近世代数第二章答案之欧阳歌谷创编
近世代数第二章群论答案
欧阳歌谷（2021.02.01）
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？
解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如
2.举一个有两个元的群的例。
解：令G=,e a
{},G的乘法由下表给出
首先，容易验证，这个代数运算满足结合律
(1) ()(),,
= ∈
x y z x y z x y z G
因为，由于ea ae a
==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义：
IV'G里至少存在一个右逆元1a-，能让
对于G的任何元a都成立；
V'对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元1a-，能让
解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2. 单位元、逆元、消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。 解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设
另一方面
于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得
所以G 是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。
考察1a -。我们有
设正整数 a e -，那么同上可得=m a e ，与n 是a 的阶的假设矛盾。这样，n 也是1a -的阶，易见1a a -≠。 否则 21==a aa e - 与>2n 的假设矛盾。这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a 和1a -。 设G 还有元b ，b a ≠，1b a -≠，并且b 的阶大于2。那么1b -的阶也大于2，并且1b b -≠。我们也有1b a -≠。 否则1111===e b b aa b a ---- 消去1b -得1=b a -，与假设矛盾。同样可证11=b a --。这样，除a 和1a -外，又有一对不同的阶大于2的元b 和1b -。 由于G 是有限群，而G 的阶大于2的元总是成对出现，所以G 里这种元的个数一定是偶数。 3.假定G是一个阶是偶数的有限群。在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。 解：由习题2知，G里阶大于2的元的个数是偶数。但G只有一个阶是1的元，就是单位元e。于是由于的阶是偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数。 4.一个有限群的每一个元的阶都有限。 解：令G是一个有限群而a是的任一元素，那么 不能都不相等。因此存在正整数i，j，i j，使i j a a =，用j a-乘两边，得 （1）i j -= a e 这样，存在正整数i j -，使（1）成立，因此也存在最小的正整数m，使m a e=，这就是说，元a的阶是m。 4.群的同态 假定在两个群G和G的一个同态映射之下，a a →。a与a的阶是不是一定相同？ 解：不一定。例如，令G是本章1中例2所给出的群而G是该节中例1所给出的的群。那么读者容易证明 →n是G的任意元 :φn g 是G到G的一个同态映射。但G的每一元0 n≠都是无限阶的，而g 的阶是1。 5.变换群 1.假定τ是集合A的一个非一一变换。τ会不会有一个左逆元1τ-使得1? -= ττε 解：可能有。例如令A ={所有正整数}，则 τ： 11→，1n n →-1n 显然是A 的一个非一一变换。而A 的变换 1τ-： 1n n →+n A ∈ 就能使1.ττε-= 2. 假定A 是所有实数作成的集合。证明，所有A 的可以写成 x ax b →+a 和b 是有理数， 0a ≠ 形式的变换作成一个变换群。这个群是不是一个变换群？ 解：令G 是由一切上述变换作成的集合。考察G 的任何两个元素 τ： x ax b →+a 和b 是有理数， 0a ≠ λ： x cx d →+c 和d 是有理数， 0c ≠ 那么 τλ： ()()x x ax b c ax b d τλλ→=+=++ 这里ca 和d cb +都是有理数，并且0ca ≠。 所以τλ仍属于G 。 结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立。 单位变换 ε： x x → 属于G 。 容易验证，τ在G 中有逆，即 1τ-： 1()b x x a a →+- 因此G 作为一个变换群。 但G 不是一个交换群。令 1τ： 1x x →+ 2τ： 2x x → 那么 12ττ： 122 ()(1)22x x x x τττ→=+=+ 21ττ： 211 ()(2)21x x x x τττ→==+ 3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合。我们暂时用符号 τ： '()a a a τ→= 来说明一个变换τ。证明，我们可以用 12ττ： 1212[()]()a a a ττττ→= 来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，ε还是S 的单位元。 解：令1τ和2τ是S 的任意两个元而a 是A 的任意一个元。那么2()a τ和12[()]a ττ都是A 的唯一确定的元。因此如上规定12ττ仍是S 的一个唯一确定的元而我们得到了一个S 的乘法。 令3τ也是一个任意元，那么 所以123123()()ττττττ=而乘法适合结合律。 令τ是S 的任意元。由于对一切a A ∍，都有()a a ε=， 所以 即εττετ==而ε仍是S 的单位元。 4. 证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换。 解：设G 是由某一集合A 的变换组成一个变换群，而ε是G 的单位元。任取G 的一个元τ和A 的一个元a 。由于εττ=，有 由于τ是A 的一个一一变换，所以a a ε=而ε是A 的恒等变换。 5. 证明，实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群. 解：这个题的解法很容易，这里从略。 6. 置换群 1. 找出所有3s 不能和123231⎛⎫ ⎪⎝⎭ 交换的元。 解：3s 有6个元： 123123⎛⎫ ⎪⎝⎭，123132⎛⎫ ⎪⎝⎭，123213⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 123231⎛⎫ ⎪⎝⎭，123312⎛⎫ ⎪⎝⎭，123321⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。 