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全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练

（二）

一、解答题

1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2

()32

gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对

任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx

g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。 2.(本小题满分12分）已知函数22()ln ax

f x x e

=-

，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；

（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为

111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。 3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x

，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，

则称“f （x ）关于k 可线性分解”．

（Ⅰ）函数()2

2x x f x

+=是否关于1可线性分解?请说明理由；

（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；

（Ⅲ）证明不等式：

()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*

∈N n ． 4.已知x=1是

()2ln b

f x x x x =-

+的一个极值点

（1）求b 的值；（2）求函数

()

f x 的单调增区间；

（3）设x x f x g 3

)()(-

=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明

理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且

12x x <.

（Ⅰ）证明：1ln 2x <；

（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.

6.设函数2()ln 4f x a x x =-，

2

()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.

（Ⅰ）当3

2b =

时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增

区间；

（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数

()

()()g x p x f x x =+

在区间2

[1,]e 上

的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x a x =-，

1(), (R).a

g x a x +=-

∈

（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在

[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <

0()

g x 成立,求a 的取值

范围.

8.已知函数

2

()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们

的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=

（1）若

()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求

、a b 的值；

（2）对于任意的实数

k

，且

、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与

()y g x '=的图象有公共点；

（3）在（1）的条件下，设

112212(,),(,),()

A x y

B x y x x <是函数

()y g x =的图象上两

点，21

021()y y g x x x -'=

-，证明：102x x x <<

9.

（本小题满分13分）

已知函数21

()ln (,0).

2f x x ax a R a =-∈≠

（I ）求函数()f x 的单调区间；

（II ）已知点1111

(1,),(,)(1):()

2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C

上是否存在点

00(,)

M x y 满足：①

1

012x x +=

；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线

AB ？请说明理由。 10.（本小题满分14分）

设函数

.21

ln )2()(ax x x a x f ++

-=

（1）当0=a 时，求)(x f 的极值；

（2）设

x x f x g 1

)()(-

=，在),1[+∞上单调递增，求a 的取值范围；

（3）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间.

11.（本小题满分1４分）已知函数

()x x x f y ln ==。

（1）求函数)(x f y =的图像在e x 1

=

处的切线方程；

（2）求)(x f y =的最大值；

（3）设实数,0>a 求函数()()[]a a x af x F 2,在=上的最小值。 12.（本小题满分12分）

已知

2

()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- (1) 求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；

(2) 若对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围； (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12

ln x x e ex -

＞

成立．

13.（本小题满分12分）已知1=x 是函数()()2x

f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R )

（1）求a 的值；

（2）任意1x ，[]

20,2x ∈时，证明：

()()12||f x f x e

-≤

14.（本小题满分12分）已知函数

132)(2

3+-=ax x x f ．（1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的

极值；

（2）求函数)(x f 的单调区间． 15.（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴

上，离心率为

2

3

，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；

（Ⅲ）若直线l 不过点M ，试问MA MB k k +是否为定值？并说明理由。

16.(本题满分15分)如图，已知动直线l 经过点)0,4(P ，交抛物线

)0(22>=a ax y 于B A ,两点，坐标原点O 是PQ 的中点，设直线BQ AQ ,的斜率分别为21,k k . （1）证明：021=+k k

（2）当2=a 时，是否存在垂直于x 轴的直线l '，被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由.

17.已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:1

2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．

18.在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交

于A B ，两点．

（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；

（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．

19.过点C(0，1)

的椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

的离心率为

3

2，椭圆与x轴交于两点(,0)

A a、(,0)

A a

-，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OP OQ

⋅

u u u r u u u r

为定值．

20.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=

2

2

，一条准线的方程是22

x=

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：2

OP OM ON

=+

u u u v u u u u v u u u v

，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON 的斜率之积为

1

2

-，问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：210

x=的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。

21.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

（I）设

1

2

e=

，求

BC

与

AD

的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

22.已知椭圆C ：22

2

21x y a b +=（0a b >>）的离心率22e =，左、右焦点分别为12

,F F ，点(2,3)P ，点2F 在线段1

PF 的中垂线上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线1l ：y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N

