近世代数第四章-环与域题解讲解

第四章环与域

§1 环的定义

一、主要容

1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．

2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：

二、释疑解难

1．设R是一个关于

代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即

就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．

2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．

三、习题4．1解答1．

2．

3．4．

5．

6．

7．

8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

§4．2 环的零因子和特征

一、主要容

１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．

2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．

这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．

3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．

但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵

),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．

2.关于零因子的定义．

关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．

3．关于整环的定义．

整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．

本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。本章§8定理1：设P 是交换环R 的一个理想．那么

P 是R 的素理想⇔R ／P 是整环．

这样看起来本定理表述显得干净利索．但假设整环按定义2(或定义3、4)要求，那么以上定理表述就需变动．终究要怎样变动，作为练习请读者自己给出． 。’

三、习题4．2解答 １．

２．

３．４．５．６．

７．设R是一个无零因子的环．证明：假设R偶数，那么R的特征必为2．８．证明：P—环无非零幂零元．

§4.3 除环和域

一、主要容

1．除环和域的定义与例子．四元数除环．

2．有限环假设有非零元素不是零因子，那么必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元．

3．有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子．

有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单位群．

除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环Z的乘群为

Z﹡＝｛１，－１｝；

数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对乘法作成的群；Gaus s整环的乘群为U(Z[i])＝｛１，－１，i－i，｝．

二、释疑解难

1．阶大于l的有限环可分为两类：〞

1) 一类是有零因子的有限环．例如，有限集M(M＞1)上的幂集环P(M)，不仅是个

有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面§５所讲的以合数n为模的剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环．

2)另一类就是无零因子的有限环．实际上根据本节推论和得邦定理可知，这种有限环就是有限域．例如，以素数p为模的剩余类环Z p以与教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形．

这就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域．

与群定义中要求两个方程ax＝b与ya＝b都有解不同,这里仅要求方程ax＝b或ya＝b(∀0≠a,b∈R)中有一个在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环．

如果利用方程ya＝b在R中有解，那么将得到R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环．

3．关于有单位元环的单位群．

设R是阶大于l的有单位元的环．那么显然

R是除环⇔R的单位群是R－｛０｝；

R是域⇔ R－｛０｝是交换群．

显然，除环或域有“最大’’的单位群．又显然幂集环P(M)的单位群只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小〞的单位群．

三、习题4．3解答

1．证略．

2．证略．

3．证明：域和其子域有一样的单位元．

F有一样单位元直接得出) 即F与F1有一样的单位元．(也可由F﹡与

1

4．

5．

6．

§4 环的同态与同构

一、主要容

1．环的同态映射和同构映射的定义和例子

2．环同态映射的简单性质．

设ϕ是环R到环豆R的同态满射，那么

1) ϕ(0)是R的零元，ϕ(－a)＝－ϕ(a) (∀a∈R)；

2)当R是交换环时，R也是交换环；

3)当R有单位元时，R也有；并且R的单位元的象是R的单位元．

3．在环同态映射下，是否有零因子不会传递．即假设环R~R，那么当R有零因子时，R可能没有，当R无零因子时，R却可能有．

二、释疑解难

1．在§1已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺序．同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘法．即

ϕ(a＋b)＝ϕ(a)＋ϕ(b)，

ϕ(ab)＝ϕ(a)ϕ(b)．

第一式中等号左边的加号“＋〞是环R的加法，而等号右边的加号“＋〞是环R的代数运算．二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事．对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述．

2．由于零因子在环同态映射下不具有传递性，因此，假设环R~R，那么当R为整环时，R不一定是整环；又当R不是整环时，R却可能是整环．教材中的例1和例2说明了这一

点．

3．关于环的挖补定理，

三、习题4．4解答

1. 证略．

2.

3.

4.

5.

6.

7.

