2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．函数

()()

1

x

f x

x R

x

=∈

+，以下四个结论正确的是（）

A．()

f x的值域是()

1,1

-

B．对任意x∈R，都有

()()

12

12

f x f x

x x

-

>

-

C．若规定()()()()

()

11

,

n n

f x f x f x f f x

+

==，则对任意的()

,

1

n

x

n N f x

n x

*

∈=

+ D．对任意的[]1,1

x∈-，若函数()21

2

2

f x t at

≤-+恒成立，则当[]1,1

a∈-时，2

t≤-或2

t≥

【答案】ABC

【分析】

由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.

【详解】

由函数解析式可得

1

1,0

1

()

1

1,0

1

x

x

f x

x

x

⎧

-≥

⎪⎪+

=⎨

⎪-<

⎪-

⎩

，有如下函数图象：

∴()

f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()

12

12

f x f x

x x

-

>

-

(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；

对于C，有()

11

x

f x

x

=

+，若

()

1

,

1(1)

n

x

n N f x

n x

*

-

∈=

+-，

∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||

n n x

x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有

(),1n x

n N f x n x

*∈=

+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2

f x f ==

，若函数()2

122f x t at ≤-+恒成立，即有

211

222

t at -+

≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；

0t =时，()0h a 故恒成立；

0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；

综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：

1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.

2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.

3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.

2．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

单调递增

B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛

⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称

【答案】BC 【分析】

根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】

令cos2t x =，则12222t

t

t t y -=-=-

，显然函数12222t t t

t

y -=-=-为增函数，

当0,

2x π⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

单调递减，

因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222t

t

t t

y -=-=-

在cos2[1,1]t x =∈-时，33

22

y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦； 因为cos2()

cos2(cos2c )os222

)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，

所以()f x 的一个周期为π，

因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝

⎭，令sin 2sin 22(2

)x x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)x x h x --=上任意一点， 则(,)2P x y π

'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫

⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2()

)

2

2

sin 2sin 2(

)2

2

2

22x x x x h y x y π

π

π

-----=-==≠--，

知点(

,)2

P x y π

'--不在函数图象上，

故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，即4f x π⎛

⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称.

故选：BC 【点睛】

本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.

3．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，

()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取

值为( ) A ．1 B ．0

C ．1-

D ．2-

【答案】CD 【分析】

先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】

因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，

0x ≥时，()x f x e x b =+-，

显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，

由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -

当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4

sin 3

x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.

4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，

()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，

()()2f x x x =--，则（ ）

A ．()f x 是周期为2的函数

B ．()()201920201f f +=-

C ．()f x 的值域为[-1，1]

D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】

对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是

周期为4的周期函数，可判断A ；

对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，

()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．

对于C ，当(]

01

x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[

)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，

对于A ，()f x 为R 上的奇函数，

()1f x +为偶函数，

所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+=

则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，

()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；

当(]

0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，

则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．

对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，

又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．

故C 正确． 对于D ，

(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，

[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，

[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，

()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，

[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，

设()()cos g x f x x =-，

当2

[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，

()22sin g x x x '=-++，

设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，

()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，

且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，

0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，

0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，

所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，

当[]24x ∈，

时，，()()2

cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，

则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，

则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，

上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，

所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，

，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，

()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，

又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，

所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，

上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，

时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]

46x ∈，

时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，

()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，

所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.

5．已知函数1()x x f x e

+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个

C ．2个

D ．4个

【答案】ABC 【分析】

令()t f x =，画出1

()x x f x e

+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】

()x x f x e

'=-

， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；

当0x >时，0f

x

，故()f x 在0,

上为减函数，

而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：

考虑方程210t mt ++=的解的情况.

24m ∆=-，

当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，

由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数是2.

当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x

的解的个数为1，

故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.

当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数是0.

当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.

当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】

本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．

6．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x

f x e

x =+，下列命题正确的是

（ ）

A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x

f x e x =+

B ．若()()33f x f x --=-，则()()32

g x f x e

=+

在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]

23,3x ∈-，()()122f x f x -<

D ．若()()3f x f x +=，方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，则

k 的范围为23

12

k e e -

<<- 【答案】BC 【分析】

A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；

B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数

()f x 与直线32

y e

=-

有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]

3,3x ∈-上有两个不同的根，则23

12k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】

A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x

f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函

数，所以()()()1x

f x f x e

x -=-=-+，A 错误；

B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x

f x e

x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当

()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()32

3f e

-=-

，()21

20f e

-=-

<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32

y e

=-有3个交点，即函数()()3

2

g x f x e =+

在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；

C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2

[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当

[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；

D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]

3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，

因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]

3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()

21

20f e -=-<，所以23

12k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】

本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.

7．已知函数21,01()(1)1,1

x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n

⎡⎤⎣⎦

(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21

12

2n n n b --=+

D ．(1)

2

n n n b +=

【答案】BC 【分析】

先推导出()f x 在[)(

)*

,1n n n N

+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出

()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .

【详解】

因为当[)0,1x ∈时，()21x

f x =-，所以当[)1,2x ∈

时，[)10,1x -∈，

则()1

12

1x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，

即[

)10,1x -∈时，[

)10,1x -∈，()1

2x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()2

1121x f x f x -=-+=+；

当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()3

1122x f x f x -=-+=+；

………

故当[

),1x n n ∈+时，()()2

1x n

f x n -=+-，

当21,2n n

x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-.

所以()20202020f =，故B 正确；

作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n

⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：

0,1,2,3,4,5,6,

,2n

则(

)()121122101222221222

n n n n n n n n b ---+=+++++=

=+=+，故C 正确.

故选：BC.

【点睛】

本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.

8．设[]

x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]

y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计

费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）

A ．x R ∀∈，[][]22x x =

B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-

C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++

=⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否.

【详解】

对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.

对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，

故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立.

对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈，

则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++

=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+， 若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣

⎦； 若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣

⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32

x ≥

， 故0x <或2x ≥，故D 正确.

故选：BCD

【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.

9．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]

a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）

A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”

B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”

C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+

D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC

【分析】

根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.

【详解】

对于A ，当[]

0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；

对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102

-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；

对于C ，由定义域为[

]

a b ，，可知0a b ≤<，

当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，

则满足()()2211f a a b f b b a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-， 解得a b =（舍）或1a b +=，

由211a b a b +=⎧⎨+=⎩

解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；

当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]

a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足

2

10b b --=，解得b =b =.所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦，则

“复区间长度”为()12212

b a +-=⨯=+

②若1a ≤，则()2

1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]

a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a a f b b b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，

解得1x =

，2x =，

所以1212a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.

综上可知，函数()2

1f x x =-的“复区间长度”

的和为213++=C 正确，D 错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）

A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-

B ．函数在定义域R 上为增函数

C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞

D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立

【答案】BC

【分析】

对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2

()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立.

【详解】

对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2

()2f x x x -=--， 又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+， 即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2

()2f x x x =+，故A 错；

对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；

对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，

23x =-（舍去），即(1)3f =，

所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，

又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <，

所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对；

对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2

()2f x x x =-+ 2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<， 当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+

222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；

故选：BC

【点睛】

方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；

（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.

考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：

（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；

（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；

（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1

()f x

或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；

11．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩

，则下列说法正确的是（ ） A ．若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫ ⎪⎝

⎭ B ．关于x 的方程*1()0()2

n f x n N -

=∈有24n +个不同的解 C ．对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立 D ．当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1

【答案】AC

【分析】

根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断.

【详解】

当312x ≤≤时，()22f x x =-；当 322x <≤时，()42f x x =-； 当23x <≤，则3122<

≤x ， 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当34x <≤，则3222

<≤x ， 1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当46x <≤，则232<

≤x ， 11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当68x <≤，则342

<≤x ，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 依次类推，作出函数()f x 的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭

k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1()2

f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤

f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x

恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为

111122

⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ）

A ．函数()f x 为偶函数

B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤

C ．当x ∈R 时，()()()f f x f x ≤

D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥

【答案】ABC

【分析】

画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可．

【详解】

解：画出()f x 的图象如图所示：

对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；

当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；

对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；

对D ，取32x =

，则111224

f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．

故选：ABC ．

【点睛】

方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．

13．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）

A ．()f x 是周期为2的函数

B ．()()201920201f f +=-

C ．()f x 的值域为[]1,1-

D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点 【答案】BCD

【分析】

对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，

()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是

周期为4的周期函数，可判断A.

对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．

对于C ，当(]01

x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．

【详解】

解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，

即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，

()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，

用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，

所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.

对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，

()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；

当(]

0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，

则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，

则()()201920201f f +=-.故B 正确.

对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，

又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，

(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.

对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，

[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，

[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--

①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；

()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，

②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，

()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；

③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，

()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；

④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；

综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.

14．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ）

A ．()1.10.9f -=

B ．函数()f x 为奇函数

C ．()()11f x f x +=+

D ．函数()f x 的值域为[

)0,1 【答案】AD

【分析】

根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.

【详解】 对于A ，()[]

1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确.

对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.

对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误. 对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1，

当01x ≤≤时，则

当0x =时，则()[]

0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=，

当1x =时，()[]11110f x =-=-=，

故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确. 故选：AD ．

【点睛】

思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．

15．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ）

A ．2a b +=

B ．22log 2a b +=

C ．223a b +>

D ．01ab <<

【答案】ABD

【分析】

在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭

，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】

由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，

函数2x y =与2log y x =互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，

则(),2a A a ，()2

,log B b b . 由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，

则2a b +=，22log 2a b +=.因为0a >，0b >，且a b ，

所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭

，故A ，B ，D 正确.

