导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编
导数——大题——单调性4：
1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(e
x
x k
f x k +=
为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行．
2. （1）求k 的值；
3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；）
4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2
()1e g x -<+．
5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x
=-+． 6. （1）当34
a =
时，求()f x 的单调区间；（②
）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明．
8. ①()()21212f x f x x x a
-<--； ②()22
2ln 223f x a <+-．
9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2
ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .
10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③
）
11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.
12. （单调性，最值，中下；第二问，未；）
13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin x
f x x =⋅.
14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④）
15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；
16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22x
F x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）
1.（2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=e x．
;（⑤）
2.(1)求证：当x>0时，f(x)>1+x+x2
2
3.(2)若不等式f(x)≥2x ln x+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]，
4.求证：t>23
．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；）
20
①
【答案】（1）1k =；
（2）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减； （3）证明见解析. 【解析】
【分析】（1）由题设求导函数()f x '，再由(1)0f '=求参数k 值. （2）由（1）得1ln ()e x
x x x
f x x --'=
且,()0x ∈+∞，构造函数()1ln h x x x x =--，结合导
数研究()h x 的符号，进而求()f x 的单调区间.
（3）由题设只需证2e 1ln (1e )1
x
x x x x ---<
++在(0,)+∞上恒成立，由（2）易得21ln 1e x x x ---≤+，再构造()e (1)x m x x =-+并应用导数判断e ),(1x
x +的大小关系，即
可证结论. 【小问1详解】 由题设，1ln ()e x
kx x x
f x x --'=
，,()0x ∈+∞，
又()y f x =在(1,(1)f )处的切线与x 轴平行，即1(1)0e
k
f -'=
=， 1k ∴=.
【小问2详解】 由（1）得：1ln ()e x
x x x
f x x --'=
，,()0x ∈+∞，
令()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞，
当(0,1)x ∈时，()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，又e 0x >，
(0,1)x ∴∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，
()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；
【小问3详解】
由2()()()g x x x f x =+'，即1
()(1ln )e x
x g x x x x +=
--，,()0x ∈+∞， 0x ∴∀>，2
2e ()1e 1ln (1e )1
x
g x x x x x --<+⇔--<
++， 由（2），对于()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞， ()ln 2h x x ∴'=--，,()0x ∈+∞，
2(0,e )x -∴∈时()0h x '>，()h x 递增，2(e x -∈,)∞+时()0h x <，()h x 递减，
22max ()(e )1e h x h --∴==+，即21ln 1e x x x ---≤+，
设()e (1)x
m x x =-+，则0()e 1e x x m x e '=-=-，
(0,)x ∴∈+∞时()0m x '>，()m x 递增，即()(0)0m x m >=，则e 11
x x >+， 综上，2
2e 1ln 1e (1e )1x x x x x
----≤+<
++，故0x ∀>，()2
1e g x -<+，得证． 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明2e 1ln (1e )1
x
x x x x ---<
++在(0,)+∞上恒成立，结合（2）中()h x 的单调性得到21ln 1e x x x ---≤+，再判断e ),(1x x +的大小关系.