其中的 123123⎛⎫ ⎪⎝⎭，123231⎛⎫ ⎪⎝⎭，123312⎛⎫ ⎪⎝⎭=2 123231⎛⎫ ⎪⎝⎭ 显然可以和123231⎛⎫ ⎪⎝⎭交换。通过计算，易见其它三个元不能和123231⎛⎫ ⎪⎝⎭ 交换。 2. 把3s 的所有元写成不相连的循环置换的乘积。 解：123123⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1），123132⎛⎫ ⎪⎝⎭ =（2 3） 123213⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 2），123321⎛⎫ ⎪⎝⎭ =（1 3），123231⎛⎫ ⎪⎝⎭=（1 2 3） 123312⎛⎫ ⎪⎝⎭ =（1 3 2） 3．证明： （ⅰ）两个不相连的循环置换可以交换； （ⅱ） 解：（ⅰ）看的两个不相连的循环置换σ和τ。我们考察乘积στ使数字1，2，…，n如何变动。有三种情况。 （a）数字在σ中出现，并且σ把变成j。这时由于σ和τ不相连，j不在τ中出现，因而τ使j不变，所以στ仍把变成j。 （b）数字k在τ中出现，并且τ把k变成。这时不在σ中出现，因而σ使k不变，所以στ仍把变成。 （c）数字m不在σ和τ中出现。这时στ使m不动。 如上考察τσ使数字1，2，…，n如何变动，显然得到同样的结果。因此στ=τσ。 （ⅱ）由于，所以 4．证明一个循环置换的阶是。 解：一个循环置换π=的一次方，二次方，…，次方分别把变成。同理把 i变成2i,…,把变成。因此 2 。由上面的分析，若是，那么。这就证明了，π的阶是。 5．证明的每一个元都可以写成 （1 2），（1 3），…，（1 n） 这个循环置换中的若干个的乘积。 解：由于每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积，所以只须证明，一个循环置换可以写成若干个（1 ）形的置换的乘积。设π是一个循环置换。我们分两个情形加以讨论。 （a ） 1在π中出现，这时π可以写成 容易验算 （b ） 1不在π中出现，这时 §7.循环群 1． 证明，一个循环群一定是交换群。 解：设循环群G ()a =。那么G 的任何两个元都可以写成m a 和n a （m ，n 是整数）的形式。但m n m n n m n m a a a a a a ++===所以G 是一个交换群。 2.假定群的元a 的阶是n 。证明的阶是，这里d=( r ，n )是r 和n 的最大公因子。 解：由于d ｜r ，r=ds ，所以 现在证明， 就是的阶。设的阶为。那么 。 令 得 但而是的阶，所以 而 于是｜ 。（参看本节定理的第二种情形。） 为了证明 ，只须反过来证明｜ 。由 而n 是a 的阶，同上有n ｜r , 因而｜ 。但d 是n 和r 的最大公因子，所以互素而有 。 3.假定a 生成一个阶是n 的循环群G 。证明：也生成G ，假如（r,n ）=1 (这就是说r 和n 互素)。 解：由习题2，的阶是n 。所以 互不相同。但G只有n个元，所以， 而生成G。 4．假定G是循环群，并且G与同态。证明也是循环群。 解：由于G与同态，也是一个群。设G()a =，而在G到的同态满射φ下，。看的任意元。那么在φ下，有 。这样，的每一元都是的一个乘方而() =。 G a 5．假定G是无限阶的循环群，是任何循环群。证明G与同态。解：令G()a =，) G=。定义Φ：我们证明，φ是G到 (a 的一个同态满射。 （ⅰ）由于G是无限阶的循环群，G的任何元都只能以一种方法写成的形式，所以在φ之下，G的每一个元有一个唯一确定的象，而φ是G到的一个映射。 （ⅱ）的每一个元都可以写成的形式，因此它在φ之下是G 的元的象，而φ是G到的一个满射。 （ⅲ） 所以φ是G到的一个同态满射。 §8. 子群 1．找出的所有子群。 解：显然有以下子群： 本身；((1))={(1)}; ((1 2))={(1 2),(1)}; ((1 3))={(1 3),(1)}; ((2 3))={(2 3),(1)}; ((1 2 3))={(1 2 3),(1 3 2)，(1)}。 若的一个子群H含有（1 2）,(1 3)这两个2-循环置换，那么H 含有（1 2 ）(1 3)=(1 2 3 ),(1 2 3) (1 2)=(2 3) 因而H=.同理，若是的一个子群含有两个2-循环置换（2 1），(2 3)或（3 1）,(3 2),这个子群也必然是。 用完全类似的方法，读者也可以算出，若是的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是。 因此上面给出的6个子群是的所有子群。 2．证明，群G的两个子群的交集也是G的子群。 解：设和是G的子群。 令e是G的单位元。那么e属于，因而而 令a,b。那么a，b属于。但是子群。所以属于，因而属于。 这就证明了，是G的子群。 3．取的子集S {(1 2) ,(1 2 3)}。S生成的子群包含哪些元？一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？ 解：见习题1的解。 4．证明，循环群的子群也是循环群。 解：设循环群G=（a）而H是G的一个子群。 若H只含单位元e=a0，则H=（e）是循环群。若H不仅含单位元，那么因为H是子群，它一定含有元a m，其中m是正整数。令是最小的使得属于H的正整数，我们证明，这时 .看H的任一元a t。令 t=iq+r 0≤r＜i 那么a i=a iq a r。由于a t和a iq都属于H，有 a r=a-iq a t∈H 于是由假设r=0,a t=（a i）q而H=（a i）。 5．找出模12的剩余类加群的所有子群。 解：模12的剩余类加群G是一个阶为12的循环群。因此 由题4，G的子群都是循环群，容易看出： （[0]）=[0] ([1])=([5])=([7])=([11])=G ([2])=([10])={[2],[4],[6],[8],[10],[0]} ([3])=([9])={[3],[6],[9],[0]} ([4])=([8])={[4],[8],[0]} ([6])={[6],[0]} 是G的所有子群。 6.假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的 阶都有限。证明，H作成一个子集的充要条件是： a,b∈H ab∈H 解：由本节定理1，条件显然是必要的。 要证明条件也是充分的，由同一定理，只须证明： a∈H⇒a-1∈H 设a∈H，由于H的每一元的阶都有限，所以a的阶是某 一正整数n而a-1=a n-1.于是由所给条件得a-1∈H。 §9. 子群的陪集 1.证明，阶是素数的群一定是循环群。 解：设群G的阶为素数p，在G中取一元a≠e，则a生成G的一个循环子群（a）。