高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！

高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！

一、基本初等函数

1、幂函数

一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .

幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质：

① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）.

② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；

若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 .

③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；

如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .

④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 .

⑤ 常见幂函数的图象

常见幂函数的图象

2、指数函数

一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 .

指数函数的定义域是 R .

指数运算法则：

指数运算法则

指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象：

指数函数图象（分两种情况）

指数函数的主要性质：

① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）；

② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x <

1 ) 在 R 上递减；

③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）.

3、反函数

一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，

如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,

这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) ,

习惯上自变量常用x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .

(1) 反函数的判定：

① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；

② 定义域上的单调函数必有反函数；

③ 周期函数不存在反函数；

④ 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 .

(2) 反函数的性质：

① 函数 y = f(x) 与函数 y = f-1(x) 互为反函数；

原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称；

② 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点（b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上；

③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域；

原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域，

④ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；

⑤ 奇函数的反函数还是奇函数 .

(3) 求反函数的步骤：

① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；

② x , y 互换，即写出 y = f-1(x)；

③ 确定反函数的定义域 .

注：

若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] , 而不是 y = f-1(ax + b) ,

函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .

4、对数函数

一般地，对数函数

对数函数

就是指数函数

指数函数

的反函数 .

对数函数

的性质：

① 对数函数y = logax 的图象都在y 轴的右侧，定义域（0，

+∞），值域 R ；

② 对数函数 y = logax 的图象都经过点（1 , 0）；

③ 对数函数 y = logax （a > 1）:

当 x > 1 时，y > 0 ; 当 0 < x < 1 时，y < 0 ;

对数函数 y = logax （0 < a < 1）:

当 x > 1 时，y < 0 ; 当 0 < x < 1 时，y > 0 .

④ 对数函数 y = logax （a > 1）在（0，+∞）上是增函数，

对数函数 y = logax （0 < a < 1）在（0，+∞）上是减函数 .

二、习题检测

【习题1】用定义证明：函数 f(x) = x + 1/x 在x∈[1 , +∞) 上是增函数 .

【解析】

【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2，求实数 a 的值 .

【解析】

解：函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a ,

① 当 a < 0 时，

[0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得

a = -1 ;

② 当 a > 1 时，

[0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;

③ 当0 ≤ a ≤ 1 时，

综上所述，a = -1 或 2 .

【习题3】已知2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数

的最大值和最小值 .

【解析】

【习题4】已知 a > 0 且a ≠ 1 , 求使方程

有解时的 k 的取值范围 .

【解析】

∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .

【习题5】某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出50 个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元 .

【解析】

解：设最佳售价为（50 + x ) 元，最大利润为 y 元，

y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40

= -x^2 + 40x + 500

当 x = 20 时，y 取得最大值，

∴ 应定价为 70 元 .

高数16个基本初等函数

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。这些函数在数 学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。 一、常数函数 常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。 二、幂函数 幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当01时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0

人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。 注意：(1)n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0 a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 201 定义域R , 值域（0，+∞）

注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比 较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数

高一数学函数知识点

高一数学函数知识点 高一数学函数知识点9篇 在平凡的学习生活中，大家都背过各种知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺收集整理的高一数学函数知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。高一数学函数知识点1 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y 与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。 ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。

高中数学总结：基本初等函数

高中数学总结：基本初等函数

高中数学知识点总结 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时， 0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数 幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -=

高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)

函数的基本性质 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 概念重点疑点：对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a（a是函数的定义域）的直线与函数y=f（x）只有一个交点； 例1、下列对应关系中，x为定义域，y为值域，不是函数的是（） A.y=x²+x³ B.y= C.|y|=x D.y=8x 解：对于|y|=x，对于任意非零x，都有两个y与x对应，所以|y|=x不是函数。图像如下图，x=2的直线与|y|=x的图像有两个交点。故答案选C 例2、下列图象中表示函数图象的是（） 解析：对于任意x=a的直线，只有C选项的图形与x=a的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。故选C。

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 例1、求函数11-++=x x y 的定义域 解：依题意得，x+1≥0，并且x-1≥0 ∴x ≥-1，并且x ≥1 ∴函数定义域为：[1,+∞] 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备) 例1、已知f （x ）=|x-1|，则与y=f （x ）相等的函数是（ ） A. g （x ）=x -1 B. g ()11 { 11x x x x x -=-，＞，＜ C. ()2s x = D. ()t x =解析：A 选项的表达式不相同；B 选项的定义没有包括0，故两函数的定义域不一致；C 选项的定义域为[1，+∞),题目中的函数定义域为全体实数；D 选项可以化简成t （x ）=|x-1|，故选D 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 例1、函数211 x x y x ++=-的值域是__________。