§4．5模n剩余类环一、主要容

2．循环环定义、例子和简单性质．’

1) 整数环与其子环以与剩余类环与其子环都是循环环．而且在同构意义下这也是全部的循环环．

2) 循环环是交换环，但不一定有单位元．而且这种环的子加群同子环、理想三者是一回事．因此，n阶循环环有且只有T(n)(n的正因数个数)个子环(理想)．

二、释疑解难

1．剩余类环是一类很重要的有限环，因为这种环是一种具体的环，特别是它的特征、子环(理想)、零因子、可逆元和单位群等都很清楚．因此，在环的讨论里常常以它作为例子来加以利用，并说明问题．

2．整数环的任二不同的非零子环，作为加群，它们显然是同构的(因为它们都是无限循环群)．但是，作为环，它们并不同构．因为，例如设

因此，S与T不能同构．

3．剩余类环Z n中任二不同的子环也不能同构．

事实上，Z n的任二不同阶的子环当然不能同构．又设置为Z n的任意k阶子环，那么k n．但

由于(Z n，＋)是n阶循环群，从而对n的每个正因数k，(Z n，＋)有且只有一个k阶子群，于是环Z n有且仅有一个k阶子环．因此，Z n的任二不同的于环当然不同构．

4．但是，有有限环存在，其有二不同子环是同构的．例如：令R是Z2上的2阶全阵环，那么R＝16，且易知

都是R的4阶子环，而且易知R1还是一个域．但是，R2无单位元(且不可换，又非零元都是零因子)，因此，R1与R2不能同构．

此外易知：

也都是环R的4阶子环，而且R1，R2，R3，R4都是互不同构的．对此不再详述，兹留给读者作为练习．

有文献已经证明，互不同构的4阶环共有11个．对此不再赘述．

三、习题4．5解答

1.证明：同余类的乘法是Z n的一个代数运算．

2. 试指出环Z8中的可逆元和零因子，再给出它的所有子环．

3. 试给出Z10的所有子环，并指出它们各自的特征．

4.

5.

6.

7.证明：整数环的不同子环不同构，证：见上面“释疑解难〞局部中的2．

8.

§４．6 理想

一、主要容

1．左、右理想、理想的定义和例子．

2．单环的定义以与单环的一个重要性质．

设环R有单位元，那么R上全阵环R n×n的理想都是R中某个理想上的全阵环．由此可知：R n×n是单环⇔R是单环．

特别，除环和域上的全阵环都是单环．

3．由环中元素山a１，a２，…，a m生成的理想〈a１，a２，…，a m〉．特别，由一个元素a 生成的主理想〈a〉．

在一般情况下，主理想〈a〉中元素的表达形式．在特殊环(交换环和有单位元的环)中〈a〉的元素表达形式如下：

1)在有单位元的环R中：

4．理想的和与积仍为理想．

二、释疑解难

1．关于理想的乘法．

我们知道，如果A，B是群G的二子集或(正规)子群，那么A与B的乘积是如下规定的：

AB＝｛ab a∈A,，b∈B｝．

但当A，B是环R的理想时，如果仍按以上规定相乘，那么一般而言其乘积AB不再是理想．由于这个原因，环中理想的乘法规定为

AB＝｛有限和∑i i b a a i∈A,，b i∈B｝．

2．对任意环R，那么R至少有平凡理想｛０｝和R．通常把R本身叫做R的单位理想，这是由于以下原因：对R的任意理想N，显然都有

RN⊆N，NR⊆N．

但当R有单位元时，那么显然又有RN⊆N， NR⊆N．从而有

RN＝NR＝N．

这就是说，此时R在理想乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用．

3．设R为任意环，a∈R．那么易知

r∈｝

N＝｛ra R

是R的一个左理想．假设R是交换环，那么当然．但是应注意，由于R不一定有单位元，故不一定有a∈N．从而也不能说N是由a生成的理想．

例１设R为偶数环，a＝4，那么

三、习题4．6解答

1. 证略．

2. 证 1) 略．2) 由于

3.

4. 证参考上面“释疑解难〞局部3．

5.

