近世代数的基础知识

近世代数的基础知识

初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数

3．1．1 集合

集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：

{}c b a A ,,=；

{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：

整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；

非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*

Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；

有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用∞=A 表示A 是无限集，∞

3．1．2 映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A ，B 为两个非空集合，若存在一个A 到B 的对应关系f ，使得对A 中的每一个元素x ，都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作y=f(x)。

y 称为x 的像，x 称为y 的原像，A 称为f 的定义域，B 称为f 的定值域。

定义2 设f 是A 到B 的一个映射

(1) 若A x x ∈∀21,和21x x ≠均有)()(21x f x f ≠，则称f 是一个单射。

(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(，则称f 是满射。

(3) 若f 既是单射又是满射，则称f 是双射。

3．1．3 二元运算

3．1．3．1 集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A ，B 是两个非空集合，由A 的一个元素a 和B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对（a,b ），所有这样的元素对构成的集合，称为A 与B 的笛卡儿积，记作B A ⨯，即{}

B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S 是一个非空集合，若有一个对应规则f ，对S 中每一对元素a 和b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应，即f 是S S S →⨯的一个映射，则此对应规则就称为S 中的一个二元运算，并表示为c b a =∙，其中“∙”表示运算符，若运算“∙”是通常的加法或乘法，b a ∙就分别记作b a +或ab 。

由定义可见，一个二元运算必须满足：

(1) 封闭性：S b a ∈∙；

(2) 唯一性：b a ∙是唯一确定的。 定义5 设S 是一个非空集合，若在S 中定义了一种运算∙（或若干种运算+，∙，⨯等），

则称S 是一个代数系统，记作（S ，∙）或（S ，+，∙）等。

3．1．3．2 二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6 设A ，B 是两个集合，若规定一种规则R ：使对A a ∈∀和对B b ∈∀均可确定a 和b 是否适合这个规则，若适合这个规则，就说a 和b 有二元关系R ，记作aRb ，否则

就说a 和b 没有二元关系R ，记作b R a '。

3．1．2．3 等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7 设～是集合A 上的一个二元关系，满足以下条件：

(1) 对A a ∈∀，有a ～a ； （反身性）

(2) 对A b a ∈∀,，有a ～b b ⇒～a ； （对称性）

(3) 对A c b a ∈∀,,，有a ～b 和b ～c a ⇒～c 。 （传递性）

则称～为A 中的一个等价关系。子集{}

a x A x x a ~,∈=即所有与a 等价的元素的集合，称为a 所在的一个等价类，a 称为这个等价类的代表元。

例如：设n 是一取定的正整数，在整数集合Z 中定义一个二元关系)(mod n ≡如下： )()(mod b a n n b a -⇔≡，

这个二元关系称为模n 的同余（关系），a 与b 模n 同余指a 和b 分别用n 来除所得的余数相同。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作{}

)(mod ,n a x Z x x a ≡∈=称为一个同余类或剩余类。

3．1．4 整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。

3．1．4．1 整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理 设Z b a ∈,，0≠b ，则存在唯一的整数q ，r 满足： b r r qb a <≤+=0,。

当0=r 时，称a 能被b 整除，或b 整除a ，记作a b ；当0≠r 时，称a 不能被b 整除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理 每一个不等于1的正整数a 可以分解为素数的幂之积：

s s p p p a εεε 2121=，

其中s p p p ,,,21 为互不相同的素数，),2,1(,s i Z i =∈+ε。除因子的次序外分解式是唯

一的。此分解式称为整数的标准分解式。

3．1．4．2 最大公因子和最小公倍数

设Z b a ∈,，不全为0，它们的正最大公因子记作),(b a ，正最小公倍数记作[]b a ,。 设+

∈Z b a ,，由算术基本定理可将它们表示为：

s x s x x p p p a 2121=，

s y s y y p p p b 2121=， 其中s p p p ,,,21 为互不相同的素数，i x ，),,2,1(s i y i =为非负整数，某些可以等于0。令：

{}),,2,1(,m in s i y x i i i ==α，

{}),,2,1(,m ax s i y x i i i ==β，

则

s s p p p b a α

αα 2121),(=， []s s p p p b a β

ββ

2121,=， 且有 []b a b a ab ,),(∙=。

最大公因子还有以下重要性质：

最大公因子定理 设Z b a ∈,，b a ,不全为0，),(b a d =，则存在Z q p ∈,使

d qb pa =+。

3．1．4．3 互素

若Z b a ∈,，满足1),(=b a ，则称a 与b 互素。关于整数间的互素关系有以下性质：

(1)Z q p b a ∈∃⇔=,1),(，使1=+qb pa 。 (2)bc a 且c a b a ⇒=1),(。

(3)设Z b a ∈,，p 为素数，则有：a p ab p ⇒或b p 。

(4)1),(=b a ，1),(1),(=⇒=bc a c a 。 (5)c a ，c b 且c ab b a ⇒=1),(。

(6) 欧拉函数：设n 为正整数，)(n ϕ为小于n 并与n 互素的正整数的个数，

小于n 并与n 互素的正整数的集合记为：{}

)(2,,,1n n r r P ϕ =。

若n 的标准分解式为：

s s p p p n εεε 2121=， 则

)11()11)(11()(21s

p p p n n ---= ϕ。 3．2 群

近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。

3．2．1 群的基本概念

定义1 设G 是一个非空集合，若在G 上定义一个二元运算∙满足：

(1)结合律：对G c b a ∈∀,,，有)()(c b a c b a ∙∙=∙∙。则称G 是一个半群，记作),(∙G 。若),(∙G 还满足：

(2)存在单位元e 使对G a ∈∀，有a e a a e =∙=∙；

(3)对G a ∈∀有逆元1-a ，使e a a a a =∙=∙--11，则称),(∙G 是一个群。

当二元运算“∙”为通常的加法时，),(∙G 称为加法群或加群；当二元运算“∙”为通常的乘法时，),(∙G 称为乘法群或乘群。

定义中条件(2)可改为：有一个左单位元L e （或右单位元R e ），使a a e L =∙（或a e a R =∙），对G a ∈∀成立。因为由此可推出R R L L e e e e =∙=。

