近世代数习题解答张禾瑞三章

近世代数习题解答

第三章 环与域

1 加群、环的定义

1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.

证 (ⅰ)若S 是一个子群

则S b a S b a ∈+⇒∈,

'0是S 的零元,即a a =+'0

对G 的零元,000'=∴=+a a

即.00S a a s ∈-=-∴∈

(ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈,

今证S 是子群

由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律,

由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0

再证另一个充要条件:

若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,,

反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00

故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(,

2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:

+ 0 a b c 0 a b c

0 a b c 0 0 0 0 0 a

a 0 c

b a 0 0 0 0 b

b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c

证明,R 作成一个环

证 R 对加法和乘法的闭的.

对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=

事实上.

当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0.

当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.

两个分配律都成立xz xy z y x +=+)(

事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,

只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.

至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看

0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx

剩下的情形就只有

∴R 作成一个环.

2 交换律、单位元、零因子、整环

1. 证明二项式定理

在交换环中成立.

证 用数学归纳法证明.

当1=n 时,显然成立.

假定k n =时是成立的:

看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++

(因为)()()(11k r k r k

r -++=)

即二项式定理在交换环中成立.

2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.

证 设a 是生成元

则R 的元可以写成

na (n 整数)

3．证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他

条件的结果 (利用)11)((++b a )

证 单位元是1,b a , 是环的任意二元,

4．找一个我们还没有提到过的有零因子的环.

证 令R 是阶为2的循环加群

规定乘法:R b a ∈,而0=ab

则R 显然为环.

Θ 阶为2 ∴有R a ∈ 而 0≠a

但 0=aa 即a 为零因子

或者R 为n n ⨯矩阵环.

5．证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.

证 令2{b a R +=b a ,(整数)}

(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++

适合结合律,交换律自不待言.零元 200+

2b a +的负元2b a --

(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++

乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.

(ⅲ)单位元 201+

(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=⇒=a ab 或0=b

3 除、环、域

1. =F {所有复数bi a + b a ,是有理数}

证明 =F 对于普通加法和乘法来说是一个域.

证 和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环.

并且 (ⅰ)F 有01≠+i

(ⅱ) 0≠+bi a 即 b a , 中至少一个0≠

022≠+∴b a 因而有, i b a b b a a 2222+-++ 使)((bi a +i b a b b a a 2

222+-++1)= 故F 为域

2. =F {所有实数,3b a + b a ,( 是有理数)}

证明 F 对于普通加法和乘法来说是一个域.

证 只证明 03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说0322≠-b a

不然的话,223b a =

Θ,0(≠b 若0=b 则 0=a 矛盾) 22

3b a = 但 3 不是有理数 既然0322≠-b a 则 3b a + 的逆为3332

222b a b b a a -+- 4. 证明 例3的乘法适合结合律.

证),)](,)(,[(332211βαβαβα

又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα

----------------

-+--=)()([3232132321αββαβββααα,

5. 验证,四元数除环的任意元 )(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成 ),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式.

证 ),(),(),(di bi c a di c bi a +=++

4 无零因子环的特征

1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.

(a )的特征是2;

(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程

证 (a ) 设F 的特征为P

则P 的(加)群F 的非零元的阶

所 4P (4是群F 的阶)

但要求P 是素数, .2=∴P

(b ) 设},,1,0{b a F =

由于2=P ,所以加法必然是

,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11

故有

0 1 a b 0

0 1 a b 1

1 0 b a A

a b 0 1 B b a 1 0

又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是

1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2

故有

.

1 a b 1

1 a b a

a b 1 b b a 1

这样, b a , 显然适合12+=x x

2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,

那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素).

证 设][a x ∈ 且d n x =),(

则11,dn n dx x ==

由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-

故有 ,a d ,且有 n d

因为 1),(=n a 所以1=d

3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说

作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)

证]{[a G =而][a 同n 互素}

G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G

(ⅰ)G b a ∈][],[

则][]][[ab b a =

又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n ab

(ⅱ)显然适合结合律.

(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限.

若]][[]][['x a x a =

即][]['ax ax = 由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴=Θ

即有][]['x x =

另一个消去律同样可证成立.

G 作成一个群

4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n a n ≡φ(费马定理)

证 ),(n a 则G a ∈][

而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子

因此]1[][)(=n a φ

即]1[][)(=n a φ

5 子环、环的同态

1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.

