高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）

【母题来源】2022年新高考I 卷

【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点

C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心

D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】

解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√3

3

，

f′(x)>0⇒x <−

√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33

3

，

所以 f(x) 在 (−∞,−√33

) 上单调递增，在 (−√33

,√33

) 上单调递减，在 (√3

3

,+∞)

上单调递增，

所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√3

3 为极大值点， x =√33

为极小值点 ) ，故 A

正确 ;

又 f(−√33

)=−√39

−(−√33

)+1=1+2√39

>0 ， f(√33

)=√39

−√3

3

+1=1−

2√39

>0 ，

所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;

又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;

对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02

−

1)(x −x 0) ，

即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，

若 y =2x 是其切线，则 {3x 02

−1=2

−2x 03

+1=0

，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷

【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−x

e 【分析】

本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】

解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1

x 1

(x −x 1).

若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =x

e ．

当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1

x 2

(x −x 2) ．

若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ， 此时切线方程为 y =−x

e ． 【命题意图】

考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。 【命题方向】

导数在高考数学中，是作为应用工具来考察的。常规考察，要考察求导公式，求导法则与导数的几何意义，涉及到求切线，导数计算，和求导法则的应用。在应用层次上，要考察导数的极值，单调性，最值等应用，需要理解导数与原函数之间的关系。深度考察，则涉及到求函数零点或者零点个数，零点范围，比大小或者证明不等式，恒成立或者存在型问题求参等等，常常和函数单调性，数列，不等式等等知识有机结合进行综合考察。 【得分要点】 一、导数求切线思维

()000000000000

1,)2=f x f x k=f x y )y b a -y ()5a b -y ()-y (x y y k x x k x k x x ''⇒=-=-=-⇒、设切点：P(x 、（）

3、y=（）（）。

4、切线方程：、过，，代入：得解出

以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图

二、恒成立求参经验思维

一般地，已知函数()[]

,,

y f x x a b

=∈，()[]

,,

y g x x c d

=∈

（1）若[]

1

,

x a b

∀∈，[]

2

,

x c d

∀∈，总有()()

12

f x

g x

<成立，故()()2

max min

f x

g x

<；

（2）若[]

1

,

x a b

∀∈，[]

2

,

x c d

∃∈，有()()

12

f x

g x

<成立，故()()2

max max

f x

g x

<；

（3）若[]

1

,

x a b

∃∈，[]

2

,

x c d

∃∈，有()()

12

f x

g x

<成立，故()()2

min min

f x

g x

<；

（4）若[]

1

,

x a b

∀∈，[]

2

,

x c d

∃∈，有()()

12

f x

g x

=，则()

f x的值域是()

g x值域的子集．

真题汇总及解析

1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））若函数()331

f x x kx

=-+在区间()

1,+∞上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A．(),1

-∞B．(],1

-∞C．[)

1,

-+∞D．[)

1,+∞

【答案】B

【分析】

利用函数()f x 在区间(1,)+∞上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得

k 的取值范围.

【详解】 由题意得，

22()333()0f x x k x k '=-=-≥在区间(1,)+∞上恒成立，

即2k x ≤在区间(1,)+∞上恒成立，

又函数2y x 在(1,)+∞上单调递增，得21x >， 所以1k ≤，即实数k 的取值范围是(,1]-∞. 故选：B

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足

()()21ln f x xf x '=+，则()'1f =（ ）

A ．e -

B ．1-

C ．1

D ．e

【答案】B 【分析】

求得函数的导数()()1

21f x f x

''=+，令1x =，即可求解. 【详解】

由题意，函数()()21ln f x xf x '=+，可得()()121f x f x

''=+， 所以()()1211f f ''=+，则()11f '=-． 故选：B.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的

切线方程为32y x =+，则2a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5

【答案】D 【分析】

求导，利用切线方程，得到方程组，求出3a =，1b =-，求出答案. 【详解】

由()e x f x a b =+，则()e x

f x a '=，所以()()02,03,

f a b f a ⎧===='

+⎪⎨⎪⎩ 解得：3a =，1b =-，所以25a b += .故选：D.