8. 8．证明：§4中例3中的环F N，当N为降秩方阵时，不是单环．

§4.7商环与环同态根本定理

一、主要容

1．设，那么所有(关于加法的)陪集x十N(∀x∈R)对于陪集的加法与乘法

(a＋N)十(b＋N)＝(a＋b)＋N，(a＋N)(b＋N)＝ab＋N

作成一个环，称为R关于理想N的商环，记为R／N．

即在同构意义下，任何环能而且只能与其商环同态．此称为环同态根本定理或环的第一同构定理．

二、释疑解难

1．环同态根本定理有的书包括：但有的书不包括这一结论,而只指出：

R~R，N为核⇒R／N≅R．

也有书称此为“环的第一同态定理〞或“环的第一同构定理〞．甚至也有的书虽有此定理，但却未给予任何名称．不过多数的书均明示“环同态根本定理〞且指出

“R~R，N为核⇒R／N≅R〞．

当然，这些问题是非本质的，只是在看参考书时留意其差异即可．

3．环的第三同构定理与群的第三同构定理也根本类似，只是其中有一局部转移到本节习题中去了．以上环的三个同构定理，从表达(条件和结论)和证明方法应多与群的三个同构定理作比拟，这样不仅可以加深理解而且可以增强记忆．

三、习题4．7解答

1.

2.

近世代数第四章 环与域题解讲解

第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．

1． 2．

3． 4． 5．

6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??

近世代数第四章整环里的因式分解

第四章整环里的因式分解 §1. 素元、唯一分解 本讲中, 总假定为整环, 为的商域. 1. 整除 定义1 设D为整环, D b ,, 如果存在D a∈ c∈, 使得 则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元. ?整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质. ?整除有下列常用的性质: (1) 如果, , 则; (2) 如果, , , 则. 2.相伴 定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：

定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位. 例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a -. 例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元： 定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子. ３. 素元 定义4 设D为整环，D p∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元. 定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元. 定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是： ，这里，都不是单位.

推论设，并且有真因子：.则也是的真因子. 定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足： (i) (为D的素元) (ii) 若同时有 （为的素元） 则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位） 整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的 对象只能是非零也非单位的元. 例３给整环.那么有： (1)的单位只有. (2)适合条件的元一定是素元. 首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子： 那么

近世代数

第一章：基本概念 重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。 第二章：群 重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。 第三章：正规子群和群的同态与同构 重点：正规子群、商群、同态基本定理 难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。 第四章：环与域 重点：环、域、理想 难点：环的同态、同构，极大理想、商域。 第五章：唯一分解整环 重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。 难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。 近世代数练习题（A） 一、填空题（每题3分，共30分）：

1、设 是集合 到 的满射，则 . 2、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为. 3、写出三次对称群 的子群 的一切左陪集，，. 4、设 是一个 阶交换群， 是 的一个

（ ）阶元，则商群 的阶等于. 5、设 = 是循环群，则 与整数加群同构的充要条件是. 6、若环 的元素(对加法)有最大阶 , 则称 为环 的. 7、若环 满足左消去律，那么 必定(有或没有)左零因子. 8、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么

是一个域当且仅当 是环 的. 9、若域 ，则称 是一个素域. 10、设 是域 的一个扩域, . 如果存在 上非零多项式 使 , 则称 为 上的一个. 二、选择题（每题4分，共20分）： 1、指出下列哪些运算是代数运算（）. A.在整数集 上，

B.在有理数集 上， C.在正实数集 上， D.在集合 上， 2、设 是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）. A. 的单位元的象是 的单位元 B. 的元素 的逆元的象是 的象的逆元 C. 的子群的象是 的子群 D.

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1 -Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数教案

近世代数教案 西南大学 数学与统计学院 张广祥 学时数：80（每周4学时） 使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽

知识面。 教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。 每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。 整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。 教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。 主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域 本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。

