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第7题导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)

第7题导数的几何意义及应用

一、原题呈现

【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b <<

【答案】D 【解析】

解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于()

,e t

P t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点

P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1e

t t

y x t =+-上,所以()()e 1e 1e t

b a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1e

b a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e t

f t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,

且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减,

所以,()()max e a

f t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时,

直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D.

解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.

【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),e

t 有

2个t −−−−−−→整理出关于的方程

关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与

()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线

有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.

【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】

(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．

(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()()

,t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】

(1) 求导出错,

如一下几个函数的导数比较容易出错：

()211cos sin ,x x x x ''

⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭

； (2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0

x 1－x 0

＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程． (3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为0x =不是曲线3y x =在

0x =处的切线方程.

三、以例及类

（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题

1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线()1

ln f x x x

=-在()()1,1f 处的切线方程为（） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y +-=

D ．210x y +-=

【答案】A 【解析】()211

x f x x

=+',()11f =-,()12f '=,故切线方程为()()121y x --=-,即230x y --=. 故选A.

2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数32

()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为

（） A ．8- B ．7- C ．6- D ．5-

【答案】A

【解析】因为()2

314f x x x '=-,所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选A

3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线2ax y e =(e =2.718…为自然对数的底数)在点()0,1处的切线及直线

210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a =（）

A ．1-

B ．1

C ．

D ．1

【答案】B

【解析】由题意,函数()2ax

f x e

=,可得()22ax

f x ae

'=,则()02f a '=,即曲线2ax y e =在点()0,1处的切线

的斜率为2k a =,所以切线方程为12y ax -=,即21y ax =+,要使得切线与直线210x y --=和两坐标轴

的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即221a ⨯=-,解得1

a =-

.故选B. 4．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根

与系数的关系,如：设一元三次方程)(

00ax bx cx d a +++=≠的3个实数根为1x ,2x ,3x ,则

123b x x x a ++=-,122331c x x x x x x a

++=,123d x x x a =-.已知函数)(3

21f x x x =-+,直线l 与)(

f x 的图象相

切于点)()

(

11,P x f x ,且交)(

f x 的图象于另一点)()

(

22,Q x f x ,则（） A ．1220x x -= B ．12210x x --= C ．12210x x ++= D ．1220x x +=

【答案】D

【解析】)(

261f x x ='-,2

11()61k f x x '∴==-,又直线过点)()

(

22,Q x f x ,

3322212112

21212121

()()222()1f x f x x x x x k x x x x x x x x --+-∴===++---

222212112()161x x x x x ∴++-=-,化简得22212120x x x x +-=,

即2121(2)()0x x x x +-=,

12x x ≠,2120x x ∴+=,故选D

5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线()2ln f x x =在x t =处的切线l 过原点,则l 的方程是（） A ．20x ey -= B ．20x ey += C ．20ex y -= D ．20ex y +=

【答案】A

【解析】曲线()2ln f x x =,2()f x x

,切点为(),2ln t t ,所以切线l 的斜率(2

)k f t t '==,

又直线l 过原点,所以0220lnt k t t -=

=-,得1lnt =,t e =．所以2k e

=,故切线l 的方程为()2

2y x e e -=-即20x ey -=．故选A ．

6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数1

()cos f x x x

=-的图像的切线斜率可能为（） A ．13

B ．2-

C ．53

D ．4-

【答案】A

【解析】由1()cos f x x x

,得'

21()sin f x x x =-+,因为210x >,sin [1,1]x ∈-,

所以'()1f x >-,所以函数1

()cos f x x x

=-的图像的切线斜率大于1-,故选A

7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M 为抛物线2:4C x y =上一点,C 在点M 处的切线

:2l y x a =

+交C 的准线于点P ,过点P 向C 再作另一条切线2l ,则2l 的方程为（） A ．1124

y x =-

- B ．1

y x =-

+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--

【答案】D

【解析】设()00,M x y ,由题意知,214y x =

,则12y x '=,C 在点M 处的切线11

l y x a =+,所以0

01122x x y x =='

,所以01x = ,则11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将11,4M ⎛⎫

⎪⎝⎭

代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-,即111:24l y x =

-,抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- ,则3,12P ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ,则2