4．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数

()01

33551111C C C C C C 35

k k

n n n n

n n n n f x x x x x x k

n

=+++++++（k ，n 为正奇数），()f x '是()f x 的导函数，则()()10f f '+=（ ） A ．2n B ．12n - C ．21n + D ．121n -+

【答案】D 【分析】

依题意求出()0f ，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出()1f '，即可得解； 【详解】

解：因为()013355

1111C C C C C C 35k k n n n n n n n n f x x x x x x k n

=++++

+++， 所以()0

01C n f ==，

所以()213511

4

C C C C C k k n n n n n n n f x x x x x --'=+++

+++，

则()1351C C C C C k n

n n n n n f '=++++++，

其中1135

C C C 2C C k n

n n n n n n -++++=++，

所以()1

21n f -'=，

所以()()1

1021n f f -'+=+；

故选：D

5．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知函数1

2ln ,(e)e

y a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）

A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦

B ．213,e ⎡⎤--

+∞⎢⎥⎣⎦

C ．213,2e ⎡

⎤--

-⎢⎥⎣⎦

D ．2

211e ,3e ⎡⎤

---

⎢⎥⎣

⎦

【答案】A 【详解】

因为函数21y x =+与函数21y x =--的图象关于x 轴对称，

根据已知得函数12ln ,(e)e

y a x x =-≤≤的图象与函数21y x =--的图象有交点，

即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

上有解，

即22ln 1a x x =--在1,e e x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

上有解． 令()2

2ln 1g x x x =--，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，

则()()2

2212222x

x g x x x x x

--'=-==

，

可知()g x 在1,1e ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增，在[]1,e 上单调递减， 故当1x =时，()()max 12g x g ==-，

由于21e e 13g ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

，()2e e 1g =-，且2211e 3e -->-， 所以212e a -≤≤-． 故选：A ．

6．（2022·全国·模拟预测（理））若函数()ln f x x =，g (x )=313

x 对任意的120x x >>，不等式112212()()

()()

x f x x f x m g x g x ->-恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1

【答案】A 【分析】

根据所给不等式转化为120x x >>时，111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立，构造函数)(()()h x x x mg f x =-知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可. 【详解】

因为3

1

()3

g x x =单调递增，120x x >>，所以12()()0g x g x >>，即12()()0g x g x ->，

原不等式恒成立可化为122211())((())x m f x x f g x mg x x -->恒成立， 即120x x >>时，111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立， 即函数3

())ln ((3

)m xf x x x x h x mg x =

=--在(0,)+∞上为增函数， 所以2ln 10()mx h x x '--≥=在(0,)+∞上恒成立， 即2ln 1x m x +≥

，令2ln )1(k x x x +=，则3

2l (n )1

x k x x '+=-，

当1

20e x -<<时，()0k x '>，()k x 单调递增，当1

2e x ->时，()0k x '<，()k x 单调递减，

故当1

2e x -=时，函数2

ln )1(k x x x +=

的最大值为e

2，

即e 2

m ≥恒成立，由m ∈Z 知，整数m 的最小值为2. 故选：A

7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））设函数()()32

2,f x x ax bx a b =+++∈R ，

若()()228f x f x ++-=，则下列不等式正确的是（ ）

A ．()3e 82

f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭

B ．()(e 238f f +>

C ．()(ln 7238f f +>

D ．()()ln53ln 28f f +<

【答案】C 【分析】

可由()()228f x f x ++-=确定函数解析式，求出函数的单调区间，每个选项中，可赋值其中一个，进而根据单调性比较另外两个大小即可确定每个选项正误. 【详解】

由题3232(2)(2)(2)2(2)(2)(2)28x a x b x x a x b x +++++++-+-+-+=， 化简整理得2(6)2(23)0a x a b ++++=，于是6062309a a a b b +==-⎧⎧⇒⎨

⎨++==⎩⎩

，，

，

所以32()692f x x x x =-++，进而2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，

据此，()f x 在(1)(3)∞∞-+，，，

上单调递增，()f x 在(13)，上单调递减， 因为(2)(2)8f x f x ++-=，即()(4)8f x f x +-=．

对于A ，由(e)(4e)8f f +-=，又314e 32

<-<<，所以3(4e)2f f ⎛⎫

-> ⎪⎝⎭

，

即3(e)82

f f ⎛⎫

+< ⎪⎝⎭

，故A 错误；对于B ，

32(23)(23)6(23)9(23)24f =-++=，

因为12e 3<<<，所以(2)(e)f f >，而32(2)2629224f =-⨯+⨯+=， 所以(e)(23)8f f +<，故B 错误；对于C ，

32(23)(23)6(23)9(23)24f =+-++=，而1ln72<<，

所以(ln 7)(2)4f f >=，所以(ln 7)(23)8f f +>，故C 正确； 对于D ，由(ln 5)(4ln 5)8f f +-=，因为13ln 24ln53<<-<， 所以(3ln 2)(4ln 5)f f >-，所以(ln 5)(3ln 2)8f f +>，故D 错误. 故选：C ． 【点睛】

（1）赋值法是解决一些抽象函数问题常见的方法之一；

（2）根据单调性比较大小是解决抽象函数及复杂函数比大小或解不等式的重要方法.