证 设N 是环的中心.

显然N O ∈ N b a ∈,，x 是环的任意元

是子环,至于是交换环那是明显的.

2. 证明, 一个除环的中心是个域.

证 设!是除环！是中心

由上题知N 是R 的交换子环

,1R ∈显然N ∈1,即N 包含非零元,同时这个非零元1是的单位元.

R x N a ∈∈,即xa ax =

N ∴!是一个域

3. 证明, 有理数域是所有复数b a bi a ,(+是有理数）作成的域)(i R 的唯一的真子域. 证 有理数域R 是)(i R 的真子域.

设F !是)(i R 的一个子域,则R F ⊇(因为R 是最小数域)

若,F bi a ∈+ 而0≠b

则)(i F F F i =⇒∈

这就是说,R 是)(i R 的唯一真子域.

4. 证明, )(i R 有且只有两自同构映射.

证 有理数显然变为其自己.

假定α→i

则由i i =⇒-=⇒-=αα1122或 i -=α

这就证明完毕.

当然还可以详细一些:

21,φφ确是)(i R 的两个自同构映射.

现在证明只有这两个.

若bi a i +=→αφ:

(有理数变为其自己)

则由12)(12222-=+-=+⇒-=abi b a bi a i

若 102-=⇒=a b 是有理数,在就出现矛盾,所以有0=a 因而.1±=b 在就是说, 只能i i →

或i i -→i

5. 3J 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群3J 的所有自同构映射,这找出域3J !的所有自同构映射.

证 1）对加群3J 的自同构映射

自同构映射必须保持!00←

→

故有i i →:1φ

2）对域3J 的自同构映射.

自同构映射必须保持00←

→，11←→

所有只有i i →:φ

6. 令R 是四元数除环, R 是子集=S {一切)}0,(a 这里a 阿是实数,显然与实数域-S 同构.令-R 是把R 中S 换成-S 后所得集合;替R 规定代数运算.使-

≅R R ,分别用k j i ,,表示R 的元),,0(),1,0(),0,(i i ,那么-R 的元可以写成d c b a dk cj bi a ,,,(+++是实数）的形式(参看.3.3 习题5). 验证.1222-===k j i ，.,,j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=

证 1）对a a →)0,(:φ来说显然-≅S S

2）=S {一切)}0,(a a 实数

=-S {一切（)0,a a 实数 Λ

βα,{(=R 一切)}0,(a 复数对)(αβ是不属于S 的R 的元. =-R Λ

βα,{(一切}a 规定

由于S 与-S 的补足集合没有共同元,容易验证ψ是R 与-

R 间的一一映射. 规定 -

R 的两个唤的和等于它们的逆象的和的象.

-R 的两个元的积等于它们的逆象的积的象.

首先,这样规定法则确是-R 的两个代数运算.

其次,对于这两个代数运算以及R 的两个代数运算来说在ψ之下-≅R R

（3）由.3.3习题5知

这里 d c b a ,,, 实数

这是因为令),0(),1,0(),0,(i k j i i ===

（4）1)0,1()0,)(0,(2-=-==i i i

同样j ik ki i kj jk =-==-=,

6 多项式环

1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ⇒交换环,

R 有单位元11⇒是][x R 的单位元,

R 没有零因子][x R ⇒没有零因子

事实上，0,)(10≠++=a x a x a a x f n n Λ

则m n m n x b a b a x g x f +++=Λ00)()(

因为R 没有零因子,所以0≠m n b a

因而0)()(≠x g x f

这样][x R 是整环

2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 计算出来

解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x

3. 证明:

(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =

(ⅱ) 若n x x x ,,,21Λ是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元.

证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}211221i i i i a αα∑

{],[12=ααR 一切}112212j j j j a αα∑

由于=∑211221i i i i a αα112212j j j j a αα∑

因而=],[21ααR ],[12ααR

（ⅱ）设00=∑=n

k k i k x a 即∑=+-n k n i h i i k x x x x x a 0

001010

1ΛΛ 因为n x x x Λ,,21是R 上的无关未定元,所以

即i x 是R 上的未定元

4. 证明:

(ⅰ) 若是n x x x Λ,,21和n y y y Λ,,21上的两组无关未定元,那么 (ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f ΛΛ→φ

根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R ΛΛ 容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ΛΛ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ΛΛ≠⇒ 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ΛΛ≅

（ⅱ）令{][=x R 一切}2210n n x a x a a +++Λ

显然][][2x R x R ⊂

但][2x R x ∉不然的话

这与x 是R 上未定元矛盾.