②
【答案】（1）()f x 的单增区间为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
（2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）若选①，不等式转化为证明
212121
ln ln x x x x a
x x -<=-，变形为证明221
2
111
212
ln
x x x x x x x x <=1
()2ln ,1h t t t t t
=-+>，即可证明； 若选②，首先根据函数有两个极值点，证得212x <<，()222
222
2ln 33
a f x a x x a x -=-+-，再变换为()222222210
2ln 2333
f x a x x x -=+-+，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】
222
22()1(0)a x x a
f x x x x x
-+-'=--=>， 当34
a =时，22222
32483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=， 令()0f x '>，解得
1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >， 所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
．
【小问2详解】
证明①：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则1212
2
x x x x a +=⎧⎨
=⎩，
()()
()()()
1221212112
21
21
2ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+
-=
--， 将12x x a =代入得，
()()()
21212121
2ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，
要证明
()()21212f x f x x x a -<--，
只需证明
()21212ln ln 22x x x x a
--<--，
即
212121
ln ln x x x x a
x x -<=-， 因为120x x <<，所以210x x ->， 只需证明221
2
1
112
12ln
x x x x x x x x <= 21x t x =，则1t >，只需证明21ln t t t <-，即1
2ln 0(1)t t t t
-+<>， 令1
()2ln ,1h t t t t t
=-+>，
2
22
21(1)()10t h t t t t
--=--=<'， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=， 所以1
2ln 0(1)t t t t
-+
<>， 综上可知，
()()21212f x f x x x a
-<--．
证明②：222
22()1(0)a x x a
f x x x x x -+-'=--=>
设2
()2g x x x a =-+-，
因为()f x 有两个极值点，所以Δ440
(0)0a g =->⎧⎨<⎩
，
解得01a <<，
因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->， 所以212x <<，
()222222
2ln 33
a f x a x x a x -=-+-，
由题意可知2
2220x x a -+-=， 可得2
222a x x =-+代入得，()222222210
2ln 2333
f x a x x x -
=+-+， 令2210
()2ln 2(12)33
h x x x x x =+
-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x
--=
+-='， 当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭
'，所以()h x 在31,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
当3,2,()02x h x ⎛⎫∈>
⎪⎝⎭
'
，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，
因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <， 由2
(1),(2)2ln 223
h h =-=-，
可得()
22ln8ln (2)(1)03
e h h --=
>，所以(2)(1)h h >，
所以()2(2)h x h <， 所以()222ln 223f x a -<-，即()22
2ln 223
f x a <+-．
③
【答案】（1）证明见解析；
（2）e 21a -<< 【解析】
【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】
证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，
1
()(e 1)x g x x
-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； 【小问2详解】
函数()()2
ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在
()1,e 内
有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零
点.2ln e 12ln e 1
()1a x a x a x a f x x x x
----++'=-
-=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x a
h x x x
-'=-
=，()1,e x ∈，当1
2a ≤
或e 2
a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当
122
e
a <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)
(e)0(2)0h h h a >⎧⎪
>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个
变号零点且最多两个，即2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪
->⎨⎪--+<⎩
，令2t a =，()1,e t ∈，设
31
()ln e 1()ln 0e 22
F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(e t ∈时，()0F t '>，
()F t 单调递增，当)
e,e t ∈
时，()0F t '<，()F t 单调递减，所以
max 3
()(e)e e e e 1e e 102
F t F ==
+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122
e
a <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，
()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上
有零点，综上可得：e 21a -<<. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
④
【答案】(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
(2)(],1-∞ (3)1008π
【分析】（1）对函数求导()π2sin 4x
f x e x ⎛⎫'=+ ⎪⎝
⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减
区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin x
g x f x kx e x kx =-=-，要
使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单
调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像
均关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π
2x =对称，从而所作的所有切线的切点
的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2
x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)
（()()πsin cos 2sin 4x x
f x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝
⎭，
增区间应满足：()0f x '>，22,4
k x k k z π
πππ≤+
≤+∈
减区间应该满足：()0f x '<，222,4
k x k k z π
ππππ+≤+
≤+∈
（()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；
减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦.
(2)
令()()sin x
g x f x kx e x kx =-=-
要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()min 0g x ≥，
（()()sin cos x
g x e x x k '=+-
令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0x
h x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
（()h x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π
21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
（当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为增函数，
（()()min 00g x g ==，（1k ≤满足题意；
（当π
21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是增函数，
则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，（()0(0)0g x g <=不符合题意； （当π
2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为减函数，
（()()00g x g <=不符合题意，（1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)
（()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+（()2cos x
F x e x '=，
设切点坐标为()()
0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos x
F x e x '=，
从而切线方程为()()000000sin cos 2cos x
x
y e x x e x x x -+=-，
（()0
000000π1πsin cos 2cos tan 222x x
e
x x e x x x x -⎛⎫⎛
⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭对称，
则它们交点的横坐标也关于π2
x =对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π
2
x =成对出现，
又在2015π2017π,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. （1008πS =.