8．（2021·全国·高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =．则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<

【答案】B 【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 1141f x x x =++,

()()ln 12141g x x x =++，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的

单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】

()()

2

222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,

所以b a <;

下面比较c 与,a b 的大小关系.

记()()2ln 1141f x x x =++,则()00f =,()()21412114114x x f x x x x x

+-=+'=

+++ 由于()()2

214122x x x x x x +-+=-=-

所以当0

1410x x +-+>,()141x x ++,()0f x '>,

所以()f x 在[]0,2上单调递增，

所以()()0.0100f f >=,即2ln1.01 1.041>,即a c >; 令()()ln 12141g x x x =++,则()00g =,()()21412212141214x x g x x x x x

+-=

++++', 由于()2

214124x x x +-+=-，在x >0时,()2

14120x x +-+<,

所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即

ln1.02 1.041<,即b

综上，b c a <<, 故选：B. 【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

9．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知函数()()()1ln 1f x x x x λ=++-，（0λ≠）的三个零点分别为1x ，2x ，3x ，其中123x x x >>，()()()122331x x x x x x λ+++的取值范围为（） A ．()64,32-- B ．(),64-∞- C ．(),32-∞- D ．(),16-∞-

【答案】D 【分析】 构造()

1()ln 1

x g x x x λ-=+

+，结合零点个数及单调性求出2λ<-，求出

32101x a x b x <<<=<<且31

1

x x =

，利用基本不等式得到()()()1223318x x x x x x +++>，从而得到答案. 【详解】

∵()()()1ln 1f x x x x λ=++-，令()1ln (1)0x x x λ++-=，即()

1ln 01

x x x λ-+=+，（0x >）

令()

1()ln 1

x g x x x λ-=+

+，（0x >），则(1)0g =，

则()()

()()222

2211211x x g x x x x x λλ

+++'=+=++，（0x >）， 令()()2

221h x x x λ=+++，（0x >），

要想()g x 除1外再有两个零点，则()g x 在()0,∞+上不单调， 则()2

2224480λλλ∆=+-=+>， 解得：2λ<-或0λ>，

当0λ>时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，

则()g x 在()0,∞+单调递增，不可能有两个零点，

当2λ<-时，设()0g x '=，即()0h x =的两根为,a b ，且a b <， 则有()1

210ab a b λ=⎧⎨+=-+>⎩

，故01a b <<<，

令()0g x '>，解得：x a <或x b >，令()0g x '<，解得：a x b <<， 所以()g x 在()0,a ，(),b ∞+上单调递增，在(),a b 上单调递减， 因为123x x x >>，所以32101x a x b x <<<=<<，

又因为()

()1

1111ln ln 1

11x x g x g x x x

x

x λλ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭

=+

=-+

=- ⎪+⎝⎭

+，

若()0g x =，则10g x

⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，

因为()()130g x g x ==，所以311

x x =，

所以()()()()122331111111111111112x x x x x x x x x x x x x x ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++

=+ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎭⎝++⎝⎭

11111281x x x x ⎛>+⋅⋅⋅= ⎝

， 因为2λ<-，故()()()12233116x x x x x x λ+++<-.

检验：当2λ=-时，()()21ln 1

x g x x x -=++（0x >），()()()()2

22114011x g x x x x x -'=-=≥++，

此时()g x 在()0,∞+上单调递增，

又()10g =，即1231x x x ===，此时为临界情况，()()()12233116x x x x x x λ+++=-； 综上：()()()122331x x x x x x λ+++的取值范围为(,16)-∞-. 故选：D.

【点睛】

利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：∵利用最值或极值研究；∵利用数形结合思想研究；∵构造辅助函数研究.

10．（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2

()2e x f x a x =-（

0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．

【答案】1

,1e

⎛⎫

⎪⎝

⎭

【分析】

由12,x x 分别是函数()2

2e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得

()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种

情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln x

g x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变

换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】

解：()2ln 2e x

f x a a x '=⋅-，

因为12,x x 分别是函数()2

2e x f x a x =-的极小值点和极大值点，

所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增， 所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，

若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，

即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∵函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，

又∵ln 0a <,∵ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：

设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()0

0,ln x x a a

⋅，

则切线的斜率为()0

2

0ln x g x a a '=⋅，

故切线方程为()0

2

0ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，

则有0

2

0ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01

ln x a

=

， 则切线的斜率为1

22ln ln eln a a a a ⋅=，

因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1e e

a <<， 又01a <<，所以11e

a <<，

综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 【点睛】

本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.

11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.