的倾斜角分

别为α、β，且αβπ+=，求证：直线1l 经过定点，并求该定点的坐标．（3）若过点B （2，0）的直线

2l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E ，

F （E 在B ，F 之间），且OBE 与OBF 的面积之比为21

，求直线2l 的方程．

23.已知抛物线21:8C y x =与双曲线22

222:1(0,0)

x y C a b a b -=>>有公共焦点2F ，点A 是

曲线

12

,C C 在第一象限的交点，且

25

AF =．

（1）求双曲线

2

C 的方程；

（2）以双曲线

2

C 的另一焦点

1

F 为圆心的圆M 与直线3y x =相切，圆N ：

22(2)1x y -+=．过点3)P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设

1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l

被圆N 截得的弦长为t ，问：s

t 是否为定值？如果是，请求

出这个定值；如果不是，请说明理由．

24.已知抛物线的方程为

24y x =，O 为坐标原点（Ⅰ）点,A B 是抛物线上的两点，且P （3,2）为线段AB 的中点，求直线AB 的方程（Ⅱ）过点（2,0）的直线l 交抛物线于点,M N ,若OMN ∆的面积为6，求直线l 的方程

25.已知椭圆C：

)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的长轴长为4，离心率2

2

=

e

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：3

=

x分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

26.给定椭圆

2

2

22

:1(0)

y

x

C a b

a b

+=>>

，称圆心在坐标原点O22

a b

+的圆是椭圆

C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为2(2,0)

F，其短轴上的一个端点到

2

F3. (Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程;

(Ⅱ)若过点(0,)(0)

P m m<的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得

的弦长为2m的值;

(Ⅲ)过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线12,l l，使得12,l l与椭圆C都只有一个公共点，当直线12,l l都有斜率时，试判断直线12,l l的斜率之积是否为定值，并说明理由.

27.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是1

(30)

F-，

，一条渐近线的方程是520

x y

-=。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若以

(0)

k k≠为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点N

M,

，且线段MN的

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81

2，求k的取值范围。

28.已知椭圆G：

2

21

4

x

y

+=

，过点（m，0）作圆

221

x y

+=的切线L交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围;

（3）将

||

AB表示为m的函数，并求||

AB的最大值。

29.矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6. H

G

F

E,

,

,分别

是矩形四条边的中点，

T

S

R,

,是线段OF的四等分点,'

'

',

,T

S

R是线段CF的四等分点.设

直线ER 与'GR ,ES 与'GS ,ET 与'GT 的交点依次为N M L ,,.

(1) 求以HF 为长轴，以EG 为短轴的椭圆Q 的方程；

(2) 根据条件可判定点N M L ,,都在（1）中的椭圆Q 上，请以点L 为例，给出证明（即证

明点L 在椭圆Q 上）.

(3)设线段OF 的n （)2,≥∈+n N n 等分点从左向右依次为

)

1,,2,1(-=n i R i Λ，线段

CF 的n 等分点从上向下依次为)1,,2,1(-=n i T i Λ，那么直线)1,,2,1(-=n i ER i Λ与哪

条直线的交点一定在椭圆Q 上？（写出结果即可，此问不要求证明）

试卷答案

1. 解：（Ⅰ）

2

()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=- 由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，

故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====

由此得8820,2,

1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨

++==⎩

⎩解得

所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=

（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32

()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2

(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数12

0,,x x ，

故

12

,x x 是方程2

320x x m -+-=的两相异的实根。

所以

1

94(2)0,.

4m m ∆=-->>-即又对任意的12[,],()()(1)

x x x f x g x m x ∈+<-成立，

特别地，取

1

x x =时，

111()()f x g x mx m

+-<-成立，得0.m <

由韦达定理，可得12121230,20,0.

x x x x m x x +=>=-><<故

对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x

则

12111()()()()0,()()0

f x

g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又

所以函数

12()()[,]

f x

g x mx x x x +-∈在的最大值为0。

于是当0m <时，对任意的

12[,],()()(1)

x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，

综上，m 的取值范围是1(,0).