所以][2x R 是][x R 上未定元显然

故有（ⅰ）}[][2x R x R ≅

这就是说,][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.

7 理想

1. 假定R 是偶数环,证明,所有整数r 4是ϑ的一个理想,等式!对不对? 证 R r r r r ∈∈2121,,4,4ϑ

ϑ∴ 是R 的一个理想.

等式 )4(=ϑ不对

这是因为R 没有单位元,具体的说)4(4∈但ϑ∉4

2. 假定R 是整数环,证明.1)7,3(= 证 R 是整数环,显然)1(=R .1)7,3(=

又 )7,3()7(13)2(1∈+-=

3. 假定例3的R 是有理数域,证明,这时),2(x 是一个主理想. 证 因为2与x 互素,所以存在)(),(21x P x P 使

),2()1(][x x R ==∴ 。 即~是一个主理想.

4. 证明,两个理想的交集还是一个理想.

证 ℜ和ℵ是两个理想

ℵℜI 非空显然 .,,ℜ∈⇒ℵ∈b a b a

5. 找出模6的剩余类环的所有理想.

证 找出的理想是

我们只有这四个

理想必包]0[

若包含]1[或]5[则必包含所有的元

若同时含];3[],2[或]4[],3[则必包含]5[或]1[

6. 一个环R !的一个子集S 叫做R 的一个左理想,假如 (ⅰ)S b a S b a ∈-⇒∈,

(ⅱ)s ra R r S a ∈⇒∈∈,

你能不能在有理数域F 上的22⨯矩阵环里找到一个不是理想的左理想/ 证 ⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221121122a a a a F 11a 是有理数 取⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ00b a ℜ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000d b c a d c b a ℜ∴是22F 的一个左理想,

但它不是理想.

（只要012≠ac 或)012≠bc

8 剩余类环、同态与理想

1. 假定我们有一个环R 的一个分类，而S 是由所有的类Λ],[],[],[c b a 所作成的集合 又假定][]][[],[][][xy y x y x y x =+=+规定两个S 的代数运算，证明]0[是R 的一个理想 并且给定类刚好是模]0[的R 剩余类。

证 （ⅰ） 先证]0[是R 的一个理想]0[,∈b a 即]0[][],0[][==b a ]0[]00[]0[]0[][][=+=+=+b a

而][][][b a b a +=+ ]0[]0[][∈+⇒=+∴b a b a

]0[∈∴ra 同理]0[∈ar

于是]0[是R 的理想

（ⅱ） 若y x ,属于同一类，即][][y x = ]0[∈-y x 即y x ,属于对]0[同一剩余类

反之，若y x ,属于对]0[的同一剩余类即]0[∈-y x 所以]0[][=-y x

即 ][][y x = 亦即y x ,属于同一类 这样给定的类正好是对][ο来讲的剩余类。

2． 假定φ是环R 到环-R 的一个同态满射，证明，φ是R 与-

R 间的同构映射，当而且只

当φ的核是R 的零理想的时候。

证 （ⅰ） 若-≅R R ，-0的逆象只有0既核是零理想 （ⅱ） 若φ的核的零理想 R b a ∈,而 b a ≠

那么∉-b a 核， 0)(≠-b a φ

即)()(b a φφ≠

∴是同构映射 3． 假定R 是由所有复数bi a +是整数1作成的环，环）（i 1R +有多少元？ 证 R 是有单位元的交换环

那么主理想i 1+的元的形式应为i b a b a i bi a )()()1)((++-=++

令y b a x b a =+=-, 2,2x y b y x a -=+= 我们说当而且只当y x ,的奇偶性相同时，b a ,是整数 所以）

（i 1R +共有两个元： 一个元是][vi u +而v u ,奇偶性相同以]1[i +代表 一个元是][vi u +而v u ,奇偶性相反以]21[i +代表 实际上，R 的任二元i b a i b a 2211,++