0000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪

⎝⎭

,解得04x =-或01x =（舍去）, 则(4,4)N -,所以2l 的方程为24y x =--.故选D

8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数()()2

10f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切

线,则实数a 的最小值为（） A ．

B ．

21e

C ．

D ．1

【解析】法一：设公切线与()f x ,()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，, 则()f x 图象在A 处的切线方程为：()

()2

11112y ax ax x x --=--,

即2

1121y ax x ax =-++,同理：()g x 图象在B 处的切线方程为：()()222

1ln y x x x x --=-

-, 即2212ln y x x x =-+-,由上述两直线重合,1221

21212ln ax x ax x

⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得,()2

2211ln 4x x a =-,

令()()()2

1ln 0h x x x x =->,

则()()12ln h x x '=-,当(x ∈时,()0h x '>,当)

x ∈+∞时,()0h x '<,

所以()h x 在(单调递增,在)

+∞单调递减,

则

()max 1

42e h x h a

≤==

,解得12a e

≥, 方法二：在同一坐标系中作出()f x ,()g x 的图象如图所示：

由图象知：()f x ,()g x 分别为上凸和下凸函数,要使()f x ,()g x 存在公切线, 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可,

即2ln x

a x

≥

在()0,∞+上恒成立令()2ln x h x x =,求导得()3

12ln x

h x x

-'=,

当(x ∈时,()0h x '>,当)

x ∈+∞时,()0h x '<,

所以当x =

,()h x 取得最大值为

2e ,所以12a e

≥故选A 9．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线ln y x =在()11,A x y ,()22,B x y ,两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ,()44,D x y ,则1234x x y y +的值为（）

A ．1

B ．2

C ．

D ．

174

【答案】B

【解析】由题设有3

113

11ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简可得111311ln 1x x x x x -=

-即31111ln ln x x x x x =+-=-, 整理得到1111ln 1x x x +=

-,同理2221ln 1x x x +=-,不妨设12x x <,令12

ln ln 111

x y x x x x +=-=----,

因为当()0,1x ∈时,2ln ,1y x y x ==-

-均为增函数,故1

ln 1x y x x +=--为增函数, 同理当()1,x ∈+∞时,故1

ln 1

x y x x +=--为增函数,

故12,x x 分别为1

ln 1

x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解,

又1111111

ln ,111x x x x x x ++=-=---,故111

111ln 11x x x +=-, 故11x 为1

ln 1

x y x x +=--在(

)1,+∞的解,故211x x =即121=x x . 所以34

1234121212

2x x x x y y x x e

x x x x ++=+=+=,故选B. 10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为（） A ．2 B

C ．2± D

．±

【答案】B

【解析】设切点(P m ,)(0)2

n m π

由()2sin f x x =的导数()2cos f x x '=,()cos g x a x =的导数()sin g x a x '=-, 可得2cos (sin )1m a m ⋅-=-,所以1sin cos 2m m a

=, 又2sin cos m a m =, 即sin tan (0)cos 2

m a

m a m =

=>,

则2222sin cos tan 1

sin cos 1214

a m m m m m a sin m cos m tan m a

===+++,

即为2314a =,

解得3

a =,故选B

11．（2021山东省高考考前热身押题）若x ,y R ∈,0x >,求()()

24ln 21x y x x y -+---的最小值为（） A

C ．

165

【答案】C

【解析】问题可以转化为：(

,4ln A x x x

-是函数2

4ln y x x =-图象上的点,

(),21B y y +是函数21y x =+上的点,()()2

2224ln 21AB x y x x y =-+---.

当与直线21y x =+平行且与()f x 的图象相切时,切点到直线21y x =+的距离为AB 的最小值.

()24

22,20,1f x x x x x x

-=+-==',舍去负值, 又()11f =-,所以()1,1M -到直线21y x =+的距离即为AB 的最小值

min AB =

min 165AB =.故选C.