4-

2.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞U ．

222()

()a e ax f x x e ex

-'=

-=

……………………………………………….2分当0a =时，由2

()0f x x

'=>，解得0x >；

当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0e

x a <<；

当0a <时，由2()()0e ax f x ex

-'=>，解得0x >，或e

x a <．-------------4分

所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )e

a

；

当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a

-∞，(0, )+∞． ----------------6分（Ⅱ）因为222()

()e x f x x e ex

-'=

-=，所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为

112()e x ex -；以222(,())P x f x 为切点的切线的斜率为22

2()

e x ex -．………………………….8分

又因为切线过点(0, )P t ，所以211111

22()

ln (0)x e x t x x e ex --+

=-； 222222

22()

ln (0)x e x t x x e ex --+

=-…………………………………………..10分解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =.

由已知12x x ¹,从而有120x x +=．所以12x x +为定值0.………………..12分

3.解：（Ⅰ）函数()2

2x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解，

则定义域内存在实数

x ，使得

()()()

1100f x f x f +=+．

构造函数

()()()()11f x f x f x h --+=()122122

21----++=+x x x x ()

1221-+=-x x ．

∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]1,1-上是连续的，

∴()x h 在()1,1-上至少存在一个零点．即存在

()

1,10-∈x ，使

()()()

1100f x f x f +=+．

（Ⅱ）()x g 的定义域为()+∞,0．

由已知，存在0

0>x ，使

()()()

a g x g a x g +=+00．

即

()()1

ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．

整理，得

()1

ln ln ln 00++=+a x a x ，即

())

e ln(ln 00ax a x =+．

∴

e

00ax x a =+，所以

1e 0-=

a a

x ．

由

01e 0>-=

a a x 且0>a ，得

e 1

>a ． ∴a 的取值范围是⎪

⎭⎫

⎝⎛+∞,e

1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，()1ln +-=x x x g ，

x x

x x g -=-=

'111)(．

略

4.解：(1) Q x=1是

()2ln b

f x x x x =-

+的一个极值点,∴0)1('=f

又

x x

b x f 1

2)('2

++

= 所以2+b+1=0 ∴b= -3．经检验，适合题意，所以b= -3．

(2) 由2222

3123(23)(1)

'()20x x x x f x x x x x +-+-=-+==> 和0>x 得1x >

∴函数的单调增区间为),1[+∞

（3）

x x f x g 3

)()(-

==2x+lnx

设过点（2，5）与曲线g (x) 相切的切线的切点坐标为00(,)

x y

∴

/0005()(2)

y g x x -=-

即

0000

1

2ln 5(2)(2)x x x x +-=+

- ∴

00

2

ln 20x x +

-=

令h(x)=

2ln 2x x +

-

由/

h (x)=212x x -=0得2x =,且当02x <<时，22'()0x h x x -=<

当2x >时，

22

'()0x h x x -=

>，

∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，()h x 的极小值（也是最小

值）为(2)h ，又1()2ln 202h =->，(2)ln 210h =-<，222()0

h e e =>

∴h(x)与x 轴有两个交点 ∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线. 略

5.解：（Ⅰ）∵ 函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，即()0f x '=有两个零点1x ，

2x

∴ 方程20x e x a --=有两个不同的零点1x ，2x ……………………………2分令()2x

h x e x a =--．

()2x h x e '=-， ……………………………4分

当2ln

当2ln >x 时，()0h x '>， ()h x 是增函数，……………………………………6分 ∴ ()h x 在ln 2x =时取得最小值．

∴ 1ln 2x <． …………………………………7分

（Ⅱ）∵1)(0h x =，即1120x

e x a --=，

∴ 112x

a e x =- …………………………………9分

于是11122

111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---⋅=-+，

∴ 111()(2)x

f x x e '=- …………………………11分

∵ 1ln 2x <， ∴ 120x e ->．

∴ 当10x <时，1()0f x '<，1()f x 是减函数；

当10ln 2x ≤<时，2()0f x '>，1()f x 是增函数 ……………………………12分 ∴ 1()

f x 在(n 2)l -∞，

上的最小值为()01

f =，此时1a =. …………………13分

略

6.解：（1）2

2

23()ln 4'()432a h x a x x x h x x x =-+⇒=-+，由题意

2

'(1)01h a =⇒=

1(31)(1)