⑤
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导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编
导数——大题——单调性4： 1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(e x x k f x k += 为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行． 2. （1）求k 的值； 3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；） 4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2 ()1e g x -<+． 5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x =-+． 6. （1）当34 a = 时，求()f x 的单调区间；（② ）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明． 8. ①()()21212f x f x x x a -<--； ②()22 2ln 223f x a <+-． 9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2 ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R . 10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③ ） 11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围. 12. （单调性，最值，中下；第二问，未；） 13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin x f x x =⋅. 14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④） 15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围； 16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22x F x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）
“新高考”数学试卷结构、题型分析
“新高考”数学试卷结构、题型 分析 导读： 随着新高考改革的推进，2021年又有8个省份宣布采用新高考模式。截止目前，采用新高考模式地区暴增至14个省份！在新高考形式下，数学成为了很多同学最为关注的学科。 今天，为大家整理了2021年新高考数学全国I卷的试卷结构和分析！希望能够帮上你！ 新高考数学试卷结构第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分； 第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分； 第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分； 第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。每小题12分，共60分。 单项选择题考点分析： 多项选择题考点分析： 填空题考点分析： 选择填空题部分主干考点分析：
从主干知识所占比重来看，新高考数学试卷与原来保持一致，主干知识的考察在60分，占整个填选题的75%，这也启示我们高中数学主干知识的稳定性与重要性，在以后的备考中要引起高度的重视。 解答题部分考点分析： 全卷主干考点分析： 从主干知识所占比重来看，新高考数学试卷与原来保持一致，主干知识的考察在60分，占整个填选题的75%，这也启示我们高中数学主干知识的稳定性与重要性，在以后的备考中要引起高度的重视。 六种解题技巧 一、三角函数题 注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。 二、数列题 1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列; 2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;
2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)解析版
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 【知识点展示】 （一）导数与函数的单调性 1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数． 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． （二）常用结论 1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． 【常考题型剖析】 题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e x f x (e=2.71828 ,是自然对 数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题26：函数的单调性和导数(含详解)
专题26：函数的单调性和导数 精讲温故知新 函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导， （1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数； 注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区 间上仍是递增（或递减）的。 （3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 1、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 )(x f y '=' (2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论 ①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数； 2、利用导数求单调区间 求函数)(x f y =单调区间的步骤为： （1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义 域上的单调增或减区间的子集。 题型一：利用导数判断或证明函数的单调性 例1：（2021·浙江·高考真题）已知函数2 1(),()sin 4 f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能 是（ ） A ．1()()4y f x g x =+- B ．1 ()()4 y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()() g x y f x = 举一反三 （2022·河北邯郸·二模）已知函数()1ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23a f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，45b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，e c f =， 则（ ）. A ．a b c >> B ．c a b >>