定义中条件(3)可改为：对G a ∈∀，有一个左逆元1-L a （或右逆元1-R a ），使

e

a a L =∙-1（或e a a R =∙-1）成立。因为由此可推出11111111)()(--------=∙=∙∙=∙∙=∙=R R R L R L L L a a e a a a a a a e a a 。

定理1 半群),(∙G 是群的充要条件是：对G b a ∈∀,，方程b ax =和b ya =在G 中均有解。

定理2 半群),(∙G 是群的充要条件是左、右消去律都成立：

y x ay ax a =⇒=≠,0，

y x ya xa a =⇒=≠,0。

如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群),(∙G 适合交换律：

对G b a ∈∀,，有a b b a ∙=∙，则称G 为可换群或阿贝尔(Abel)群。

通常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。

如果一个群G 是个有限集，则称G 是有限群，否则称为无限群。G 的元素个数G 称为群的阶。

元素的倍数和幂定义为：

a

n a a a na 个+++=，

a

n n a a a a 个∙∙∙=， n 为正整数，并规定e a =0

。且有：

nab nb a b na ==)()(，m n m n a a a +=，nm m n a a =)(，当ba ab =时有n n n b a ab =)(。 满足a a =2的元素称为幂等元，满足+

∈=Z n a n ,0的元素称为幂零元。 例1：{}1,,2,1,0-=n Z n 是整数模n 的同余类集合，在n Z 中定义加法（称为模n 的加法）为b a b a +=+。

由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设21a a =，21b b =，则有)(21a a n -，[][]2

2112211212121)()()()()(b a b a b a b a n b b a a n b b n +=+⇒+-+⇒-+-⇒-

所以模n 的加法是n Z 中的一个二元运算。显然，单位元是0，n Z k ∈∀，k 的逆元是k n -。所以),(+n Z 是群。

例2：设{}1),(,=∈=*n k Z k k Z n n ，在*

n Z 中定义乘法（称为模n 的乘法）为ab b a =∙。 对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由*

∈n Z a ，*∈n Z b 得出*∈n Z ab 并不明显。 先证封闭性：因为由1),(,=⇒∈*

n a Z b a n 和1),(1),(=⇒=n ab n b ，所以*∈n Z ab 。 再证唯一性：设21a a =，21b b =，则有)(21a a n -， []2

2112211122212221112212211212121)()]()()[()()()()(b a b a b a b a n b b a b a a b a b a n b a b a b a b a n b b a a n b b n =⇒-⇒-+-+-⇒--+⇒-∙-⇒-所以模n 的乘法是*n Z 中的一个二元运算。

结合律显然满足。单位元是1。对*∈∀n Z a ，由1),(=n a 知Z q p ∈∃,，使1=+qn pa ，

因而有)(mod 1n pa ≡，即1==∙pa a p ，所以p a =-1，即*

n Z 中每一元素均有逆元。综上，*

n Z 对模n 的乘法构成群。 *n Z 的阶数为)(n ϕ—欧拉函数：小于n 并与n 互素的正整数的个数。

3．2．2 群的基本性质

(1)群中单位元是唯一的

证明：设G 中有两个单位元1e 和2e ，则有：2211e e e e =∙=，所以单位元是唯一的。 在不致混淆的情况下，单位元简记为1。

(2)群中每个元素的逆元是唯一的

证明：设G a ∈∀，a 有两个逆元G a ∈-11和G a ∈-12，则有：

1

212121112111111)()(--------=====a ea a a a aa a e a a ，所以a 的逆元是唯一的。 的逆元有以下性质：

(1)a a =--11)(；

(2)若b a ,可逆，则ab 也可逆，且有111)

(---=a b ab ； (3) 若a 可逆，则n a 也可逆，且有n n n a a a ---==)()(11。

3．2．3 子群

定义2 设S 是群G 的一个非空子集，若S 对G 的运算也构成群，则称S 是G 的一个子群，并记作：G S ≤。

当G S ≤且G S ≠时，称S 是G 的真子群，记作G S <。

定理3 设S 是群G 的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：

(ⅰ)S 是G 的子群；

(ⅱ)对S b a ∈∀,，有S ab ∈和S a

∈-1； (ⅲ)对S b a ∈∀,，有S ab

∈-1。

3．2．4 元素的阶

定义3 设G 是有限群，G a ∈，可以证明一定存在最小的正整数n 使： e a n = (1)

成立，n 称为a 的阶或周期，记作o(a )。若没有这样的正整数存在，则称a 的阶是无限的。

由定义3可知，单位元的阶是1。

在加群中，式(1)变为：

0=na (2)