【答案】(e, 1). 【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】

设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x

'=， 当0x x =时，0

1

y x '=，

点A 在曲线ln y x =上的切线为000

1

()y y x x x -=-，

即00

ln 1x

y x x -=

-， 代入点(),1e --，得00

1ln 1e

x x ---=-， 即00ln x x e =，

考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，

注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝3223,01

5,1x x m x mx x ⎧++≤≤⎨+>⎩

若函数f (x )

的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()5,0- 【分析】

利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m 的范围. 【详解】

当01x ≤≤时，()()2

6661f x x x x x '=+=+，

所以()f x 在区间[]0,1上递增，

最小值为()0f m =，最大值为()15f m =+.

在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，

则()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞各有一个零点， 所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+， 则0

50

m m <⎧⎨

+>⎩，可得50m -<<.

故答案为：()5,0-

13．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l ：y kx b =+为曲线()e x

f x =与曲

线()2

e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯ ），则实数

b=___________.

【答案】0或2e -##2e -或0 【分析】

设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解. 【详解】

根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .

设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x

f x '=，有()1

1

1:e 1e x x l y x x =+-.同理，设l 与

()g x 的切点为()22,x y ，由()2

e g x x

'=，有()2

222e :e ln 1l y x x x =+-.

故()()1

122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪

⎨

⎪-=-⎩

，①②

由∵式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将∵代入∵中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,

e

x x =⎧⎨

=⎩或122,

1

x x =⎧⎨

=⎩. 则:e l y x =或22e e .y x =- 故0b =或2e -. 故答案为：0或2e -

14．（2022·全国·模拟预测）若不等式()1e 0x

a x x +-<有且仅有一个正整数解，则

实数a 的取值范围是______． 【答案】221,3e 2e ⎡⎫

⎪⎢⎣

⎭ 【分析】

()1e 0x a x x +-<→()1e x x a x +<

→()()1g x a x =+，()e x

x

h x =，研究两个函数图像并得到点11,e A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，222,e B ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

→数形结合→

221

3e 2e

a ≤< 【详解】

依题意不等式()1e 0x

a x x +-<可化为()1e x

x a x +<

． 令()()1g x a x =+，()e x

x

h x =

，x ∈R ． 函数()()1g x a x =+的图像恒过定点()1,0P -．函数()e x x h x =

，()1e

x x

h x -'=， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．

所以当x ＝1时，()()max 1

1e h x h ==．又()222e h =

，记点11,e A ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

，222,e B ⎛⎫

⎪⎝⎭，且()00h =， 当x →+∞时，()0h x +

→．作出函数()h x 大致图像，如图．

若满足不等式()1e 0x

a x x +-<有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有

PB PA k a k ≤<．

又因为()22

2

02e 213e PB k -==--，()101e 112e PA k -==--，所以2213e 2e a ≤<． 【点睛】

根据不等式的零点个数，求解参数的取值范围问题，通常会转化为两函数交点问题，要画出函数图象，数形结合进行求解.

15．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()22e 3x f x x λ=+，()()3e x

g x x λ=+，若

关于x 的方程()()f x g x =在区间()0,∞+上恰有四个不同的实数根，则实数λ的取值范围是______. 【答案】()()e,33,⋃+∞ 【分析】

第7题 导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)

第7题 导数的几何意义及应用 一、原题呈现 【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b << 【答案】D 【解析】 解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于() ,e t P t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点 P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1e t t y x t =+-上,所以()()e 1e 1e t t t b a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1e t b a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e t f t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增, 且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减, 所以,()()max e a f t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时, 直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D. 解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.

【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),e t t 有 2个t −−−−−−→整理出关于的方程 关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与 ()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线 有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下. 二、考题揭秘 【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等. 【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】 (1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简． (2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()() ,t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷） 【母题来源】2022年新高考I 卷 【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心 D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】 解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√3 3 ， f′(x)>0⇒x <− √33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√330 ， f(√33 )=√39 −√3 3 +1=1− 2√39 >0 ， 所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;

又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ; 对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02 − 1)(x −x 0) ， 即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ， 若 y =2x 是其切线，则 {3x 02 −1=2 −2x 03 +1=0 ，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷 【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−x e 【分析】 本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】 解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1 x 1 (x −x 1). 若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =x e ．

高考数学-导数及其应用(含22年真题讲解)