环与域的代数结构

环与域是数学中非常重要的代数结构。它们在许多数学分支中都扮演了重要的 角色，尤其在抽象代数中。本文将介绍环和域的定义、性质和应用领域。 首先，我们来定义环和域。一个环是一个集合R，其中定义了两个二元运算： 加法和乘法。加法运算满足封闭性、结合律、单位元和逆元。乘法运算满足封 闭性、结合律和单位元，此外还可能满足交换律。一个域是一个环，其中非零 元素都有乘法逆元。 接下来，我们来探讨环和域的一些性质。首先是环的性质。环的加法满足封闭 性和结合律，这使得我们可以在环中任意相加而不必担心结果超出了该环。另外，环的乘法满足封闭性和结合律，但不一定满足交换律。此外，环满足分配律，即对于任意的a、b和c，有a*(b+c) = a b + a c 和 (a+b)c = a c + b*c。这个性质在代数运算中起着重要作用。 域相对于环更加特殊，它具有更多的性质。首先，域满足除法运算，也就是说 任意非零元素在乘法运算下都有逆元。这是域与环的主要区别之一。另外，域 中乘法运算满足交换律，这意味着乘法运算可以不考虑操作数的顺序。此外， 域中的乘法运算满足消去律，也就是说如果a b = a c，则b=c。这个性质在方程求解和证明中经常被使用。 环和域的代数结构在许多数学领域中得到了广泛的应用。首先，在线性代数中，我们使用域来定义向量空间和矩阵运算。线性代数中的向量和矩阵运算就是在 域上进行的。此外，在代数几何中，我们使用域来定义各种几何对象，比如点、直线和圆。图论中的图结构的操作通常也要涉及到环和域。 总之，环和域的代数结构在数学中起着重要作用。它们不仅是抽象代数的基础，也在许多数学领域中得到了广泛的应用。理解环和域的定义和性质，对于理解 和应用数学是非常重要的。

抽象代数中的环与域

抽象代数中的环与域 在抽象代数中，环和域是两个重要的概念。它们是代数结构的基础，广泛应用于数学和其他领域。本文将详细介绍环和域的定义、性质以 及它们在代数中的应用。 一、环的定义与性质 在抽象代数中，环是一种集合R以及两种运算“加法”和“乘法”的代 数结构。具体而言，满足以下条件的集合R被称为环： 1. R关于加法构成一个交换群，即对于R中的任意元素a和b，满 足结合律、交换律以及存在零元素0，使得a + b = b + a = a，并且对于 每个元素a，存在其相反元素-b，使得a + (-b) = 0。 2. R关于乘法满足封闭性，即对于R中的任意元素a和b，有ab也 属于R。 3. 乘法满足分配律，即对于R中的任意元素a、b和c，有a(b + c) = ab + ac以及(b + c)a = ba + ca。 除了满足上述条件外，环还可以具有其他的性质。例如，如果R的 乘法还满足交换律，则称R为交换环；如果R存在乘法单位元素1， 使得对于R中的任意元素a，有1a = a1 = a，则称R为含幺环。 二、环的例子

现在我们来看一些环的例子。最常见的环是整数环Z，其中的加法和乘法分别是常规的整数加法和乘法运算。另一个例子是实数环R，其中的加法和乘法是常规的实数加法和乘法运算。 除了整数环和实数环，多项式环也是一种常见的环。例如，实系数多项式的全体构成了一个环，其中的加法是多项式系数的加法，乘法是多项式的乘法。类似地，复数环C上的多项式也构成一个环。 三、域的定义与性质 域是一种特殊的环，它具有更多的性质。域是一个满足以下条件的环： 1. 对于域中的任意非零元素a，存在其乘法逆元素b，使得ab = ba = 1。乘法逆元素通常用a^-1表示。 2. 域中除了0以外的元素构成一个交换群。 由于域是一个特殊的环，因此所有环的性质在域中也成立。 四、域的例子 实数域R和复数域C都是域的典型例子。实数域中的加法和乘法是常规的实数加法和乘法运算，而复数域中的加法和乘法是常规的复数加法和乘法运算。 除了实数域和复数域，有理数域Q也是一个域。在有理数域中，加法和乘法都是常规的有理数加法和乘法运算。 五、环和域在代数中的应用