定理4 设G 是群，G a ∈，则：

m a o a m )(1⇔=。

关于元素的阶还有以下重要结果：

(1) 有限群中每一个元素的阶是有限的；

(2) 设G 是群，G b a ∈,，m a o =)(，n b o =)(，若1),(=n m 和ba ab =，则mn ab o =)(；

(3) 设G 是群，若除单位元外其它元素都是2阶元，则G 是Abel 群。

3．2．5 循环群和生成群

设G 是群，G a ∈，令：

{}Z k a H k ∈=，

因为H a a k k ∈∀21,，有H a a a k k k k ∈=--21211)(，所以H 是G 的子群，此子群称为由a 生成的循环子群，记作>

循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。

定义4 设S 是群G 的一个非空子集，包含S 的最小子群称为由S 生成的子群，记作>

如果>=

定义5 设（G ，·）是一个群，G H ≤，G a ∈，则H a ∙称为H 的一个左陪集，a H ∙称为H 的一个右陪集。

定义6 设G 是群，G H ≤，H 在G 中的左（右）陪集个数称为H 在G 中的指数，记作]:[H G 。

当G 是有限群时，则子群的阶数与指数也都是有限的，它们有以下关系：

定理5（拉格朗日(Lagrange)） 设G 是有限群，G H ≤，则：

]:[H G H G ∙=

这就是说，有限群G 的子群的阶是群G 的阶的一个因子。

由拉格朗日定理立即可得如下推论：

(1) 设G 是有限群，G H ≤，则G H ；

(2) 当∞

(3) 若p G =(素数)，则p C G =(p 阶循环群)，即素数阶群必为循环群。

3．3 环

环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统。

定义1 设A 是一个非空集合，在A 中定义两中二元运算，一种叫加法，记作+，另一种叫乘法，记作·。且满足：

(1)（A ，+）是一个可换群；

(2)（A ，·）是一个半群；

(3)左、右分配律成立，对A c b a ∈∀,,，有：

ac ab c b a +=+)(，bc ac c b a +=+)(

则称代数系（A ，+，·）是一个环。

例：设{}

1,,2,1,0-=n Z n 是整数模n 的同余类集合，在n Z 中定义加法和乘法分别为模n 的加法和乘法：b a b a +=+，ab b a =∙。在前面我们已经知道),(+n Z 是群，

),(∙n Z 是半群。下面我们证明分配律成立：

ac ab ac ab c b a c b a c b a +=+=+=+=+)()()(。类似有bc ac c b a +=+)(，所以),,(∙+n Z 是环，称为整数模n 的同余类（或剩余类）环。

如果环（A ，+，·）对乘法也是可交换的，则称A 是可换环。

设（A ，+，·）是一个环，加群（A ，+）中的单位元通常记作0，称为零元。元素a 在加群中的逆元记作a -，称为负元。环中的单位元指乘法半群（A ，·）中的单位元，记作1。一个元素a 的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，记作1-a 。

定义2 设A 是一个环，A b a ∈,，若0=ab ，且0≠a 和0≠b ，则称a 为左零因子，b 为右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。

定义3 设（A ，+，·）是环

若}0{≠A ，可交换，且无零因子，则称A 是整环。

若A 满足：(1)A 中至少有两个元0和1（即环中有单位元）；(2)}0{\A A =*构成乘法群。则称A 是一个除环。

若A 是一个可换的除环，则称A 是域。

在前述例子中，当n 不是素数时，Z n 中有零因子，因而不是整环，但当n 是素数时，Z n 是域。

定理1 ),,(∙+n Z 是域的充要条件是n 是素数。

环中无左（右）零因子的充分必要条件是乘法消去律成立。因此，在整环中，乘法消去律成立。

定理2 一个非零的有限的无左（右）零因子环是除环。

推论 有限整环是域。

定义4 设A 和A '是两个环，若有一个 A 到A '的映射f 满足：对任何A b a ∈,有：

)()()(b f a f b a f +=+，

)()()(b f a f ab f =，

则称f 是一个A 到A '的同态。

如果f 是单射，则称f 是一个单同态。

如果f 是满射，则称f 是一个满同态。

如果f 是双射，则称f 是A 到A '一个同构映射，A 和A '称为同构。

3．4 域

3．4．1 素域和域的特征

域是环的一种，如果一个环至少含有0和1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非零元构成乘法群，则此环称为除环，可交换的除环为域。

在一个除环中，由于非零元素构成群，消去律成立，因而除环中无零因子。同样，域中也无零因子，因而域必须是整环。

如果一个域F 是个有限集，则称F 是有限域，否则称为无限域。F 的元素个数F 称为域的阶。

定理1 设F 是域，则元素1在(F ，+)中的阶数或为某个素数p ，或为无穷大。

定义1 设F 是域，若元素1在(F ，+)中的阶数为素数p ，则称p 为域F 的特征。若元素1在(F ，+)中的阶数为无穷大，则称F 的特征为0，F 的特征记作chF 。

关于域有以下的结论：

(1)若chF=0，则F 是无限域。若F 是有限域，则chF 是某个素数。

(2)若F 是特征为p 的域，则：

(ⅰ)对任何F a ∈，有0=pa ；

(ⅱ)对任何*∈F a (*F =F\{0})，且ma na =，则)(mod p m n =；

(ⅲ)对任何F b a ∈,，有m m m p p p b a b a +=+)(，m 为任意正整数。

(3)*∈∀Z n ，p 为素数，且n 不能被p 整除，则有：)(m od 11p n

p ≡-。 (4)域F 的乘群),(∙*F 的任何有限子群都是循环群。

3．4．2 子域与扩域

定义2 设(K ，+，·)是域，F 是K 的非空子集，且(K ，+，·)也是域，则称F 是K 的子域，K 是F 的扩域，记作F ≤K 。

设S 是域F 中的一个非空子集，则包含S 的最小子域，称为由S 生成的子域，记作。由元素1生成的子域称为素域。

3．4．3 扩张次数、代数元和超越元

设F 是域，K 是F 的扩域，由于对任何K u u ∈21,和对任何F b a ∈,，有K bu au ∈+21，我们可以把K 中元素看作向量，则21bu au +是向量1u 与2u 在F 上的线性组合，从而K 是F 上的一个向量空间或线性空间，此空间的维数就称为K 对F 的扩张次数，记作(F K :)。当(F K :)有限时，称K 是F 上的有限扩张，否则称为无限扩张。