高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分基本初等函数知识点整理 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数 1、 指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n (a m )n =a mn (a*b)n =a n b n 2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ⎩⎨ ⎧<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质

（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ) ,,0(R s r a ∈>． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？ （1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1a a ，那么数x 叫做 以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集 合的元素映射到另一个集合的元素。函数在高中数学中占据了重要的地位，是数学学习的基础。在这篇文章中，我们将总结函数的概念以及一些基本 的初等函数的知识点。 一、函数的概念 函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。通常用字母f表示函数，例如f(x)。其中x是函数的自变量，f(x) 是函数的值或因变量。函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函 数可能取值的集合。函数可以用图像、表格或公式来表示。 函数有一些重要的特点： 1.单值性：对于定义域中的每个自变量值，函数只能有一个对应的值。 2.定义域：函数的自变量可能取值的集合。 3.值域：函数的值可能取值的集合。 4.对称性：函数可能具有一些对称性质，例如奇函数和偶函数。 5.增减性：函数可能随着自变量的增大或减小而增加或减少。 初等函数是一类经过常见运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开 方等）和函数复合（如求和、求积、复合函数等）得到的函数。下面是一 些常见的初等函数及其特点和知识点： 1.幂函数：

幂函数的表达式是y=x^m，其中m是实数。幂函数的图像可能是一条直线、二次曲线、指数曲线等。幂函数的正负性、单调性和奇偶性与指数m的关系密切。 2.指数函数： 指数函数的表达式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的实数。指数函数的图像是一个递增的曲线。指数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 3.对数函数： 对数函数的表达式是 y = log_a(x)，其中 a 是大于 0 且不等于 1 的实数。对数函数是指数函数的反函数，其图像是对数曲线。对数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。 4.三角函数： 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的图像是周期性的波浪曲线。三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性和求导等。 5.反三角函数： 反三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数，用 sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x) 表示。反三角函数的性质包括定义域、值域、奇偶性和反函数的关系等。 6.无理函数： 无理函数是指带有根号的函数，例如平方根函数和立方根函数。无理函数的性质包括定义域、值域、单调性和连续性等。

高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案)

函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意x 都有 f(－ x)=－ f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x) 不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2 x，则－ x 也○ 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对 称；○2 确定 f(－ x)与 f( x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数； 若f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0 ，则 f(x)是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； ②设 f (x) ， g( x) 的定义域分别是D1, D2，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶 2．单调性 （ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1 f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1

高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结 及练习题(含答案) 高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案) 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数， N叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某 N(a0,a1,N0)． （2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb． N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中 0,N0，那么 MlogaNloga(MN) M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR) ④ alogaNN nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1) logba【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上

是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某 1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念 设函数果对于 yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如 y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某 f1(y)，习惯 上改写成 yf1(某)． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)； f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数②函数 yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称． yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域． yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上． ③若P(a,b)在原函数④一般地，函数 yf(某)要有反函数则它必须为单调函数． 一、选择题：1． log89的值是log23A． （）

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 20XX 年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 二、知识点总结 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχ cos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

人教版高中数学必修一《基本初等函数》同步变式练习及解析

新课标人教版数学•必修高一(上)同步变式练习 第二章基本初等函数(I) 变式练习1 一、选择题 1. y= f (x)(x€ R)是奇函数，则它的图象必经过点( ) A •(—a,—f(—a)) B.( a,— f (a)) C.( a, f (丄)) D •(—a,—f (a)) 答案：D a 2•设定义在R上的函数f (x)=| x I,则f (x)( ) A •既是奇函数，又是增函数B.既是偶函数，又是增函数 C.既是奇函数，又是减函数 D.既是偶函数，又是减函数 解析：本题可以作出函数图象，由图象可知该函数为偶函数，又是R上的增函数. 答案：B 3•设f (x)是R上的偶函数，且在(0,+^)上是减函数，若x i v 0且x i + x2 >0,贝U( ) A • f ( —x i)> f (—x2) B. f ( —X1)= f ( —X2) C. f ( —X1)v f ( —x2) D. f ( —X i)与f ( —x2) 大小不确 疋 解析：x2> —x i> 0, f (X)是R 上的偶函数，••• f ( —x i)= f (x i).又 f (x) 在(0,+x)上是减函数，• f ( —X2)= f (X2)V f ( —x i). 答案：A 二、填空题 4. ______________________________________________________ 已知 f(x)= x5+ ax3+ bx—8, f ( —2)= i0,贝U f (2)： __________________ . 解析：f ( —2) = ( —2) 5+ a ( —2) 3—2b —8= i0, •(—2) 5+ a ( —2) 3—2b= i8, f (2)= 25+ 23a+ 2b —8=—i8—8= —26. 答案：-26