设（a）的阶为n，那么n≠1. 但由定理2，n│p，所以n=p而G=（a）是一个循环群。 2.证明，阶是p m的群（p是素数，m≥1）一定包含一个 阶是p的子群。 解：设群G的阶是p m。在G中取一元a≠e，那么由定理3，a 的阶n│p m.但n≠1,所以n=p t,t≥1,若t=1,那么d的阶为p，（a）是一个阶为p的子群。若t＞1,可取b=a p1-t,那么b的阶为p，而(b)是一个阶为p的子群。 3.假定a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定 a的阶是m，b的阶是n，并且（m,n）=1.证明：ab的阶是mn。解：设ab的阶是k。由ab=ba,得（ab）mn=a mn b mn=e 因此k│mn。我们反过来证明，mn│k。由 e=（ab）kn=a kn b kn=a kn 以及a的阶为m，得m│kn,但(m,n)=1,所以m│k.同理n│k。又由 （m,n）=1，得mn│k.这样，ab的阶k=mn。 4.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的 任意元三个元a ，x ，x ’来说 ax ～ax ’ ⇒x ～x ’ 证明，与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。 解：令H 是与e 等价的元所作成的集合。 由于e ～e ，所以H 不空。 设a,b ∈H ，那么a ～e,b ～e,b ～e 可写成a -1ab ～a -1a 因此由题设，ab ～a ～e 而ab ∈H 。 a ～e 可写成ae ～aa -1，因此由题设，e ～a -1而a -1∈H 。 这样，H 作成G 的一个子群。 5．我们直接下右陪集H a 的定义如下：H a 刚好包含G 的可 以写成h a （h ∈H ）形式的元。由这个定义推出以下事实：G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集。 解：取任意元a ∈G ，由于H 是一个子群，单位元e ∈H,因此 a=e a ∈H a 这就是说，元a 属于右陪集H a 。 设a ∈H b,a ∈H c,那么a=1h b=h 2c (h 1,h 2 ∈H) 由此得，b=11h -h 2c,而H b 的任意元hb=112h c h h -∈H c 因而H b ⊂H c ，同样可证H c ⊂H b ，这样H b=H c 而a 只能属于一个右陪集。 6.若我们把同构的群看成一样的，一共只存在两个阶是4的群，它们都是交换群。 解：先给出两个阶是4的群。 模4的剩余类加群 G 1={[0],[1],[2],[3]}. G 1的元[1]的阶是4而G 1是[1]所生成的循环群（[1]）。 s4的子群 B4={(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} 叫作克莱因四元群。B4是s4的子群容易验证，我们有 [(1 2)(3 4)]2=[(1 3)(2 4)]2=[(1 4)(2 3)]2=（1） (1 2)(3 4)(1 3)(2 4)=(1 3)(2 4)(1 2)(3 4)=(1 4)(2 3) (1 3)(2 4)(1 4)(2 3)=(1 4)(2 3)(1 3)(2 4)=(1 2)(3 4) (1 4)(2 3)(1 2)(3 4)=(1 2)(3 4)(1 4)(2 3)=(1 3)(2 4) 这两个群显然都是交换群。 现在证明，任何阶是4的群都和以上两个群之一同构。 设G是一个阶为4的群。那么G的元的阶只能是1，2或4若G有一个阶为4的元d，那么G=（d）是一个循环群， 而G与G1同构。 若G没有阶为4的元，那么除单位元e外，G的其他3个元的阶都是2，因此有 G=｛e,a,b,c｝ a2=b2=c2=e 由于G是群，有ab∈G，我们证明ab=c 由ab=e将得ab=a2和b=a ,这不可能. 由ab=a将得b=e,也不可能 由ab=b将得a=e,也不可能. 因此只能ab=c,同样可证 ab=ba=c, bc=cb=a, ca=ac=b 比较G和B的代数运算，易见G和B4同构。 补充题：利用6题证明，一个有限非交换群至少有6个元。 §10.不变子群商群 1.假定群G的不变子群N的阶是 2.证明，G的中心包含 N。 解：令N=｛e,n｝，这里e是G的单位元，取G的任意元a。由于N是一个不变子群，有aN=Na，即 ｛a,an｝=｛a,na｝ 所以an=na。这样，N的两个元e和n都可以和G的任何元a交换， 所以N属于G的中心。 2.证明，两个不变子群的交集还是不变子群。 解令N1和N2是群G的两个不变子群。那么N1⋂N2是G 的一个子群（§8.习题2）。我们进一步证明，N1⋂N2是G的一 个不变子群。令a∈G,n∈N1⋂N2,那么n∈N1,n∈N2,但N1和N2是不变子群，所以ana-1∈N1, ana-1∈N2,因而 ana-1∈N1⋂N2 于是由定理2，N1⋂N2是一个不变子群。 3.证明，指数是2的子群一定是不变子群。 解：令G是一个群而N是G的一个指数为2的子群。 若n∈N，那么显然有nN=Nn。设b∈G,b-∈∈N。那么由于N 的 指数是2，G被分成两个左陪集N和bN；G也被分成两个右陪集N 和Nb。因此bN=Nb,这样，对于G的任何元a来说，aN=Na是G 的 一个不变子群。 4.假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明，HN是G 的子群。 解：由于H和N都不空，所以HN也不空。 设 a∈HN , b∈HN 。那么 a=h1n1 , b=h2n2 (h1,h2∈ H ,n1,n2∈N ) a b1-=h1n1n12-h12-=h1n'h12- (n'=n1n12-) 由于N是一个不变子集，有 N h12-=h12-N ，n'h12-=h12-n （n∈N） 由是得a b1-=(h1h12-)n∈HN，HN是一个子群。 5. 举例证明，G的不变子集N的不变子群N 未必是G的不变子 1 群（取G=S4）. 解：令G=S4,N=｛(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)｝ N1=｛（1），（12）（34）｝ 已知N是G的一个子群（上节习题6）。我们证明，N是G的一个不变子群。为了证明这一点，我们考察，是否对一切π∈S4，等式 （a）πNπ1-=N 成立。由于任何π都可以写成(1i)形的2一循环置换的乘积。（§6.习题5），我们只须对(1i)形的π来看等式（a）是否成立。又由于N的元的对称性，我们只须看π=（12）的情形。但 （12）｛（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）｝（12）=｛（1），（12）（34），（14） （23），（13）（24）｝ 所以N是S4的一个不变子群。