近世代数第9讲

近世代数第9讲

置换群(pormutation group)

本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：

1、弄清置换与双射的等同关系。

2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。

3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。

4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。

本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。

注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非

变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。

一． 置换群的基本概念

定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果

A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变

换为A 的一个置换。

有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。

含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做

n 次对称群。通常记为n S .

明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。

现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。即π:

1a 2a ,2a 3a , 3a 1a ,利用本教材中特定的表示方法有：

21a a =π

，32a a =π，13a a =π

.

由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证{}3 , 2 , 1　=A .故此. π:1 2,2 3,3 1.稍

做修改: π：21

↓ 32↓ 1

3

↓ ⇒ π=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛132321 .用π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132321

来描述A 的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可

记为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛123312 ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛321213

…,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.

二.置换的乘积.

设{}3 , 2 , 1　=A 的任二个置换

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=132321

π,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213321 τ,那么由于π和τ都是一一变换,于是

πτ也是A 的一一变换.且有 πτ:1→1,2→2,3→3.

用本教材的记法为:11=πτ

,22=πτ,33=πτ.

换句话说:⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=321321123321132321 τπ 例1. 计算下列置换的乘积: (1) πτ, (2) 2π, (3) 2πτ.

解: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=321321132321213321 πτ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=2133213213213213212

π

文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:()53241 =π

注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的

变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换()53241 =π”

②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.

()()() ====324154153253241 π

这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环

:

所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.

但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位. ③.8S 的单位(恒等置换)()()() ====3210π同上,习惯写成()10=π.

定义 2. n S 中的一个将1i 变到2i ，2i 变到k i i ,,3 变回到1i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做k —循环置换（或称k —循环）,记为(k i i i i 321,,) 例3．在5S 中.

()3215413254321 =⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ 叫作3—循环置换.

()543211543254321 =⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ 叫作5—循环置换.

()15432154321=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ 叫作1—循环置换.

（2）循环置换分解

很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元

置换⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1254354321 τ不可能是循环置换，但我们会发现 ()()(*)

42531523415432114523543211254354321

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=τ 可见，τ虽不是循环置换，但它是循环置换之积。 定义3. 设()k i i i ,,,21 =π和()s j j j ,,,21 =τ都是循环置换. 如果π与τ不含相同的文字，那么称π与τ是不相连的. 定理2. 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）

【证明】.设π是n S 中任一个n 元置换，下面对π中改变文字的个数用数学归纳法。

如果π使{}n ,,3,2,1 中每个文字都不发生改变，则π是恒等置换.即()1=π，定理2成立.

假设π最多变动)(1n r r ≤-个文字时，定理成立。现考察π变动了r 个元的情形：

首先在被π变动的文字中随意取一个文字1i ，从1i 出发找到1i 在π下的象2i ,再找2i 的象3i ,… ,直到找到k i ，其中：

1i i k −→−π

.于是1321i i i i i k −→−−→−−→−−→−−→−

πππππ

因为π只变动了r r

个文字，故r k ≤.如果r k =，则π本身就是

一个r —循环置换:()k i i i ,,,21 =π定理证毕。如果r k <，模仿(*)的做法。

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=++++n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''11321121 π ()()1

211''11111211''11111111321121πk n r r k k n r k k n n r r k k n r r k k n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++++++++ 由于π中只变动了r 个文字，1π∴中只能变动r k r <-个文字.由归纳假设，1π必可以写成若干个不相连的循环置换之积:m ηηηπ 211=

还需特别说明:1π中的所有循环置换m ηηη,,,21 中不可能再出现k i i i ,,,21 ,否则,

当 ()k p i i g p t ≤= η

因为m ηηη,,,21 是互不相连,p i ⇒只在t η中出现.1π　⇒

将g p i i →，但前面已有⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

=++++n r r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''12111211 π 即1π将使p i 保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：

()m k i i i ηηηπ2121 =是互不相连的循环置换之积.

明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.

四．循环置换的性质

问题1.3S 是一个3阶群（三次对称群），所以3S 中每个元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比如：

()321132321 =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=π,则()()()2313213212

==π, ()()()132123123 ==πππ.∴3=π

这里π是3-循环置换，恰好π的阶是3.这不是巧合,我们有：

结论1. k —循环置换()k i i i 21=π的阶就是k

解释：k —循环置换()k i i i 21=π的一次方则将1i 变成2i ，二次方则将1i 变成3i ，k 次方则将1i 变回到1i ，其余文字也是如此。所以，当k m <时，()1≠m π而()1=k π. ∴k =π

.