2022新高考1卷数学导数及解析几何考得太多
2022新高考1卷数学导数及解析 几何考得太多 今年高考数学共有8种试卷，其中新高考卷两种，广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北、山东共7省是新高考Ⅰ卷，辽宁、重庆、海南共3省市是新高考Ⅱ卷；自主命题共4种，分别来自北京、上海、天津、浙江;另两种试卷是传统高考，分别叫全国甲卷、全国乙卷，共有17个省份使用。 虽然使用新高考卷的只有10个省份，但是，随着教育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》的推广力度，相信会有越来越多的省份使用新高考卷。因此，无论是老高考地区的未雨绸缪，还是新高考地区的复习备考，都应该仔细分析对比一下新高考两卷，来增加复习的针对性和有效性。下面把我的相关分析分享如下，供参考交流。为了说明两卷难度的差异，本文采用常见的5星标准，星越多难度越大。 一、选择题填空题部分 1.集合：Ⅰ卷 1.5星Ⅱ卷 1.0星 两卷都考查集合的交集运算，先化简集合后取交；2卷只需化简一个集合(有一个集合是列举法给出的)，而1卷两个集合都需要化简，其中一个还是无理不等式，加大了运算量和思维量；当然也可以用验证的方式产生正确的选项； 2.复数：Ⅰ卷 1.5星Ⅱ卷 1.0星 2卷只考了复数的乘法，而1卷考的是复数的除法以及共轭复数的运算，上了一个运算级别； 3.平面向量：Ⅰ卷 1.5星Ⅱ卷 1.5星
2卷（第4题）是有关夹角的坐标运算，1卷（第3题）是有关平面向量基本定理的运算，都是较容易的题目，其难度相当； 4.应用题：Ⅰ卷 3.0星Ⅱ卷 2.5星 数学建模都不算复杂，2卷是借助已知的等差数列产生A点的坐标，再用斜率公式求解；1卷就是一个棱锥的体积问题，难点在于学生对棱锥的体积公式往往没有足够的重视，没有记住或记错了，还有就是给出的数据都有小数，单位也没有统一，也不符合常规运算习惯，增加了该题的难度。 5.三角部分：Ⅰ卷 3.0星（1道题）Ⅱ卷 2.5星（第2道题，多选题） 2.有两篇论文，一篇单选题(第6题)，一篇选择题(第9题)。单项选择考查两个角的和与差的正余弦公式、同角关系和特殊角的三角函数值等。是个套路题，不难；多选就是根据正弦函数的对称中心来确定初始相位。选项提供了传统的单调区间，对称轴，和不寻常的极值点和切线。 该题全部得分还是有难度的，极值点还好说，只要对其含义理解数形结合即可，难点是三角函数的切线问题，这是训练的冷点；1卷只考了一道单选题（第6题），也是正弦型函数，有已知的对称中心和周期的范围来确定周期，进而再求值，思路虽不复杂，但思维量大，对推理的要求不低，计算量也挺大； 6.立体几何：Ⅰ卷 4.0星（单选题）Ⅱ卷 3.5星（单选题） 两卷都出了两道小题，2卷题（第7、11题）侧重于计算，涉及正棱台外接球的表面积、多面体的体积，由于学生对外接球往往蒙圈，形成卡点；1卷（第8、9题）的第8道是单选题的最后一道，关于正四棱锥及其外接球的体积问题，图形不复杂，求的是范围就变得复杂了：该题要建立函数模型用导数
导数与函数的单调性、极值、最值问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编(新高考卷)(原卷版)
《专题15 导数与函数的单调性、极值、最值问题- 2022届高考数学 二模试题分类汇编（新高考卷）》 1．（2022·安徽黄山·二模）已知函数2()(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．340x y --= B ．340x y -+= C ．340x y ++= D ．340x y +-= 2．（2022·海南·模拟预测）已知函数()()2 223ln 9 f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数）， 则()1f =（ ） A ．209 - B ．119- C ．79 D ． 169 3．（2022·陕西榆林·三模）已知函数()sin f x x a x =-，则“2a =”是“3 x π =是()f x 的一个极小 值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．（2022·广西南宁·二模）已知函数()cos 4f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭，0, x ，则函数() f x 的最大值是（ ） A ．cos1- B ．sin1- C ．-1 D ．5．（2022·河南新乡·二模）已知0a >，函数()2 313f x a x x =-的极小值为43 -，则=a （ ） A B ．1 C D 6．（2022·甘肃武威·模拟预测）函数()3 26f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．（﹣4，4） B ．[﹣4，4] C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 7．（2022·河北沧州·三模）已知函数ln ()x f x x x =-，则（ ） A ．()f x 的单调递减区间为(0,1) B ．()f x 的极小值点为1 C ．()f x 的极大值为1- D ．()f x 的最小值为1- 8．（2022·宁夏·银川二中模拟预测）函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给
2022年全国高考数学试题分类汇编(43页)