由于N是交换群，N1当然是N的一不 不是S4的一个不变子群。因为（13）［（12）变子群。但N 1 （34）］（13）=（14）（23）∈-N1 6. 一个群G的可以写成a1-b1-ab形式的元叫作换位子。证明；（i）所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群； （ii） G/C是交换群； （iii）若N是G的一个不变子集，并且G/N是交换群，那么 N⊃C 解：（i），C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积，因而仍是C的一个元。一个换位子的逆仍是一个换位子，所以C的一个元的逆仍是C的一个元。这样C是一个子群。 对于a∈G，c∈C ,ac a1-=(ac a1-c1-) c∈C ,所以C是G的一个不变子群。 （ii）令a,b∈G 。那么a1-b1-ab=c∈C。由此得 ab=bac, abC=bacC=baC 即aCbC=bCaC而G/C是交换群。 （iii）因为G/N是交换群，所以对G的任何两个元a和b (aN)(bN)= (bN) (aN), abN=baN 由此得 ab=ban (n∈N) a1-b1-ab= n∈N。 这样N含有一切换位子，因此含有C。 补充题。令π和（i1i2…i k）属于S n。证明 π1-（i1i2…i k）π=（i x1i x2…i x k） §11.同态与不变子群 1.我们看一个集合A到集合A-的满射Φ。证明。若A的子集S是A-的子集S-的逆象；S-是S的象，但若S-是S的象,S不一定S-的逆象。 解：（i）设S是S-的逆象。这时对任一元a∈S,存在元a-∈S-，使Φ（a）=a-,因此φ(S)⊂S-。反过来，对任一a-∈S-，存在a∈S，使Φ（a）=a-,因此S-⊂φ(S)。这样S-=φ(S)，即S-是S的象。 （ii）令A=｛1 ，2，3，4｝，A-=｛2，4｝，A到A-的满射是 Φ： 1→2 ，2→2 ，3→4 ，4→4 取S=｛1，3｝。那么S的象S-=｛2，4｝。但S-的逆象是A≠S 2.假定群G与群G-同态，N-是G-的一个不变子群，N是N- 的逆象。证明，G/N≅G-/N-。 解：设所给G到G-同态满射是Φ： a→a-=Φ（a） 我们要建立一个G/N到G-/N-的同构映射。定义 ψ： aN →a-N- 若aN=bN,那么b1-a∈N。由于N-是N φ之下的象，有 b1-=b1-a-∈N-，a-N-=b-N- a 所以ψ是G/N到G-/N-的一个映射。 设a-N-∈G-/N-而Φ（a）=a-，那么 ψ： aN →a-N- 所以ψ是G/N到G-/N-的一个满射。 若aN≠ bN ,那么b1-a∈-N 。由于N是N-的逆象，由此得 b1-=b1-a-∈-N-，a-N-≠b-N- a 所以ψ是G/N到G-/N-间的一个一一映射。 3.假定G和G-是两个有限循环群，它们的阶各是m和n。证 明，G与G-同态，当而且只当n|m的时候。 解：设G与G-同态，那么由定理2，G/N≅G-，这里N是G到G-的同态满射的核。所以G/N的阶是n。但G/N的阶等于不变子群N在G里的指数，所以由§9的定理2它能整除G的阶m。由此得n|m。 反过来设n|m。令G=(a), G-=(a-)。定义 Φ：a k→a k 若a h=a k，那么m|h-k。于是由n|m ,得n|h-k而a h-=a k-。这样Φ是G到G-的一个映射。容易证明，Φ是G到G-的一个同态满射。因此G与G-同态。 4.假定G是一个循环群，N是G的一个子群。证明，G/N也 是循环群。 解：循环群G是交换群，所以G的子群N是不变子群，而G/N 有意义。设G=（a）. 容易证明G/N=（aN）. 所以G/N也是循环群。 近世代数第二章群论答案 欧阳歌谷（2021.02.01） §1. 群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有而(1)仍成立。 其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义： IV'G里至少存在一个右逆元1a-，能让 对于G的任何元a都成立； V'对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元1a-，能让 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。 解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 另一方面 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。 考察1a -。我们有 设正整数 《课标》把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 欧阳歌谷（2021.02.01） “基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 一、什么是小学数学思想方法 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很 Lesson 53 and Lesson 54 欧阳歌谷（2021.02.01） 一根据句意填空（10分） 1. Jim is English. He comes from . 2. What’s the like in your country? 3. The climate is ，but not always pleasant in England. 4. The weather’s often cold in the of England. 5. Which season does Jim like ，spring，summer or autumn? 6. In summer and spring，the days are and the nights are short. 7. Does the sun rise late or in winter? 8. The climate of England is not very good，but it’s . 9. Climate is Englishmen’s favourite of conversation. 10. The sun sets in winter. 二用所给词的适当形式填空（10分） 1. What’s the climate like in (you) country? 2. The climate is not very (please) in England. 3. Which season does Jim like (well)，spring，summer，autumn or winter? 