12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线()11

y xe x x =+

<-+存在两条垂直于y 轴的切线,则m 的取值范围为（） A ．427,0e ⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．427,0e -

⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

C ．4

27,e ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

D ．4271,e ⎛

⎫--

⎪⎝⎭

【答案】A

【解析】∵曲线()11

y xe x x =+

<-+存在两条垂直于y 轴的切线, ∴函数()11

y xe x x =+

<-+的导函数存在两个不同的零点, 又()()

101x m

y x e x =+-

=+,

即()3

m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解,

设()()()3

11x f x x e x =+<-,()()()2

'14x

f x x e x =++,

当4x <-时,()'

x <；当41x -≤<-时,()'0f x >,

所以()()4

min 274f x f e =-=-

, 又当x →-∞时,()0f x →,当1x →-时,()0f x →, 故427,0m e ⎛⎫

∈-

⎪⎝⎭

.故选A. 13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则

k b +=（）

A ．

ln22

- B ．

1ln2

- C ．

ln21

- D ．

ln2

【答案】D

【解析】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ,2x y e -'=,12

1x k e -=；曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ,e x y '=,22x

k e =；

11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：,222221x x x l y e x e x e ∴=+--：

121

122222121

x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩,2ln 2x ∴=-, 2222111ln 2

1(ln 2)2222

x x x k b e e x e ∴+=+-+=

+--=．故选D ．二、多选题

14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数()x

f x e ex =-和

()()()21

ln 122

g x x kx k x k =-+-+

∈R ,其中e 是自然对数的底数()2.71828e =,则下列结论正确的

为（）

A ．()f x 的图象与x 轴相切

B ．存在实数0k <,使得()

g x 的图象与x 轴相切

C ．若1

k =

,则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点,则k 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】ACD

【解析】()x f x e e '=-,若()f x 的图象与x 轴相切,则()01x

f x e e x '=-=⇒=,又(1)0f =,则切点坐标

为(1,0),满足条件,故A 正确；

()()212(12)1(1)(12)

212kx k x x kx g x kx k x x x

-+-++-'=-+-==

,()0x >, 当0k <时,易知()0g x '>恒成立,不存在为0的解,故不存在实数0k <,使得()

g x 的图象与x 轴相切,B 错误；由上所述,()f x 在(0,1)x ∈上单减,(1,)x ∈+∞上单增,则()(1)0f x f ≥=；若12k =

,()211ln 22g x x x =-+,()(1)(1)x x g x x

+-'=,()g x 在(0,1)x ∈上单增,(1,)x ∈+∞上单减,()(1)0g x g ≤=,故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =,故C 正确；

()(1)(12)

x kx g x x

+-'=

,()0x >,

当0k ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 单增,不存在2个零点,故舍去；当0k >时,()g x 在1

(0,

)2k 上单增,在1(

,)2k

+∞上单减,且0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞,故若()g x 有两个零点,则应使最大值102g k ⎛⎫

⎪⎝⎭

, 即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->

⎪

⎝⎭

, 令11()ln 242h k k k =

--,易知()h k 单调递减,且1

()02

h =, 因此()0h k >的解集为1

(0,)2

k ∈,D 正确；故选ACD

15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r 是()0f x =的根,选取0x 作为r 的初始近似值,过点()()

00,x f x 作曲线()

y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-,则l 与x 轴的交点的横坐标()

()

()()01000'0'f x x x f x f x =-

≠,称1x 是r

的一次近似值；过点()()

11,x f x 作曲线()y f x =的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程,得r 的近似值序列,其中()

()

()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-

≠,称1n x +是r 的n +1次近似值,这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解,则（）

A ．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为17

12 B ．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为1712

C ．()()()()()()()

()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-

---

D ．()()()()()()()

()

0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+

【答案】ABC

【解析】构造函数2()2f x x =-,则'()2f x x =,取初始近似值01x =,则()()0100123

1'212

f x x x f x -=-

=-=⨯,

()()12119

231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则A 正确；取初始近似值02x =,则()()0100423

222'2f x x x f x -=-

=-=⨯,()()12119

2317

43'212

22f x x x f x -=-=-=⨯,则B 正确；根据题意,可知()()0100'f x x x f x =-,()()1211'f x x x f x =-,

()

()2322'f x x x f x =-,()()3433'f x x x f x =-,上述四式相加,得()()()()()()()()

0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----,

则D 不正确,C 正确,故选

ABC.