2022年全国高考数学试题分类汇编（43页） 专题一 集合与常用逻辑用语 1 专题二 基本初等函数、导数及其应用 2 专题三 三角函数、解三角形 6 专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入 9 专题五 数 列 10 专题六 不等式 12 专题七 立体几何 13 专题八 平面解析几何 1 7 专题九 计数原理、概率、统计 20 专题十 选考部分 24 参考答案与解析 25 1．(2022·高考浙江卷)设集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，6}，则A ∪B ＝( ) A ．{2} B ．{1，2} C ．{2，4，6} D ．{1，2，4，6} 2．(2022·高考全国卷乙(文))集合M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1 C ．{}x |3≤x <16 D ．⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <16 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A ＝{}－1，1，2，4，B ＝{} x |||x －1≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，2} B ．{1，2} C ．{1，4} D ．{－1，4} 6．(2022·高考北京卷)已知全集U ＝{x |－3 全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编： 03 导数及其应用(选择题、填空题) （理科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知a =31 32,b =cos 1 4,c =4sin 1 4，则（ ） A ．c >b >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．a >c >b 【答案】A 【解析】 【分析】 由c b =4tan 1 4结合三角函数的性质可得c >b ；构造函数f(x)=cosx +1 2x 2−1,x ∈(0,+∞)，利用导数可得b >a ，即可得解. 【详解】 因为c b =4tan 1 4,因为当x ∈(0,π2 ),sinx 专题14导数概念及运算--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 三、自主梳理 知识点1．导数的概念 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即. 2．函数f (x )的导函数 称函数为f (x )的导函数． 知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0 ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 2．导数的运算法则 （1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识点3．函数在处的导数几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 四、高频考点+重点题型 例1-1（常见函数及它们的和差积商的求导） (2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝________. 例1-2（复合函数求导） 设函数 f(x)＝ln 1＋2x .，则f ′(x)= 例1-3（ 理解f ′(x 0)与f (x )区别与联系 ） （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数()()3 2 12f x x f x '=-+，则()2f =（ ） A ．2- B ． 10 3 C ．6 D ．14 2 ()'()()'()() '()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢ ⎥⎣⎦ ()y f x =0 x x = 2022年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若集合M ＝{x |x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝ A ．{x |0≤x ＜2} B ．{x |1 3 ≤x ＜2} C ．{x |3≤x ＜16} D ．{x |1 3 ≤x ＜16} 2．若i(1－z )＝1，则z ＋-z ＝ A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记→CA ＝m ，→CD ＝n ，则→ CB ＝ A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2n D ．2m ＋3n 4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2：水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(7≈2.65) A ．1.0×109m 3 B ．1.2×109m 3 C ．1.4×109m 3 D ．1.6×109m 3 5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 6．记函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)＋b (ω＞0)的最小正周期为T ．若2π 3＜T ＜π，且y ＝f (x )的图像 关于点(3π2，2)中心对称，则f (π 2)＝ A ．1 B ．3 2 C ．52 D ．3 专题07 导数中的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y ＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 2．(2022·新高考Ⅱ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________． 3．(2022·全国乙文)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( ) A ．－π2，π2 B ．－3π2，π2 C ．－π2，π2＋2 D ．－3π2，π2 ＋2 4．(2022·新高考Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( ) A ．f (x )有两个极值点 B ．f (x )有三个零点 C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心 D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线 5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3 ，0)中心对称，则( ) A ．f (x )在区间(0，5π12 )单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32 －x 是曲线y ＝f (x )的切线 6．(2022·全国乙理)已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若 x 1＜x 2，则a 的取值范围是____________． 7．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A ．[18，814] B ．[274，814] C ．[274，643 ] D ．[18，27] 【知识总结】 1．导数的几何意义 (1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上． 2．