问题 2.每个置换π都是双射，那么π的逆置换也必是双射⇒

必也是置换，那么1-π会是什么样子呢？ 设

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3145254321543212351423514543211

ππ

若将π表成循环置

()()43521253411 -⇒=ππ

说明：循环置换π的逆置换1-π就是将每个文字的变动方向反向.

结论2:k —循环置换()k i i i 21=π的逆置换也是循环置换且()1211i i i i k k --=π

问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.

设()()τππττπ=⇒== 54,231

结论3.两个不相连的k —循环置换是可以交换的。

结论4.任一个k —循环置换

()()()()()()()()()k k k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1321111312121--=== π

定义4.每个2—循环置换都叫做一个对换. 利用结论4,我们有:

定理3.每个n 元置换都能表示成若干个对换的乘积。 例4.

()

)

71)(73)(75)(72()72)(12)(32)(52(71352 ===π

结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了

结论5.设()k i i i j 21∉.且()()()12121i j i i i j i i i k k = 五.置换的奇偶性.

虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.

(比如()()()()4321432143124321

==⎪⎪⎭⎫

⎝⎛) 但对换个数的奇偶性是不会改变的。

结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.

定义5.一个置换π叫做偶(奇）置换π⇔可以表成偶(奇)

数个对换之积.

利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性. 结论7.一个k —循环置换π是偶(奇)置换k ⇔为奇(偶)数. 考察下面的例子:24!44==S .而4S 中全部偶置换共有12

个:);341();431();241();421();231();321();1{( 4)}32)(41();42)(31();43)(21();342();432(A =

那么4

A 就是4S 中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:

●

4A 中乘法封闭 ●

4A 中乘法满足结合律 ●

4A 中有单位元()1 ● 4A 中每个置换有逆元, 逆元也在4A 中(由

结论2)所以4A 是一个群,这个特殊的置换群习惯是

上称为4次交换群.

定义 6.n 次对称群n S 中全部偶置换组成的集合n A 构成一个

群.叫做n 次交错群.其中:2!21n S A n n ==

. 定义7 n 次对称群n S 中两个置换,,ρσ称1ρσρ-为σ的共轭 。 定义8 设1212,0,s s n r r r r r r =+++≤≤≤≤称12(,,,)s r r r 为n 的一个划分。设n 元置换表示为互不交换的轮换的乘积 111211112

1()()(),s s r r r r r r r r a a a a a a a σ-++++++= 其中12(,,,)s r r r 为n 的一个划分，称它是由σ确定的划分。 结论8 n S 中两个置换,,ρσ共轭⇔它们确定的划分相同。

（证明略）

课堂训练:给出下列6元置换.

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ 1) 求1-π,1-ρ,1-τ;

2) 求πτ, τρ

3) 求π, τ和ρ的组织置换表达式,并求出τπ1-和

1-ρτ,πτ.

4) 求π,τ,ρ.

5) 将π,τ,ρ和πρ写成对换之积,并判断其奇偶性.

解:1)；

；

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--4562136

5432114536265432111τπ

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=3541626543211- ρ

2)⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3651246

54321456132654321245316654321 πτ

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4523616

543212546136

543214561326

54321

τρ

3)()()()()()26316432154261 ； ； ===ρτπ

()()()()()()65423164321546211 ==-τπ

()()()()()365416432154261 ==πτ 4)[][]46236234=====ρτ； ，； ，

5)()()()()()()()()()216131643121542161 ； ； ===ρτπ

()()()()()()()()()54613121546321263154261

===πρ ∴π是奇置换；τ是奇置换；ρ是奇置换；πρ是偶置换.

对称性变换与对称群

例1 证明等腰三角形的两底角相等。

定义1：保持长度不变的变换称为正交变换。

定义2; 平面上（空间中）图形Γ，若平面上（空间中）的一个正交变换把Γ变成与自己重合，称此变换是Γ的对称性变换。

命题1 图形Γ的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。（Γ的对称性群）。

例1 正方形的对称性群。（4个旋转，4个反射）。

例2等边三角形的对称性群。（3个旋转，3个反射）. 定义 3 设12(,,,)n f x x x 为域F 上一多项式，σ为任意n 元置换，若在12(,,,)n f x x x 的各文字的脚标上进行置换后不变，称12(,,,)n f x x x 为域F 上一个n 元对称多项式。