16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ,

()22,B x y ,曲线()x f x e =在A ,B 点处切线交于点()00,M x y ,则（）

A ．a e >

B ．1201x x x +-=

C ．2AM BM AB k k k +>

D ．存在a ,使得135AMB ∠=︒

【答案】ABC

【解析】对于A ：当0a ≤时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有两个不同交点,所以>0a ,如图1所示, 当直线y ax =与曲线()x f x e =相切时,设切点为()(),P t f t ,则'()x f x e =,

所以切线方程为：()t t

y e e x t -=-,代入点()00，

解得1t =,此时a e =,所以直线y ex =与曲线()x f x e =相切,

所以当a e >时直线y ax =与曲线()x f x e =有两个不同的交点, 当0a e <<时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有交点,故A 正确；对于B ：由已知得11x ax e =,22x

ax e =,不妨设12x x <,则1201x x <<<,

又()x f x e =在点A 处的切线方程为：()111+x

y e x x e =-,在点B 处的切线方程为()2

2+x x

y e

x x e =-,

两式相减得()()12

2+1+0x x

x x e e x x e

x e --=,将11x ax e =,22x ax e =代入得

()()()()121122+1+0x x ax ax x x x a a --⋅⋅=,

因为()120a x x -≠,所以121x x x +-=,即1201x x x +-=,故B 正确；

对于C ：要证2AM BM AB k k k +>,即证12+>2x x e e a ,即证12+>2a ax x a ,因为>a e ,所以需证12+>2x x .

令x

ax e =,则x e a x =,令()x e g x x =,则点A 、B 是y a =与e x

y x

=的两个交点,令

()()()()201G x g x g x x =--<<,

所以()()()2'

2212x x e x x x e G x -⎛⎫=-- ⎝-⎪⎪⎭

,令()()2>0x e x h x x =,则()()'32x e x h x x -=,所以当()0,2x ∈时,()'0h x <,()h x 单调递减,

而01x <<,0122x x <<<-<,所以 ()()>2h x h x -,所以01x <<时,()'

0G x <,所以()G x 单调递减,

所以()()>10G x G =,

即()()112>0g x g x --,又()()12g x g x a ==,所以()()21>2g x g x -, 而()

()2

'1x x g e x

x -=

,所以当>1x 时,()'

>0g x ,()g x 单调递增,又2

>1x ,12>1x -,所以21>2x x -,即

12+>2x x ,故C 正确；

对于D ：设直线AM 交x 轴于C ,直线BM 交x 轴于点D ,作ME x ⊥轴于点E ．若135AMB ∠=︒,则

45AMD ∠=,

即45MDE MCD ∠-∠=,所以

()tan tan tan 11tan tan 1BM AM AM BM

k k MDE MCD

MDE MCD +MDE MCD +k k -∠-∠∠-∠=

==∠⨯∠⨯,

化简得1

BM AM AM BM k k +k k -=⨯,即21121211x x x x x +x e e e e ++e -=⨯=,所以21121ax ax +ax ax -=⨯,即()21121a x x x x --=,

令2112m x x x x =--,则()()211212111m x x x x x x ++=--=--,又1201x x <<<,所以()()2112121111m x x x x x x ++>=--=--,

而a e >,所以方程()21121a x x x x --=无解,所以不存在a ,使得135AMB ∠=︒,故D 不正确, 故选ABC ．

三、填空题

17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数()3

f x e mx =-,曲线()y f x =在不同的三点

()()1

,x f x ,()()2

,x f x ,()()3

,x f x 处的切线均平行于x 轴,则m 的取值范围是______．

【答案】2e ,12⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

【解析】因为函数()3

f x e mx =-,所以()2

f x e mx '=-,

又曲线()y f x =在不同的三点()(

)11,x f x ,()()22,x f x ,()()

33,x f x 处的切线均平行于x 轴,所以

30x

e mx -=有3个不同的解,即23x

e m x

令()2x

e g x x =,则()()3

2x e x g x x

-'=,当()0g x '>时,0x <或2x >；当()0g x '<时,02x <<,所以()g x 在2x =时有极小值为()24

e g =,

结合函数()2x e g x x =图象可知,234

e m >,即2

12e m >．

18.（2021江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟）已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切,则

k b π

+的最大值为______. 【答案】2

π 【解析】由2cos y x x =+得：2sin y x x '=-,

设直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切与点(

)