高考数学-导数及其应用（含22年真题讲解） 1．【2022年全国甲卷】当x =1时，函数f(x)=alnx +b x 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ） A ．−1 B ．−1 2 C ．1 2 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知f (1)=−2，f ′(1)=0即可解得a,b ，再根据f ′(x )即可解出． 【详解】 因为函数f (x )定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f (1)=−2，f ′(1)=0，而f ′(x )=a x −b x 2，所以b =−2,a −b =0，即a =−2,b =−2，所以f ′(x )=−2 x +2 x 2，因此函数f (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x =1时取最大值，满足题意，即有f ′(2)=−1+1 2=−1 2． 故选：B. 2．【2022年全国甲卷】已知a =31 32,b =cos 1 4,c =4sin 1 4，则（ ） A ．c >b >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．a >c >b 【答案】A 【解析】 【分析】 由c b =4tan 1 4结合三角函数的性质可得c >b ；构造函数f(x)=cosx +1 2x 2−1,x ∈(0,+∞)，利用导数可得b >a ，即可得解. 【详解】 因为c b =4tan 1 4,因为当x ∈(0,π 2),sinx 1 4,即c b >1,所以 c >b ； 设f(x)=cosx +1 2x 2−1,x ∈(0,+∞)， f ′(x)=−sinx +x >0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增， 则f (1 4)>f(0)=0,所以cos 1 4−31 32>0，

2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)含详解

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试） 一、单选题 1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1 y x =．在 区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x = 6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点 ()00， 处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01, {ln ,1, x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()2 1f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切 线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2 B ．e C D ．2e 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以

2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

专题4.4 导数的综合应用（真题测试） 一、单选题 1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12 - B ．13 C ．1 2 D ．1 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2x x f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使 得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的 取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则 实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2110,,1e e e ⎛ ⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ D ．210,e e ⎛ ⎫ ⎪-⎝⎭ 6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） A B C ．1e D ．e 7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得 2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32 ()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学分项解析15一元函数导数及其应用(解答题)解析版.docx

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析 专S 15 一元函数导数及其近用(解答题) 36. (2021-湖南师大附中高三月考)已知函数/(^) = %lnx-|(x2-l). (1)若/'(x)在(0,+<»)内是减函数，求a的取值范围； (2)已知lim —= 0,若0+<» 尤 【答案】(1) [1,+8)； (2) 3个. 【分析】 (1)将/'(》)是减函数转化为广(x)MO恒成立，再分离参数求函数的最值. (2)在0<。<1的条件下分析函数f(x)的单调性，求出/'⑴的极值和极限值，结合/'(X)的图象在各单调 区间内与x轴相交进而确定零点的个数. 【详解】 (1)f'(x) = lnx+l-ax.因为/'(%)在(0,+初内是减函数， 则当x>0时，r(x)<0恒成立，即lnx+l-ar<0,即恒成立. 设g(》)=电，则g,(x)=或n=-性. 由g'(x)>0,得lnx<0,即O0,则函数y = g(x)的大致图象如图所示. 因为0 =a与函数y = g(x)的图象有两个不同的交点， 从而广(X)有两个变号零点，所以/'(》)有两个不同的极值点. 设/'⑴的两个极值点为X],如且而 <习.则4<吐<1<工2. e 当Ovxv^i 或工>尤2时，因为<>g(.) =血尤 + 1,贝ij/r(x) = lnx+l-av<0, 所以/'(x)在(0,西)，(工2，+°°)上单调递减：当X,Q,所以/'(x)在(也,与)上单调递增，

2022届新高考数学全国I卷专项解析专题15 一元函数导数及其应用(解答题解析版)

2022届新高考数学全国I 卷专项解析 专题15 一元函数导数及其应用（解答题）（12月卷） 32．（2021·湖南·沅江市第一中学高三阶段练习）若()2 12ln 2 f x x bx a x =++． （1）当0a >，2b a =--时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b =-，且()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明()()123f x f x +>-． 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析 （2）证明见解析 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间； （2）首先求出函数的导函数，依题意方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围，从而得到()()122ln222f x f x a a a +=--，再令()12ln22202h a a a a a ⎛ ⎫=--<< ⎪⎝ ⎭，利用导数说明函数的单调性，即可得证； （1） 解：因为()2 12ln 2 f x x bx a x = ++ 当0,2a b a >=--时，所以()()()()222222(0)x a x a x a x a f x x a x x x x -++--=--+==>'， 令()0f x '=，解得x a =或2， 当2a >时，则当02x <<或x a >时()0f x '>，当2x a <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增； 当2a =时，() ()2 20x f x x -'= >，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a <<时，当0x a <<或2x >时()0f x '>，当2a x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，在()2,+∞单调递增； （2） 证明：当2b =-时，()22222(0)a x x a f x x x x x '-+=-+=>． 函数()f x 有两个极值点12,,x x ∴方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ， 12122,20, x x x x a +=⎧∴⎨⋅=>⎩且480a ∆=->，解得1 0,2a <<，