4. In winter，the days are short and the (night) are long. 5. Climate is Englishmen’s (favour) subject of conversation. 6. Our climate is not very good，but it’s (certain) interesting. 7. He is (India). 简便计算(1) 欧阳歌谷（2021.02.01） 5.32＋7.93＋4.68 2.5×0.39×0.4 32.1－8.3－1.7 12.39－(5.18＋2.39) (25＋2.5＋0.25)×4 1.8×3.5＋2.5×1.8 12.5×8.8 3.6×1.2÷3.6×1.22 6.8×3.6＋2.68×64 1.31×12.5×8×2 1.25×32×0.25 3.8×0.99 简便计算(2) 4.6×99+4.6 7.5×101-7.5 1.25× 2.5×（80×4） 4.6×47+4.6×54-4.6 7.68÷2.5÷0.40.45×72+45×0.18+4.5 5.5×99 0.125×72 12.5×0.4×2.5×8 9.5×101 4.2×7.8+2.2×4.2 0.87×3.36+4.64×0.87 简便计算(3) 4.08×0.25 490×0.35 5.28×99 12.5×4.12×0.8 5.7×10.1 49×0.125×8 0.4×63×2.5 0.5×7.6×20 0.34×101 4.86×99 4.9×101 8.75 ×11-8.75 9.9 ×212 0.68×101 简便计算(4) 3.26 ×5.7-3.26×0.7 55.6×99+55.6 1.25×213×0.8 6.1×3.6+3.6×3.9 4.75×99+4.75 2.73×99 1.2× 2.5+0.8×2.5 101×0.45 0.25×4.78×4 0.65×202 7.2×8.4+2.8×8.4 0.78×98 4.8×0.25 1.5×105 0.3×2.5×0.4 简便计算(5) 56×1.25 1.25+4.6+0.75 1.6×7.5×1.25 49×0.125×8 0.4×63×2.5 0.5×7.6×20 9.6×100.1 42×10.2 9.8÷0.5÷2 28.4×99+28.4 0.94×2.5-0.9×2.5 4×0.8×12.5×2.5 3.6×101 0.125×72 0.25×39+0.25 简便计算(6) 3.2×0.82+3.2×1.18 1.58×99+1.58 10÷0.2÷2.5 14.5×102 1.25×3.2×0.25 12.15-3.83+0.85-6.17 2.65×1.7+1.35×1.7 3.55×0.4÷3.55×0.4 0.125×0.38×80 18.6-18.6×0.5 3.58×3.6+6.4×3.58 3.05÷0.25÷4 4.25×0.4÷4.25×0.4 解方程（1） 20-X=9 X-1.8=4 15-X=2 2.1÷X=3 X ÷7=0.3 1.6X=6.4 6X-35=13 3X-12×6=6 (5X-12)×8=24 思维训练一 欧阳歌谷（2021.02.01） 1、★×2+7－20=25 ★=（） （54－★）×9=72 ★=（） 2、A乘4，再加上20，然后除以5，等于8，A是（）。 3、篮子里有一些苹果，5个5个的数多1个，7个7个的数也多 一个。篮子里至少有（）个苹果。 4、甲仓库存粮80吨，乙仓库存粮56吨，每天从甲仓库运出8吨 粮食，从乙仓库运出5吨粮食。那么（）天之后两个仓库剩下的粮食就同样多了。 5、把一根木头锯成3段要4分钟，把这根木头锯成4段要（） 分钟。 6、名华奥校今年招收二年级新生80人，其中男生比女生多10 人，男人有（）人？女生（）人？ 7、一年一班和一年二班共有学生46人，一年二班转到一年一班 2人，两个班人数相等，原来一班有（）人？二班有（）人？ 8、一位数加一位数，最小是（），最大是（）， 两位数加两位数，最小是（），最大是（）， 三位数加三位数，最小是（），最大是（）， 从以上的解题中你是否发现规律了呢？请完成下面挑战题： 四位数加四位数，最小是（），最大是（）。 9、小李、小华比赛爬楼梯，小李跑到第2层时，小华正好跑到第 4层。照这样计算，小李跑到第5层时，小华到第（）层。 10、直接写出得数 （1）42+71+29+58= （2）526－73－27－26= （3）1457－（185+457）= （4）729+154+271= （5）516－56－44－16= 11、小明和小强原有书和相等，后来小明把书送给小强12本，这 时小明和小强，（）的书多？多（）本。 12、一只鸭、一只鹅共重12千克。如果知道一只鸡和一只鸭共重 7千克；一只鹅和一只鸭共重9千克，那么一只鸭是（）千克。 13、把两张纸贴接在一起用一分钟，把同样6张纸连接贴成一张 一、CATIA有限元分析学习基础 欧阳歌谷（2021.02.01） 如学习实体零件有限元分析，应当先学习零件创建相关模块，如part design零部件设计； 如学习车身零件有限元分析，应当先学习曲面创建、零件创建相关模块如wireframe and surface Design线框和曲面设计，generative shape design创成式外形设计。 如学习总成有限元分析，应当先学习assembly design装配件设计 还需要熟悉catia一般操作，如放大缩小旋转平移。 二、有限元分析一般步骤 建立几何零件—建立网格—添加材料属性—设定边界条件/施加力---计算---结果查看 对于实体零件，在进入分析模块后，catia自动生成网格，所以为了方便，一般实体零件，在进入分析模块之前，先添加材料属性。如果忘了添加，在进入分析模块时，会跳出对话框提示。 （也可以在进入后添加，比较麻烦。删除网格、3d,在手动添加材料，建立网格，3d） 对于中文版catia，添加材料属性时，会跳出对话框，提示没有找到中文的材料库。可以忽略。 解决这个问题，只需要在安装目录下的materials文件夹中创建Simplified_Chinese（可能需要注意大小写）文件夹，并将原materials目录下的Catalog.CATMaterial拷贝到其中就可以了。三、CATIA有限元分析模块 它可以进行的分析有Static case静态分析，Frequency case 模态分析，Buckling Case挠度分析，Combined case组合分析等。本次入门介绍静态分析和模态分析。 