例3 2212121212(,)f x x x x x x x x =++

定义4设12(,,,)n f x x x 为域F 上一多项式，σ为任意n 元置换，若1212(,,

,)(,,,),n n f x x x f x x x σ=换后不变，称σ为12(,,,)n f x x x 的一个对称变换。

命题2 12(,,,)n f x x x 的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。（12(,,,)n f x x x 的对称性群）。

例4 考虑12341234(,,,)f x x x x x x x x =+的全部对称性变换。 介绍晶体及晶体对称性定律。

近世代数

。个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ） （群。能作成 对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的子群仍是循环群。 （ ） 4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。（ ） 5．任何群G 都与其商群G/N 同态。 （ ） 13123321 61）（、=???? ??- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 7 8．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。 （ ） 9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1， 则R 一定是体。（ ） 10．无零因子的交换环不一定是整环。 （ ） 11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。（ ） 2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。是矩阵其中同态映射，且是满射， 的一个 到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法 数阶方阵作成的集合，代 上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ， 证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。 五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N 6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群 H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。 一、判断题。！个双射变换个元素的任意集合共有 、含有 n n 1 2．在模8剩余类环Z 8中{} 6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。（ ） 4．整数环Z 的每个理想都是主理想。 （ ） 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、关于半群的说法不正确的是： （ ） （A ）半群是带有一个代数运算的代数系统； (B) 半群的乘法一定适合结合律； (C) 半群的乘法不一定适合交换律； （D) 半群中一定有单位元。 2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则 H ≤G 的充要条件是 （ ） （A ） H ab H b ,a ∈?∈ (B) H a H a 1∈?∈-

近世代数

例1 :写出剩余类加群Z15的 (1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]} (2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?, ?[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?. (4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12], -[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8]. (5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]). (6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]} (8) Z15是域吗？说明理由; 答：不是。因为有零因子。 例2、列出剩余类加群Z10的全部元素； {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]} 1 写出加法群Z10的全部生成元、全部子群； 全部生成元:[1],[3],[7],[9] 全部子群:H1={[1]},H2={ [0], [2], [6], [8]},H3={[0], [5]},H4=Z10 2、写出剩余类环Z10的全部理想； 全部理想: I1={[0]},I2={ [0], [2], [6], [8], ]},I3={[0], [5]}, I4 = Z10 3、写出剩余类环Z10的全部可逆元、全部零因子； 可逆元:[1],[3],[7],[9],全部零因子:[2],[4],[5],[6],[8] 4、Z10是域吗？说明理由。答：不是。因为有零因子。 5、7阶群的子群共有多少个?为什么? 答：7阶群G的子群只有两个：单位元群和G本身。因为，由Largrange定理，子群的阶必是G的阶7的因数，因而只能是1或7。所以，7阶群G只有平凡子群 6、除环的理想有多少个?为什么? 答：除环R的理想只有两个：零理想和R本身。因为，设I是R的任一理想，若有非零元a∈I，在除环R中有a?1∈R，于是单位元1=aa?1∈I，进而，?b∈R，由理想的吸收性，则b=b1∈I，故必I=R。所以，R只有零理想和R本身. 7、商环Q[x]/(x2+x+1)是域吗?为什么?。 答：x2+x+1在有理数上不可约，所以它是域。 8、设N是有限群G的正规子群,商群G/N与三次对称群S3同构,N≌Z11。说明: 22 | |G|. 答：因为S3的阶为6，Z11的阶为11，Zn有n个元素，|G|=6×11=66,所以22︱|G|。 9.有锐角的棱形的对称性群是几阶群? 答：有锐角的棱形只有两条对称轴，即两条对角线。因此，它的对称性群G由转角为0°和180°的两个旋转与关于两条对角线的两个反射组成，因此，|G|=4。 10、复数域C作为实数域R的扩域，求次数[C : R]. 解：因为复数域C作为实数域R上的向量空间，其维数是2，所以，指数[C：R]=2。 11、计算20082008(mod 7). 解：2008≡6(mod 7)?20082008=20086×334+4≡66×33463 ≡6(mod 7).