高考数学复习-导数及其应用练习试题卷及参考答案

高考数学复习-导数及其应用练习试题卷及参考答案 一、选择题(10×5′=50′) 1.曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程为 ( ) A.y =6x -12 B.y =12x -16 C.y =8x +10 D.y =12x -32 2.过原点与曲线y =1x -相切的切线方程为 ( ) A.y = 2 1x B.y =2x C.y =x D.y =31x 3.物体自由落体运动方程为s =s (t )= 21gt 2 ,g =9.8m/s 2,若v =0lim →n t s t s ∆-∆+)1()1(=g=9.8m/s.那么下列 说法正确的是 ( ) A.9.8m/s 是在1s 这段时间内的速率 B.9.8m/s 是从1s 到（1+Δt ）s 这段时间内的速率 C.9.8m/s 是物体在t =1 s 这一时刻的速率 D.9.8m/s 是物体从1 s 到（1+Δt ）s 这段时间内的平均速率 4.已知过曲线y = 3 1x 3 上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2 B.⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-34,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛- -328,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛320,3 5.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为：s (t )=4t 2-3(s 单位：m,t 单位：s),则t =5 时的瞬时速率为 ( ) A.37 B.38 C.39 D.40 6.一个圆半径以0.1 cm/s 速率增加，那么当半径r =10 cm 时，此圆面积的增加速率（单位：cm 2/s ）为 ( ) A.3π B.4π C.2π D.π 7.一圆面以10π cm 2/s 的速率增加，那么当圆半径r =20 cm 时，其半径r 的增加速率u 为 ( ) A. 21 cm/s B.31 cm/s C.4 1 cm/s D.51 cm/s 8.曲线y =x n (n ∈N )在点P (2,22 n )处切线斜率为20，那么n 为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 9.直线a ∥b ，a 处一面高墙，点P 处站一人，P 到直线a 的距离P A ＝10 m,P 到直线b 的距离PB ＝2 m,在夜晚一光源S 从B 点向左运动，速率为5 m/s(沿直线b 运动)，那么，P 点处的人投在墙a 上影子Q 的运动速率为 ( ) A.10 m/s B.15 m/s C.20 m/s D.25 m/s 10.质点P 在半径为r 的圆周上逆时针方向做匀角速率运动， 角速率为1 rad/s.如图所示，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为 ( ) A.r sin t B.-r sin t C.r cos t D.-r cos t 第10题图

专题21 导数及其应用(解答题)-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国甲卷)(原卷版)

专题21 导数及其应用（解答题） 1．已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a =>． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年全国高考甲卷（理） 【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞． 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a =有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 1 0a a e <<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围． 【解析】（1）当2a =时，()()() ()22222ln 2222ln 2,242 x x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅==='， 令()'0f x =得2ln 2x = ，当20ln 2x <<时，()0f x '>，当2 ln 2 x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x a f x a x x a a x a x a ==⇔=⇔=⇔= ，设函数()ln x g x x =， 则()2 1ln x g x x -'= ，令()0g x '=，得x e =， 在()0,e 内()0g x '>，()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<，()g x 单调递减； ()()1max g x g e e ∴== ， 又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点， 即曲线()y g x =与直线ln a y a =有两个交点的充分必要条件是ln 1 0a a e < <，这即是()()0g a g e <<， 所以a 的取值范围是() ()1,,e e +∞．

导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向14 导数的概念及应用 【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝， 是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．

2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用2

第三章 导数及其应用 第二讲 导数的综合应用 1.[2021惠州市二调]若函数f (x ）=e x （x 2-2x +1-a )—x 恒有2个零点,则a 的取值范围是 ( ） A 。(-1e ，+∞） B.(—∞，1) C.（0，1e ) D.(—∞，—1e ) 2。［2021陕西百校联考］已知锐角x 1,x 2满足sin x 1-cos x 2〈x 1+x 2-π2 ， 则下列结论一定正确的是 ( ) A 。sin x 1〈sin （x 1+x 2) B 。tan x 1>tan x 1+x 22 C .sin x 1+cos x 1〉sin x 2+cos x 2 D 。sin x 1+sin x 2>cos x 1+cos x 2 3.[2021大同市调研测试]已知函数f （x ）=ax 3—3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0<0,则a 的取值范围是( ) A 。（2,+∞) B.(—∞，—2） C 。(1，+∞) D 。(—∞,—1) 4.［2020广东七校第二次联考］设定义在R 上的函数y =f (x )满足∀x ∈R,f (x +2）=1 f (x ) ，且x ∈(0,4］时,f’(x ）>f (x )x ,则6f （2 017),3f (2 018)，2f (2 019）的大小关系是( ) A.6f (2 017)〈3f （2 018）〈2f (2 019) B 。3f （2 018)〈6f (2 017）〈2f (2 019) C.2f （2 019)〈3f (2 018)〈6f (2 017）