四、界面介绍 -------------------------------------------------------------- 1、model manager模型管理 2、loads 载荷 3、restraints 约束 4、compute计算 5、image云图 6、analysis tools 分析工具 --------------------------------------------------------------------------- 7、analysis supports连接支持 8、connection propertis连接属性 9、virtual parts虚拟零件 10、网格规范 11、Groups群组 三位数加两位数200题 欧阳歌谷（2021.02.01） 姓名：时间：得分： 513＋10= 194＋58= 648＋60= 672＋73= 746＋75= 148＋54= 117＋15= 667＋54= 783＋20= 800＋83= 975＋52= 248＋66= 938＋17= 652＋35= 363＋31= 463＋68= 511＋79= 482＋62= 556＋64= 252＋41= 402＋20= 825＋73= 281＋82= 590＋77= 421＋14= 286＋55= 632＋41= 187＋42= 559＋39= 479＋87= 232＋47= 519＋29= 187＋42= 840＋92= 421＋14= 896＋54= 309＋24= 171＋23= 434＋36= 706＋43= 150＋98= 557＋18= 252＋41= 384＋70= 110＋65= 598＋27= 667＋54= 283＋13= 498＋81= 367＋96= 360＋56= 725＋37= 550＋68= 340＋62= 744＋31= 148＋54= 540＋45= 940＋38= 482＋62= 571＋83= 379＋51= 440＋98= 302＋74= 302＋74= 494＋16= 405＋85= 934＋42= 860＋86= 922＋88= 155＋70= 994＋46= 417＋39= 267＋60= 367＋96= 802＋14= 300＋77= 921＋44= 521＋50= 880＋35= 344＋37= 306＋49= 761＋94= 244＋25= 383＋26= 694＋88= 群魔乱舞3.5装备合成及出处全攻略 欧阳歌谷（2021.02.01） 先看全景图。每一个数字表明（NPC，刷怪点，装备出处）1、前期领取接水任务找受伤的高人NPC2、空瓶接水的地方，尽量走猫步一步减少接水的时间，能多运一点水3、一转也就是封神迷宫（需要5000级和1W木头）迷宫走法从左往右：5 1 5 4 64、修神处（需要8000级1w木头）在图示17上古狂魔爆出，狂魔之力，之敏，之智。力量、敏捷、智力任修一个。杀一个怪吸收5千点对应的属性5、作者处：暴力手套需要20积分兑换（逆天兑换卷也在这里）修神门口隐藏NPC需要插岗哨守卫。可以传送村庄，恐怖之岛，天界，巨龙巢穴。6、村庄美女可兑换神器逆天。 7、（右上角小情兽爆小棕熊到美女处换嗜血之刃）左上方11有个空旷处会有减速站住几秒，回答问题C，会有神兵守护者，复活CD是20秒。打死一次，必须尽快打死。8、恐怖之岛，炽焰巨魔 爆炎魔之魂，神火玄晶9、BT九头蛇爆远古神器10、人爆人之心(3心自动合成始祖之心)。 11、神爆神之心12、魔爆魔之心13、始祖四龙。光神和法神是始祖绿龙，斧神和剑神，是红龙，刺客和鬼神是蓝龙，暗影和死神是黑龙。惊天战神不需要碎片，需要战神套+始祖之心+融合神精(修神门口插岗哨守卫隐藏传送巨龙的巢穴)14、终极专属合成的地方(修神门口插岗哨守卫隐藏传送天界)。15、四元素爆土之源，水之源，风之源，火之源（1号点封神迷宫门口NPC进入）。16、爆血晶石碎片的地方（血精石碎片1-4自动合成血晶石碎片）基地可进入17、上古狂魔爆狂魔之敏，之智，之力。（基地NPC打专属宝石走到顶）。18、初级专属石头掉落（必须自己A死，宝宝，献祭打是无效的，爆率33%）19、朱雀（50%爆雀精50%爆烈焰翅膀） 二元一次方程组习题及答案100道 欧阳歌谷（2021.02.01） 1.2x+9y=81 3x+y=34 2.9x+4y=35 8x+3y=30 3.7x+2y=52 7x+4y=62 4.4x+6y=54 9x+2y=87 5.2x+y=7 2x+5y=19 6.x+2y=21 3x+5y=56 7.5x+7y=52 5x+2y=22 8.5x+5y=65 7x+7y=203 9.8x+4y=56 x+4y=21 10.5x+7y=41 5x+8y=44 11.7x+5y=54 3x+4y=38 12.x+8y=15 4x+y=29 13.3x+6y=24 9x+5y=46 14.9x+2y=62 4x+3y=36 15.9x+4y=46 7x+4y=42 16.9x+7y=135 17.3x+8y=51 x+6y=27 18.9x+3y=99 4x+7y=95 19.9x+2y=38 3x+6y=18 20.5x+5y=45 7x+9y=69 21.8x+2y=28 7x+8y=62 22.x+6y=14 3x+3y=27 23.7x+4y=67 2x+8y=26 24.5x+4y=52 7x+6y=74 4x+6y=16 26.6x+6y=48 6x+3y=42 27.8x+2y=16 7x+y=11 28.4x+9y=77 8x+6y=94 29.6x+8y=68 7x+6y=66 30.2x+2y=22 7x+2y=47 1) 66x+17y=3967 25x+y=1200 答案：x=48 y=47 (2) 18x+23y=2303 74xy=1998 第1章 绪论 欧阳歌谷（2021.02.01） 1.1 简述下列术语：数据，数据元素、数据对象、数据结构、存储结构、数据类型和抽象数据类型。 解：数据是对客观事物的符号表示。在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。 数据元素是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。 数据对象是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。 存储结构是数据结构在计算机中的表示。 数据类型是一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。 抽象数据类型是指一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作。是对一般数据类型的扩展。 1.2 试描述数据结构和抽象数据类型的概念与程序设计语言中数据类型概念的区别。 解：抽象数据类型包含一般数据类型的概念，但含义比一般数据类型更广、更抽象。一般数据类型由具体语言系统内部定义，直接提供给编程者定义用户数据，因此称它们为预定义数据类型。抽象数据类型通常由编程者定义，包括定义它所使用的数据和在这些数据上所进行的操作。在定义抽象数据类型中的数据部分和操作部分时，要求只定义到数据的逻辑结构和操作说明，不考虑数据的存储结构和操作的具体实现，这样抽象层次更高，更能为其他用户提供良好的使用接口。 