B ．21(,)4-∞ C ．(,8)-∞ D ．21(,]4 -∞ 5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．c b a << D ．a b c << 6．已知1 2a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正 确的是( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 7．若1a >，则1()x y a =与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ． 二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( ) A ．3y x = B ．1y x x =+ C ．1y x x =- D ．22x x y -=+ 9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( ) A ．12x y -= B ．21y x = C ．(1)y ln x =+ D ．||y x = 10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( ) A ．()f x x = B ．()||f x x x = C ．()22x x f x -=- D ．2()f x x = 三．填空题（共5小题） 11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ． 12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ． 第7讲 函数图象 一、选择题 1．函数y ＝|x |与y ＝x 2 ＋1在同一坐标系上的图像为( ) 解析 因为|x |≤x 2 ＋1，所以函数y ＝|x |的图像在函数y ＝x 2 ＋1图像的下方，排除C 、D ，当x →＋∞时，x 2 ＋1→|x |，排除B ，故选A. 答案 A 2．函数y ＝1 1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 ( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形． 如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1e x 的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0 2019年考试大纲解读 07 三角函数 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）2π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x ,y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, （5）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数,,A ωϕ对函数 图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. （十）三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 三角函数与解三角形是每年高考的“常青树”，一般以“两小一大”“一小一大”或“三小”的形式呈现，难度多为中等.预计在2019年的高考中，将以“两小一大”的形式对三角函数与解三角形进行考查，命题的热点有三部分： 母题七 基本初等函数及其应用 【母题原题1】【2018上海卷，7】已知α∈{－2,－1,－21,2 1,1,2,3}，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____. 【答案】1- 【解析】幂函数为奇函数，幂指数α只能为1,1,3-，又函数在(0,)+∞上递减，0α<，所以 1.α=- 【母题原题2】【2017上海卷，9】已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从 中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________ 【答案】 【母题原题3】【2016上海卷，18】已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则 ________)()(1=-x f x f 的反函数． 【答案】2log (1)x - 【解析】试题分析： 将点（3，9）代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得2lo g (1)x y =-，所 以()1 2log (1)f x x -=-. 【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化 【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x ）、二换（x 与y 互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易. 【命题意图】主要考查基本初等函数的运算与性质，以及反函数的概念，作差或作商法的应用，不等式的相关性质以及有关函数性质的应用. 【命题规律】上海高考近几年对这部分的考查主要集中在基本初等函数与反函数的综合，基本初等函数的一系列运算性质，对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等。 【答题模板】解答本类题目,以求解有关反比例函数为例，一般考虑如下三步： 第一步：利用解析式反求出x； 第二步：互换式子中的x与y； 第三步：写出最终解析式，注意定义域。 【方法总结】 1.指数函数图象的应用技巧：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)． (2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 3.对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 4.对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 考点07 二次函数与幂函数 1、如果方程x 2 ＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是____． 【答案】(－∞，－3) 【解析】设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3， 所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)． 2、 若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫8，14，则n ＝___． 【答案】－23 【解析】由题意可得⎩ ⎪⎨⎪⎧m ＝1，8n ＝14， 解得n ＝－23，故n 的值为－23 . 3、已知f(x)＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为____． 【答案】13 ，0 【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所 以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13 ，0. 4、函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是____． 【答案】[－1，0]和[1，＋∞) 【解析】令f(x)＝－x 2 ＋2|x|＋3， 所以f(x)＝⎩ ⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0， 所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)． 5、若函数f(x)＝x 2 －2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为____． 2022年高考数学真题分类汇编：基本初等函数 一、单选题(共11题；共55分) 1．（5分）（2022·浙江）已知 2a =5，log 83=b ，则 4a−3b = （ ） A ．25 B ．5 C ．259 D ．53 2．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0 C ．b >a >0 D ．b >0>a 3．（5分）（2022·全国乙卷）已知函数 f(x)，g(x) 的定义域均为R ，且 f(x)+g(2−x)= 5，g(x)−f(x −4)=7 ．若 y =g(x) 的图像关于直线 x =2 对称， g(2)=4 ，则 ∑ k=1 22 f(k)= （ ） A ．-21 B ．-22 C ．-23 D ．-24 4．（5分）（2022·北京）已知函数 f(x)= 1 1+2 x ，则对任意实数 x ，有（ ） A ．f(−x)+f(x)=0 B ．f(−x)−f(x)=0 C ．f(−x)+f(x)=1 D ．f(−x)−f(x)=13 5．（5分）（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷 制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 1gP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K ； P 表示压强，单位是bar ，下列结论中正确的是（ ） A ．当 T =220 ， P =1026 时，二氧化碳处于液态 B ．当 T =270 ， P =128 时，二氧化碳处于气态 C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态 6．（5分）（2022·浙江学考）函数y=2−x的图象大致是（） A．B． C．D． 7．（5分）（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（） A．y=x−1B．y=x−12C．y=x13D．y=x12 8．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)= f(x)f(y)，f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（） A．-3B．-2C．0D．1 9．（5分）（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3，3]的大致图像，则该函数是（） A．y=−x 3+3x x2+1B．y=x 3−x x2+1 C．y=2xcosx x2+1 D．y= 2sinx x2+1 10．（5分）（2022·全国甲卷）函数y=(3x−3−x)cosx在区间[−π 2， π 2]的图像大致为（） 专题07 函数初步知识、一次函数和反比例函数 一、单选题 1．（2021·湖南中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒．点P 从点A 出发，沿路线A B C D →→→运动．设P 点经过的路程为x ，以点A ，D ，P 为顶点的三角形的面积为y ，则下列图象能反映y 与x 的函数关系的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【分析】 过点B 作BE ⊥AD 于点E ，由题意易得4,AB AD BC BE ====当点P 从点A 运动到点B 时，△ADP 的面积逐渐增大，当点P 在线段BC 上时，△ADP 的面积保持不变，当点P 在CD 上时，△ADP 的面积逐渐减小，由此可排除选项． 【详解】 解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，如图所示： ∵边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒， ∴4AB AD BC ===， ∴∠ABE =30°， ∴2AE =， ∴BE = 当点P 从点A 运动到点B 时，△ADP 的面积逐渐增大，点P 与点B 重合时，△ADP 的面积最大，最大为1 2 ADP S AD BE =⋅=； 当点P 在线段BC 上时，△ADP 的面积保持不变； 当点P 在CD 上时，△ADP 的面积逐渐减小，最小值为0； ∴综上可得只有A 选项符合题意； 故选A ． 【点睛】 本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键． 2．（2021·湖南中考真题）如图，已知ABCD 的面积为4，点P 在AB 边上从左向右运动（不含端点），设APD △的面积为x ，BPC △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ） 高考理科数学真题解析分类汇编：函数 函数与导数 B1 函数及其表示 6．[20XX年安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当 0≤xπ时，f(x)＝0，则f ＝( ) 1 B. 221C．0 D．－ 2 6．A [解析] 由已知可得，f sin 17π11π17π23π 17π 11π5π ＝f＋sin＝f ＋sin＋sin ＝f ＋ 666 6 6 6 6 23π 6 5π11π17π5π5π1π＋sin＋sin2sin ＋sin －＝sin. ***** 62．、[20XX年北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2 － C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1) 2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D， 选A. 2 x＋1，x0， 7．、、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( ) cos x，x≤0， A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数； 当x0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)1； 当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．2．[20XX年江西卷] 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0，1] B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C [解析] 由x2－x0，得x1或x0. 1 3．，[20XX年山东卷] 函数f(x)＝( ) （log2x）－1 1基本初等函数、函数与方程 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
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