扩张次数反映了扩域与子域之间的相对大小，但还没有反映它们的元素在性质上的差别。我们对域中的元素作以下的分类：设K 是F 的扩域，u ∈K ，若u 是F 上的一个多项式f(x)的根，则称u 是F 上的代数元，否则称为超越元，多项式f(x)称为u 的化零多项式， F 上次数最低的首1多项式的根，称为u 在F 上的最小多项式。

设u 在F 上的最小多项式为m(x)，且deg[m(x)]=r ，则称u 是F 上的r 次代数元。有理数域Q 上的代数元称为代数数，Q 上的超越元称为超越数。

设K 是F 的扩域，若K 中的每一元素都是F 上的代数元，则称K 是F 上的代数扩张域，否则，称K 为F 上的超越扩张域。

3．4．4 有限域

具有有限个元素的域，称为有限域。一个有限域的特征必然是某个素数p ，即chF=p ，F 的素域为Z p ，设F 对Z p 的扩张次数为n ，即(F:Z p )=n ，因为F 是Z p 上的n 维线性空间，存在一组基n u u u ,,,21 使{}

)1(,2211n i Z a u a u a u a F p i n n ≤≤∈+++= ，所以F 中元素个数（即F 中元素在基n u u u ,,,21 下坐标组的个数）为：n n p p p p =∙∙∙ 个。

这就是说，有限域的阶为特征之幂。

有限域又称为伽罗瓦（Galois ）域，将n p 阶有限域记作)(n

p GF 。

3．4．5 有限域元素的性质 )(n p GF 的非零元的集合*)(n p GF 是一个乘群，具有以下性质：

定理2 *)(n p GF 是一个1-n p 阶循环群。*

)(n p GF 的生成元又叫本原元。

定义3

(1)乘群*)(n p GF 中1-n p 阶的元素α称为域)(n p GF 的n 次本原元。)(n p GF 的n 次本原元α在p Z 上的最小多项式称为p Z 上的n 次本原多项式。

(2)若α是方程01=-r x 的根，但不是任何)(01r h x h

<=-的根，则称α是r 次本原单位根或单位原根。

由以上定义可以看出，)(n p GF 上的n 次本原元就是乘群*)(n p GF 的生成元，也是

1-n p 次本原单位根（即11=-n p α

），可以通过本原元把)(n p GF 表示的更简单一些。设α是)(n p GF 的一个n 次本原元，则)(n p GF 又可表示为：

{}12,,,,0)()(-==n p p n Z p GF αααα 。

定理3 任何两个元素个数相同的有限域是同构的。

两个同构的域，如果不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看作一个域。

伽罗瓦（Galois ）域)(),(∞

第一种：包含q=p 个元素，p 为一个素数，这种域同构于整数模p 的同余类域Z p 。例如：若在集合{}

1,,2,1,0-=p Z n （p 为素数）中定义模p 加法和模p 乘法,则Z n 是域)(p GF 。

第二种：包含n p 个元素，p 为素数，n 为大于或等于2的整数，称为)(p GF 的扩域)(n p GF 。

)2)((≥n p GF n 可看成一个多项式环，多项式的最高次数为(n-1)，多项式的系数为Z p 的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其中，f(x)为Z p 上的任一个n 次不可约多项式（即f(x)的所有根都不在Z p 上），则这个多项式环就是有限域)(n

p GF 。

例 设F[x]是数域F 上的多项式环

例 构造一个8阶的域。

解 因为328=，则p=2，{}1,02=Z ，取][1)(23

2x Z x x x q ∈++=，由于0)1(,0)0(≠≠q q ，故)(x q 在2Z 上不可约，所以2Z 上的扩域：

{}{}2222221021,,1,,1,,1,0,))(/(x x x x x x x x Z b x b x b b x q Z E p i +++++=∈++== 就是一个8阶的有限域。

有限域还具有以下的性质：

(1)若F 是有限域，则F 的特征(characteristic)chF 是某个素数。

(2)若F 是特征为p 的域，则：

(ⅰ)对任何F a ∈，有0=pa ；

(ⅱ)对任何{}()

0\F F F a =∈**，且ma na ≡，则)(mod p m n ≡； (ⅲ)对任何F b a ∈,，有n n n p p p b a b a +=+)

(，n 为任意正整数。 (3){}()0\Z Z Z n =∈∀**，p 为素数，且p ∤n ，则有：)(m od 11p n p ≡-。

(4)域F 的乘群),(⋅*F 的任何有限子群都是循环群。

以下给出有限域性质(5)～(14)的证明，性质(1)～(4)的证明参看文献[12][13][15]。

(5)3),(>q q GF 中含有)1(-q ϕ个本原元，ϕ表示欧拉ϕ函数，且)1(-q ϕ一定为偶数。

证明 设)1(-q 的标准分解式为[29]：

r m r m m p p p q 2121)1(=-，

式中：r p p p ,,,21 为互不相同的素数，),2,1(,r i Z m i =∈+。则：

)1()1()11()11)(11)(1()1(1111211--=----=---r m r m r

p p p p p p p q q r ϕ (A-1)