1.3 设有数据结构(D,R)，其中 {}4,3,2,1d d d d D =，{}r R =，()()(){}4,3,3,2,2,1d d d d d d r = 试按图论中图的画法惯例画出其逻辑结构图。 解： 1.4 试仿照三元组的抽象数据类型分别写出抽象数据类型复数和有理数的定义（有理数是其分子、分母均为自然数且分母不为零的分数）。 解： ADT Complex{ 数据对象：D={r,i|r,i为实数} 数据关系：R={ 欧阳歌谷（2021.02.01） A 强迫自己保持清醒，赶紧往人多的地方跑。 B 如果是校外，赶紧打出租车去医院。 C 利用自己还清醒一点时候赶紧拨打110和120。 D 其他三个选项皆是。 解析 答案: D A 留宿！好朋友我信任。 B 还是不留宿寝室的好。 解析 答案: B A 看到便宜的就买。 B 如果太便宜，八成是骗人的，不买。解析 答案: B A 合作型 B 对抗型 C 迎合型 D 回避型 E 折中型 解析 答案: B B 先将同学隔离，然后立刻向老师报告，等待诊治。同学们要更注意平时的个人卫生和环境卫生。 解析 答案: B 来安排课程。小王正好想试试就同意了，来到“中介”，工作人员先让小王交了200元的中介费，接着又让小王交500元的资源使用费，然后给了小王几个电话号码，让小王自己跟人家联系，结果电话那头的人说根本不想找家教。小王得知上当。案例中小王 A 没有通过正规的途径找工作。 B 中介提出交钱的时候依然没有意识到被骗。 C 其他两个选项皆是。 解析 答案: C A 合作型 B 对抗型 C 迎合型 D 回避型 E 折中型 解析 答案: D A 行政立法 B 行政命令 C 行政裁决 D 行政指导解析 答案: D A 对。 B 错。 解析 A 人民法院 B 公安机关 C 所在单位或基层组织 D 基层组织 解析 答案: B A 自信且乐于合作 B 不自信且不乐于合作 C 过于自信且不乐于合作 D 不自信但乐于合作 解析 答案: D A 正确。 B 错误。 解析 答案: A A 主动去换水。 B 把电源关了再换水。 解析 答案: B 顺从男友的意愿尝试毒品而沾染毒瘾，此时D女才知道男友故意让自己沾染毒瘾是为了逼迫自己卖淫为其筹措毒资。D女的表现 A 认同心理 B 报复心理 配合四下《四则运算》 编算式 用6、7、8、9编四道得数相同的两位数加两位数的算式。 （ ）（ ）( )( ) 被除数增加几 258除以25，要想没有余数，被除数最少应该增加（ ）。 储蓄罐的钱 小明的储蓄罐中有面值1元和5角的硬币共38枚，如果将1元硬币的枚数和5角硬币的枚数交换，那么总值就会减少3元，问小明的储蓄罐中一共有( )钱？ 定义新运算 定义一种运算：a △b= a ×b ＋a －b 。 求：⑴ 8△5； ⑵ 10△（5△6） = = = = = = = = = 榜上有名 考试的满分是100分，小明3次考试的平均分为90分，如果平均成绩达到94分就能登上光荣榜了。请问：小明要连续考多少 班级姓名 配合四下《四则运算》《位置与方向》 我发现 李大爷准备在一块360平方米的长方形地上中玉米。如果长方形地长分别是20米、40米、60米、120米，宽应该是多少米？请填下表，你有什么发现？ 帮欢欢 欢欢在计算“20＋□×5”时，先算加法，后算乘法，结果得到的结果是500。你能帮他算出这道题的正确得数吗？ 整数部分是几？ 设A=0.8＋0.88＋0.888＋……＋0. 8888888888，A 的整数部分是几？ 几条路线可走？ 小林妈妈从家中到超市有4条路可走，从超市到菜场有3条路可走，小林妈妈从家中经过超市到菜场有几条路线可走？ 他在何处 红红从一地点A 先以60米／分的速度向东走了5分钟，再以同样的速度向北偏西30°方向走了5分钟。这时，他在地点A （ ）偏（ ）方向（ ）米处。 （第1期答案：一67+98=165；68+97=165；76+89=165；43，271；五2次。） 算》 画一画 根据下面描述，画出旅游车行驶路线图：“快乐六一”好旅游车从起点站向东偏南30°方向行驶3千米到达动物园，再向北偏东45°方向行驶4千米到达植物园，然后向南偏东70°方向行驶5千米到达游乐园。 填一填 根据上题旅游车行驶路线图，说说返回时怎样走？ 第一课东 欧阳歌谷（2021.02.01），。。，。，。。，。，。，；，。，。。，。，。。，。，。， 彼没，故以参商比喻彼此隔绝，不得相见。【戍旅】以兵卒防守边疆。宋˙陆游˙十一月四日风雨大作诗：僵卧孤村不自哀，尚思为国戍轮台。 【腊屐】晋阮孚喜爱木屐，时常擦洗涂腊。典出晋书˙卷四十九˙阮籍传。比喻痴迷某物。如：他集邮成癖，好比阮孚腊屐，乐在其中。【梅子雨】中国南部五月至七月﹑日本南部六月及七月初所下的雨，因正值梅子成熟的时节，故称为梅雨。亦称为霉雨﹑黄梅雨。 【朔雪】北方的雪。 【叆叇】云多而昏暗的样子。唐˙郑谷˙入阁诗：寿山晴叆叇，颢气暖连延。 【牖】窗户。 【清暑殿】：宫殿名，在洛阳宫中有清暑殿。【广寒宫】神话里称月亮中的宫殿为广寒宫。【庄周梦化蝶】庄周在梦中幻化为蝴蝶，在天地间遨游，逍遥自在，不知何为庄周。忽然醒来，发觉自己仍是庄周。典出庄子˙齐物论。后以此比喻人生变幻无常。 【吕望兆飞熊】姜吕望钓渭滨。西伯将猎，卜之。兆曰：所荻非龙，非螭，非罴，乃伯王之辅。果遇太公于渭阳。 ；，。 欧阳歌谷创编 2021年2月1 ，。。，。，。。，。，。，；，。 【注释】 【参商】参，参星，居西方。商，商星，亦称为辰星，居东方。参星与商星位在东西两方，此出 第二课冬，。。，。，。。，。，。，；，。 ，。。，。，。。，。 【螭】中国古代传说中的动物。外形似龙而无角。建筑或工艺品上常用此形状做为装饰。【花萼楼】唐明皇建花萼楼，兄弟五人宴乐于其间。 【仙李】诗句曰：仙李盘根大，喻唐之宗室繁衍也。 【娇杨】指杨贵妃常侍宴沉香亭，唐明皇宽之以致乱。 【三元及第】参加科举考试，乡试、会试、殿试均考中第一名，称为三元及第。 【菡萏】荷花的别名。 【芙蓉】植物名。【注释2】荷花的别名。【绿绮】【注释1】乐器名。相传汉朝司马相如作 玉如意赋，梁王赐给他绿绮琴。 【注释2】用以代称音色材质具佳的琴。唐˙李白˙听蜀僧浚弹琴诗：蜀僧抱绿绮，西下峨嵋峰，为我一挥手，如听万壑松。亦称为绿琴。【青锋】剑名也。 【饔】熟食。玉篇˙食部：饔，熟食也。 【化蝶】唐穆宗夜宴有黄白蝶飞集花间，宫女得之皆库中金银所化。 欧阳歌谷创编 2021年2月1 18个虚词的用法 1、“而”字主要的用法如下：一、用作连词。可连接词、短语和分句，表示多种关系。（一）表示并列关系。一般不译，有时可译为“又”。如：蟹六跪而二螯。（《劝学》）（二）表示递进关系。可译为“并且”或“而且”。如：君子博学而日参省乎己。（《劝学》）（三）表示承接关系。可译为“就”“接着”，或不译。如：余方心动欲还，而大声发于水上。（《石钟山记》）（四）表示转折关系。可译为“但是”“却”。如：青，取之于蓝，而青于蓝。（《劝学》）（五）表示 假设关系。可译为“如果”“假如”。如：诸君而有意，瞻予马首可也。