'()43(0)x x h x x x x x --=

-+=>

∴当

1(0,)

3x ∈时，'()0()h x h x >⇒递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0()h x h x >⇒递增，

∴()h x 的递增区间为

1

(0,)

3，(1,)+∞ （2）2()g x bx =有极大值，则0b <且(())=0g x 极大值，

24()a x f x x -'=，当2(0,)4a x ∈时，()0f x '>，当2

(,)

4a x ∈+∞时，()0f x '<，

222

22(())=()ln 0444a a f x f a a a e

∴=-=⇒=极大值

44()4ln 4'()404e e

p x e x x bx p x b x e x b ∴=-+⇒=

-+=⇒=<-

i) 当41

4e

b ≤-即44b e ≤-时，'()0()p x p x ≤⇒递减，

max (())(1)484844p x p b e b e e

∴==-+=-⇒=-<-，符合；

ii) 当

414e

e b <

<-即440e b -<<时，

当

4[1,

)4e x b ∈-时，'()0p x >()p x ⇒递增，当4(,)4e x e b ∈-时，

'()0p x <()p x ⇒递减，

2max 4(())(

)844444e

p x p e b e e b ∴==-⇒=-<--，不符，舍去.

综上所述，48b e =-. 略

7.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，

11()1x f x x x -'=-

= ， ……2分

所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分

（Ⅱ）

1()ln a

h x x a x x +=+

-，

2222

1(1)(1)[(1)]

()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==

………………………6分

①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '

>，

所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………8分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即

在

[]1,e 上存在一点0x ，使得0

()0h x <，即

函数

1()ln a

h x x a x x +=+

-在[]

1,e 上的最小值小于零. …………………9分

由（Ⅱ）可知

①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在

[]1,e 上单调递减，

所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0

e a

h a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以

2e 1

e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在

[]1,e 上单调递增，

所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，

因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<,故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+> 此时，(1)0h a +<不成立.

综上讨论可得所求a 的范围是：

2e 1

e 1a +>

-或2a <-. …………………12分略

8.(1) 0,1a b ==

(2)

22

()2()0 20

2()0 02()=00原题即为时，有

方程即在时有解

即在时有解f x ax kb

b g x a x

ab k R b

ax kb a x

ax kb a x b x x ax kb a x b x '=+'=+

>∀∈+--=+--=>+--*> 2222222222223302()8 = 28()44(8) =4432 320

00()()两根积为：-又方程在时有解

即时，与图象有公共点

b a

kb a ab

k b abk a ab k R a b b a ab a b a b ab ab x ab y f x y g x <∆=-+-++∈'∴∆=-+--=-<∴*>''>==Q

（3）

210021

2121

02

21

1(1)()ln (0)1()ln ln 1()ln ln ln 由知：g x x x g x x

x x g x x x x x x x x

x x x x x =>'∴=

-'∴==---∴=

=-

21

01121

22111

21

12221

11

ln ln ln

(1ln )ln x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x -∴-=

---=

=

--

2

1

22010111

,1,()1ln ,11

()10,()(1,)()(1)0,1ln 0,0,;

令则令则在上单调递增，

即即x t t h t t t x t h t h t t t

x x

h t h x x x x x x =

>=---'=-=>∴∞∴>=-->∴->>

同理可得：20

x x > 综上述：102

x x x <<

略 9.

略

10.解：（1）函数)(x f 的定义域为).,0(+∞ ………………1分

当0=a 时，

x x x f 1ln 2)(+

=，

∴

.1212)(22x x x x x f -=-=

' ………………2分

由0)(='x f 得

.