注意到)1(-q 一定为正偶数，设+∈=-Z k k q ,

2)1(。因为3>q ，所以： ①若+∈=Z k k k 11,

2，则122)1(k q =-，所以)1(-q ϕ一定为2的倍数，即)1(-q ϕ一定为偶数；

②若+∈+=Z k k k 22,12，则)12(2)1(2+=-k q ，所以r p p p ,,,21 中至少有一

个不为2的素数，即r p p p ,,,21 中至少有一个为奇数，所以)1(-q ϕ一定为2的倍数，即)1(-q ϕ一定为偶数。

综上，)1(-q ϕ一定为偶数。(1))(q GF 中含有)1(-q ϕ个本原元，ϕ表示欧拉ϕ函数。

例 对)101(GF ，因为22521001101==-，故40)15)(12(52)100(1

1=--=ϕ， 所以)101(GF 具有40个本原元。

(6)2),(≠q q GF 中含有的本原元最多为2)1(-q 个，当且仅当+∈+=Z k q k ,

12时，本原元的个数达到最大值2)1(-q 。

证明 因为q 为大于或等于2的素数。

①当q=2时，)2(GF 中含有一个本原元—1。

②设q 为大于2的奇数，则(q-1)为偶数。所以与(q-1)互素的正整数必须为奇数，而小于(q-1)的奇数个数为2)1(-q ，这样小于(q-1)并与(q-1)互素的个数一定小于或等于2)1(-q ，即2)1()1(-≤-q q ϕ。

所以，2),(≠q q GF 中含有的本原元个数最多为2)1(-q 个。

当12+=k q 时，k q 2)1(=-，2)1()211)(1()1(-=--=-q q q ϕ，即)(q GF 中含有的本原元达到最大值2)1(-q 。

若)(q GF 中含有的本原元达到最大值2)1(-q ，即2)1()1(-=-q q ϕ，由此可推出：)11)(1()1(1p q q --=-ϕ，且21=p ，即12+=k q 。

(7)设α为)(q GF 的本原元，则：12)1(-=-q α。

证明 因为α为)(q GF 的本原元，所以α的阶为(q-1)，即(q-1)是使1)1(=-q α

的最小正整数。

由1)1(=-q α，可得12)1(±=-q α。若12)1(=-q α，与(q-1)是使1)1(=-q α的最小正整数矛盾，所以12)1(-=-q α。

(8) 设α为)(q GF 的本原元，则：1-α也是)(q GF 的本原元，且21--=q αα

。 证明 因为α为)(q GF 的本原元，所以α的各次幂（)1(,,2,1,-=q k k α）生成

)(q GF 的所有非零元素，这些非零元素构成循环群，所以k α的逆元1)(-k α存在且唯一。又因为k α的逆元为k )(1-α

，所以每个k )(1-α存在且唯一。即1-α的各次幂生成)(q GF 的所有非零元素，所以1

-α

也是)(q GF 的本原元。 因为 112==--q q ααα (A-2) 所以

21--=q αα (A-3)

(9)设η为)(q GF 中的非零元素，则：11=-q η。

证明 设)(,q GF ∈ηα，α为本原元，η为任意非零元素，且：

{})1(,,2,1,-∈=q k k αη (A-4) 得到：

11)()(111====---k k q q k q ααη (A-5)

(10)设α和β为)2)((>q q GF 的本原元，则：

m αβ=，)1(1-≤≤q m ，且m 为奇数。

特别地，若α为)(q GF 的本原元， {})1(21,,,1--=q q r r P ϕ 为小于(q-1)并与(q-1)互

素的正整数的集合，则：)(q GF 的所有本原元可表示为：)1(2,,,1-q r r ϕααα ，即

1,-∈q k P k α。

证明 假设)(2+∈Z n n α为)(q GF 的本原元，则：

1)()()1(2)1(2==--n q q n αα，当 q>2时，这与性质(7)是矛盾的（在)2(GF 中，)2(mod 11≡-，但这种情况只出现在)2(GF 中）。因此，当 q>2时，)(q GF 中的一个本原元不能是另一个本原元的偶次幂。即)(q GF 中的一个本原元只能是另一个本原元的奇次幂。即：

m αβ=，)1(1-≤≤q m ，且m 为奇数。

设11-<

∈-=Z l q l rn ),1(，则：

1)()1(===-q l rn n r ααα，因为1-

另外，设)1(1-<≤q r ，且1-∈q P r ，n 是使1)(=n r α的最小正整数，则n 等于(q-1)，即r α的阶为(q-1)，所以r α是本原元。

所以)(q GF 的所有本原元可表示为：1,

-∈q k P k α，即)(q GF 中含有)1(-q ϕ个本原元。

(11)有限域)(q GF 中，具有λϕ2)1(=-=Φq 个本原元，其中，ϕ为欧拉ϕ函数，λ为正整数。所有λ2个本原元可分为两组，设为)(Ⅰα和)(Ⅱα，每组λ个元素，这两组的元素之间可用某个幂指数n(1

证明 设α为)(q GF 的本原元，{})1(21,,,1--=q q r r P ϕ 为小于(q-1)并与(q-1)互素的正整数的集合，由有限域性质(10)可知，)(q GF 的所有本原元可表示为：1,-∈q k P k α。

设{

}{})1(21,,1\--=∈q q r r P n ϕ ， 由1)1,(,1)1,(=-=-q n q k ，可得：

{} ,2,1,0,1))1((1,1)1),1((∈-<--⋅≤=---⋅m q q m n k q q m n k ，所以n k q m n k ⋅--⋅=αα)1(为本原元。设21121,,k k P k k q ≠∈-，则：

{} ,2,1,0,),1()1(212211∈--⋅≠--⋅m m q m n k q m n k ，即：n k n k ⋅⋅≠21αα。

以上证明表明，有限域)(q GF 中任一本原元的n （{

}1\1-∈q P n ）次幂为本原元，任一本原元一定是某个本原元的n （{

}1\1-∈q P n ）次幂。 若()

ααα==2n n n ，则α和n α称为一对本原元。这样的n 是不是存在呢？ 由于-1·(q-2)+1·(q-1)=1，所以(q-2,q-1)=1。当n=q-2时，n 2=(q-2)2=(q-1)(q-3)+1， )3(,1)3()1(2>==+-⋅-q q q n ααα。事实上，此时α和n α为一对互逆的本原元。除了

n=q-2外，只要满足{} ,2,1,

1)1(2∈+-⋅=m q m n ，{}{})1(21,,1\--=∈q q r r P n ϕ 时，就可使得αα=2n 成立。

由有限域性质(5)可知，在有限域)(q GF 中，具有λϕ2)1(=-=Φq 个本原元，其中，ϕ为欧拉ϕ函数，λ为正整数。由上面讨论可知，当n 2=m(q-1)+1,m ∈{1,2,…}时，)(q GF 中具有λ对类似于α和n