而)1()()()()(21212211i i b b a a i b a i b a +∈-+-=+-+ 则 21a a -与21b b -奇偶性相同

=---⇒)()(1121b b a a 偶数 =---⇒)()(2211b a b a 偶数 11b a -⇒ 与22b a -奇偶性相同

若 11b a - 与 22b a - 均奇数

11b a -⇒以及2,2b a 均奇偶性相反，若11b a -与 22b a - 均偶数 11b a -⇒以及2,2b a 均奇偶性相同，反之亦然。

9 最大理想

1． 假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数 所作成的环，证明，)1(i R +是一个域， 证 证法一，由.8.3习题3知)1(i R +是只包含两个元，是有单位元的交换环且

有零理想与单位理想，所以)

1(i R +是一个域。 证法二，证明)1(i +是R 的最大理想。

设ℜ是R 的一个理想，且

同时有)1(i bi a +∉+而ℜ∈+bi a

根据.8.3习题3知b a ,奇偶性相反R yi x ∈+ 若)1(i yi x +∈+则ℜ∈+yi x

若)1(i yi x +∉+ 则y x ,的奇偶性相反 ∴同属一类

即ℜ∈+∈+-+)1()()(i yi x bi a

ℜ是理想，故R yi x ∈+ ，R =ℜ 而R 是有单位元交换环自不必多说 根据本节定理)1(i R +是域。

2． 我们看环R 上的一个多项式环][x R ，当R 是整数环时，][x R 的理想)(x 是不是最 大理想？当R 是有理数域的时候，情形如何？ 证 （ⅰ）R 是整数环时，)(x 不是][x R 的最大理想

这是因为由.7.3例3知),2(x 是][x R 的理想 明显的有)(),2(][x x x R ≠⊃

且)(),2(][x x x R ≠≠

（ⅱ）当R 是有理数域时，可证)(x 是][x R 的最大理想。

设ℜ是][x R 的一个理想，且)(x ⊃ℜ而)(x ≠ℜ 那么，0,010≠ℜ∈+++b x b x b b m m Λ ℜ是理想ℜ∈+++-)(1010m m x b x b b b Λ

即ℜ⊂∈+++--)(110110x x b b x b b m m Λ

而ℜ⊂∈++--)(1011

0x x b b x b b m m Λ

)1(10110m m x b b x b b --+++Λ-m m x b b x b b 10110--++Λℜ∈=1 于是][x R =ℜ

3． 我们看所有偶数作成的环R 。证明，（4）是R 的最大理想，但4R 不是一个域。 证 设ℜ是R 的一个理想，且4⊃ℜ而)4(≠ℜ

则ℜ除包含n 4外还至少包含一个m 而r q m +=4 m 是偶数，只有2=r

那么，ℜ∈-==q m r 42

故有R =ℜ

即)4(是R 的最大理想。

4

R 只包含两个元]4[],2[ 而没有单位元： 所以4R 不是一个域。

4． 我们看有理数域F 上的全部22⨯矩阵环22F ，证明，22F 只有零理想同单位理想， 但不是一个除环。 证 设ℜ是22F 的一个理想，0≠ℜ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∍ℜ000022211211a a a a 不失一般性，假设011≠a 那么ℜ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000100011122211211a a a a a 易知ℜ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111100a a ℜ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100100001111111111a a a a 但22F 不是除环 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4221没有逆

10 商域

1． 证明一个域！是它自己的商域。 证 设Q 是F 的商域

显然Q F ⊂

Q q ∈则b a q =

而0,,≠∈b F b a 即F Q ⊂ Q F =∴ 2． 详细证明本节定理3

证 本节定理3 是说；

假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域 那么F 包含R 的一个商域

现在证明

在F 里

0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab 有意义，作F 的子集

{=-Q 所有}b a )0,,(≠∈b R b a

我们证明-Q 是F 的子域

0,(≠∈-bd R bc ad 且)R bd ∈

Q 对F 的代数运算来说作成一个域再证R Q ⊃- 对R 的任一元a 及一元0≠b 则有

因此，F 包含R 的一个商域-Q

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-5

近世代数课后习题参考答案 第五章 扩域 1 扩域、素域 1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域. 证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑ 1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈ ) ,,(2,1m F b βββ ∈易知 m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈- 但∑? ),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b 2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈- 从而有∑ ? ∈-),,,,,,(21211 m n F ab βββααα ２ 单扩域 １． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且 F a F =)( 证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故 F a F ?)(易见F a F ?)(，从而F a F =)( ２．令F 是有理数域．复数i 和 1 12-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？ )(i F 与)1 12( -+i i F 是否同构？ 证 易知复数i 在F 上的极小多项式为1 12, 12 -++i i x 在F 上的极小多项式为2 52 +-x x 因)1 12()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的． ３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p 证 令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集 合． 1) ?是)(x F 的一个理想 (ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f 因而0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任一元 那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h 2)是一个主理想 设 )(1x p 是?中a ！的极小多项式