近世代数复习

第一章 集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系； 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。 第二章 群的定义 a.设G是一个非空集合，“?”是其上一个二元运算，若满足 1.“?”满足结合律； 2.{G，?}中有单位元； 3.{G，?}每个元都与逆元 则称{G，?}是一个群，简称G是一个群。 b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。 群的性质 1.单位元唯一； 2.逆元唯一； 3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1 注：可以推广到无限： 1 1 1 2 1 1 m 1 m 1 m 2 1 m a ...a a a ) ...a a (a G , a ..,- - - - - -= ? ∈ ?,. a, a 2 1 5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元） 证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。 6.群满足左右消去律。 推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。 7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。 9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。 交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。 元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。 有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无

《近世代数》教案1(含绪论)

韶关学院课程教学设计（ 2 学时） 教学过程、内容（含教与学的方法） 绪论 一、抽象代数发展简史 1、代数的组成 代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题. 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合

产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言. 2、高次方程的根式解问题 什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点. 到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式. 在三次方程成功地解出之后，接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式，那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢？ 世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解，经过了三百年没有成功.在这期间，德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.” 探求四次以上的方程的求解问题，多少数学家作了努力，但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样，代数的这个问题才告一个段落. 阿贝尔（1802-1829）是一个挪威的数学家，出生（1802.8.5）于一个穷牧师家里，兄弟姐妹七个，他排行第二，小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师，名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学，对中学数学很熟，他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次

近世代数 第8讲

第8 讲 §5 变换群(Transformation group) （2课时） 本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。因此，要求： 1、理解什么是变换群；变换群的理论意义。 2、凯莱定理的内容以及定理的证明过程。 本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。 凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个方面： （1）通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及

有关性质有一个清醒的认识。 （2）撑握凯来定理（定理3）的证明手法。 注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变： )(:x x x ττ= 将改成:.:ττx x x = 也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心：τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说：当 B A →:τ是映射时， 用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时，使用“τa ”. 一、变换群的概念和基本性质 （1） 集合A 的变换和表示形式 定义1 设A 是一个非空集合，若τ是到A 的任一子映射.:A A →τ那就称τ是A 的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若':a a τ，现将')(a a =τ改写为'a a =τ.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果21,ττ都是A 的变换，那么21ττ也显然是的变换，并且这时要注意：":21a a →ττ应该是1212)("ττττa a a ==（而过去是写成：))(()(2121a a ττττ=在合成的表示形式上，要习惯这种改变. 例1． 设=A ｛１，２｝．现取出A 的几个变换 12,21:1 τ （即 12,111 1==ττ　） 22,21:2 τ （即 22,2122==ττ） 22,11:3 τ （即 22,1133==ττ） 12,21:4 τ （即 12,2144==ττ）

近世代数第19讲

第19讲 §6. 多项式环 (Rings of polynomials ) 本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域F上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式，矩阵系数多项式(譬如 —矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异。故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论。 目的和要求: 1、明确代数元和超越元的概念以及什么是R上的关于超越元的多项式环(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)。 2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂。 3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚。 本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广。由于环的定义不同，故研究的方法也不同，这是难点之一。如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用，是关键。

一、多项式环的定义。 设0R 是一个含有单位元0 1R 的交换环。又设R 是0R 的子环 且R R ∈0 1，取定元素0R ∈α。显然 0100 n i n i n i a a a a R ααα==+++∈∑ . 记()0100 R a a a a f n n n i i i ∈+++==∑=αααα 定义3.6.1. 如上形式的()αf 叫做环R 上关于α的一个多 项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数。记[]R α为 R 上关于α的所有多项式做成的集合。 因为， ()()∑∑====?n j j j m i i i b g a f 0 ,αααα,当m n ≤时 ()()()∑=+=+n j j j j b a g f 0 ααα, 假设 021====++n m m a a a . ()(),0 00∑∑∑+====? ??? ????? ??=?m n k k k n j j j m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+= k j i j i k b a C 又 0000R α=+∈，()()∑∑==-=-=-m i i i m i i i a a f 0 ααα 可知 []R α是一个环。 定义3.6.2. 上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环。 显然[]αR 是0R 的一个子环。 但R 上的多项式()αf 的表达形式不是唯一的。 譬如,设Z R =,而)(20实数域R R =∈=α. 那么 []2 Z 中的零元2 0002α=+=-+. ∴ 0的表达式不唯一.

