(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点
1、假如 x n
a, a R, x R, n 1，且 n
N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a
的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n
a 表示，负
的 n 次方根用符号 n
a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．
2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当
n 为奇数时， a 为随意实数；
当 n 为偶数时， a
0 ．
3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )n
a ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a n
a ； 当 n 为 偶 数 时 ，
n
a n
|a |
a (a 0) ． a (a 0)
（二）分数指数幂的观点
m
n
a m (a 0,m, n
1、正数的正分数指数幂的意义是：
a n N , 且 n
1) ．0 的正分数指数幂等于 0．
m
m
1
)m (a
2、正数的负分数指数幂的意义是：
a n
( 1
) n
n ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负
a
a
分数指数幂没存心义．
注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p
1/a p ( a 0； p N )
4、指数幂的运算性质
a r a s
a r s (a 0, r , s R)
( a r )s a rs (a 0, r , s R)
( ab) r a r b r (a 0, b
0, r R)
5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。二、指数函数的观点
一般地，函数 x
y a ( a 0, 且
a 1) 叫做指数函数，此中 x
是自变量，函数的定义域为
R
．
注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；
○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．
三、指数函数的图象和性质 函数名称
指数函数
定义
函数 y
a x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y
图象
y 1
O
y
a x
y
a x
y
(0,1) y 1
(0,1)
x
O
x
定义域 R
值域 （ 0,+ ∞）
过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．
奇偶性 非奇非偶
单一性
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),
y=1(x=0),
y=1(x=0),
变化状况
0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)
0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)
a 变化对
在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近
y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；
a 越小图象越低， 越凑近
图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．
注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：
（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )
a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)
，总有 f (1) a 且
（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )
四、底数的平移
对于任何一个存心义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即 “上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法（ 1）比 差（商）法 ：
（ 2） 函数单一性法 ；
（ 3）中间值法 ：要比较 A 与 B 的大小，先找一此中间值 C ，再比较 A 与 C 、 B 与
C 的大小，由不等式的传达性获得 A 与 B 之间的大小。
注意：
（ 1）对于底数同样，指数不一样的两个幂的大小比较，能够利用 指数函数的单一性 来
判断。
比如： y 1 =34,y 2=35
（ 2）对于底数不一样，指数同样的两个幂的大小比较，能够利用
指数函数图像的变化
规律 来判断。
4
4
比如： y 1 =（ 1/2 ） ,y 2 =3 ,
（ 3）对于底数不一样，且指数也不一样的幂的大小比较，则能够利用
中间值 来比较
①对于三个
（或三个以上） 的数的大小比
较，
则应当先依据值的大小
（特别是与 0 、
1 的大小）进行 分组 ，再比较各组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，假如能充足利用 “1” 来搭“桥”（即比较它们与
“1”的大小），就能够迅速的获得答案。由指数函数的图像和性质可知 “同大 异小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向时， a x 大于 1，异向
时 a x 小于 1.
对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
（一）对数
1．对数的观点： 一般地， 假如 a x
N
(a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数， 记作：
． ．． N
x
log a N （ a — 底数， N — 真数， log a N — 对数式）
说明： ① 注意底数的限制
a 0 ，且 a 1 ；
② a x
Nlog a
N
x ；
③注意对数的书写格式． log a N
两个重要对数：① 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ；
② 自然对数：以无理数
为底的对数的对数
ln N ．
指数式与对数式的互化
幂值
真数
a b ＝ N
log a N ＝ b
底数
指数
对数
（二）对数的运算性质
假如 a 0 ，且 a 1 ， M 0， N 0，那么：