近世代数习题解答(张禾瑞)三章

近世代数习题解答 第三章 环与域 1 加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2 交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证 设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2 )]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2 ))((mna na ma =

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)

近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃ a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

大学教材课后题答案网站

大学教材部分答案参考网站 (供大家学习) 1、C 程序设计第三版 (谭浩强著) 清华大学出版社课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=80&fromuid=9 2、复变函数与积分变换第四版 (张元林西安交大著) 高等教育出版社课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=612&fromuid=9 C 语言程序设计教程第三版(谭浩强张基温著) 高等教育出版社课后答案[khdaw_lxywyl] https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=79&fromuid=9 C 语言程序设计教程第二版 (谭浩强张基温著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=256&fromuid=9 离散数学（第三版）(耿素云屈婉玲张立昂著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_ricardo】 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=293&fromuid=9 耿国华数据结构课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=103&fromuid=9 严蔚敏《数据结构(c 语言版)习题集》答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=102&fromuid=9 谭浩强C++程序设计习题答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=420&fromuid=9 《微机原理与接口技术》清华（冯博琴吴宁）版课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=707&fromuid=9 数据库系统概论 (王珊萨师煊著) 清华大学出版社课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=991&fromuid=9 C 程序设计第二版 (谭浩强著) 课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=47&fromuid=9 清华大学《数据结构》习题+课后答案 https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,/bbs/viewthread.php?tid=249&fromuid=9 《数学物理方法》（梁昆淼第二版）习题解答

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1 -Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数习题答案

近世代数习题答案 近世代数习题答案 近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其性质。在学习近世 代数的过程中，习题是不可或缺的一部分。通过解答习题，我们可以加深对概 念和定理的理解，提高解决问题的能力。本文将给出一些近世代数习题的答案，并对其中的一些重要思想进行解析。 1. 习题：证明群的单位元是唯一的。 解答：设G是一个群，e和e'都是G的单位元。根据单位元的定义，对于任意 的元素g∈G，有eg=g=ge'。将e'代入上式，得到e=ge'。同理，将e代入上式，得到e'=ge。由此可知，e=e'，即群的单位元是唯一的。 思考：这个习题通过对单位元的性质进行推理，展示了群的基本概念和性质。 在解答过程中，我们需要运用代数运算的基本法则，如等式的传递性和对称性等。 2. 习题：证明群的逆元是唯一的。 解答：设G是一个群，g∈G，且g有两个逆元g'和g''。根据逆元的定义，有 gg'=e和gg''=e。将第一个等式两边都乘以g''，得到gg'g''=eg''=g''。将第二 个等式两边都乘以g'，得到gg'g''=g'。由此可知，g''=g'。即群的逆元是唯一的。 思考：这个习题通过对逆元的性质进行推理，进一步巩固了群的基本概念和性质。在解答过程中，我们需要灵活运用等式的乘法和消去律，以及群运算的定义。 3. 习题：证明交换群的幂运算满足指数相加的性质。

解答：设G是一个交换群，a∈G，m和n是任意的整数。我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。因此，不论m和n的正负情况如何，都有a^m * a^n = a^(m+n)。这就证明了交换群的幂运算满足指数相加的性质。 思考：这个习题通过对交换群幂运算的性质进行推理，展示了交换群的重要性质。在解答过程中，我们需要运用幂运算的定义和交换群的交换性质，以及整数的加法和乘法的性质。 4. 习题：证明子群的幂运算满足指数相乘的性质。 解答：设G是一个群，H是G的一个子群，a∈H，m和n是任意的整数。我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。因此，不论m和n的正负情况如何，都有a^m * a^n = a^(m+n)。这就证明了子群的幂运算满足指数相乘的性质。 思考：这个习题通过对子群幂运算的性质进行推理，进一步加深了对子群的理解。在解答过程中，我们需要运用幂运算的定义和子群的封闭性质，以及整数的加法和乘法的性质。 通过解答上述习题，我们可以看到近世代数的一些基本概念和性质。这些习题不仅帮助我们巩固知识，还培养了我们的逻辑思维和问题解决能力。在学习近