近世代数知识点

近世代数知识点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 {（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B 不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元 i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1 -Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数发展简史

近世代数发展简史 近世代数是数学中的一个重要分支，起源于16世纪，并经历了多个阶段的发展。本文将详细介绍近世代数的发展历程，包括其起源、重要概念的提出与发展、相关数学家的贡献以及对其他数学领域的影响。 1. 起源 近世代数的起源可以追溯到16世纪，当时欧洲的数学家们开始对代数问题进行探索。这一时期的代数主要关注解方程的方法和技巧。其中，印度数学家布拉马古普塔提出的布拉马格普塔方程是解方程的重要方法之一。 2. 重要概念的提出与发展 在近世代数的发展过程中，一些重要的概念被提出并得到了进一步发展。其中最重要的概念之一是变量的引入。法国数学家弗朗索瓦·维埃特提出了使用字母表示未知数的概念，这为代数的发展奠定了基础。此外，数学家们还提出了多项式、方程、根和系数等概念，并对它们进行了深入研究。 3. 代数运算的发展 在近世代数的发展过程中，代数运算也得到了重要的发展。法国数学家弗朗索瓦·维埃特提出了代数运算的基本法则，包括加法、减法、乘法和除法。这些基本法则为代数运算提供了明确的规则，并为后续的研究提供了基础。 4. 重要数学家的贡献 在近世代数的发展过程中，许多数学家做出了重要贡献。以下是其中几位数学家及其贡献的简要介绍： (1) 弗朗索瓦·维埃特（François Viète）

维埃特是近世代数的重要人物之一，他提出了使用字母表示未知数的概念，并发展了代数运算的基本法则。他的贡献为代数的发展奠定了基础。 (2) 伽罗华（Évariste Galois） 伽罗华是19世纪代数学家，他在代数理论的发展中起到了重要的推动作用。他提出了伽罗华理论，解决了一类特殊的方程的根的求解问题，为代数学的发展开辟了新的方向。 (3) 高斯（Carl Friedrich Gauss） 高斯是近世代数的杰出数学家之一，他在代数领域做出了许多重要的贡献。他提出了高斯消元法，解决了线性方程组的求解问题，并发展了复数域的理论。 5. 对其他数学领域的影响 近世代数的发展对其他数学领域产生了深远的影响。代数的方法和技巧被广泛应用于几何学、数论和物理学等领域。代数的发展还推动了数学思维方式的改变，从以几何为主导的古典数学向以代数为主导的近代数学的转变。 综上所述，近世代数是数学中的一个重要分支，起源于16世纪，并经历了多个阶段的发展。在近世代数的发展过程中，重要概念的提出与发展、代数运算的发展以及数学家的贡献等方面都起到了重要的作用。近世代数的发展对其他数学领域产生了深远的影响，推动了数学思维方式的转变。

近世代数内容

近世代数内容 近世代数是数学发展中的一个重要领域，它涉及到了许多重要的数学概念和定理。在近世代数的发展中，许多数学家通过研究代数结构的性质和规律，推动了数学的发展。本文将从多个角度介绍近世代数的一些重要内容。 一、群论 群论是近世代数的基石之一，它研究的是集合上的一种代数结构。群由一个集合和一个运算组成，这个运算满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。群论的研究对象可以是任意集合，如整数集、矩阵集等。群论的研究内容包括子群、正规子群、同态映射等，它对于研究对称性和变换具有重要的意义。 二、环论 环论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的两个运算。环由一个集合和两个运算组成，这两个运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。环论的研究对象可以是整数集、多项式集等。环论的研究内容包括理想、素环、域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域具有重要的影响。 三、域论 域论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的四个运算。域由一个集合和四个运算组成，这四个运算满足环的所有性质，并

且除法运算有定义。域论的研究对象可以是有理数集、实数集、复数集等。域论的研究内容包括子域、域扩张、代数闭域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域起到了重要的推动作用。 四、线性代数 线性代数是近世代数的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。线性代数的研究内容包括向量的线性组合、线性方程组的解、矩阵的特征值和特征向量等。线性代数在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用，它是许多数学分支的基础。 五、代数几何 代数几何是近世代数与几何学的结合，它研究的是代数方程的几何性质。代数几何的研究内容包括代数曲线、代数曲面、射影空间等。代数几何在解析几何、拓扑学和数论等领域有着广泛的应用，它为研究几何形体和曲线提供了重要的数学工具。 近世代数涵盖了群论、环论、域论、线性代数和代数几何等多个重要的数学分支。这些数学概念和定理的研究推动了数学的发展，并在实际应用中发挥着重要作用。近世代数的研究不仅拓展了数学的边界，也为其他学科的发展提供了理论基础。在今后的研究中，我们可以进一步深化对近世代数的理解，探索更多的数学概念和定理，为数学的发展做出更大的贡献。