21

=x )(),(x f x f '随x 变化如下表： x

)21

,0(

21

),21

(+∞

)(x f ' — 0 + )(x f

减函数

极小值

增函数

故，2

ln 22)21

()(-==f x f 极小值，没有极大值………………4分

（2）由题意，ax x a x g 2ln )2()(+-=，在),1[+∞上单调递增，

即

022)(≥+-=

'a x a

x g 在),1[+∞上恒成立……………5分

设022)(≥-+=a ax x h 在),1[+∞上恒成立，

当0=a 时，02≥恒成立，符合题意. …………………6分

当0>a 时，)(x h 在),1[+∞上单调递增，)(x h 的最小值为022)1(≥-+=a a h ，得

2-≥a ，所以0>a …………………7分

当0

（3）由题意，2

21)2(2)(x x a ax x f --+=' 令0)(='x f 得

若0>a ，由0)(≤'x f 得]21,0(∈x ；由0)(≥'x f 得).

[+∞∈x …10分

a ，]1,0(a x -∈或),21[+∞∈x ，0)(≤'x f ；

,1[a x -∈，,0)(≥'x f ………11分

②当2-=a 时，0)(≤'x f ………12分

③当02<<-a 时，ks5u

]1,0(,211a x a -∈>-),21[+∞∈x ,0)(≤'x f ;]

,1[a x -∈,.0)(≥'x f …13分综上，当0>a 时，函数的单调递减区间为]21,0(，单调递增区间为),21

,1[a -；当02<<-a 时，函数的单调递减区间为),,1

[],21,0(+∞-a 单调递增区间为]

,21[a --…………………14分

11.解：()，，定义域为∞+0)(x f Θ

(',)1(2e e f k e e f ==-=ΘΘ又 e x x f y 1)(=

=∴在函数处的切线方程为.

(222e x e y e x e e y -=-=+即

（2）令0)('=x f 得e x =ks5u

()时，当e x ,0∈Θ()e x f x f ,0)(,0)('在>上为增函数；ks5u

当()+∞∈,e x 时，0)('

e 上为减函数。

)(max e e f x f ==∴

（3）0>a Θ，由(2)可知：ks5u

)(x F 在()e ,0上单调递增，在()∞+，

e 上单调递减， []a a x F 2,)(在∴上的最小值{})2(),(m in )(min a F a F x F =

当20≤<∴a 0)2()(≤-a F a F Θ ;ln )(F )(min a a x F ==当时，a <20)2()(>-a F a F Θ

)2(F )(min a a x F =

12.（本小题满分12分）

解（1）()ln 1f x x '=+， —————1分

当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1

x f x f x e '∈+∞>单调递增

—————2分

10t e <<时， min 11()()f x f e e ==-； ②12t t e ≤<+，即

时，[](),2f x t t +在上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；

1,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨

⎪≥⎪⎩ —————5分

2ln 3x x x ax ≥-+-，则

2ln a x x x ≤++

设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)

()x x h x x +-'=

当(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减，当(1,),()0,()x h x h x '

∈+∞>单调递增，所以min ()(1)4h x h == —————8分所以

min ()4a h x ≤=； —————9分

（3）问题等价于证明2

ln ((0,))x x x x x e e >

-∈+∞， —————10分

由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -

，当且仅当

时取到，设

2()((0,))x x m x x e e =

，易知 max 1

()(1)m x m e ==-

，当且仅当1x =时取到，

从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x

-成立 —————12分

13.（1）解：'()(2)e x

f x ax a =+-， --------------------2分

由已知得0)1('=f ，解得1=a ．

当1a =时，()(2)e x

f x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. ---4分

（2）证明：由（1）知，()(2)e x

f x x =-，'()(1)e x

当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；

1,2x ∈时，'()(1)0x

f x x e =->，)(x f 在区间(]

1,2单调递增.