高中数学初等函数知识点及练习题(带详解)

函数函数的性质 1．函数的图象 图象变换主要有：平移变换、伸缩变换、对称变换等。引理 1函数图象对称性的判定 1）若定义在R上的函数 f x满足 f x a f b x ，则 f x的图象关于直线 x a b 2 对称。 2）若定义在R上的函数 f x满足 f x a f b x ，则 f a b x 的图象关于点,0 2 对称。 引理 2 1）函数 y f a x 与函数 y f x b的图象关于直线x a b 对称。 2 2）函数 y f a x 与函数 y f b x的图象关于直线x a b 对称。 2 注：①引理 1 中 1）是对一个函数而言的，引理 2 中的两个命题是对两个函数而言的。 ②证明的思路是一样的，即任取一点求其对称点验证对称点是否在函数图象上最后 由点的任意性得证。 2．函数的值域（最值）的求法 常用方法有： （1）配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法， 但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。 （2）判别式法：将所给函数y f x 看作是关于x 的方程。若是关于x 的一元二次方程，则可利用判别式大于等于0 来求y的取值范围，但要注意取等号的问题。 （3）换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达 式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。 （4）利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单 调性来示值域，但要注意其单调区间。 （5）反函数法：若某函数存在反函数，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互 换，改求反函数的定义域。 （6）利用均值不等式法。 （7）构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。 3.函数的单调性及其应用 （1）函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。 （2）对于复合函数y f g x ，若 y f u 与u g x 的单调性相同，则 y f g x 是 增函数；若 y f u 与 u g x 的单调性相反，则y f g x 是减函数。 （3）若 f x 与 g x 是定义在同一区间上的两个函数，

高一数学函数知识点归纳

高一数学函数知识点归纳 高一数学函数知识点归纳1 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),则， y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性

2021年高中数学必修1知识点总结：第二章_基本初等函数

高中数学必修1知识点总结第二章_基本初等函数 高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结 一、指数函数 1、根式的概念 ①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；n当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号②式子na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根． a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n 为偶数时，a0． n③根式的性质(2、分数指数幂的概念 a)a；当n为奇数时，aa；当n为偶数时，nnnna(a0)．a|a|a(a0)n①正数的正分数指数幂的意义是amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0． mn②正数的负分数指数幂的意义是a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没有意义． aa指数函数及其性质 注意口诀底数取倒数，指数取相反数． 3、指数函数 函数名称定义函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1y图象 yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定义域值域xROx(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况 ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．（重点记）高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结 4、分数指数幂的运算性质（初中学过） ①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

高中数学 必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题 型详解分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知2 21)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-= +x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有 ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不

高中数学《基本初等函数的导数》知识点讲解及重点练习

§5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基 本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 知识点一 几个常用函数的导数 原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝x 3 f ′(x )＝3x 2 f (x )＝1x f ′(x )＝－1 x 2 f (x )＝x f ′(x )＝1 2x 知识点二 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x

1．若y ＝2，则y ′＝1 2×2＝1.( × ) 2．若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3 x 4.( √ ) 3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若y ＝sin 60°，则y ′＝cos 60°.( × ) 一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 0； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x ； (3)y ＝lg x ； (4)y ＝x 2 x ； (5)y ＝2cos 2x 2－1. 解 (1)y ′＝0. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫13x ln 13＝－⎝⎛⎭⎫13x ln 3. (3)y ′＝1 x ln 10. (4)∵y ＝x 2 x ＝3 2,x ∴31 2233 22y'x 'x x ⎛⎫=== . ⎪⎝⎭ (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

专题02 函数的概念与基本初等函数I-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I 1．【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间[−π 2,π 2 ]的图象大致为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π 2,π 2 ]， 则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除BD； 又当x∈(0,π 2 )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C. 故选：A. 2．【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a 【答案】A 【解析】 【分析】

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】 由9m =10可得m =log 910= lg10lg9 >1，而lg9lg11<(lg9+lg112 )2=(lg992 )2 <1=(lg10)2，所 以lg10 lg9>lg11 lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0． 又lg8lg10<( lg8+lg102 )2 =( lg802 )2<(lg9)2，所以lg9lg8> lg10lg9 ，即log 89>m ， 所以b =8m −9<8log 89−9=0．综上，a >0>b ． 故选：A. 3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（ ） A ．y = −x 3+3x x 2+1 B ．y = x 3−x x 2+1 C ．y = 2xcosx x 2+1 D ．y = 2sinx x 2+1 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 设f(x)=x 3−x x 2+1 ，则f(1)=0，故排除B; 设ℎ(x)= 2xcosx x 2+1 ，当x ∈(0,π 2)时，00，故排除D. 故选：A. 4．【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R ，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f