2005中国数学奥林匹克第二十届全国中学生数学冬令营

2005中国数学奥林匹克第二十届全国中学生数学冬令营1、给定θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4。证明当且仅当

时，存在实数x同时满足两个不等式

，

。

2、一个圆和△ABC的三条边分别相交于D1,D2;E1,E2;F1,F2。另外, 线段D1E1和线段D2F2相交于点L，线段E1F1和E2F2相交于点M, 线段F1D1和F2E2相交于N。证明三直线AL，BM，CN共点。

3、如图所示（图是由两个同心圆,n条一端点在圆心,一端点在大圆上的线段组成。注:看不懂就可通过下文来推敲）圆形的水池被分割为2n(n≥5)个"格子"。我们把有公共隔墙(公共边或公共弧)的"格子"称为相邻的，从而每个格子有三个邻格。水池中一共跳入4n+1只青蛙,青蛙难于安静共处,只要某个"格子"中有不少于3只青蛙，那么迟早一定会有3只分别跳往三个不同邻格。证明：只要经过一段时间之后,青蛙便会在水池中大致分布均匀。

所谓大致分布均匀，就是任取其中一个"格子"，或者它里面有青蛙，或者它的3个邻格均有青蛙。

4、已知数列 {a n} 满足条件 a1=21/16,及2a n-3a n-1=3/2n+1（其中n>1）。

设m为正整数，m>1，m≥n，证明：[a n+3/2n+3]1/m*[m-(2/3)n(m-1)/m]<(m2-1)/(m-n+1)。

5、在面积为1的矩形ABCD中(包括边界)有5个点，其中任意三点不共线。求以这5个点为顶点的所有三角形中，面积不大于1/4的三角形的个数的最小值。

6、求方程2^x*3^y-5^z*7^w=1的所有非负整数解。

全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)

加试模拟训练题（42） 1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、 E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点． 2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有

3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数 为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题） 4、 试确定使72 ++b ab 整除b a b a ++2 的全部正整数对).,(b a

加试模拟训练题（42） 1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ． ∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK ＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF 同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF 有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC ∠PFC 所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝AB AC 即 PB AB ＝PC AB 设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PB AB 同样设CE 与AP 交于N ，则 PN AN ＝PC AC 由此，PM AM ＝PN AN ，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点. 2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有 【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1． 【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n 故f(n)≥2kn/(k ＋1)

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

四川省南充高中2020年“科技冬令营”初三数学试题解析版(一)

四川省南充高中2020年“科技冬令营”初三数学试题（一） （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.计算 ++++…+的结果是（ B ） A ． B ． C ． D ． 2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为( D ) 3.如图，若x 为正整数，则表示﹣的值的点落在（ B ） A ．段① B ．段① C ．段① D ．段① 4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 、EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ．若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（ B ） A ．20° B ．35° C ．40° D ．55° 5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6．若点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ C ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．4 6.关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1、x 2，若(x 1?x 2+2)(x 1?x 2?2)+2x 1x 2=?3，则k 的值（ D ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．2 7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E →A →D →C 移动至终点C ，设P 点经过的路径长为x ，△CPE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ C ） A B C D

8.如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ A ） A ． B ． C ． D ． 9. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为（ D ） A ．m ＝57，n ＝－187 B ．m ＝5，n ＝－6 C ．m ＝－1，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝－2 10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上 的一个动点，则CD + BD 的最小值是（ B ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 二、填空题（每小题6分，共36分） 11.如果不等式组 的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是 a ≥?3 ． 12.若2x 2?6y 2+xy +kx +6能分解成两个一次因式的积，则整数k= ±7 . 13.已知直线1l ：5y +-=x 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ；直线2l ：52y +=x 经过点B ， 交x 轴于点C ，过点D （0，-1）的直线b kx +=y 分别交1l 、2l 于点E 、F ，若△BDE 与 △BDF 的面积相等，则k= 12 . 14.如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C.D 两点的⊙O 分别交A C.BC 于点E.F ，AD ＝，∠ADC ＝60°，则劣弧的长为 π ．