（《冯婉贞》）（六）表示修饰关系，即连接状语。可不译。如：吾尝终日而思矣……（《劝学》）吾恂恂而起。（《捕蛇者说》）二．用作代词。只用作第二人称，一般作定语，译为“你的”；偶尔也作主语，译为“你”。例如：而翁长铨，迁我京职，则汝朝夕侍母。（《记王忠肃公翱事》）三．复音虚词“而已”，放在句末，表示限止的语气助词，相当于“罢了”。例如：一人、一桌、一椅、一扇、一抚尺而已。（《口技》）闻道有先 后，术业有专攻，如是而已。（《师说》）2、“以”字主要的用法一、用作介词。主要有以下几种情况：（一）表示动作、行为所用或所凭借的工具、方法及其他，可视情况译为“用”“拿”“凭借”“依据”“按照”“用（凭）什么身份”等。例如：①乃入见。问：“何以战？”（《曹刿论战》）②野马也，尘埃也，生物之以息相吹也。（《逍遥游》）③斧斤以时入山林。（《寡人之于国也》）（二）起提宾作用，可译为“把”。如：五亩之宅，树之以桑。（《寡人之于国也》）（三）表示动作、行为产生的原因，可译 例1 一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？ 【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个 11 60，就是两队合做完成这个工程的 天数. 欧阳歌谷（2021.02.01） 【解法1】两队合做1天完成的工程？ 1 12＋ 1 10= 11 60 两队合做多少天完成这项工程？ 1÷11 60= 5 5 11（天） 综合算式： 1÷（ 1 12+ 1 10） =1÷11 60= 5 5 11（天）. 【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数. 【解法2】假设这项工程总工作量为60. 60÷（60÷12+60÷10） =60÷（5+6）=60÷11= 5 5 11（天）. 【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成. 【解法3】 10÷（1+10÷12） =10÷（1+）=10÷=（天）. 【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）. 【解法4】 12÷（1+12÷10） =12÷（1+） =12÷=（天）. 答：两队合做天就可以完成. 【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量. 例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？ （湖南省长沙市东区） 第1讲复习求具体数量分数应用题 欧阳歌谷（2021.02.01） 知识要点：解答求具体数量分数应用题，第一步，要确定单位“1”。方法：a比、是、占、为、相当于、等于等后面的量就是单位“1”;b“谁的几分之几”中的“谁”就是单位“1”。第二步，找到具体数量对应的分率。第三步，确定算法。方法：单位“1”已知，用乘法；单位“1”未知，用除法，并且求出的就是单位“1”。 知识回顾 1、甲的年龄是乙的，乙的年龄是丙的，则甲的年龄是丙的年 龄的几分之几？ 2、小明看一本书，每天看20页，3天后还剩全书的没有看，这 本书共有多少页？ 3、一本故事书，小华已看了全书的，未看的是已看的几分之 几？ 例1、一列客车和一列货车同时从甲、乙两地的中点向相反的方向行驶，客车到达甲地时，货车离乙地还有60千米，已知货车行驶的路程是客车的，求甲、乙两地相距多少千米？ （长郡2005年） 练习 1、一列火车从甲地开往乙地，已经行了，离乙地还有450千米，甲、乙两地之间的路程是多少千米？（长郡2005年） 2、一堆重200吨的煤两天运完，第一天运了这堆煤的55%，第二 天还应运多少吨？（长郡2005年） 例2、甲、乙两车从东西两站同时相对开出，相遇后继续行驶，当甲乙两车相距29.4千米时，甲车行了全程的，乙车行了全程的60%。求东西两站相距多少千米？ 练习 1、一条公路，第一天修了全长的多3米，第二天修了全长的 少12米，还剩63米，这条公路全长多少米？ 2、初一甲班有22名女生，占全班人数的40%，那么这个班上的男生有多少人？ 例3、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程的10%，当乙行了全程的时，甲车再行全程的到达B地，求A、B两地之间的距离。 练习 1、水果店运来一批水果，第一天卖出1200千克，第二天比第一 天多卖出，这时还余下总数的，求这批水果共有多少千克？ 2、小红读一本书，第一天读了全书的，第二天读了余下的， 两天共读了30页，这本书共有多少页？ 作业 1、商场上有一批货，第一天运走了总数的30%，第二天运的比总数的少4吨，这时还剩31吨，这批货物共有多少吨？ 2、一根3米长的钢材，先截下它的，再截下米，这时还剩下多少米？ 函数的单调性和奇偶性 欧阳歌谷（2021.02.01） 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数x x f 1 )(=在(0，+∞)上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x 1、x 2(x 1≠x 2)， 令△x =x 2−x 1＞0 则 ∵x 1＞0，x 2＞0，∴01>x ，02>x ，021<-x x ， ∴上式＜0，∴△y =f(x 2)−f(x 1)＜0 ∴x x f 1 )(=在(0，+∞)上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x 1，x 2是区间上的任意实数，且x 1＜x 2，则 ∵0＜x 1＜x 2≤1 ∴x 1−x 2＜0，0＜x 1x 2＜1 ∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)−f(x2)＞0 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2−3|x|+2； (2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在 上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(−1，+∞)； (2)定义域为， 其中u=2x−1为增函数，在(−∞，0)与(0，+∞)为减函数， 则上为减函数； (3)定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(−∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2−a+1)与 的大小.近世代数第二章答案之欧阳歌谷创编
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