近世代数第13讲

第13讲 习题课 本讲的教课目标和要求：自当前为止，已经达成了第二章群论部分的前九节的教课内容。本讲主要对§ 6 置换群、§ 7 循环群、§ 8 子群、§9 子群的陪集这四节内容进行习题训练。经过本次习题课要求： 1、熟习掌握置换，特别是循环置换的乘法运算，化成对调之积 的基本方法，以及相关基本理论问题的剖析方法。 2、对循环群（主假如有限阶循环群）元素阶的理论证明，要能 认识并掌握。 3、子群的判断和特别子群的性质证明要求娴熟。 4、利用 Lagrange 定理解决一些群分类的问题。 本讲教课的教法：由教师提出问题——剖析问题——提示解决问题的 思路——由学生解题——出示解题答案——总结，并请同学提疑—— 由教师解答并小结 习题 1 （1）证明S3中每个元都能够写成（ 12），（13）的乘积。 （2）从而证明S n中的每个元都能够写成（ 12），（13），，（1n）中若干个对调的乘积。 证明：（1）S3 ={ （1），（12），（13），（23），（123），（132）}

于是：（1）=（12）（12）（13）（13） （12）=（12） （13）=（13） （23）=（123）（12）=（12）（13）（12） （123）=（12）（13） （132）=（13）（12） （2）剖析：从（ 1）中看出： ①若轮换中出现 1，那么用公式：(i1i2i m) (i1i 2 )(i 1i 3 ) ( i 1i m ) 即可。 ②若轮换中没出现 1，那么使用公式：(i1i2 i m ) ( ji 1i 2 i m )( ji 1 ) 即可。（这里 j 1 ） 证明思路： 第一步：由于 S n中每个置换都可写成若干个不相连的轮换之积，因此只要议论轮换即可： 第二步：假如轮换i1 i m中有 1，则能够写成(1, i1' ,i 2' , , i m' 1 ) ，由第一个公式即可。 第三步：假如 i1 i m不含1，那么用第二个公式(i 1i2 i m ) (1i1 i2 i m )(1i1 ) 即可。 习题 2 （1）设G( a) 是一个无穷循环群，又设G (b) 是一个 6 阶循环群，证明： G ～G（同态） （2）利用（1）的证明思路证明：若G (a) 是无穷循环群，而G (b)

《近世代数》教学大纲

近世代数 Abstract algebra 一、课程基本情况课程类别：专业主干课 课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：48学时，实验（含上机）：0学时，课外0学时课程性质：必修课 开课学期：第3学期先修课程：数学分析、高等代数 适用专业：数学与应用数学教材：《近世代数基础》张禾瑞编高等教育出版社1978年修订本开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务 本课程是数学系本科生的一门专业主干课。它不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、化学和计算机学科等。与此同时，近世代数的研究的方法和观点，也对其他学科产生了越来越大的影响。本课程的教学目标在于培养数学专业学生的严密的逻辑思维能力和规范的推导证明过程。本课程教学任务是讲授代数中典型的代数系统：群、环、域及其相关的代数性质。其主要内容包括（1）群的定义，循环群，n 阶对称群，子群、不变子群，商群、群的同态基本定理的内容及其性质；（2）环、子环，理想、商环、整环，多项式环、域、唯一分解环，以及域的扩张概念。课程的重点在于：（1）掌握Larange定理并能够计算或证明群的元素的阶（2）会证明子群和正规子群相关的问题且会应用群的同态基本定理证明群的同构（3）会证明理想和子环相关的问题且会应用环的同态基本定理证明环同构。（4）了解整环的分类。由于课时的原因，本课程对西罗定理和伽罗瓦理论不做要求。 三、教学内容和要求第1章基本概念（7学时） L1集合、映射与变换（2学时） （1）了解集合的概念； （2）理解映射、变换的概念及其与函数的关系； （3）掌握映射的概念与性质。 重点：映射的性质 难点：一一映射的证明1.2代数运算与运算规律（2学时） （1）了解代数运算的实质是映射； （2）理解交换律、结合律和分配律的定义； （3）掌握结合律的意义； 重点：结合律存在的意义； 难点：代数运算是可以定义的； 1.3同态与同构（2学时） （1）了解同态的本质是映射。