α这样的本原元对。此外，若)(q GF 中本原元通过幂指数n 能依次形成首尾相连的形式，此时所有本原元也可分为两组，每组λ个元素，两组的元素可用幂指数n 来联系。由此可得如下结论：

有限域)(q GF 中，所有λ2个本原元可分为两组，设为)(Ⅰα和)(Ⅱα，每组λ个元素，这两组的元素之间可用某个幂指数n(1

λαα≤≤=i n i Ⅰi Ⅱ1),(,)(。若幂指数n 改变值，则Ⅰ组与Ⅱ组对应的元素对会发生改变，但每组的元素个数不变，都为λ。

(12)设q=2e+1，e 为偶数，α为)(q GF 的本原元，则1+=e α

β是)(q GF 的本原元，且αβ=+1e 。

证明 因为α为)(q GF 的本原元，1+=e αβ，所以)(q GF ∈β。又，e 为偶数，所

以1)1,2(=+e ，由于1)1,(1)1(11=+⇒=+⋅+⋅-e e e e ，所以1)1,2(=+e e ，即)1(+e 与)1(-q 互素，且121-=<+q e e ，所以由性质(10)可知1+=e α

β是)(q GF 的本原元。 因为e 为偶数，设k e 2=，则1421===-k e q ααα，所以

()()αααααααβ=⋅=====++++++++141)1(4)12()1(11122k k k k k e e e e

(13)设α和β为)(q GF 的本原元，η为)(q GF 的任意非零元，若k αβ=，则：

ηηαβlog log =k

证明 设{})1(,,2,1,-∈=q n n βη，即：n =ηβl o g 。但k αβ=，所以kn n k ααη==)(。

得：

ηαlog =kn (A-6) 即：

ηηαβlog log =k (A-7)

(14)设β为)(q GF 的本原元，a 和b 为)(q GF 的任意非零元，则：

b a ab βββlog log )(log +=

证明 设{})1(,,2,1,,,-∈==q n k b a n k ββ，即：n b k a ==ββlog ,log 。 因此：

n k n k ab +==ββ

β (A-8)

可得： b a n k ab βββlog log )(log +=+= (A-9) 附：

Abel 定理：

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识 初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合 集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。 设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。 不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。 一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ?”表示“x 不是集合A 的元”。 设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈?）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ?。若B A ?且A B ?，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ?，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ?。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： {}c b a A ,,=； {})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==* Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用∞=A 表示A 是无限集，∞

近世代数知识点

近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 ●Ａ的全体子集所组成的集合称为Ａ的幂集,记作2A. 1.2映射 ●证明映射: ●单射：元不同,像不同；或者像相同，元相同。 ●满射:像集合中每个元素都有原像。 Rｅｍark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 ●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般Ａ＊B不 等于B＊A. ●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系:1 自反性:?ａ∈A，ａa; 2 对称性：?a,ｂ∈R, ａｂ＝＞ｂa∈R; ３传递性：?ａ,ｂ,c∈R,a b,ｂ c ＝>a c∈R. Ｒemaｒk：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 ２．1 半群 1.半群=代数运算+结合律,记作(S，） Reｍarｋ: i．证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ｉｉ.若半群中的元素可交换，即a b=bａ，则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不 存在；若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元＝右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定ａ０=e. 3.逆元 i.在有单位元e的半群中,存在ｂ,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。 iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a２,则a1=a2,且为a的逆元。 4.子半群 i.设S是半群，≠ＴS,若T对S的运算做成半群,则T为Ｓ的一个子半 群 ii.T是S的子半群a,ｂT，有ab T ２.２群 1.群=半群＋单位元＋逆元=代数运算+结合律＋单位元+逆元 Remarｋ:ｉ. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群． ｉｉ. 加群=代数运算为加法＋交换群 iii．单位根群Ｕm={m=1｝，数域P上全体n阶可逆（满秩） 矩阵集合GＬ(n，P）,数域P上全体n阶的行列式为１的矩阵集合Ｓ Ｌ(ｎ,ｐ）. 2. 群=代数运算+结合律＋左(右)单位元+左(右）逆元 ＝代数运算+结合律＋单位元＋逆元 =代数运算+结合律+?a,ｂG,ax＝b,ya=b有解 3. 群的性质 i．群满足左右消去律 ii.设G是群,则?a,ｂG，ax=ｂ,ya＝ｂ在G中有唯一解 iｉi．e是G单位元?e２＝e iv.若G是有限半群,满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群Ｇ的阶,即群G中的元素个数，用表示。若为无限群,则=。 Ｒemａrk:i.克莱因四元群是一个Ａbel群 ii．四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 ２.3元素的阶 １. 定义：设G是一个群,aＧ,使得am＝e成立的最小正整数m称为元素a 的阶,记作＝ｍ;若ｍ不存在,则

近世代数知识题解答(张禾瑞)三章

近世代数习题解答 第三章 环与域 1 加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2 交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 1 1)()( 在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证 设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2 )]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2 ))((mna na ma =

近世代数知识点

近世代数知识点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 {（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B 不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元 i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