D.2f (2 019)<6f （2 017)<3f (2 018) 5。[2020郑州市三模]设函数f'（x ）是奇函数f (x ）（x ∈R)的导函数，当x >0时,f’(x ）ln x 〈-1x f (x ）.则使得（x 2—4）f (x )〉0成 立的x 的取值范围是 ( ) A 。（-2，0)∪(0，2) B 。（—∞,-2）∪（2，+∞) C 。(-2,0)∪(2,+∞) D.（-∞，-2）∪（0,2） 6.已知函数f (x )=（a -12 )x 2+ln x ,若函数f (x )在区间（1,+∞）上的图 象恒在直线y =2ax 的下方，则实数a 的取值范围是 . 7。[2021晋南高中联考］已知函数f (x ）=e x -ax ,g （x )=1+x ln x 。 (1)讨论函数f （x ）的单调性; (2)若当x >0时,方程f (x ）=g （x ）有实数解，求实数a 的取值范围. 8.[2020贵阳市高三模拟]［交汇题]已知f (x )=e x ，g （x )=x +1.(e 为自然对数的底数） (1）求证:f (x ）≥g (x ）恒成立. (2)设m 是正整数，对任意的正整数n ,（1+13 ）（1+1 32 ）·…·（1+1 3n ）

山西省祁县中学新高考新题型——数学导数及其应用多选题专项练习附答案

一、导数及其应用多选题 1．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ． 2ln a a b b e e -<恒成立 【答案】AD 【分析】 对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩 22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等 式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过1 0,ln 1∀>>-x x x 恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当1 1a b e =⎧⎪ ⎨=⎪⎩ 时取等号，故D 错误. 【详解】 A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b 由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b 设()2x f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a 又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确 D. max 1 = ⇒=x x y y e e 当且仅当1x =；

min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1 =x e ； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当1 1a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩ 时取等号，D 错误. 故选：AD 【点睛】 本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题. 2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2 x x π +< B ．22x x < C ．sin 2 x > D ．1 ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】 构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 单调递减，即可得sin 22 x x ππ ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin 2 x f x =，( )h x = 的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在 ()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02 2 x π π < -< ，令()sin f x x x =-， ()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，所以()()00f x f <=， 即sin x x <，所以sin 22 x x ππ ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正 确， 对于选项B ：

高考数学最新真题专题解析—函数与导数：函数性质(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—函数与导数：函数性质（新高考卷） 【母题来源】2022年新高考I卷 【母题题文】设a=0.1e0.1，b=1 9 ，c=−ln0.9，则() A. a0， 所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0，即g′(x)>0，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a−c>0，所以a>c． 故c

f(3 2 −2x)，g(2+x)均为偶函数，则( ) A. f(0)=0 B. g(−1 2)=0 C. f(−1)=f(4) D. g(−1)=g(2) 【答案】BC 【解析】 本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题． 【解答】 解：由f(3 2−2x)为偶函数可知f(x)关于直线x =3 2对称， 由g(2+x)为偶函数可知g(x)关于直线x =2对称， 结合g(x)=f′(x)，根据g(x)关于直线x =2对称可知f(x)关于点(2,t)对称， 根据f(x)关于直线x =3 2对称可知：g(x)关于点(3 2,0)对称， 综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t ，所以A 不正确; f(−1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(−1)=f(4)，所以C 正确． g(−1 2)=g(3 2)=0，g(−1)=g(1)，所以B 正确; 又g(1)+g(2)=0，所以g(−1)+g(2)=0，所以D 不正确． 【母题来源】2022年新高考II 卷 【母题题文】若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( ) A. −3 B. −2 C. 0 D. 1 【答案】A 解： 令 y =1 得 f(x +1)+f(x −1)=f(x)⋅f(1)=f(x)⇒f(x +1)=f(x)−f(x −1)

新高考数学的导数及其应用多选题附解析

新高考数学的导数及其应用多选题附解析 一、导数及其应用多选题 1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确 的是（ ） A ．若()f x 只有一个零点，则10, 2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立 C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()0131 2 a a f x π+--<⋅恒成立 【答案】ABD 【分析】 利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取1 2 a = ，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01 a <<，分13 a =、103a <<、1 13a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】 构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x -'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==. ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠. ()sin sin f x ax a x =-，则()00f =. 当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫ =-=-< ⎪⎝⎭ ，3333sin sin sin 02222a a f a a π πππ⎛⎫=-=+> ⎪ ⎝⎭ ，