2009中国数学奥林匹克解答

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

中国数学奥林匹克(第二十三届全国中学生数学冬令营)

2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营） 第一天 哈尔滨 1月19日 上午8：00~12：30 每题21分 1．设锐角△ABC 的三边长互不相等，O 为其外心，点A`在线段AO 的延长线上，使得∠BA`A=∠CA`A ，过A`分别作A` A 1⊥AC ，A` A 2⊥AB ，垂足分别为A 1，A 2，作AH A ⊥BC ，垂足H A ，记△H A A 1A 2的外接圆半径为R A ，类似地可得R B ，R C ，求证： R R R R C B A 2111=++ 其中R 为△ABC 的外接圆半径。 2．给定整数3≥n ，证明X={1，2，3，……，n n -2}能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子集均不包含n 个元素,,,,21,21n n a a a a a a <<< 满足 1,,2,2 11-=+≤+-n k a a a k k k 3．给定正整数n ，及实数n n y y y x x x ≥≥≤≤≤2121,，满足 证明：对任意实数a ，有 这里[β]表示不超过实数β的最大整数。 2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营） 第二天 哈尔滨 1月20日 上午8：00~12：30 每题21分 4．设A 是正整数集的无限子集，1>n 是给定的整数，已知：对任意一个不整除n 的素数p ，集合A 中均有无穷多个元素不被P 整除 证明：对任意整数m>1,(m,n)=1，集合A 中均存在有限个互不相同的元素，其和S 满足S≡1（modm ）,且S≡0（modn ）

5.求具有如下性质的最小正整数n ，将正n 边形的每一个顶点任意染上红，黄，蓝三种颜色之一，那么这n 个顶点中一定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）。 6．试确定所有同时满足 )(mod 3),(mod 32222n n n n n n q p p q ++++≡≡ 的三无数组（p,q,n ）,其中p,q 为奇素数，n 为大于1的整数。

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

南充高中2016年冬令营 数学试卷(1)

南充高中2016年“优秀初中生科技冬令营” 初三数学试题（一） 一、选择题：（本题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题4个选项中只有1个正确符合题目要求） 1. 关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211,,x x x x ＜＜且,那么a 的取值范围是 （ ） A. 5272 -＜＜a B. a ＜52 C. 112-＜a D. 011 2＜＜a - 2. 比较循环小数? 9.0与1的大小，正确的结果是 （ ） A. 19.0＜? B. 19.0=? C. 19.0＞? D. ?9.0与1的大小不确定 3. 若函数）＞0(k kx y =与函数x y 1= 的图像交于A 、C 两点，且AB 垂直x 轴于点B ，求△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. 2k 4. 在-3,-2,-1,0,1,2,3中随机取一个实数，作为函数ax y =和方程012=+++a ax x 中a 的值，则恰好使函数的图像经过第二、四象限且方程有实根的概率为 （ ） A. 73 B. 72 C. 74 D. 7 1 5. 一元二次方程0192=++px x 的两根恰好比方程02=+-B Ax x 的两个实根分别大 1，其中A 、B 、p 都为整数，则A+B= （ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 6. 已知2012)2011)(2013(=--a a ,那么=-+-2 2)2011()2013(a a （ ） A. 4024 B. 4026 C. 4028 D. 2012 7. 若a 、b 、c 为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程01)2()1(2=+++++c x b x a 的根的情况是 （ ） A. 没有实根 B. 有两个相等的实根 C. 有两个不等的实根 D. 根的情况不确定 8. 关于x 的不等式组???????++-+a x x x x ＜＞2 35352只有5个整数解，则 （ ）