《近世代数教学大纲_(全文)》.docx

《近世代数》教学大纲 课程编号：100102 54学时3学分 一. 课程教学对象 综合性大学及高等师范院校数学专业本科高年级学生。 二. 课程的性质，0的和任务 近世代数学是现代数学的重要基础之一。本课程的任务是使学生掌握群、环、域的基本知识。通过这门课的学习，学生能有效地了解公理化思想体系，提高抽象思维和逻辑推理能力；同时能更有效地理解和掌握中学数学的代数体系。 三. 对先修课的要求 有一定的线性代数基础和集合论基础 四. 课程的主要內容、基本要求和学时分配 本课程总学时为54。分配如下： (一) 基本概念（6学时） 1集合（A） 2映射（A） 3代数运算（A） 4结合律（A） 5交换律（A） 6分配律（A） 7一一映射、变换(A) 8同态(A) 9同构、自同构(A) 10等价关系与集合的分类(A) (二) 群论（18学时） 1群的定义(A) 2单位元、逆元、消去律(A) 3有限群的另一定义(A) 4群的同态(A) 5交换群(A) 6置换群(A) 7循环群(A) 8子群(A) 9子群的陪集(A) 10不变子群、商群(A) 11同态与不变子群(A) (三) 环与域（16学时） 1加群、环的定义(A) 2交换律、单位元、零因子、整环(A) 3除环、域(A) 4无零因子环的特征(B) 5子环、环的同态(A)

6多项式环(B) 7理想(A) 8剩余类环、同态与理想(A) 9最大理想(A) 10商域(B) （四）整环里的因子分解（10学 时） 1素元、唯一分解(B) 2唯一分解环(B) 3主理想环(B) 4欧氏环(B) 5多项式环的因子分解(B) 6因子分解与多项式的根(B) (五) 扩域（4学时） 1扩域、素域（B） 2单扩域（C） 3代数域（C） 4多项式的分裂域（C） 5有限域（B） 五. 习题课（或讨论课）内容和要求以课本中的例题为主要内容，以启发和练习为主要手段。充分发挥学牛的解题积极 性。 /'、.实验内容和实验要求（无） 七. 主要教材及参考书 1张禾瑞，近世代数基础，高教出版社 2吴品三，近世代数，高教出版社 3熊全淹，近世代数，武汉大学出版社 4 N.Jacobson, Basic Algebra （I） 八. 说明： 本课程作为选修课，教学的重点应以群论为主。辅之以环论，了解域论。难点也是群的定义及其同态定理。教学中，应采用抽象与非抽象相结合的办法，突破学生的传统思维模式。 《模糊数学》教学大纲 课程编号：100112 学时54 一. 课程教学对象 综合性大学及高等师范院校数学专业本科高年级学生。 二. 课程的性质，目的和任务 模糊数学这门学科作为新学科的代表，六十年代中期才刚刚兴起。它的财产生引起了世界各国的极大关注。它的应用几乎渗透到社会生活的各个领域，有着极强的实用性。希望通过本课程的教学，使学生能掌握模糊数学的基本原理，基本方法，并能在生产实践中直接应用它。 三. 对先修课的要求 已学过数学分析，高等代数等数学基础课。 四. 课程的主要内容、基本要求和学时分配 本课程总学时为54…分配如下： （一）总论（2学时）要求 学分3

张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)

定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =) ( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68

子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈⇒∈∈∀-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）

数学中的近世代数学基础知识及其应用研究

数学中的近世代数学基础知识及其应用研究数学是自然科学的一部分，是研究数量、结构、空间以及变化等问题的学科。人类在掌握数学知识的同时，也在不断发现和探索其中的规律和奥妙。 其中，近世代数学作为数学的重要分支之一，其研究对象主要是代数结构。代数结构包括群、环、域等，它们是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域。 一、群论 群论是研究群的数学分支。群是一种代数结构，它包含一个集合和一个二元运算，满足结合律、封闭性、可逆性和恒等元素等性质。 群论的研究主要围绕群的性质展开，包括群的子群、同态、正规子群、陪集等概念。群的应用范围广泛，例如在密码学中，群论被用于构造加密算法，保障信息安全。 二、环论

环论是研究环的数学分支。环是一种代数结构，它包含两个二 元运算，加法和乘法，并满足加法和乘法的结合律、分配律、恒 等元素等性质。 环论的研究主要是探讨环的性质和结构，例如零因子、整环、 素环、主理想环等概念。环论的应用也非常广泛，例如在矩阵计算、编码理论和代数几何等领域均得到了广泛的应用。 三、域论 域论是研究域的数学分支。域是一种与环类似的代数结构，它 包含两个二元运算，加法和乘法，并满足加法和乘法的结合律、 分配律、恒等元素、可逆元素等性质。 域论探讨域的性质和结构，包括素域、代数闭域、有限域等。 域论在数论、代数几何、编码理论等领域中都得到了广泛的应用。 四、应用案例

近世代数学在应用上起到了重要的作用。在密码学中，群论被用于构造加密算法。最基本的群论应用是Diffie-Hellman密钥交换算法，它以计算离散对数为核心。 在编码理论中，代数几何和域论可以被用于构造纠错码和解码器，从而提高数字通信信道的可靠性。不同于传统纠错码，基于代数几何的码可以同时纠正多个误差，并可以通过调整码的几何结构来优化其性能。 在代数几何领域，域论在椭圆曲线密码学中得到了应用。椭圆曲线密码学是公钥密码学中一种基于数学难题的加密算法，其关键是椭圆曲线的离散对数问题。椭圆曲线的核心在于有限域上的运算，因此域论是构造过程中不可或缺的一部分。 总之，近世代数学作为数学中的重要分支之一，其研究对象主要是代数结构。群论、环论和域论都是代数结构的研究领域，它们广泛应用于密码学、编码理论和代数几何等领域中。随着科技的发展，近世代数学的应用将会继续扩展和深化，为各个领域的发展带来更多的机遇和挑战。