000,cos x x x +,

则002sin k x x =-,又2

000cos x x kx b +=+,则20000cos sin b x x x x =-+,

()2

0000002sin cos sin 22k b x x x x x x ππ∴

+=-+-+200000sin cos 2x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭

令()2

sin cos 2f x x x x x x ππ⎛

⎫

=+-

+- ⎪⎝

⎭

()sin cos sin 22cos 22f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫'∴=++---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 22x x π⎛

⎫=-- ⎪⎝⎭,

1cos 1x -≤≤,cos 20x ∴-<,

∴当,2x π⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x π⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；

()f x ∴在,2

π⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

上单调递增,在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝

⎭

上单调递减,

()222

max

cos 22

244f x f πππππ⎛⎫∴==+-=

⎪⎝⎭,即2k b π+的最大值为24π. 四、解答题

18．（2021广东省惠州市高三调研）已知实数0a >,函数()22

ln f x a x a x x

=++,(0,10)x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点11(,())P x f x ､22(,())Q x f x (12x x <)处的切线分别为12l l ，,且12l l ，在y 轴上的截距分别为1b ､2b ．若12l l //,求12b b -的取值范围．【解析】（1）()()()()2

22212010ax ax a f x a x x x x

+-'=-

++=<<. 0a >,010x <<, 20ax ∴+>.

①当

110a ≥,即当10,10a ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

时,()0f x '<, ()f x ∴在()0,10上单调递减；

②当1010a <

<,即1,10a ⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,

x a ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时,()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时,()0f x '>,

()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减,在1,10a ⎛⎫

⎪⎝⎭上单调递增.

综上所述：当10,

10a ⎛⎤

∈ ⎥

⎝⎦

时,()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减,在1,10a ⎛⎫

⎪⎝⎭上单调递增.

（2）

1x =是()f x 的极值点,

()10f '∴=,

即()()210a a +-=, 解得：1a =或2a =-（舍）, 此时()2

ln f x x x x =

++, ()221

1f x x x

'=-++.

1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫

-++=-++-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得：111

ln 1b x x =

+-；同理可得：222

ln 1b x x =

+-. 12//l l ,

221122

212111x x x x ∴-

++=-++, 整理得：()12122x x x x =+,

2122

x x x ∴=

-, 又12010x x <<<,

则1

112102

x x x <

<-, 解得：

x <<, ()121221111121

12212222

21244ln ln ln 1x x x x x x x x x

b b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪

--⎝⎭∴-=+=+=+++.

令1

x t x =, 则1111211,1224x x t x x -⎛⎫

=⋅

=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()

21ln 1t g t t t

++, ()()

()()

214

1011t g t t t t t -'∴=-

+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递增,又()10g =,16

ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,

()6ln 4,05g t ⎛⎫

∴∈- ⎪⎝⎭

即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫

- ⎪⎝⎭

第7题导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)

第7题导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b << 【答案】D 【解析】解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于() ,e t P t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点 P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1e t t y x t =+-上,所以()()e 1e 1e t t t b a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1e t b a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e t f t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增, 且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减, 所以,()()max e a f t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时, 直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D. 解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.

【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),e t t 有 2个t −−−−−−→整理出关于的方程关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与 ()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下. 二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等. 【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】 (1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简． (2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()() ,t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】

高考数学-导数及其应用(含22年真题讲解)

高考数学-导数及其应用（含22年真题讲解） 1．【2022年全国甲卷】当x =1时，函数f(x)=alnx +b x 取得最大值−2，则f ′(2)=（） A ．−1 B ．−1 2 C ．1 2 D ．1 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知f (1)=−2，f ′(1)=0即可解得a,b ，再根据f ′(x )即可解出．【详解】因为函数f (x )定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f (1)=−2，f ′(1)=0，而f ′(x )=a x −b x 2，所以b =−2,a −b =0，即a =−2,b =−2，所以f ′(x )=−2 x +2 x 2，因此函数f (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x =1时取最大值，满足题意，即有f ′(2)=−1+1 2=−1 2．故选：B. 2．【2022年全国甲卷】已知a =31 32,b =cos 1 4,c =4sin 1 4，则（） A ．c >b >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．a >c >b 【答案】A 【解析】【分析】由c b =4tan 1 4结合三角函数的性质可得c >b ；构造函数f(x)=cosx +1 2x 2−1,x ∈(0,+∞)，利用导数可得b >a ，即可得解. 【详解】因为c b =4tan 1 4,因为当x ∈(0,π 2),sinx 1 4,即c b >1,所以 c >b ；设f(x)=cosx +1 2x 2−1,x ∈(0,+∞)， f ′(x)=−sinx +x >0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f (1 4)>f(0)=0,所以cos 1 4−31 32>0，