高考数学最新真题专题解析—导数综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—导数综合（新高考卷） 【母题来源】2022年新高考I 卷 【母题题文】 已知函数f(x)=e x −ax 和g(x)=ax −lnx 有相同的最小值． (1)求a; (2)证明：存在y =b 直线，其与两条曲线y =f(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】解：(1)由题知f′(x)=e x −a ，g′(x)=a −1 x ，  ①当a ≤0时，f′(x)>0，，g′(x)<0，则两函数均无最小值，不符题意; ②当a >0时，f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增； g(x)在(0,1 a )单调递减，在(1 a ,+∞)单调递增； 故f(x)min =f(lna)=a −alna ，g(x)min =g(1 a )=1−ln 1 a ， 所以a −alna =1−ln 1 a ，即lna −a−1 a+1=0， 令p(a)=lna −a−1 a+1，则p′(a)=1 a −2 (a+1)2=a 2+1 a(a+1)2>0， 则p(a)在(0,+∞)单调递增，又p(1)=0，所以a =1． (2)由(1)知，f(x)=e x −x ，g(x)=x −lnx ， 且f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增； g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x)min =g(x)min =1． ①b <1时，此时f(x)min =g(x)min =1>b ，显然y =b 与两条曲线y =f(x)和y =g(x) 共有0个交点，不符合题意；

2021年山东省新高考数学总复习：导数及其应用(含答案解析)

2021年山东省新高考数学总复习：导数及其应用 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等. 一、单选题 1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．． ，则m 的范围是（ ） A ．1 (,)3 +∞ B ．1 (,)3 -∞ C ．1 [,)?3 +∞ D ．1(,]3 -∞ 2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+ C ．y x = D ．2y x =- 3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2 2 1212M x x y y =-+-，则( ) A ．M 的最小值为2 5 B ．M 的最小值为 45 C ．M 的最小值为8 5 D ．M 的最小值为12 5 4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数() ()()2 sin x x e e x f x x e ππ-+= -≤≤的图象大致为( ) A ． B ．

2021届新高考高三数学试卷专项练习11：一元函数导数及其应用【含解析】

2021届新高考高三数学试卷专项练习11：一元函数导数及其应用【含 解析】 五、解答题 26．（2021·全国高三专题练习）已知函数1 ()ln ()f x a x a R x =+∈． （1）讨论函数()f x 在区间[1,2]上的最小值； （2）当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有cos ()x e x f x x +<成立． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）先求出函数的定义域，再求导，当0a 时，导数恒小于零，则可得函数在[1,2]上为减函数，从而可求出函数的最小值，当0a >时，由导数可得函数()f x 在10, a ⎛ ⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递增，然后分 11a ，12a 和1 12a <<三种情况讨论可求得函数的最小值； （2）要证cos ()x e x f x x +<，即证1cos ln x e x x x x ++<，即证ln cos 1x x x e x <+-，当01x <时，上 式恒成立，当1x >时，令()cos ln 1(1)x h x e x x x x =+-->，再利用导数可得()cos110h x e >+->， 从而可得cos ()x e x f x x +<成立． 【详解】 （1）解：函数1 ()ln =+ f x a x x 的定义域是(0,)+∞， 2211()a ax f x x x x -'= -=． ①当0a 时，2 1 10, 0ax ax x --<<，则()0f x '<， 则函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，即函数()f x 在区间[1,2]上单调递减，

一元函数导数及其应用(解答题--《2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析》 【解析版】

专题15 一元函数导数及其应用（解答题） 32．（2021·福建省连城县第一中学高三月考）求函数2()x x f x e e x =--的单调区间与极值． 【答案】单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，极小值(0)0f =，无极大值． 【分析】 求函数导数，结合导数的正负可得单调性及极值. 【详解】 ()()22()e e ,()2e e 12e 1e 1x x x x x x f x x f x '=--=--=+-， 当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ()f x ∴的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,),+∞ ()f x ∴在0x =处取得极小值(0)0f =，无极大值． 33．（2021·江苏省镇江中学）已知函数()()2ln f x x m x m R =+∈. （1）当1m =-时，求()f x 的最值； （2）当2m =时，记函数()()()5g x f x ax a =-≥的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，求()()21g x g x -的最大值. 【答案】（1）min 1ln 2 ()2 f x +=，无最大值.（2）154ln 24- 【分析】 （1）当1m =-时，函数()2 ln f x x x =-，求出函数的导函数，令()'0f x =，从而得到函数的单调区间，求 出函数的最值； （2）当2m =时，2()2ln (0)g x x x ax x =+->，求出导函数，由函数有两个极值点，可知1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根， 由韦达定理可得122 a x x +=，121=x x ，因此()()22 212222 12ln g x g x x x x -==-+，令2 2t x =，则()()2112ln g x g x t t t -=-+，依题意可得22x ≥，则令1()2ln h t t t t =-+，[)4,t ∈+∞，利用导数 说明其最值即可； 【详解】 解：（1）当1m =-时，函数()2 ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，