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近世代数辅导（四）（复习指导） 第一部分内容提要 一、基本概念 1.集合 概念；子集；运算：交、并、积 2.映射 定义；满射；单射；一一映射；变换 3.代数运算 定义；运算律：结合律、交换律、分配律 4.同态与同构 同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构 5.等价关系与集合的分类 二、群论 1.样的定义及基本性质 笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr 2.了集 定义；判定条件 3.群的同态 群的同态；样的同构 4.变换群与置换群 定义；置换的两种表示方法；凯莱定理 5.循环群 定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造 6.子群的陪集 右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理 7.不变子群与商群 不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理 三、环与域 1.环的定义及其计算规则 2.有附加条件的环 交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域 3.子环、环的同态 子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构） 4.理想与剩余类环 理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理

5. 设A=｛所有实 数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A 第二部分思考题 1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？ 2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律? 3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。 4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。 到入的映射 O : X -> X2, x G A 是A到入的一个同态满射。 6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射 ①:x —> 2x , x e A 是A的一个自同构映射。 7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。 8.在一个群G里，若° = °二那么°的阶是多少?为什么？ 9.四次対称群S4的阶是多少？把S4的元 "1 2 3 4、(1 2 3 4、 <3 2 4 1,\3 4 1 2 丿 用循环置换的方法写出来。 10.证明：一个循环群一定是交换群。 11・证明：阶是素数的群一定是循环群。 12.设G=S3=｛ (1), (12), (13), (23), (123), (132)),求G 的子群 H=｛ (1) , (12) ｝的所有右陪集与左陪集，H是不是一个不变子群？13.设群G=S3=｛ (1), (12), (13), (23), (123), (132) ｝, 证明:G的子群N=｛ (1), (123), (132))是一个不变子群,并给出商群G/N。 14.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群。 15.(1)举一个是交换环，无零因子环，但不是有单位元环的例； (2)举一个是除环，但不是域的例。 16.(1)举一个是交换环、有单位元环，但不是无零因子环的例； (2)举一个是除环，但不是整环的例。 17.假定R是一个有单位元的无零因子环，JI R对于加法来说作成一个循环群， 证明：R是一个整环。 18.假定R是一个有n(>2)个元的交换环，且R无零因子，证明：R是一个域。 19.假定R是整数环，证明：(2, 5) = (1) 20.假定R是偶数环，证明：(4)是R的最大理想。 第三部分部分思考题解答

模4剩余类环Z4得零因子

模4剩余类环Z4得零因子 4-5模n剩余类环详解近世代数第四章环与域 §4 模n剩余类环定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于整数b，是指 m∣a－b, 并写a≡b (mod m). 整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+ 2,…mk+(m-1); k∈z，每一个算一类，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。定义2：模 m 的剩余类环Ｒ＝｛模 m的剩余类｝，规定 R中的加法和乘法如下：如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R关于加法是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律成立 2. 剩余类环的性质例 1 定理2 推论定理1 设 ,则为的零因子 (1) (2) 为的可逆元证：(1)若为的零因子,则存在 ,使得 ,故 .若 ,则 ,所以 ,矛盾.于是 . 反之,如果 , 设 ,则 ,所以 ,但 ,于是是零因子. (2)若为的可逆元,则 ,即于是, ,使得 ,也就是，所以反之, 如果 ,则 ,因此, ,故可逆. 剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子. 解 (1) (2) 直接计算可知,相应的逆元为全部零因子: 全部可逆元: (3) 全部子环: (4) 各子环特征: 为无零因子环为素数. 为素数，若，则，或者，即若不是素数，则证：设为无零因子环. 为有零因子环. 为域为素数. （有限无零因子环是除环）例2 Z5是域，Z6不是域. 定理3 设m,n是两个正整数,

则Zm～Zn当且仅当n∣m 证：令定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环. 注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. 例 Z6的子环都是3阶循环环，但它们不同构. 例环Z6有T（6）＝4个子环例* *