高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一导数的概念 1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】 (1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若Δy Δx 的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数． (2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0) x －x 0. 要点二导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0) x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时， k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 【重点总结】 (1)曲线的切线与割线 ①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数 ①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3 x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．要点三导函数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们

2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)含详解

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题 1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1 y x =．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x = 6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点 ()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01, {ln ,1, x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()2 1f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（） A ．e 2 B ．e C D ．2e 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以

2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y . f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx . 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

“导数的几何意义及其应用”教学设计

“导数的几何意义及其应用”教学设计作者：马科来源：《中学教学参考·中旬》 2014年第3期陕西咸阳西藏民族学院附属中学（712082）马科【教学目标】一、知识与能力 1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径. 2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义. 3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法. 二、过程与方法 1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力. 2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题. 3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤. 三、情感、态度与价值观 1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想. 2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法. 【教学重难点】重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义. 难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线. 【教学方法】分层探究、自主实践. 【教学过程】一、回顾旧知，引入新课二、引导探究，获得新知

1.动画演示，得到切线的新定义已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：学生观察，得出一般曲线的切线的定义：曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线. 2．数形结合，概括导数的几何意义导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k= 三、分层解析，巩固理解师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题. 1．分类解析（四种常见的类型）题型一：已知切点，求曲线的切线方程. 此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可．【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）. A．y=3x-4 B．y=-3x+2 C．y=-4x+3 D．y=4x-5 答案：B．题型二：已知斜率，求曲线的切线方程. 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）. A．2x-y+3=0

2020年高考【数学真题·母题揭秘】导数的几何意义(理)(学生版).docx

「高考真题•母题解密』『分项汇编•逐一击破』

专题10导数的几何意义母题呈现【母题原题1】【2020年高考全国III 卷，理数】若直线，与曲线尸五和都相切，贝/的方程为（） 1 1 1 1 A. y=2i+l B. y=2x+ — C. y= — x+l D. ）7=31+5 【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线/在曲线y = &上的切点为（气，扁），则吒＞。， L, , 1 _ 7 1 函数y = s/x 的导数为多=2五,则直线，的斜率k - ， —j=^x-x 0),即 x-2ylx^y + x 0 =0, 两边平方并整理得5"-4吒—1 = 0，解得x°=l, x 0 =-| （舍），则直线/的方程为x-2y + l = 0,艮p v = + '2 2 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 【母题原题2][2019年高考全国III 卷，理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点（1, oe ）处的切线方程为y=2i+/?, 则 A. a = e, b = —l B. o=e, b=l D. Q =疽，b = —l 【答案】D 【解析】y' = ae"+lnx + l, * = y'L=i=oe+l = 2, 口 =『| 设直线Z 的方程为y — 由于直线/与圆x 2 + y 2 = |相切,

将(1,1)代入y = 2x + b 得 2 + m-1,故选 D. 【名师点睛】本题关键得到含有。，万的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系. 【母题原题3] [2018年高考全国III卷，理数】曲线y = (av + l)矿在点(0, 1)处的切线的斜率为-2 ,则 a =. 【答案】-3 【解析】y' = a&x + (tn:+1)e v,则jT(0)= a+l = -2 ,所以a = -3 ,故答案为：一3 • 【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 【命题意图】本类题通常主要考查导数的几何意义，切线方程的不同形式的求解. 【命题规律】导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等. 【答题模板】 1.求曲线y=f (x)的切线方程若已知曲线y=f (x)过点P (xo,为)，求曲线过点P的切线方程. (1)当点F Cx0, yo)是切点时，切线方程为y-yo刁7(xo)(x-xo). (2)当点、P (x0, y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'(Xl，/(X1))；第二步：写出过点P，(xi，/ (xi))的切线方程y-f (%i)=f (%i)(x-xi)；第三步：将点P的坐标(的，％)代入切线方程求出X1；第四步：将为的值代入方程y-f (xi)=/ (%i)(x-xi)可得过点P (而，为)的切线方程. 2.根据切线的性质求倾斜角或参数值由已知曲线上一点P (而，为)处的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率奴然后利用导数的几何意义得到(的)=tanO,其中倾斜角。日0,兀)，进一步求得倾斜角0或有关参数的值.