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

第28届全国中学生数学奥林匹克竞赛冬令营

2013年1月11日，2013年全国中学生数学冬令营暨第28届中国数学奥林匹克在沈阳的东北育才中学开幕，来自全国各赛区代表队的319名选手将参加本届CMO的比赛，另外，大赛还邀请了来自香港、澳门和俄罗斯的多位选手一同参赛。在今天上午举行的开幕式上，中国数学奥林匹克委员会主任周青教授、副主任吴建平教授和本届CMO 组委会的有关领导，各代表队的参赛选手、领队老师等欢聚一堂。 按照本届CMO的日程安排，1月12、13日，也就是明、后二天上午，将进行本届大赛的二次选拔考试。我们预计，今年CMO的试题在难度上可能会在保持去年难度的基础上略有增加，鉴于今年CMO 第一次进行了扩容，加上本届高联赛试题的特殊性，我们很难对各赛区进入集训队的人数进行预测。在此，我们预祝所有的选手发挥出最佳状态，取得好成绩，尤其要预祝以上届国家队队员刘宇韬同学领衔的上海队能展示出整体的实力，力争拿下团体第一，期待着…… 以下是来自东北育才中学对本届CMO开幕式的官方报道： 第28届全国中学生数学冬令营在我校开幕 2013年1月11日上午9时，第28届全国中学生数学冬令营在东北育才中学校区举行了开幕式，来自俄罗斯及香港、澳门等全国各

省（市）、特别行政区共34支代表队前来参赛，营员、领队、来宾近600人。 开幕式上，中国数学奥林匹克委员会主席周青、沈阳市政府副秘书长徐兴家、辽宁省数学会理事长张庆灵讲话，东北育才中学副校长刘子军致欢迎词，辽宁省数学会秘书长吕方主持开幕式。东北育才中学杨羽轩同学代表参赛选手发言。开幕式之后，与会代表合影留念，并观看了精彩的文艺演出。 中国数学奥林匹克（全国中学生数学冬令营）是由国家教育部正式批准，中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛，承担着选拔国家集训队并代表中国参加国际数学奥林匹克竞赛的任务。1985年，应北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学的倡议，中国数学会决定自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后更名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）。承办该项赛事，对推进学校的教育教学质量，提升沈阳教育的知名度和影响力都具有重要意义。 冬令营的营员由全国数学联赛中获得各省赛区前几名的学生构成，经数学奥林匹克冬令营的严格挑选，最后胜出的佼佼者将成为国家集训队队员，因此他们称得上是国内中学生数学方面的顶尖高手。 辽宁省的数学精英在历届冬令营中均取得了优异的成绩，至今已有5人进入过国家代表队（其中育才学子4人），在国际比赛中，获得四枚国际金牌、1枚国际银牌。近年来，辽宁省的数学学科竞赛

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

高中竞赛数学讲义第56讲解析法证几何题

第56讲 解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边A B 及直角边B C 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥FA ． 分析 只要证k C D ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标． 证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，D (x ，y )． 则直线AB 的方程为ax ＋by －ab ＝0． 故直线BD 的方程为bx －ay －(b ·b －a ·0)＝0， 即bx －ay －b 2＝0． ED 方程设为ax ＋by ＋C ＝0． 由AB 、ED 距离等于|AB |，得 |C ＋ab | a 2＋b 2＝a 2＋b 2， 解得C ＝±(a 2＋b 2)－ab ． 如图，应舍去负号． 所以直线ED 方程为ax ＋by ＋a 2＋b 2－ab ＝0． 解得x ＝b －a ，y ＝－b ．(只要作DH ⊥x 轴，由△DBH ≌△BAC 就可得到这个结果)． 即D (b －a ，－b )． 因为k AF ＝b －a b ，k CD ＝－b b －a ，而k AF ·k CD ＝－1．所以DC ⊥FA ． 例2．自ΔABC 的顶点A 引BC 的垂线，垂足为D ，在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于E ，CH 交AB 于F ． 试证：AD 平分ED 与DF 所成的角． 证明 建立直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，H (0，h )，于是 BH ：x b ＋y h ＝1 AC ：x c ＋y a ＝1 过BH 、AC 的交点E 的直线系为： λ(x b ＋y h －1)＋μ(x c ＋y a －1)＝0． 以(0，0)代入，得λ＋μ＝0． y x H F E D C B A y x O A B C D E F G

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两