张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)

定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =) ( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68

子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈⇒∈∈∀-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）

近世代数练习题部分答案（12级）（1）

近世代数练习题部分答案（12级）（1） 练习题参考答案 一、判断题 1. R 是A 的元间的等价关系. （错）见教材第27页习题2（2） 2. 则G 是交换群. （正确）见教材第37页习题6 3、则该群一定为有限群. （错）见教材第39页例4 4、则G 与整数加群同构. （正确）见教材49页定理1（1） 5、那么G 也是循环群. （错）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群. 6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -?∈?. （正确）见教材84页定理1 7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈?,. （正确）见教材83页定义1 8、那么R 必定没有右零因子. （正确）见教材139页推论 9、则N G /也是循环群. （正确）见教材95页定理3 10、那么R 的单位元一定是非零元. （正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是 单位元. 11、整数环与偶数环同态. （错误）设Z Z 2:→?为同态满射，且k 2)1(=?，则 24)1()1()11()1(k ==?=，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者

不可能，因此有02=k ，则0)1(=?，得0)(=n ?，与?为满射矛盾. 12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6- -----=Z ,47Z 均是整环. （错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环. 13、素数阶群一定是交换群. （正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的 阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群. 二、单项选择题 1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（④ ） 2、设是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算，下列结论不正确的是（④ ） 3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ） 4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①） 5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G H aH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ） 6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ） 7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定 )),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈?+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ） 三、填空题 1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___. 2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构. 3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是__±1，±i

近世代数--第三章小结

第三章 环与域总结 第一节 加群、环的定义 定义：一个交换群叫做一个加群。 ⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。 ⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。 环的定义：〔•+,,R 〕 ①〔R +〕是交换群〔R 对+封闭〕； ②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,, ③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足 ()ac ab c b a +=+ ()ca ba a c b +=+ 称R 在+和·运算下是环。①.R 是一个加群； ②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； ③.这个乘法适合结合律： ()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元； ④.两个分配律都成立： ()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。 环满足如下运算： ①00a a =,对R a ∈∀ ②()ac ab c b a -=- ()bc ac c b a -=- ③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-, ④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i n j j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11 112121 定义：〔•+,,R 〕，假设对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。 〔•+,,R 〕，假设R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。一般地， 一个环不一定有单位元。 〔•+,,R 〕，含有单位元e ，,R a ∈假设R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 时间： 2012年6月17日

摘要 本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。 关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。 一、S 4和S 4 的子群：

假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。 S 3 ={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}， S 4 ={(1)， (12),(34),(13),(24)，（14），(23)， (123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. 其中,在S 3 里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。 在S 4 里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。 S 3的子群有H 1 ={（1）}， H 2 ={（1），（12）}， H 3 ={（1），（13）}， H 4 ={（1），（23）} ， H 5 ={（1），（123），（132）}， H 6=S 3 。 其中H 1和H 6 为S 3 的平凡子群。

近世代数计算题

计算题 1、在整数环Z 中，令I = {5k |k ∈Z } （1）确定商环Z /I 中的元素。 （2）Z /I 是不是一个整环？求Z /I 的特征。 2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。 3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。 4、在10次对称群S 10中，σ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1968752431010987654321. （1）将σ表成一些不相交轮换之积。 （2）求| σ|。 5、设G = {2m 7n |m ，n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f ：2m 7n |→7n 是G 到G 的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。 6、设（Z 16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z 16的所有理想，求Z 16的所有非零理 想的交。 7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。 8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2 =-1}中,(1)求主理想(1+i )，(2)求 ) 1(] [i i Z +。 9、给出整数加群Z 的所有自同构。 10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。 11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。 12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射， (2)确定Ker f 。 13、找出三次对称群3S 的所有子群；找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。 14、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。 15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。 16、（10分）求模12的剩余类加群（Z 12，＋）的所有自同构映射