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f (x )的定义域； ②求导函数f ′(x )； ③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调递减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间 2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析 专S 15 一元函数导数及其近用(解答题) 36. (2021-湖南师大附中高三月考)已知函数/(^) = %lnx-|(x2-l). (1)若/'(x)在(0,+<»)内是减函数，求a的取值范围； (2)已知lim —= 0,若0 专题 导数与函数的单调性问题 类型一 求无参函数的单调区间 解题模板 第一步计算函数()f x 的定义域； 第二步求出函数()f x 的导函数' ()f x ； 第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若' ()0f x <，则()f x 为减函数 例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln x x a f x e +=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性； 【解析】（1）当1a =时，()ln 1 x x f x e += ， 第一步，计算函数()f x 的定义域：()0,+∞. 第二步，求出函数()f x 的导函数' ()f x ： ()1 ln 1 x x x f x e --'= 第三步，令()1 ln 1g x x x = --，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g = 所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞ 【变式演练1】函数()()ln 1x f x x e -=++的单调递增区间为（ ） A ．()1,-+∞ B ． () 0,+∞ C ．(),e +∞ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】由题意，函数()()ln 1x f x x e -=++的定义域为()1,-+∞，且()() () 1'1x x e x f x x e -+=+， 令()()1x m x e x =-+，()1x >-，则()'1x m x e =-，由()'0m x =，得0x =， 可得，当()1,0x ∈-时，()'0m x <；当()0,x ∈+∞时，()'0m x >， 所以()m x 在 1,0上是减函数，在0, 上是增函数，所以()()0 010m x m e ≥=-=， 即()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数，即()f x 的增区间为()1,-+∞.故选：A. 【变式演练2】【湖北省金字三角2020届高三下学期高考模拟】已知函数()||2 2x f x x =+，设2 1log 3m f ⎛ ⎫= ⎪⎝⎭ ，()0.17n f -=，()2log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >> D ．n p m >> 【解析】因为函数()|| 2 2x f x x =+，其定义域为R ，且()()|| 2 2x f x x f x -=+=， 所以函数()f x 为偶函数，则()()2 221log log 3log 33m f f f ⎛⎫ ==-= ⎪⎝ ⎭ ， 在区间[)0,+∞上，()2 2x f x x =+，其导数()2ln220x f x x '=+>，所以()f x 在区间[)0,+∞上为增函 数，又0.1 227 1log 32log 25-<<<<，所以p m n >>；故选：C. 【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+， 若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 2022届新高考数学全国I 卷专项解析 专题15 一元函数导数及其应用（解答题）（12月卷） 32．（2021·湖南·沅江市第一中学高三阶段练习）若()2 12ln 2 f x x bx a x =++． （1）当0a >，2b a =--时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b =-，且()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明()()123f x f x +>-． 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析 （2）证明见解析 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间； （2）首先求出函数的导函数，依题意方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围，从而得到()()122ln222f x f x a a a +=--，再令()12ln22202h a a a a a ⎛ ⎫=--<< ⎪⎝ ⎭，利用导数说明函数的单调性，即可得证； （1） 解：因为()2 12ln 2 f x x bx a x = ++ 当0,2a b a >=--时，所以()()()()222222(0)x a x a x a x a f x x a x x x x -++--=--+==>'， 令()0f x '=，解得x a =或2， 当2a >时，则当02x <<或x a >时()0f x '>，当2x a <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增； 当2a =时，() ()2 20x f x x -'= >，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a <<时，当0x a <<或2x >时()0f x '>，当2a x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，在()2,+∞单调递增； （2） 证明：当2b =-时，()22222(0)a x x a f x x x x x '-+=-+=>． 函数()f x 有两个极值点12,,x x ∴方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ， 12122,20, x x x x a +=⎧∴⎨⋅=>⎩且480a ∆=->，解得1 0,2a <<，全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题03导数及其应用选择题填空题理(含答案及解析)
专题14导数概念及运算--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版 )
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