近世代数 环与域

环与域 §1.2 环、除环、域的定义 1 判断题： 1.1 偶数环是有单位元的环。（ ） 1.2 偶数环2Z 是整环。( ) 1.3 设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。（ ） A ）R 中无零因子； B ） R 的乘法适合左消去律； C ） R 的乘法适合右消去律； 1.4 在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 （ ） 1.5 对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 1.6 剩余类环是一个整环 （ ） 1.7 整环（R ，＋， ）若对乘法成群，则这个整环是域（ ） 1.8 若(R,+,∙)是一个环,且(R,∙)也构成一个群,则(R,+,∙)是一个除环。 1.9 设环（R ·,+ ·）≠{0},则R 的零元0也是环R 的单位。（ ） 1.10 设环>∙+<,,R 的加法群是循环群,那么环R 必是交换环. （ ） 1.11 整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ） 1.12 含2个元素的环是域。 （ ） 1.13 无零因子环的特征 1.14 无零因子环的特征一定是素数。( ) 1.15 1.16 无零因子环R 的特征或是零或是一个素数。( ) 1.17 剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ） 1.18 模27的剩余类环Z 27是域。 （ ） 1.19 存在特征是2004的无零因子环。 （ ） 1.20 1.21 含7个元的环是交换环。 （ ） 1.22 含8个元的环是交换环。 （ ） 1.23 1.24 子环、环的同态 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29

1.30 理想 1.31 1.32 1.33 在整环中,左理想一定是理想。( ) 1.34 没有非平凡理想的环是除环。( ) 1.35 1.36 1.37 环R 的主理想(a)={ra|r ∈R} 。 剩余类环、同态与理想 最大理想 1.38 在交换环R 中，极大理想一定是素理想。（ ） 1.39 在整数环Z 中，(-3)是极大理想。( ) 1.40 环2Z 与环3Z 是同构的,({}{}Z k k Z Z k k Z ∈=∈=|33,|22)。（ ） 1.41 在Z[x]中，(-3, x )是极大理想。（ ） 1.42 在 Z [x ] 中，(x )是素理想。（ ） 1.43 在环R =4Z 中，)16(R 是域。（ ） 1.44 若R 是环，R a ∈，则（a ）=｛ra|r ∈R ｝（ ） 1.45 商环)21(][i i Z +的特征是2。（ ） 1.46 设f 是环R 到环'R 的环同态，I 是R 的一个理想，则f (I )是'R 的一个理想。 1.47 在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ） 1.48 理想必是子环,但子环未必是理想. （ ） 1.49 域只有零理想和单位理想。 （ ） 1.50 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. （ ） 1.51 商环)1(] [2++x x x Z 是一个域。 （ ） 1.52 商环)2(][i i Z -是一个域。（ ） 1.53 一个有单位元的交换环的商环是有单位元的交换环。（ ） 1.54 如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（ ） 1.55 若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（ ） 1.56 )(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 1.57 若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域， 这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（ ）

近世代数习题解答(张禾瑞)四章Word文档

近世代数习题解答 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2 是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是 n m 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12 =ε时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则1 1-=εε 2 '2 21ε ε= 即2 '2 1ε ε= 但2 2 2 b a +=ε 是一正整数，同样2 'ε 也是正整数， 因此，只有12=ε 反之，若1222 =+=b a ε ，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位

此外，再没有一对整数b a ,满足12 2=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52 =α 的I 的元α一定是素元。 事实上，若52 =α 则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2 22 5,λβαβλα=== 则 12=β或52=β ββ⇒=12 是单位λαβλ ⇒=⇒-12 是α的相伴元 λλβ⇒=⇒=152 2 是单位βαλβ⇒=⇒-1是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2 2 25λβ= 这样，2 β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当 152 2 =⇒=λβ由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看 52 =β的情形 5,222 =+=+=b a bi a ββ可能的情形是 ⎩⎨⎧==21b a ⎩⎨⎧=-=21b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨ ⎧-=-=21 b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-=1b a ⎩⎨⎧=-=12b a ⎩⎨⎧-=1b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知 52 =β的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ， n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。 用数学归纳法证 当2=n 时，由本节定理３知结论正确。 假定对1-n 个元素来说结论正确。

近世代数习题解答3

近世代数习题解答 第三章 环与域 1 加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+⇒∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈, S a S a ∈-⇒∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00 故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ⨯ 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2 交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111 111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证 设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2 )]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2 ))((mna na ma =