高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。学生学情分析学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y =的图像，平均变化x y ∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观经历数学发现过程，感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念，应用图形计算器进行数学实验中改善数学学习的方法。教学重点导数概念的建构及用定义求导数的方法。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=() A. 1 B. 2 C. −1 D. −2 2.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为() A. 2 B. −5 C. −1 D. −2 3.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=() A. 1 B. 1 2C. −1 2 D. −1 4.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( ) A. 4x-y=0 B. 4x-y-4=0 C. 2x-y-2=0 D. 4x-y=0或4x-y-4=0 5.（5分）若函数f(x)=1 x −3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= () A. −1 B. 1 C. −7 12D. −5 3 6.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=() A. 1 3B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 7.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( ) A. -0.3 B. 0.6 C. -0.6 D. 0.3 8.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为 A. B. C. D. 9.（5分）曲线y=1 2x2−2x在点(1,−3 2 )处的切线的倾斜角为() A. −135° B. 45° C. −45° D. 135° 10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=() A. 2 B. 1 2C. −1 2 D. −2 11.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为() A. y=x B. y=−x C. y=2x D. y=−2x 12.（5分）物体运动方程为s=1 4 t4−3，则t=5时的瞬时速率为() A. 5m/s B. 25m/s C. 125m/s D. 625m/s 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．

高考数学热点难点专题06+导数的几何意义灵活应用(文)(教师版)

专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【知识要点】 1．平均变化率及瞬时变化率 (1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1） x 2－x 1. (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是： lim x ∆→ Δy Δx ＝0 lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . 2．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . 【详解】y=x 3的导数为y′=3x 2，设切点为（m ，m 3），可得切线的斜率为3m 2，切线的方程为y ﹣m 3=3m 2（x ﹣m ），若P （0，0），则﹣m 3=3m 2（0﹣m ），解得m=0，只有一解；若P （0，1），则1﹣m 3=3m 2（0﹣m ），可得m 3=﹣，只有一解；若P （1，1），则1﹣m 3=3m 2（1﹣m ），可得2m 3﹣3m 2+1=0，即为（m ﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或﹣，有两解；若P （﹣2，﹣1），则﹣1﹣m 3=3m 2（﹣2﹣m ），可得2m 3+6m 2﹣1=0，由f （m ）=2m 3+6m 2﹣1，f′（m ）=6m 2+12m ，当﹣2＜m ＜0时，f （m ）递减；当m ＞0或m ＜﹣2时，f （m ）递增．可得f （0）=﹣1为极小值，f （﹣2）=7为极大值，

高中数学典型例题解析导数及其应用

三、经典例题导讲 [例1]已知2) 2 cos 1(x y+ =,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:) 2 cos 1( 2 sin 2x x y+ - = '. 正解：设2 u y=,x u2 cos 1+ =,则) 2( ) 2 sin ( 2 ) 2 cos 1( 2' ⋅ - ⋅ =' + = ' ' = 'x x u x u u y y x u x ) 2 cos 1( 2 sin 4 2 ) 2 sin ( 2x x x u+ - = ⋅ - ⋅ =∴) 2 cos 1( 2 sin 4x x y+ - ='. [例2]已知函数 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ + = )1 )(1 ( 2 1 )1 )(1 ( 2 1 ) ( 2 x x x x x f判断f(x)在x=1处是否可导？错解：1 )1( ,1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim 2 2 = ' ∴ = ∆ + - + ∆ + → ∆ f x x x Θ。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim lim 2 2 = ∆ + - + ∆ + = ∆ ∆ - -→ ∆ → ∆x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+ → ∆0 x，指x∆逐渐减小趋近于0；- → ∆0 x，指x∆逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 x x f x x f x∆ - ∆ + → ∆ ) ( ) ( lim0 ，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求3 22+ =x y在点)5,1(P和)9,2( Q处的切线方程。错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y'在1 = x处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4 . 4 ,3 2 1 2= ' ∴ =' ∴ + ==x y x y x y Θ 即过点P的切线的斜率为4，故切线为：1 4+ =x y．设过点Q的切线的切点为) , ( y x T，则切线的斜率为0 4x，又 2 9 - - = x y k PQ，