§7—9--一一映射-同态及同构

第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构〔2课时〕 (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构〔群第一、二同构定理〕环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的根底上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射〔一一映射〕的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定根底， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。 定义1、设ϕ是集合A到A的映射，且ϕ既是单的又是满的，那么称ϕ是一个

一一映射〔双射〕。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ϕ， 其中Z n n n ∈∀=,2)(ϕ，可知ϕ显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这说明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大〞。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大〞。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设ϕ是A 到A 的一个双射，那么由ϕ可诱导出〔可确定出〕A 到A 的一个双射1-ϕ〔通常称1-ϕ是ϕ的逆映射〕 证明：由于ϕ是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用ϕ的这一特点，那么可确定由A 到A 的映射1-ϕ： a a A a A A =∈∀→--)(,,:11ϕϕ，如果a a =)(ϕ，由上述说明，易知1-ϕ是映射。 1-ϕ是满射：A a ∈∀，因ϕ是映射a a A a =∈∃⇒)(,ϕ使，再由1-ϕ的定义知a a =-)(1ϕ，这恰说明，a 是a 在1-ϕ下的逆象。由a 的任意性，知1-ϕ是满射。 1-ϕ是单射：2121,,a a A a a ≠∈∀若由ϕ是满射21a a 及⇒的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--ϕϕ即及，又ϕ是单射21a a ≠⇒， 这说明)()(2111a a --≠ϕϕ，所以1-ϕ是单射。 综合上述讨论知：1-ϕ是A 到A 的一个双射。

近世代数教案(1)

第一章基本概念 (1) §2 映射 (1) §3 代数运算 (9) §8 同态 (9) §10等价关系与集合的分类 (16) 第一章基本概念 §2 映射 1.映射 定义A,B都是集合,ϕ是一个法则.若对A中每一个元素x,在B中有唯一元素y与之对应,则称ϕ是A到B的一个映射.记为ϕ:x→y, 或y=ϕ(x). y称为x在ϕ下的像,x叫做y在ϕ下的原像或逆像. 注意:(1)A中每一个元素都有唯一确定的像且像在B中. (2)A中不同元素的像可能不同、也可能相同.

例1设A是有理数集，B为实数集合,那么法则 ϕ:x→1 1 x-,即ϕ(x)=1 1 x- 不是A到B的一个映射. 例2 设A,B都是有理数集,那么法则 ϕ:b a →a b +,即ϕ(x)=1 1 x- 那么ϕ不是A到B的一个映射. 例3设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则 ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x 不是A到B的一个映射. 2.满射、单射和双射 例4设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则 ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x 不是A到B的一个映射. 例5设A={1,2,3,4},B={2,4,6},那么法则ϕ:1→2,2→4,3→6,4→6 是A到B的一个映射.

例6设A={1,2,3},B={2,4,6},那么法则 ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x 是A到B的一个映射. 定义设ϕ是A到B的映射, (i)若∀b∈B,至少有一个a∈A,使得ϕ(a)=b,则称ϕ是A到B 的满射； (ii)若∀a,b∈A,且a≠b,总有ϕ(a)≠ϕ(b),则称ϕ是A到B的单射； (iii)若ϕ既是A到B的满射,又是A到B的单射,则称ϕ是A 到B的双射,双射也称为一一映射. 单射的判定:ϕ是A到B的单射⇔∀a,b∈A,且ϕ(a)=ϕ(b)一定有a=b. 例7 设ϕ(a)=2a,∀a∈Z+,则ϕ是Z到2Z+的双射. F⨯是数域F上的全体n阶方阵的集合,B={0,1, 例8设n n ...,n},r(A)表示矩阵A的秩,则ϕ:A→r(A),即ϕ(A)=r(A) 是

近世代数高代选讲大纲

沈阳师范大学 教学日历 数学与应用数学专业课程名称：近世代数

《近世代数》课程教学大纲 第一部分大纲说明 一、总则 1.本课程的目的和要求： 近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。 群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。 2.本课程的主要内容： 本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。 3.教学重点与难点： 重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理. 难点：商群、商环。 4.本课程的知识范围及与相关课程的关系 集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。 二、课程说明 1．课程基本情况 （中文）近世代数 （英文）Abstract Algebra 专业必修课 2．适用专业：数学与应用数学

适用对象：本科 3．首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订 本。 二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。 4.考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。 三、教学安排 《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。 学时分配 四、教学环节 该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。 第二部分教学内容和教学要求 一、基本概念 (一)、教学内容 集合：子集与真子集，并集、交集。 映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。 代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。 结合律：结合律的定义。