①
log a ( M
· N )
log a
2 M
log a M － log a N ；
M ＋ log a N ；○ log a N ○3 log a M n
n log a M ( n R) ．
M
1 M
④ log a n
n log a
⑥ a log a b
⑤ log a a b
b
b
⑦ log a 1=0
⑧ log a a=1
⑨ a log a N=N
⑩ log a a b =b
注意：换底公式
log a b
log c b
，且 a
1； c 0 ，且 c
1 ； b 0 ）．
（ a 0
log c a
推论 ( 利用换底公式 )
① log a m b
n
n
log a b ；
② log a b
1 ．
m
log b a
二、对数函数
1、对数函数的观点：函数 y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数，此中 x 是自变量，函数的定义域是
（ 0， +∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数近似，都是形式定义，注意鉴别。如：
y 2log 2 x ，
y log 5
x 都不是对数函数，而只好称其为对数型函数．
5
(a 0 ，且 a 1) ．
② 对数函数对底数的限制：
三、对数函数的图像和性质：
函数名称
对数函数
定义
函数 y
log a x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a 1
0 a 1
y x 1 y log a x
y
x 1
y log a x
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
O
x
定义域 (0, ) 值域
R
过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 x 1 时， y 0 ．
奇偶性
非奇非偶
单一性在 (0,) 上是增函数在(0,) 上是减函数
log a x 0 ( x 1) log a x 0 ( x 1)
函数值的
log a x 0 ( x 1) log a x 0 (x 1)
变化状况
log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (0 x 1)
a 变化对在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．
在第一象限内， a 越大，图象越凑近x 轴在第一象限内， a 越小，图象越凑近x 轴
图象影响
在第四象限内， a 越大，图象越凑近y 轴在第四象限内， a 越小，图象越凑近y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数近似
反函数
一、反函数定义
设函数 y f ( x) 的定义域为 A ，值域为C，从式子 y f (x) 中解出 x ，得式子 x( y) ．如果对于 y 在C中的任何一个值，经过式子x ( y) ， x 在 A 中都有独一确立的值和它对应，那么式子 x ( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数，记作x f 1 ( y) ，习惯上改写成y f 1( x) ．
二、反函数的求法
①确立反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式y f ( x) 中反解出 x f 1 ( y) ；
③将 x f 1 ( y) 改写成 y f 1( x) ，并注明反函数的定义域．
三、反函数的性质
①原函数 y f ( x) 与反函数 y f 1 (x) 的图象对于直线y x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数y f 1( x) 的值域、定义域．
③若 P(a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则P' (b,a) 在反函数 y f 1 ( x) 的图象上．
④一般地，函数y f (x) 要有反函数则它一定为单一函数．
幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，此中 x 为自变量，是常数．
二、幂函数的图象
函数
x 2 y x 3 1
x 1
y y
特点y=x y x 2
性质
定义域R R R [0 ，）{ x |x 0} 值域R [0 ，）R [0 ，）{ y |y 0}
单一性
x [ 0 ，) 增
增
x (0 ，) 增增
( ，0]减
增
( ，0)减x x
所过定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）
（1，1）（0，0）（0，0）（0，0）（0，0）
三、幂函数的性质
1、图象散布： 幂函数图象散布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
①幂函数是 偶函数 时，图象散布在第一、二象限 ( 图象对于 y 轴对称 ) ； ②幂函数是 奇函数 时，图象散布在第一、三象限
( 图象对于原点对称 ) ；
③幂函数是 非奇非偶函数 时，图象只散布在第一象限．
2、过定点： 全部的幂函数在 (0, ) 都有定义，而且图象都经过点 (1,1)．
3、单一性： ①假如
0 ，则幂函数的图象过原点，而且在[0, ) 上为增函数．
②假如
0 ，则幂函数的图象在 (0,
) 上为减函数，在第一象限内，图象无穷接
近 x 轴与 y 轴．
4、奇偶性： ⑴当
为奇数时，幂函数为奇函数， ⑵当
为偶数时，幂函数为偶函数． ⑶当
q
（此中 p, q 互质， p 和 q Z ），
p
q
①若 p 为奇数 q 为奇数时，则
y x p 是奇函数，
q
②若 p 为奇数 q 为偶数时，则
y x p 是偶函数，
q
③若 p 为偶数 q 为奇数时，则
y x p 是非奇非偶函数．
5、图象特点： 幂函数 y
x , x (0,
) ，
y x
⑴当
1 时，①若
x
1
下方，
，其图象在直线
1
②若
x 1 ，其图象在直线 y x 上方，
⑵当
时，①若 0 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，
②若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方．
函数基天性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的观点：
①设函数 y f x 的定义域为 D ，假如对 D 内的随意一个 x ，都有x D ，且 f x f x ，则这个函数叫奇函数。
（假如已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0 时，我们能够得出 f 00 ）
②设函数 y g x 的定义域为 D ，假如对 D 内的随意一个 x ，都有x D ，若 g x g x ，则这个函数叫偶函数。
从定义我们能够看出，议论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义
域能否对于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x 也应在其定义域内存心义。
③图像特点
假如一个函数是奇函数这个函数的图象对于坐标原点对称。
假如一个函数是偶函数这个函数的图象对于y 轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对观点的理解：
(1)必需条件：定义域对于原点成中心对称。
(2) f ( x) 与 f ( x) 的关系：
当 f ( x) f ( x) 或 f ( x) f ( x) 0或 f ( x) 1时为偶函数；
f (x)
当 f ( x) f ( x) 或 f ( x) f (x) 0或 f ( x) 1 时为奇函数。
f (x)
二、函数的奇偶性与图象间的关系：
①偶函数的图象对于y 轴成轴对称，反之也建立；
②奇函数的图象对于原点成中心对称，反之也建立。
三、对于函数奇偶性的几个结论：
①若 f ( x) 是奇函数且在x 0 处存心义，则 f (0) 0
②偶函数偶函数偶函数
偶函数 =偶函数；奇函
数偶函数 =偶函数；奇函
数奇函数 =奇函数
奇函数 =奇函数；
奇函数 =偶函数；
③奇函数在对称的单一区间内有
偶函数在对称的单一区间内拥有同样的单一性，相反的单一性 .
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ⎨⎧≥==) 0(||a a a a n n 2=a n m ◆ 03（1 （2 （3 1其中2
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1 底．N a x 底数 a log a log a log a 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： x y 2log 2=，5 log 5x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质： 1、2（1（2（3当x 于+
函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结 在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到 另一个集合中的唯一元素。函数的定义和基本性质是数学学习的重要 基础知识之一。本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的 常见类型。 一、函数的定义 函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中 的唯一元素。通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。函数的定义通常包括定义域、值域和映射 规则三个方面。 1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。它决定了 函数的输入范围。 2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。 它决定了函数的输出范围。 3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。 二、函数的性质 函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ⎪ ⎫ ⎛=1)( 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 20XX 年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 二、知识点总结 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχ cos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1)幂函数y x ，是常数； 1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间x ( , ) ，他们的图形都经过原点，并当 u>1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数时，图形对于原点对称；u 为偶数时图形对于 Y 轴对称； 2. 当 u 为负整数时。函数的定义域为除掉x=0 的全部实数。 3. 当 u 为正有理数 m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为（0, + ）， n 为奇数时函数的定义 域为（- + ）。函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）. 假如 m>n 图形于 x 轴相切 ,假如 m (2)指数函数y ax (a是常数且a 0，a 1)， x ( , ) ； 1.当 a>1 时函数为单一增 ,当 a<1 时函数为单一减 . 2.无论 x 为什么值 ,y 老是正的 ,图形在 x 轴上方 . 3.当 x=0 时,y=1, 因此他的图形经过 (0,1)点 . (3)对数函数y log a x (a是常数且a 0，a 1)，x (0, )； 1.他的图形为于 y 轴的右方 .并经过点 (1,0) 2.当 a>1 时在区间 (0,1),y 的值为负 .图形位于 x 的下方 ,在区间 (1, + ),y 值为正 ,图形位于 x 轴上方 .在定义域是单一增函 数 .a<1 在适用中极少用到 / (4)三角函数 正弦函数y sin x ， x ( , ) ， y[ 1,1] ，余弦函数y cos x ，x( , ) ， y[ 1,1] ， x k Z ，y ( , ) ， 正切函数y tan x ， 2 ，k 基本初等函数定义及性质知识点归纳(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（基本初等函数定义及性质知识点归纳(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为基本初等函数定义及性质知识点归纳(word版可编辑修改)的全部内容。 基本函数图像及性质 一、基本函数图像及其性质： 1、一次函数:(0)y kx b k =+≠ 2、正比例函数:(0)y kx k =≠ 3、反比例函数：( 0)k y x x = ≠ 4、二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠ （1）、作图五要素：2 124(,0),(,0),(0,),(),(, )()224b b ac b x x c x a a a -=--对称轴顶点 （2)、函数与方程：20 =4=0 0b ac >⎧⎪ ∆-⎨⎪<⎩ 两个交点一个交点没有交点 （3）、根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a ⋅= 5、指数函数:(0,1)x y a a a =>≠且 (1）、图像与性质： （i ）1 ()(0,1)x x y a y a a a ==>≠与且关于y 轴对称. (ii ）1a >时，a 越大，图像越陡。 （2)、应用: （i ）比较大小： （ii ）解不等式: 1、回顾： （1)()m m m ab a b =⋅ （2）()m m m a a b b = 2、基本公式： （1)m n m n a a a +⋅= （2)m m n n a a a -= （3）()m n m n a a ⨯= 3、特殊: 新高考基本初等函数知识点 随着我国教育改革的推进，新高考已经成为了高中生们备战大学 的重要考试。而在新高考的数学科目中，初等函数是一个非常重要的 知识点。本文将围绕初等函数展开，以帮助读者更好地理解和掌握这 一内容。 一、初等函数的定义与分类 初等函数是指由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数）通过有限次四则运算和函数复合所得到的函数。其中，基本初等函数是指包括幂函数、指数函数、对数函数、三 角函数和反三角函数这五种常见函数。初等函数可以分为代数函数和 三角函数两大类别。 二、基本初等函数的定义与性质 1. 幂函数：幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a和n是常数，a称为底数，n称为指数。当指数为正偶数时，幂函数是一个关于 y轴对称的图形；当指数为正奇数时，幂函数在原点处有一个尖峰或者拐点。指数为负数时，幂函数的图形将出现在x轴上，形成一条直线。 2. 指数函数：指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a是正 实数且不等于1。指数函数的图像一般经过点(0,1)，且在x轴的右侧 增长，而在x轴的左侧趋近于0。 3. 对数函数：对数函数是指形如y = loga(x)的函数，其中a是正实数且不等于1。对数函数的定义域是正实数，值域是全部的实数。对数函数的图像通过点(1,0)，且在x轴的右侧增长，而在x轴的左侧 趋近于负无穷大。 4. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。 它们分别定义为y = sin(x)、y = cos(x)和y = tan(x)。三角函数的 图像都是周期性的，以正弦函数为例，它的函数值在[-1,1]之间变动，且在x轴的一侧上升，另一侧下降。 5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦 函数、反余弦函数和反正切函数。它们的定义域和值域与相应的三角 函数相反，且图像也是对称的。 三、初等函数的运算与性质 1. 四则运算：初等函数之间可以进行加减乘除的四则运算。例如，对于两个初等函数f(x)和g(x)，它们的和函数为f(x) + g(x)， 差函数为f(x) - g(x)，积函数为f(x) * g(x)，商函数为f(x) / g(x)。 2. 函数复合：初等函数之间还可以进行函数复合的运算。例如，对于两个初等函数f(x)和g(x)，它们的函数复合为h(x) = f(g(x))。函数复合可以将两个初等函数的性质结合起来，形成一个新的函数。 四、初等函数在实际中的应用 初等函数不仅是数学的基础知识，也在许多实际问题中起着重要 的作用。例如，在物理学中，运动的轨迹可以通过初等函数来描述； 在经济学中，利润的增长可以通过指数函数来表示；在生物学中，物 种的数量变化可以用对数函数来描述，等等。对初等函数的掌握，将 有助于我们更好地理解和解决实际问题。 总结起来，初等函数是新高考数学中非常重要的一个知识点。通 基本初等函数知识点 一、函数的概念： 函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。其中，自变量是函数的 输入，因变量是函数的输出。函数可以用来描述不同变量之间的关系或者 用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。 二、函数的表示法： 函数可以用不同的表示法来表示。最常见的表示法有解析式表示法、 图像表示法和表格表示法。例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的 初等函数。 三、函数的性质： 1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的 因变量的可能取值范围。 2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立， 则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。 3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递 增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1) 2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。 3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。 4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。 5. 对数函数：f(x) = loga(x)（a为常数且大于0且不等于1），图像为一条光滑的上升曲线，a决定了函数增长的速度。 五、初等函数的运算： 1.四则运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以进行加减乘除运算，得到新的初等函数。 2.复合运算：对于两个初等函数f(x)和g(x)，可以将g(x)的值代入f(x)进行运算，得到新的初等函数。 六、初等函数的应用： 初等函数在数学中有着广泛的应用，例如用于解决实际问题中的模型建立，例如在生物学、物理学、经济学等领域中经常会用到。 以上就是基本初等函数的一些知识点的概述。在学习初等函数时，我们需要理解这些知识点的定义和性质，并能够灵活地运用到实际问题中。通过理解和熟练掌握这些知识点，我们可以更好地理解和应用初等函数。 基本初等函数知识点 基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、 指数函数、对数函数、三角函数等。它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。本文将介绍基本初等函数的 定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。 一、常数函数 常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。