所以在区间[]

0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-.------ 8分又(0)2f =-，(2)0f =，

全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题 1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2 ()32 gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。（I ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。 2.(本小题满分12分）已知函数22()ln ax f x x e =- ，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为 111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。 3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()2 2x x f x +=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式： ()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()* ∈N n ． 4.已知x=1是 ()2ln b f x x x x =- +的一个极值点（1）求b 的值；（2）求函数 () f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3 )()(- =，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。 5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且 12x x <. （Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值. 6.设函数2()ln 4f x a x x =-， 2 ()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.

2020年高考数学导数解答题专项练习(含答案详解)

2020年高考数学导数解答题专项练习（含答案解析） 1.已知函数f(x)=x2-mln x，h(x)=x2-x＋a. (1)当a=0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围． 2.设函数已知函数f(x)=ae x-x+1. （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,3) 上只有一个零点，求a的取值范围； 3.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0). （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0，证明： . 4.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2) e x﹣x. （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 5.已知函数f(x)=2lnx-2mx+x2(m>0). （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当时，若函数f(x)的导函数f/(x)的图象与x 轴交于A,B两点，其横坐标分别为x1,x2(x1

6.已知函数，g(x)=mx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a=0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围； (3)当a=1时，求证：当x>1时，. 7.已知函数f(x)=x-alnx+a-1(a∈R)． (I)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若x∈[e a,+∞]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 8.已知函数R. （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 9.已知函数f(x)=ln x－kx，其中k∈R为常数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x12－ln x1.

高考数学专题：导数大题专练含答案

高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题 1．已知函数()ln e x f x x =，()2 ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数． (1)求函数()f x 的最小值； (2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)求证：2022 2023 20232023e 20222022⎛⎫ ⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ． 2．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 3．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 4．设函数()1e ln 1x a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性； (2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x g x x x x x x =-++-， )2 e ,x -∈+∞⎡⎣． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值． 6．已知函数()()32131.3 f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln x f x x = ， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线； (2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围． 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030

(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题14解析几何(2)文(含解析)

专题14 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆． 1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上， ∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中， d2+（1 2 |AB|）2＝R2，即2 2 4R +=① 又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R② 由①②解得 R2 a= ? ? = ? 或 4 R6 a= ? ? = ? ， ∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2， ∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|， ∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4， ∴y2＝4x， ∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线， ∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1， ∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），

高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)

解析几何 1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝ y 1－y 2 x 1－x 2(x 1≠x 2 )；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π 6，π) 2．直线的方程 (1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． (2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． (3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线． (4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线． (5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式． [问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 . [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）若z=−1+√3i，则z zz−−1 =() A. −1+√3i B. −1−√3i C. −1 3+√3 3 i D. −1 3 −√3 3 i 2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是() A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n

6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2 )的图象如图所示，则() A. 函数f(x)的最小正周期是2π B. 函数f(x)在区间(π 2 ,π)上单调递减 C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−1 2 ) D. 点(7π 6 ,0)为函数f(x)图象的一个对称中心 7.（5分）21 3，log26，3log32的大小关系是 A. 21 30,b>0)的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30° 的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为______．

高考数学刷题首选卷单元质量测试(二)函数、导数及其应用理(含解析)-人教版高三全册数学试题

单元质量测试(二) = 时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2018·某某某某一模)函数f (x )＝1 1－x ＋lg (1＋x )的定义域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案 C 解析由题意知1＋x >0且x ≠1．故选C ． 2．(2018·某某某某一模)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析 f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2 ．故选B ． 3．若f (x )是幂函数，且满足 f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－1 3 答案 C 解析设f (x )＝x n ，则f (4)f (2)＝4n 2n ＝2n ＝3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12n ＝1 3 ，故选C ． 4．(2018·某某测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x | 的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1 x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2 D ．y ＝x 3 －1 答案 C

解析函数y ＝－3|x | 为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求． 5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛0 6f (x )d x ＝8，则⎠ ⎛6－6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 答案 D 解析因为f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠ ⎛0 6f (x )d x ＝8×2 ＝16． 6．(2018·某某某某一中月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0．1x 2 (0