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2

近世代数课后习题参考答案 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ' '5,4来作群的定义: '4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1 -a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-' 1 所以))(()(' 11 1 a a a a e a a ---= e a a a e a a aa a ====----' 1' 1 ' 1 1 ][)]([ 即 e a a =-1 (2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1 1 即 a ea = 这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1 -= b be b aa b a a ===--)()(1 1 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到' ' 5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律

1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2 ,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111 )(. 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1 -a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---11 1) ()( 若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1 )(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶 是n 矛盾.a 的阶等于1 -a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾 (3) b a ≠ 则 11 --≠b a 总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一 定是偶数 3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的 个数一定是奇数. 证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶 2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数. 4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 G a ∈ 故 G a a a a n m ∈ ,,,,,,2 由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: n m a a = )(n m 〈 故 e a m n =- m n -是整数,因而a 的阶不超过它. 4 群的同态 假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和- a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }2 3 1,231,1{i i G +-+-= }1{=- G 对普通乘法- G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是 G 的任意元,1是- G 的元) 由 φ可知 G ∽- G 但 2 31,231i i --+-的阶都是3.

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)

近世代数课后习题参考答案 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ>若S是一个子群 则S ⇒ ∈ , + a∈ b a S b '0是S的零元,即a +'0 a= 对G的零元,0 +a = a 0'= ∴ 即. = - ∈ ∴ - s∈ 0S a a (ⅱ>若S ⇒ ∈ + , a∈ b S a b ⇒ ∈ a∈ - a S S 今证S是子群 由S ,∈ + ∈对加法是闭的,适合结合律, a, ⇒ b S b a S 由S a∈ -0 ∈,而且得S = a a S a∈ ⇒ - 再证另一个充要条件: 若S是子群,S ∈ ⇒ - ⇒ , ∈, - b S a b a b S a∈ 反之S = ∈ ⇒ - ⇒ ∈0 - = a S a a a - a∈ S 故S = ⇒ - ( + , ∈) - b a∈ b a S b a 2. } a R=,加法和乘法由以下两个表给定: b , , ,0{c +0 a b ⨯0 a b c c 00 0 0 0 00 a b c a a 0 c a0 0 0 0 b b b c 0 b0 a b c a c0 a b c c c b a 证明,R作成一个环 证R对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R和阶是4的非循环群同构,且为交换群.乘法适合结合律Z ) (= ( x) yz xy

事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz . 这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故 可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形>的情形,此时两端均 为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111 111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11k r k r k r -++=> 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元

近世代数习题解答

近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ' ' 5,4来作群的定义: '4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1 -a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-' 1 所以))(()(' 11 1 a a a a e a a ---= e a a a e a a aa a ====----' 1' 1 ' 1 1 ][)]([ 即 e a a =-1 (2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1 1 即 a ea = 这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1 -= b be b aa b a a ===--)()(1 1 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到' ' 5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2 ,那么G 就是交换群.

证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111 )(. 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1 -a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---11 1) ()( 若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1 )(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶 是n 矛盾.a 的阶等于1 -a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾 (3) b a ≠ 则 11 --≠b a 总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一 定是偶数 3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的 个数一定是奇数. 证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶 2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数. 4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 G a ∈ 故 G a a a a n m ∈ ,,,,,,2 由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: n m a a = )(n m 〈 故 e a m n =- m n -是整数,因而a 的阶不超过它. 4 群的同态 假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和- a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }2 3 1,231,1{i i G +-+-= }1{=- G 对普通乘法- G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是 G 的任意元,1是- G 的元) 由 φ可知 G ∽- G 但 2 31,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.

近世代数证明题

近世代数证明题https://www.sodocs.net/doc/4819177579.html,work Information Technology Company.2020YEAR

证明题 1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛o o x o x ∈Z 。 （1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 （2）证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ，o ）构成一个群. 6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域⇔I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，∀h ∈ H ，hx = xh }.证明： （1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的一 个素元. 11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈H }， 证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明： （1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公因数是一个素数。 f f

近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题（附答案） 一.选择题 1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C ) (A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律 (C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律 2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B ) (A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6 3．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ） (A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253) 4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C ) (A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3 b 的阶 (C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶 5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D ) (A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子 6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D ) (A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义 7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B ) (A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab 8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D ) (A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →- 10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A ) (A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定 11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）