因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且13022f ⎛⎫=

< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112

a <<. 因为222221(2)2(1)212a

b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<

⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确.

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.

16．已知53a =，85b =，则（ ）

A ．a b <

B ．112a b +>

C ．11a b a b +<+

D ．b a a a b b +<+ 【答案】ABD

【分析】

根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．

【详解】

解：∵53a =，85b =，

∴35log a =，58log b =， 因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=

， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=

，所以a b <，选项A 正确； 3

5lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b

+>，选项B 正确； 因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，

11ab >，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 所以11a b a b +

>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减，

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是 [],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是 （ ） A ．( )f x =B ．()222f x x x =-+ C ．()1f x x x =+ D ．()1f x x = 【答案】ABD 【分析】 根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区 间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，再对各个选项进行运算求解 ,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】 解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[] ,m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， A ：( ))0f x x =≥，若( )( )f m m f n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩， 所以( )f x = “和谐区间”[]0,1； B ：()()2 22f x x x x R =-+∈，若 ()()2 22222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，解得：12m n =⎧⎨ =⎩， 所以()2 22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2； C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1 010 m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题复习题附解析

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题复习题附解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ?是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ?的最小值为2 【答案】BC 【分析】 利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ??? ?-+ ?-+=+?+ ? ? ?-? ?-?∴-?-=? ()()()()f x g x f x g x ∴-?-=? ()()f x g x ∴?是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ?-=-?= []232()()f x g x t '∴=-?，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ?单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错 故选：BC. 【点睛】

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”； 若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

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甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】 去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确； 因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变 化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ， 当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递 增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

天津市静海区2021年高考数学的多选题含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．定义域和值域均为[] ,a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中 0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ） A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解 D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解 【答案】ABD 【分析】 通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】 由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =， 方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =， 方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2 0t =，3t b =， 方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当 12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒 成立，则a 的可能取值为（ ） A ． B ．1- C ．1 D 【答案】BC 【分析】 由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2 |2||21|ax x <+对 任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】 因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线 0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数. 又12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数. 且()() 2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2 |2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成 立， 当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11 |||||||||2|22x a x x x x x +< =+=+， 又因为1||| |2x x +=≥||2 x =时，等号成立， 所以||a <，因此a <<， 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或 ()max 0f x ≤恒成立. 2．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[] y x =称为高斯函数，也叫取整函数. 令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1

2021年高考新题型——数学多选题专项练习及解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．一般地，若函数()f x 的定义域为[] ,a b ，值域为[] ,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正 确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；

2021年高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案

2021年高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项 练习含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1 222 a b -<< B ．34a b ==a b ab += C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6- D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是 1 (,2)(2,)4 -+∞ 【答案】ACD 【分析】 由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求 a b ab +；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3 y x x =-有三个交点，即可知2 ()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】 A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1 222 a b -<<； B 选项，34a b ==log a =4log b =121211 2(log 3log 4)2a b ab a b +=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、 121 3 x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以22 12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2 ()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20 k h k ∆=+>⎧⎨ -=-≠⎩，解得1 (,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD 【点睛】 本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函 数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】 通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】 对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+， 若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦； 若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

新高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题含解析

新高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题含解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2 【答案】BC 【分析】 利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ⎛⎫⎛ ⎫-+ ⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝ ⎭-⎝∴-⋅-=⎭ ()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错 故选：BC. 【点睛】

函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001 12 f x f x =+=- ，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ） A ．0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝ ⎭ B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．()f x 的最小正周期为3 D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为 1346个 【答案】AC 【分析】 根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得 052,6 x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6 x k k Z π ωϕπ++=- ∈，两式相减可求出ω，进而求得 周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】 解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝⎭ ，所以A 正确； 因为()()001 12 f x f x =+=- ， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05 2,6 k k Z ωϕππ+=- ∈， ()012,6 x k k Z π ωϕπ++=-∈， 两式相减得，23 πω=， 所以23T π ω = =，即B 错误，C 正确； 因为3T =， 所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时， ()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误. 故选:AC . 【点睛】

四川成都市第七中学高新校区函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

四川成都市第七中学高新校区函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中 0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ） A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解 D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解 【答案】ABD 【分析】 通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】 由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =， 方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =， 方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2 0t =，3t b =， 方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；

四川成都树德中学(光华校区)函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

四川成都树德中学（光华校区）函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数222 ,0 ()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若x 1

2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案

2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选 题分类精编附答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =的定义域为[] 1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数 ()1f x +的值域为[]2,3 C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是 ()0,3 D ．已知函数()2 3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数 根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】 根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数 ()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D. 【详解】 对于A, ()y f x =的定义域为[] 1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为 []0,1，故正确； 对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相 同，故错误； 对于C, 函数2 ()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需 (2)0 (1)0g g >⎧⎨ ->⎩ ，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2 3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，

由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或 9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点， 综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2 3f x x x =+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论. 2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记 ()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --= C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+< 【答案】ABD 【分析】 根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】 由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称