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）已知函数y =f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′ (x)<0的解集为() A. (−∞,0)∪(1 3,2) B. (−∞,13 )⋃(1 3 ,2) C. (−∞,1 3 )⋃(2,+∞) D. (−1,0)⋃(1,3) 2.（5分）已知函数f(x)=e x (x −m)(m ∈R)，若对∀x ∈(2,3)，使得f(x)+xf ′(x)>0，则实数m 的取值范围为( ) A. (−∞,15 4] B. (−∞,8 3 ] C. [15 4 ,+∞) D. [8 3 ,+∞) 3.（5分）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，其导函数为f ′(x)，恒有x 2f ′(x)+f(x)⩽0，且f(2)=1 4，则不等式f(x)> 1x 2 的解集为( ) A. (0,2) B. (−2,0) C. (−2,0)∪(0,2) D. (−2,2) 4.（5分）已知函数f(x)=lnx −x −xe −x −k 恒有零点，则实数k 的取值范围是() A. (−∞,−1] B. (−∞,−1−1e ] C. [−1−1 e ,−1] D. [−1−1 e ,0) 5.（5分）已知函数f(x)=-x 3+2x 2−x ，若过点P (1,t )可作曲线y =f (x )的三条切线，则t 的取值范围是( ) A. (0,1 30) B. (0,1 29) C. (0,128) D. (0,1 27) 6.（5分）已知函数f (x )=2a e x −x 2−2x 在(−∞,+∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是 A. a ⩾e B. a ⩾1 C. a ⩾1 e D. a ⩾2 7.（5分）已知函数f (x )={−x 2+3ax −2a +2e ,0

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）函数y=cos（2x+1）的导数是（） A. y′=sin（2x+1） B. y′=-2xsin（2x+1） C. y′=-2sin（2x+1） D. y′=2xsin（2x+1） 2.（5分）已知函数f（x-1）=2x2-x，则f′（x）=（） A. 4x+3 B. 4x-1 C. 4x-5 D. 4x-3 3.（5分）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A. cos2x B. -cos2x C. sinxcosx D. 2cos2x 4.（5分）已知函数f(x)=2f(2-x)-x2+5x-5，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A. y=x B. y=-2x+3 C. y=-3x+4 D. y=x-2 5.（5分）若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)>xf′(x)，则() A. 3f(1)>f(3) B. 3f(1)

2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理2

专题03 导数一．基础题组 1. 【2014新课标，理8】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因为'1 1 y a x =- +，所以切线的斜率为12a -=，解得3a =，故选D 。 2.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数2 1 ()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1 【答案】A 【考点】函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在 x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3. 【2005全国2，理22】(本小题满分12分) 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-． (Ⅰ) 当为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论； (Ⅱ) 设()f x 在[1,1]-上是单调函数，求的取值范围．【解析】：（I ）对函数()f x 求导数得x e a ax x x x f )222()(2 --+=' 令,0)(='x f 得2x +2(1－)－2］x e =0从而2x +2(1－)－2=0 解得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表 ),(1x -∞ 1x ),(21x x 2x ),(2+∞x

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第2讲函数与导数(含详解)

第2讲函数与导数一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则 22 1 ()k f k ==∑（） A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且 ()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则22 1()k f k ==∑（） A ．21- B ．22- C ．23- D ．24- 3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且 3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27] 4．（2022·全国·高考真题）设0.1 10.1e ,ln 0.99 a b c ===-，，则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 5．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（） A ．3231x x y x -+=+ B ．321 x x y x -=+ C ．2 2cos 1x x y x =+ D ．22sin 1 x y x = + 6．（2022·全国·高考真题（文））函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（） A ．ππ22 -， B ．3ππ22- ， C ．ππ222 -+， D ．3ππ222 - +， 7．（2022·全国·高考真题（理））已知3111 ,cos ,4sin 3244 a b c = ==，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>8．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 的图象大致为（）

高三数学导数解答题专项训练含解析

高三数学导数解答题专项训练含解析一、解答题 1．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321 x y x -= +； (3)e cos x y x = 2．已知函数()ln f x x =． (1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1 2h x f x b x =+ -有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+ (1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x < 4．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 5．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 6．已知函数()ln f x x =，()2 1g x x x =-+． (1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； (2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 7．已知函数ln ()x f x x = (1)填写函数()f x 的相关性质； (2)通过（1）绘制出函数()f x 的图像，并讨论ln x ax =方程解的个数．