它的定义域是全 体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。 常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。无论自变量取何值，函数值始终为常数。常数函数在数学中的应用较少，但在物理、 经济学等学科中有时会用到。 二、幂函数 幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。幂 函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。 幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。当a为正数时，函 数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为 0时，函数图像是一条常数函数的直线。 三、指数函数 指数函数是自变量为指数的函数。指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。 指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。 四、对数函数 对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。 对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。 五、三角函数 三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。 三角函数的图像是周期性曲线。它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。 总结： 基本初等函数是数学中重要的函数类别，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。它们在数学理论和实际问题中具有广泛的应用。通过学习和掌握这些基本初等函数的定义、性质和图像特点，我们可以更好地理解和分析数学问题，并应用于解决实际问题。希望本文对读者有所帮助，提升数学知识水平。 基本初等函数定义及性质知识点归纳 基本初等函数是指一些常见的函数，它们可以通过一些基本运算来构造，比如加减乘除、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。这些函 数具有一些特定的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。下面是关于基本初等函数定义及性质的知识点归纳： 一、常数函数：f(x)=c 1.定义：常数函数的函数值始终为一个常数c。常数函数的图像表示 为一条平行于x轴的直线。 2.性质： -定义域：实数集R -值域：{c} -奇偶性：当c=0时，为偶函数；对于非零常数c，为奇函数。 -单调性：无论常数c为正数还是负数，常数函数都是常量，没有单 调性。 -周期性：常数函数没有周期。 二、一次函数：f(x) = ax + b (a≠0) 1. 定义：一次函数是一个线性函数，其函数表达式为ax + b，其中 a和b是实数且a≠0。一次函数的图像为一条斜率为a的直线。 2.性质： -定义域：实数集R -值域：实数集R -奇偶性：当a=0时，为常数函数；当a≠0时，一次函数为奇函数。 -单调性：当a>0时，一次函数递增；当a<0时，一次函数递减。 -周期性：一次函数没有周期。 三、二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0) 1. 定义：二次函数是一个平方函数，其函数表达式为ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a≠0。二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的抛物线。 2.性质： -定义域：实数集R -值域：若a>0，值域为[f(c),+∞)；若a<0，值域为(-∞,f(c)]，其中c为顶点的横坐标。 -奇偶性：当a=0时，为一次函数；对于非零常数a，二次函数为偶函数。 -单调性：当a>0时，二次函数开口朝上，递增；当a<0时，二次函数开口朝下，递减。 -周期性：二次函数没有周期。 四、幂函数：f(x)=x^n(n为整数) 1.定义：幂函数是一个以x为底的n次幂，其中n可以是正整数、负整数或零。幂函数的图像形状取决于n的奇偶性和正负情况。 基本初等函数主要性质 五类基本初等函数是高中函数的基础和根本，要想对函数问题有一个全面的认识，并能对函数问题快速解决，就必须在牢记基本知识的前提下重点识记基本初等函数的性质。 高中学生所学科目多，新课改以来，降低了考察的深度，但增加了考察的广度，也就意味着要想取得好成绩，就必须大量的记忆知识点和平时做过的试题。高中数学180多个知识点，常考知识点50多个，记不住，记不牢是常有的事情，谁都有知识漏洞，多记多背多练，培养题感，连蒙带猜。 高中所研究的函数性质： ①定义域：使函数有意义的自变量x 的取值范围； ②值域：x 在对应法则f （解析式）作用下确定的应变量()x f y =的取值范围； ③单调性：函数在定义域上的增减性（随着x 由小到大，函数图象的升降）； ④奇偶性：函数在关于原点对称的定义域上的对称性（图象关于原点或关于y 轴对称）； ⑤周期性：函数图象在定义域上重复出现的性质； ⑥对称性：函数图象在定义域上关于点和线的对称性（点对称或轴对称） ⑦图象：在确定了上述函数的性质以后利用点动成线特性描点获取的几何形象。 一、函数定义域 ①求函数() 431ln 2+--+=x x x y 的定义域； ②若()x x x f -+=11ln ，求()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=x f x f y 12的定义域； ③若() 22-=x f y 定义域为[]21，，求()x f y =的定义域。 二、函数值域（函数最值） 求函数值域方法：配方法；反解法；判别式法；换元法；不等式法；单调性法；求导法等。 ①求函数642-+-=x x y 的值域（最值）； ②求函数x x y cos 1sin 1+-= 的值域（最值）； ③求函数4 32+= x x y 的值域（最值）。 基本初等函数 一、指数函数 一指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n ; 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩ ⎨ ⎧<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 1r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； 3 s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 二指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数 1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a , 那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ,且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ； 错误! 