近世代数第9讲

置换群（pormutation group） 本讲的教学目的和要求：置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求： 1、弄清置换与双射的等同关系。 2、掌握置换一轮换一对换之间的联系和置换的奇偶性。 3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要 把握。 4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的 是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征一置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais（1811 -1832）在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 一.置换群的基本概念 定义1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。 有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含 有n个元素的有限群A的全体置换作成的群，叫做n 次对 称群。通常记为S n. 明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n次对称群S n也就是有限集合A的完全变换群。 现以A a i ,a2 ,a3为例，设：A A是A的一一变换。即：a i a2, a2 a3, a3 a.利用本教材中特定的表示方法有： a i a2 , a? a3 , a3 a i. 由于映射中只关心元素之间的对称关系•而不在乎元素 的具体内容.故可证A 1,2,3 .故此.:1 2, 2 3, 3 1.稍 1 2 3 做修改：：

近世代数--第三章小结

近世代数--第三章小结LT

= ≠,0（左消去） c a= ⇒ b ac ab ⇒ ≠,0（右消去） a= = ba c b ca 在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环 没有零因子。 推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么 另一个消去律也成立。 整环的定义：一个环R叫做一个整环，假如满足： ①R是交换环：ba ab= ②R是单位环，有单位元1：a a =1 1 a= ③R是无零因子环（满足消去律）： =b ab或 ⇒ a = 0= 这里b a,可以是R中的任意元。 第二节除环、域 除环的定义：一个环R叫做一个除环，假如满足： ①R中至少包含一个不等于零的元 ②R中有一个单位元 ③R的每一个不等于零的元都有一个 逆元 域的定义：一个交换除环叫做一个域。 除环和域的几个重要性质： ⑴除环没有零因子（满足消去律） ⑵一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成

的群}{0-=''R R ，叫做R 的乘群。 因为 ① 封闭性R ab b a ''∈≠≠≠∀0,0,0则 ② 满足结合律 ③ 有单位元R ''∈≠01 ④ 有逆元R a a ''∈≠∃≠∀-0,01 第三节 环的特征 定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。 定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。 第四节 子环 子环的定义：一个环R 的一个子集S 叫做R 的 一个子环，假如S 本身对于R 的 代数运算来说作成一个环。 一个环R 的一个子集S 叫做R 的 一个子除环，假如S 本身对于R 的代数运算来说作成一个除环。 第五节、同态 同态的定义：（•+,,R ）（•+,,R ）环， f ：R R →映射， 若满足下列条件： ①()()()b f a f b a f R b a =+∈∀,,

近世代数基础 第五章 扩域

第五章 扩域 ● 课时安排 约2课时 ● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 154151-p ） 在这一章里我们要对于域做一些进一步的讨论。我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域做一些讨论。 §5.1 扩域、素域 我们先说明一下，研究域所用的方法。 定义 一个域E 叫做一个域F 的扩域（扩张），假如F 是E 的子域。 我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的。研究域的方法就是：从一个给定的域F 出发，来研究它的扩域。 这就有如何选择域F 的问题。我们有以下的事实。 定理1 令E 是一个域。若E 的特征是∞，那么E 含有一个与有理数域同构的子域；若E 的特征是素数p ，那么E 含有一个与)(p R 同构的子域，这里R 是整数环，（p ）是由p 生成的主理想。 证明：域E 包含一个单位元e 。因此E 也包含所有ne （n 是整数）。令R '是所有ne 作成的集合。那么 φ： ne n −→− 显然是整数环R 到R '的一个同态满射。 情形1 E 的特征是∞。 这时φ是一个同构映射： R R '≅ 但E 包含R '的商域F '。由Ⅲ，10，定理4，F '与R 的商域，也就是有理数域同构。 情形2 E 的特征是素数p 。这时 /R µR '≅ 此处µ是φ的核。但 p pe −→−=0 所以p ∈µ，因而µ)(p ⊃。由Ⅳ，3，引理2，)(p 是一个最大理想。另一方面01≠−→− e 所以R ≠μ，而µ=)(p ，因而 /R （p ）R '≅ 有理数域和/R （p ）显然都不含真子域。 定义 一个域叫做素域，假如它不含真子域。 由定理1知道：一个素域或是与有理数域同构，或是与/R （p ）同构。因此定理1的另一形式是