高三数学导数解答题专项训练(含解析)

高三数学导数解答题专项训练(含解析) 一、解答题 1．已知函数()ln f x x x x =-，()2 ln 1g x a x x =-+. (1)求函数()f x 的最小值； (2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：11 1 1232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数. 2．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321 x y x -= +； (3)e cos x y x = 3．已知()2,1 3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩ ，()()ln g x x a =+． (1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，以线段12F F ． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知点P ，直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB △面积的最大值． 5．已知函数()ln .f x x x ax a =-+ (1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x < 6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若121 322 x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由. 7．已知函数()()32131.3 f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 8．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()a g x x a x =+∈R .

备战2020高考黄金题系列之数学北京卷压轴专题05 解析几何(第二篇)(解析版)

备战2020高考黄金15题系列之数学填空题压轴题【北京版】专题5 解析几何 1．（2020北京八十中学模拟）已知椭圆22 221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为 1. c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππ tan 333 n m ∴==，， 2222 2 22 34 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，【押题点】椭圆和双曲线的标准方程及其简单几何性质 2．（2020北京昌平区一模）已知点F 为抛物线2 8y x =的焦点，则点F 坐标为______；若双曲线22 21 2 x y a -=（0a >）的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是____．【答案】(2,0) y x =± 【解析】因为点F 为抛物线2 8y x =的焦点，2p=8，p=4， (2,0)F ∴ ，双曲线22 212x y a -=（0a >）的一个焦点与点F 重合， 224,a a +==， ∴ 渐近线方程为：y x =± ，故答案为()2,0，y x =±．【押题点】抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程

3．（2020北京丰台区一模）已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为__________；过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，若4AF =，则AOB V 的面积为__________．【答案】(10), 3 【解析】由抛物线2 4C y x =：可得2p =，故焦点坐标()1,0．设()00,A x y ，则00142 p AF x x =+ =+=，故03x =．根据抛物线的对称性，不妨设A 在第一象限，则0y =，故AB k = = ，故直线):1AB y x -．由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 可得2 31030x x -+= ，故3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以112AOB S ∆= ⨯⨯=．故答案为：()1,0 ．【押题点】抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算 4．（2020学科网北京第一次大联考）已知抛物线2 :2(0)C y px p =>过点(1,2)，则p =__________，若点 A 在抛物线C 上，且点A 到抛物线C 的焦点的距离等于3，设O 为坐标原点，则||AO =__________．【答案】2 【解析】Q 抛物线过()1,2，24p ∴=，解得：2p =．设()00,A x y ，00132 p x x ∴+ =+=，解得：02x =，2 02428y px ∴==⨯=， AO ∴=== 故答案为：2 ；【押题点】抛物线的定义、标准方程及其几何性质 5．（2020北京101中学月考）如图所示，图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．

解析几何大题精选四套(答案)

解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一） 1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值． 2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。（1）求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ; (Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|= 58 |AB|,求椭圆的方程. 4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.

解析几何大题训练（二） 1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。

全国高考数学专题汇编：解析几何(含答案)

全国高考数学专题汇编：解析几何一．选择题（共21小题） 1．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4 2．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP| ＝2，则△PF1F2的面积为（） A．B．3C．D．2 3．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D． 4．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（） A．4B．8C．16D．32 5．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD ⊥OE，则C的焦点坐标为（） A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0） 6．（2019•新课标Ⅰ）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（） A．2sin40°B．2cos40°C．D． 7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（） A．+y2＝1B．+＝1 C．+＝1D．+＝1

8．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．8 9．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（） A．B．C．2D． 10．（2019•新课标Ⅲ）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（） A．B．C．D． 11．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D． 12．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 13．（2018•新课标Ⅲ）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（） A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（） A．B．2C．D．2 15．（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D．

高考数学全国卷导数

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