2021高考浙江版数学一轮讲义：第三章 § 3.1 导数的运算及导数的几何意义 Word版含解析

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第三章导数及其应用考试要点考试内容 1。导数的概念、几何意义及运算 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义。 ③会用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数,并能求简单的复合(仅限于形如f （ax+b)的复合函数的导数）函数的导数。 2。函数的单调性了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次）. 3。函数的极值与最值理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件;会用导数求函数的极大（小)值；会求闭区间上函数的最大（小)值。 4.导数综合应用导数的综合应用包括利用导数证明不等式,解决方程根的分布问题，结合单调性与最值求参数的范围及解决恒成立问题、生活中的优化问题. § 3。1 导数的运算及导数的几何意义 1。导数的概念 (1)函数y=f(x ）在x=x 0处导数的定义

称函数y=f(x）在x=x0处的瞬时变化率①lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 Δy Δx 为函数 y=f(x）在x=x0处的导数，记作f '（x0)或y’| x=x0 ,即 f ’(x0） =lim Δx→0Δy Δx =②lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx 。 (2)导数的几何意义函数f（x)在点x0处的导数f '（x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P（x0，y0)处的③切线的斜率.相应地,切线方程为④y—y0=f '(x0）（x—x0) . （3)函数f(x)的导函数称函数f ’(x)=⑤lim Δx→0f(x+Δx)-f(x) Δx 为f(x）的导函数。 2.基本初等函数的导数公式原函数导数 f(x）=C（C为常数) f ’（x)=⑥0 f（x)=xα(α∈Q*） f ’（x)=⑦αxα-1 f(x)=sin x f ’(x）=⑧cos x f(x)=cos x f '（x）=⑨-sin x f(x）=a x(a〉0，且a≠1) f ’（x)=⑩a x ln a f（x）=e x f '(x）=e x f（x)=log a x(a>0,且a≠1） f ’（x)=1 xlna f（x)=ln x f ’(x）=1 x 3.导数的运算法则

专题3导数及其应用两大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(新高考专用)

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.3导数及其应用两大考点与真题训练考点一：导数的几何意义一、单选题 1．（2022·河南焦作·二模（文））函数()()2e cos x f x x x =-⋅的图象在0x =处的切线方程为（） A ．210x y -+= B ．20x y -+= C ．20x += D ．210x y -+= 2．（2022·贵州·模拟预测（理））若存在两条过点(1,1)-的直线与曲线2a y x x =-相切，则实数a 的取值范围为（） A ．(,4)(1,)∞∞--⋃+ B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+ 3．（2020·四川·模拟预测（理））曲线()ln f x x x x =-在(,0)a 处的切线方程为（） A ．0y = B ．y x = C ．e y x =-+ D ．e y x =- 4．（2022·福建·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，且函数(1)1y f x =+-是奇函数，当1 2 x < 时，()ln(12)f x x =-，则曲线()y f x =在2x =处的切线方程是（） A ．4y x =- B ．y x = C ．22y x =-+ D ．26y x =-+ 5．（2022·全国·模拟预测）曲线()cos 2 f x x π π=+在1 2 x = 处的切线方程为（） A ．10x y +-= B ．0x y ππ+-= C ．10x y π+-= D ．0x y π+-= 二、多选题 6．（2022·重庆·二模）已知曲线()e x f x x =及点(),0P s ，则过点P 且与曲线()y f x =相切的直线可能有（）

考向14 导数的概念及应用(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

考向14 导数的概念及应用 1．（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-. 当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：

由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.

高考数学热点必会题型第7讲导数之二阶导数的应用(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用 ——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，1 2 1112 x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1e B ．1 C ．1 1e + D ．e 例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2 f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0 x >时，()ln f x x ≥，则b a 的最小值为（） A ．2- B ．12 - C ．e - D ．1e -

例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x k f x e e x k -=--=，则（） A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值 B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值 C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值 D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()3 2012 x a f x ae x ax a =- -->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x k k x +>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛ ⎫= ⎪⎝ ⎭，ln9b =-， ln(ln 0.9)c =-，则（） A ．c B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|（其中e=2.71828 为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的