两个重要对数： 错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做 a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ⎩ ⎨ ⎧<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =⇔=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 、一次函数与二次函数 一)一次函数 1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式： f(x) ax 2 bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a(x h)2 k(a 0) ③两根式： f (x) a(x x 1)(x x 2 )(a 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x) 更方便． (3)二次函数图象的性质 ①. 二次函数f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 顶点坐标 2a 是( b , 4ac b2 ) 2a 4a ②当a 0 时，抛物线开口向 上，函数在( b ] 上递减，在 [ b , 2a 2a ) 上递增， 当 时，f min (x) 4ac b2；当a 4a 0 时，抛物线开口向 下， 函数在 ( 2a ]上递增，在[ 2a 2a 上递减，当x b 4ac b2 b时，f max (x) 4ac b 2a 4a 、幂函数 1)幂函数的定义 般地，函数y x 叫做幂函数，其 中x 为自变 量， 是常数． 2)幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果x n a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x 叫做a的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂等于0． 的意义 是：a n n a m(a 0,m,n N ,且n 1）．0 的正分数指 数幂 ②正数的负分数指数幂 的意义 是： mm 1 a n ( )n n (1) (a 0,m,n N ,且n 1）．0 的负 a a 分数指数幂没有意义．（3）运算性质 ① a r a s a r s(a 0, r,s R) ②（r s rs a ) a (a 0,r, s R) ③ (ab)r a r b r (a 0,b 0,r R) 4)指数函数 基本初等函数知识点及函数的基本性质 ___ and Its Properties I。ns of ___ A。Concept of Roots 1.If x=a。where a∈R and x∈R。n>1.and n∈N+。then x is called the nth root of a。When n is odd。the nth root of a is denoted by na。When n is even。the positive nth root of a is denoted by na。and the negative nth root of a is denoted by −na。Negative numbers do not have ___. 2.The n na is called a radical。Here。n is called the index。and a is called the radicand。When n is odd。a can be any real number。When n is even。a≥0. 3.Properties of radicals: (na)n=a。when n is odd。(nan)=a。when n is even。 B。Concept of ___ 1.___ of a positive number is: a=nam (a>0.m。n∈N+ and n>1)。The positive ___。 2.___ of a positive number is: a−m/n=1/(an)m (a>0.m。 n∈N+ and n>1)。The negative ___ of a does not have a meaning. Remember the rule: take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. 3.a=1 (a≠0)。a−p=1/ap (a≠0.p∈N*) 4.Properties of ___: ar⋅as=ar+s (a>0.r。s∈R)。(ar)s=ars (a>0.r。s∈R)。(ab)r=arbr (a>0.b>0.r∈R) 5.The ___ of 0 is 0.and the negative ___ of 0 does not have a meaning. 六大根本初等函数图像与其性质一、常值函数〔也称常数函数〕y =C〔其中C 为常数〕； α 1〕当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2〕当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3〕当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为〔0, +∞〕，n 为奇数时函数的定义域为〔-∞,+∞〕，函数的图形均经过原点和〔1 ,1〕； 4〕如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.〔选，补充〕指数函数值的大小比拟* N ∈a ； x a x f =)(， x a x f ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 1>a 时，a 值越大， x a y = 的图像越靠近y 轴； 10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ⎪ ⎫ ⎛=1)(函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
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