近世代数知识点

近世代数知识点 近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和 概念。在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。 一、群论 群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。一 个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单 位元和逆元这四个性质。群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物 理学中的对称性研究等。 二、环论 环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算 规则。一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结 合律、分配律等性质。环论的应用包括数论、代数几何等领域。 三、域论 域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数 结构。域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。域 论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。 四、线性代数 线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。向量空间是 一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。 线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。

五、域扩张 域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张 成一个更大的域。域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性 质等具有重要意义。 六、代数拓扑 代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方 法来分析拓扑空间。代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线 性动力系统等领域有重要应用。 七、泛函分析 泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数 学分支。泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。 近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了 重要的推动作用。它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的 思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。同时， 近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了 广泛的应用。 总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我 们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应 用打下坚实的基础。

近世代数基础知识点总结

近世代数基础知识点总结 近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。 一、群论 群是近世代数中最基本的代数结构之一。群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。 二、环论 环是一种比群更一般化的代数结构。环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。 三、域论 域是一种比环更一般化的代数结构。域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。域论的基本概念包括

子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。 四、线性代数 线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。 五、Galois理论 Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。 六、表示论 表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。表示论的基本概念包括线性表示、完全约简表示、幺正表示等，并且研究了表示的直和、直积和张量积等运算。表示论在物理学、几何学、数论等领域有着广泛的应用。 总结：

近世代数基础知识点总结

近世代数基础知识点总结 近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。 一、群 群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。 二、环 环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。 三、域 域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。 四、向量空间 向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向

量运算构成的代数结构。向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。 五、同态映射 同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。 六、理想 理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。 七、同余关系 同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。 八、域的扩张 域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的

近世代数前两章知识总结

近世代数前两章知识总结 近世代数论文 师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213 一、上半学期学习总结 第一章基本概念 1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或 2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n 个） 2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|a A，b B}叫A与B的积。（A ×B≠B×A） 3、A到B的对应法则为A到B的映射①，有象② ，的象唯一③，x的象在B中。 4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有 n！个。 5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。 （o为A×B到D的代数运算（a，b）A×B，a b有意义，且 a b唯一，属于D）。 6、满射：y，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且 x A，则为满射。（中的每一个元素都有原象）；单射：a，b A，若a≠b，则（a）≠（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B 有限且元素个数相同） 7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，

叫做A的一个置换。 8、一个A 到的映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到 的同态映射，假如满足：a,b A，a，b→则aob→（运 算的象=象的运算）；A与同态 A 与存在同态满射。 9、一个A 到的一一映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。 10、若R为法则，若R满足a，b A，要么aRb，要么a b，唯一确 定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足①反射律（a A，有a a）②对称律 ③推移律 11、A 的一个分类即为 A 的一些子集、、…满足：① =A.②=（i≠j）（不相交）。（集合A 的元 间的一个等价关系决定A的一个分类） 12、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b） 则a≡b（a与b同除n后余数相同）。若=则a≡b（n）即n|a-b。第二章群论 1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作 成一个群，假如：①乘法封闭。②结合律成立。③存在单位元。 ④逆元存在。 2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得=e成立的最小正整 数m，记为，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元的阶为1） 3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若=e则m∣n；②任何元素 与它的逆元同阶；③设G为一个群，a G，若a的阶为2，则a=；④

近世代数的基础知识

近世代数的根底知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数〔Classical algebra 〕，它的研究对象主要是代数方程和线性方程组〕。近世代数〔modern algebra 〕又称为抽象代数〔abstract algebra 〕，它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或假设干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是根底。下面，我们首先简要回忆一下集合、映射和整数等方面的根底知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元〞记作“A x ∈〞，反之，“A a ∉〞表示“x 不是集合A 的元〞。 设有两个集合A 和B ，假设对A 中的任意一个元素a 〔记作A a ∈∀〕均有B a ∈，那么称A 是B 的子集，记作B A ⊆。假设B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，那么称它们相等，记作B A =。假设B A ⊆，但B A ≠，那么称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： {}c b a A ,,=； {})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==* Z Z ； 正整数〔自然数〕集合{} ,3,2,1=+ Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否那么称

近世代数基础课后答案.docx

第一章基本概念 § 1 •集合 1. B CZ A9但F不是/的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解由题设以及真子集的定义得，力的每一个元都属于B,因此AczB.于是由 BuA AczB 得A-B•所以上述情况在A^B时才能出现. 2. 假定4uB, = ? 解(i〉由于ZuB,所以力的每一个元都属于即兄的每一个元都是虫和3的共同元，因而由交集的定义得 A<^.A{\B 但显然有 yin BuA 所以 虫门R = A (ii) 由并集的定义，A\)B的每一元素都属于/和号之一)但AuB,所以的每一元素都属于B 另一方面BczA{]B,所以=

§ 2 •映射 !• A= {1, 2,…，100} •找一个Ax A到川的映 射・ 解用（6 6）表示Ax A的任意元素，这里Q和b都属于力・按照定义做一个满足要求的映射即可，例如

•・.T・ 所以取 D = ｛所有不等于零的有理数｝普通除去就是一个Ax A到D的代数运算。 可以找得到一个以上的满足耍求的D.读者可以自己找几个. 2. b, c｝.规定虫的两个不同的代数运算・ 解(i〉我们用运算表来给出力的一个代数运算：o a b c a a a a b a a a c a a a 按照这个表9通过。，对于/的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a来，而Q仍属于所以。是力的一个代数运算. 这个代数运算也可以用以下方式來加以描述 o:(x, y) ------- a =xoy对一切％, y^A (15) 同理 O：(工，V)--- =xoy对一切％, y^A 也是虫的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算• 读者还应自己给出几个虫的代数运算. § 4.结合律 1- A = ｛所有不等于零的实数｝• o是普通除法: