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(2020年整理)暑假小升初数学衔接班教材讲义(1).doc

2013年暑假小升初数学衔接班教材讲义

主编：

第一讲：认识有理数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2

第二讲：数轴与相反数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8

第三讲：数轴与绝对值。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15

第四讲：有理数的加法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。21

第五讲：有理数的减法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。28

第六讲：有理数的加减混合运算。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。33

第七讲：有理数的乘法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。40

第八讲：有理数的除法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。48

第九讲：有理数的乘方。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。54

第十讲：有理数的混合运算。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。60

第十一讲：复习有理数及其运算（一）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。64

第十二讲：字母表示数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。67

第十三讲：代数式。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。71

第十四讲：复习有理数及其运算（二）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。75

第十五讲：期末考试检测试卷。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。80

第十六讲：初中数学启蒙教育------------初中数学的学习方法与学习习惯

第一讲：认识有理数

一.学习目标：

1 了解与负数是从实际需要中产生的；

2 理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数；

3 初步会用正负数表示具有相反意义的量；

4 在负数概念的形成过程中，培养学生的观察，归纳与概括能力。

二.重点与难点：

1.正数与负数的概念和有理数的分类

三．学习过程

◢正数与负数同学们，到目前为止，我们学过的数有哪些呢？

在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、32、4

36这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，4

1-......，我们把它们叫。为什么有正数和负数的存在呢？我们来看一下面的问题：

把下列具有相反意义的量有用线边起来：

（1）收入20元前进100米

后退100米支出20元

高于海平面155米亏损6万元

盈余6万元低于海平面155米

（2）零上10C ? 运出50筐梨

高于海平面8848米低于海平面392米

运进80筐梨零下5C ? 学习与归纳：

①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上号，把另一个数前面加上号来进行区分；前面带号的数叫做正数，前面的号经常可以省略不写，前面带号的数叫做负数，前面的号不可以省略；

② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；

③ 大于零，小于零，正数一切负数。

现在我们就把正数与负数的概念总结如下：

像5，2.1，2

1，???这样的数叫做正数，它们都比0大。在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32-

，??? 0既不是正数，也不是负数。

同学们，对于数学概念我们要在具体的实例中来理解，现在我们就来体会并

理解它们吧。

典型例题讲解（理解新知识）

例1：填空：

（1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作，80-元表

示。

（2）手表的指针顺时针旋转?90记作?-90，那么逆时针旋转?60则记作。（3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作，吐鲁

番盆地海拨155-米表示。

变式练习：

判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（）

（2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（）

（3）零上10C ?和支出20元是两个相的反意义的量（）

解题方法点拨：

（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正

数，那么具有相反意义的量就为负数。

（2）一般情况下，正、负规定如下：符号具有相反意义的量 + 收入盈余上升零上向东增加 ┄┄ －

支出亏损下降零下向西减少 ┄┄

◢有理数及其分类

试一试：把下列各数分别填在相应的大括号内

7， 25.9-， 109-

， 274， 106， 15-， 15

7， 31.25， 301-， 5.3- 0 ， 2.1 ， 10% ， 314-。正整数集合{ …}；负整数集合{ …}；整数集合{ …}；正分数集合{ …}；负分数集合{ …}；有理数集合{ …}；学习归纳：

①像1，2，3，4，5，…这样的数叫，像5-，4-，3-，2-，1-这样的数叫； 0，统称为整数；

②像21，0.8，45，327的数叫，像21-，—0.8，45-，3

27-的数叫；，统称为分数；

③ 和统称为有理数；

有理数常用的两种分类方式：

注意：在所有含“正”、“负”字眼的集合中，都不能出现“0”．因为“0”既不是正数也不是负数．在有理数的分类中，未出现小学学过的“小数”“自然数”，是因为有理数中的小数都可以化成分数的形式；而“自然数”又包含在整数的范围内．

典型例题讲解（理解新知识）

例2：把下列各数填在相应的括号内。

5-， +31， 1.62， 4， 0， 1-， 1， 61， 7-， 3

71-， 7， π 。（1）正整数集合：（）

（2）分数集合：（）

（3）负数集合：（）

（4）有理数集合：（）

（5）非负数集合：（）解题方法点拨：

认识有理数，我们只要根据概念直接理解就可以了，同时，我们也要注意以下几点：

（1）0不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界，更是一个整数。

（2）正数集合包括正整数、正分数；整数集合包括正整数、0和负整数；π不是有理数，

但14.3是有理数哦。

（3）通常把正数和0统称为非负数；负数和0统称为非正数；正整数和0统称为非负整数（也叫做自然数）；负整数和0统称为非正整数。

（4）在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准。

基础导学练习（理解新知识）

1. _____________、_____________、_____________统称整数；分数有___________，

___________；__________和__________统称有理数

2. 珠穆朗玛峰高出海平面8.848km ，记为海拔＋8.848km ，那么吐鲁番盆地低于海平面 155m ，应记为海拔_______________．

3. 如果从成都出发向西走175km 记作＋175km ，那么－120km 表示__________________．

4. 关于0的叙述错误的是（）

A ．零大于所有的负数

B ．零小于所有的正数

C ．零是整数

D ．零既是正数，也是负数

5. －3不是（）

A ．有理数

B ．自然数

C ．负整数

D ．整数 6. 负数是指（）

A ．把某个数的前边加上“－”号

B ．不大于0的数

C ．除去正数的其它数

D ．小于0的数

7. 非负数是（）

A ．正数

B ．零

C ．正数和零

D ．自然数

8. 下列四句话中，错误的是（）

A ．存在最小的自然数

B ．存在最小的正有理数

C ．不存在最大的正有理数

D ．不存在最大的负有理数

9. 在0，21，－5

1，－8，+10，+19，+3，－3.4中整数的个数是（） A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

10. 关于0的一些说法正确的有__________________．（将序号填在横线上）

① 0既不是正数也不是负数；② 0是最小的自然数；③ 0是最小的正数；④ 0是最小的非负数；⑤ 0既不是奇数也不是偶数；⑥ 0是整数。

11. 最小的自然数是____________，最大的负整数是______________．

12．下列各关系中，不具有相反意义的量的是（）

A 。物价上涨3元与下降2元。

B 。收入增加6.9%和减少3.4%。

C 。升温5C ?与降温5C ?。

D 。亏本10元与胜利10场。

13．零上C ?5比零下C ?3高 C ?。

14．有七个数：5-，0，312，1.0-，34，4

1-，14.3，其中正数有个，负整数有个，非负数有个。

15．地图上标有甲地海拔高度34米，乙地海拔高度23米，丙地海拔高度12-米，其中最低处为地，最高处为地，它们相差米。

16. 某次考试成绩90分以上为优秀，以90分不标准把三名同学的成绩记为5+，0，10-，那么这三名同学的实际成绩分别为。

17. 写出3个大于1-的负分数。

课后阶梯练习（巩固新知识）

A 组练习题

1。（1）如果零上5C ?记作+5C ?，那么零下3C ?记作；

（2）东、西为两个相反方向，如果4-米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示，物体原地不动记为。

2．（1）如果节约了15万元记作15+万元，那么浪费了6万元，记作。

（2）有理数中，最小的正整数为，最大的负整数为。

3．（1）如果节约20千瓦时电记作20千瓦时，那么浪费10千瓦时电记作；

（2）如果+20%表示增加20%，那么%6-表示；

（3）如果50.20-元表示亏本20.50元，那么+100.27表示。

4．下列说法中错误的是（）

A ．正有理数是正整数和正分数的统称。

B ．偶数包括正偶数、负偶数和零。

C ．整数是正整数和负整数的统称。

D ．1-是最大的负整数。

5．在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下：

上升3厘米；下降6厘米；下降1厘米；不升不降。

如果上升3厘米记为+3厘米，那么其余3个记录分别记为什么？

6．把下列各数：%10- ， 43-， 031.0， 210， 7-， 0，

542， 1312-， 9.6， 3.6-， 5+， 2

1-。填入它所属于的集合内：

正数集合：｛｝；

负数集合：｛｝；

整数集合：｛｝；

负分数集合：｛｝

非正数集合：｛｝。

B 组练习题

1．某日傍晚，黄山风景区的气温由中午的零上2C ?下降了7C ?，这天傍晚黄山风景区的气

温是。

2．冬季某天北京的气温是C ?-10，长春气温是C ?-18，气温比气温低。

3．下例说法：①正有理数和负有理数统称为有理数。②存在最小的整数。③存在最小的自

然数。④0表示什么也没有。⑤正数、负数统称为有理数。⑥0是最小的正

数。⑦0既不是整数也不是分数。⑧0是最小的整数。⑨最小的正整数是1。

正确的序号是：。

4．按规律，写出后面的3个数，并指出第199个数是什么。

（1）1，31-

，51，7

1-，，，，第199个数是。（2）2，1-，3，1-，4，1-，，，，第199个数是。 5．一名足球守门员练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负数。他的记录如下（单位：米）：5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-。

（1）守门员是否回到守门的位置？

（2）守门员离开守门的位置最远是多少？

（3）守门员离开守门位置达10米以上（包括10米）的次数是多少？

请问：（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？

（2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？

（3）该公司第一季度利润为多少万元？

C 组练习题

1.下列说法不正确的是( ).

A.0既不是正数也不是负数

B 一个有理数不是整数就是分数。

C.一个整数，不是正的就是负的。

D.一个分数，不是正的就是负的。

2.两个圈分别表示正数集合和整数集合，你能说出图中表示的是什么数集合吗？

正数集合

负数集合

3.写出6个有理数（不能重复），且同时满足下列三个条件：（1）6个数中有四个非正数;(2)6个数中有3个负整数；（3）6个数中有2个正整数。

第二讲：数轴与相反数

一．学习目标

掌握数轴的概念，数轴的三要素。 2.

知道数轴上的点与有理数的关系。 3.

会用数轴上的点表示有理数，并会比较数的大小。 4. 掌握相反数的概念，会求一些数和代数式的相反数。

二．重点与难点：数轴和相反数的具体运用。

◢数轴：

联系生活，创设情景：

1. 观察一下右边的温度计，你会读吗？

2. 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽

车站东3 m 和7.5m 处分别有一棵柳树和一棵

杨树，汽车站西3m 和4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情景：

电线杆槐树汽车站柳树杨树知识链接，抽象概念：

1. 观察一下直尺，直尺上哪边的数大，哪边的数小？有理数可以用直线上的点来表示吗？

2. 同学们，请结合问题情景，回答下面的问题：

数轴的画法：

第一步：画一条，在上任取一个点表示数0，这个点叫做；第二步：规定从原点向右的为_______方向，那么相反的方向（从原点向左）则为负方向；第三步：选择适当的长度为____________从直线上原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示-1，-2，-3，…；通过上面问题引导，我们将会得到下面的图形，我们把这个图形叫数轴。

在这条数轴上，3+可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，2-可以用位于原点左边2个单位长度的点表示。

学习归纳：

数轴的定义：像这样，规定了、和的直线叫做数轴。想一想： 4

1用数轴上的哪个点表示？5.1 呢？导学练习：

1. 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．

①4523

②-10231 ③-1-202

1 ④0

⑤-101 ⑥-1-20-321

2. 图中A 、B 、C 、D 分别表示什么数？

3. 写出数轴上点A ，B ，

C ，

D ，

E 所表示的数:

◢利用数轴比较数的大小

4. 画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：

1 -

2 -3.5 2.5 0 -1 2 3.5

思考：

0.1 0.01 0.001 0.00···01能在数轴上表示吗？在第1题中BC 之间有多少个点？每一个点都能用有理数表示吗？0右侧的数一定比左侧的数大吗？

学习归纳：

1. 任何一个有理数都可以用上的一个点来表示，但数轴上的每个点不一定都可以用表示。

2. 数都在原点右侧，数都在原点左侧，就是原点。一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的边，与原点的距离是 a 个单位长度。

3. 数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边的大；

正数大于0，负数小于0，正数大于负数.

导学练习：

1. 比较下列每组数的大小

（1） -10 ， -7 （2） -3.5， 1

-1-2-30D C B A （3）21-，4

1- （4） 3.8， -4.1 2. 在四个数0，-2，-1，2中，最小的数是（）

（A ）0 （B ）-2 (C) -1 (D)2

◢相反数：

想一想： 2与2-有什么相同点和不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？23和2

3-， 5和5-呢？请你用数轴来探究这个问题。

学习归纳：

1. 如果两个数只有不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数。特别地，0的相反数是。

2. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的，并且与原点的距离。

3. 相反数的性质：。

导学练习：

1. 如图所示，表示互为相反数的点是（）

A ．点A 和点D

B ．点B 和点

C C ．点A 和点C

D ．点B 和点D

2. 如果a 与-3互为相反数，那么a 等于（） A ．3 B ．-3 C ．

13 D ．-13 3. 23

的相反数是________，-15的相反数是______，0的相反数是________． 4. 若a 的相反数是b ，则下列结论正确的是（）

A ．a = b

B ．a + b = 0

C ．a 和b 都是正数

D ．a 是正数，b 是负数

5. 在数轴上到原点距离等于2的点所对应的数是_________，这两点之间的距离是______．

典型例题讲解（理解新知识）

题型一：求一个数的相反数

例1：求出下列各数的相反数，把其相反数在数轴上表示出来，并用“<”连接起来。

21，5-，0，5.3-，4

13。

解题方法点拨：

（1）在画数轴时，一定要注意标明原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。

（2）一般地，利用数轴比较几个数的大小，可利用“数轴上两个点表示的数，右边的总比

左边的大”这一性质进行比较。

例2：化简下列各数的符号：

? ??-

-21 )5.3(+- )1(-+ [])5(--- 解题方法点拨：

多重符号化简，只需考虑负号的个数，而不必考虑有几个正号。当负号的个数为偶数时，最后符号为正；当负号个数为奇数时，最后符号为负。正号可以省略不写。

例3：（1）10-的相反数是，3

15相反数是，0相反数是。（2）??? ??

--213的相反数是，??

??????? ??---312的相反数是。（3） a 的相反数是， b a -的相反数是，

b a +的相反数是。

解题方法点拨：

（1）求一个数的相反数时，我们可以根据相反数的定义，在这个数前面添上一个“—”号。

（2）当一个数有多重符号时，我们可以先化简，再求这个数的相反数。

题型二：相反数的性质

例4：若62-x 的相反数是3-，求x 的值。

变式练习：

若13-x 与92-x 互为相反数，求x 的值。

解题方法点拨：

相反数是成对出现的，不能单独存在。根据相反数定义可知，“互为相反数的两个数和等于0”。我们可以利用这一性质列出方程，求解未知数的值。

题型三：数轴上的动点问题

例5：数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为。

变式练习：

在数轴上，点P 表示的数是2-，从P 点出发，沿数轴移动4个单位到达点Q ，则点Q 所表示的数为。

解题方法点拨：

在数轴上，到某一个点的距离（不为0）的数有两个，它们分别在这个点的两侧，且到这个点的距离相等。

课后阶梯练习（巩固新知识）

A 组练习题

1. 比较下列每组数的大小：

（1）8- 3-；（2）213

324-；（3）75- 52-；（4）21- 0。 2. 3-的相反数是；532-的相反数是；????????? ?

?---326的相反数是。 3. 数轴上的点A 到原点的距离是3，则点A 表示的数是。

4．到1-的距离是3的点表示的数是。

5．在5-，435-，325-这三个数中，离原点最远的点表示的数是

，其中数最小，的相反数最大。

6. 如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（）

A ．a ＜1＜－a

B ．a ＜－a ＜1

C ．1＜－a ＜a

D ．－a ＜a ＜1

7. 下列说法正确的是（）

A ．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数

B ．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数

C ．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数

D ．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数

8. 2

的相反数是（） A ．2- B ．21 C ．2 D ．21- 9. 求下列各数的相反数。

（1）)5(+-；（2）)5(--；（3）)32(-+；（4）)3

21(--；（5）14.3-π

10. 计算：1 + 2 + 3 + … + 2004 + (－1) + (－2)+ (－3) + … +(－2004)

B 组练习题

1. 若2+a 的相反数是5-，则=a 。

2．大于5.4-小于2的整数有。

3．在数轴上，点A 、B 分别表示5-和2，则线段AB 的长度是。

4．当a 和b 互为倒数，m 和n 互为相反数时，则=++ab n m 2

3 。 5．如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数，则=+b a 。

6．数轴上A 点表示3-，B 、C 两点表示的数互为相反数，且点B 到点A 的距离是2，则点C 表示的数应该是。

7．如果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果a 2-=,则b 的值为。

8. 如图是一个正方形纸盒的展开图,在其中的四个正方形内标有数字1，2，3 和－3，要在

其余的正方形内分别填上―1，―2，使得按虚线折成的正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则A 处应填。

0 1

A (第6题图)

9. 一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后，得到它的相反数的点，则这个数是

( )

A ．3

B 。－3

C 。 6

D 。－6

10．如果2(x+3) 与3(1－x)互为相反数，那么x 的值是 ( )

A ．－8 Ｂ。8 C 。－9 D 。9

11．如果a 的相反数是－2，且2x + 3a = 4，求x 的值。

12. 若a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，且)2(--=m ，求

2013

3b a m xy ++的值。

第三讲：数轴与绝对值

一.学习目标;

1.深刻理解绝对值的意义。

2. 会解决关于绝对值的有关问题。

3.掌握数轴上的点与绝对值的关系。

二．重点与难点：绝对值的具体应用。

◢绝对值及其性质：

观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：

1. 小兔子在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。

2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？

答：它们到原点的距离____________，都等于___________。

学习归纳：

在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。

导学练习：

1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。

2. =-12____________，=3

25____________，=-5.0____________。学习归纳：

1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。即：

当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。

2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；

从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。

3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。

4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。即：若6=a ，则=a 。 ◢利用绝对值比较两个负数的大小

做一做：

（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：

5.1- 3- 1- 5-

（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：

（3）你发现了什么？

学习归纳：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

典型例题讲解(理解新知识)：

题型一：利用绝对值求有理数

例1：（1）若2=x ，则=x ；

（2）若312=+x ，则=x 。

变式练习：

1. 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。

2. 已知2=a ，3=b ，且a b b a -=-，求a 、b 的值。

解题方法点拨：

绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数。我们可以根据这一性质列出方程，求出未知数的值。

题型二：利用非负数和为0求值

例2：已知032=-++b a ，求a 和b 的值。

变式练习：若0132=++-+-z y x ，求z y x ++的值。

解题方法点拨：

绝对值具有非负性；任何一个数的绝对值都大于或等于零，即0≥a 。因此，非负数具有一重要性质：非负数的和等于零。即，若0=+b a ，则0=a 且0=b 。

题型三：化简绝对值

例3：（1）=-2 ； =+7 ； =--2

12 。

（2）当21<<-x 时，化简：①1+x ； ②21-++x x

变式练习：

1．计算：①8

31611--； ②2324+--÷- 2．计算：

11011100110119911001---+- 解题方法点拨：

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。当我们化简一个数的绝对值时，一定要判定这个数与0的大小关系。

基础导学练习（理解新知识）：

1．（1）7-的相反数是，绝对值是；

（2）某数的绝对值是5，则这个数是；

（3）=-3π ，化简：=--)2( 。

2．绝对值小于3的整数有个，它们分别是。

3．下列各对数中，互为相反数的是（）

A ．)7(+- 与 )7(-+

B ．21-

与 )5.0(+- C ．411- 与 54 D ．)01.0(-+ 与 100

1- 4．在数轴上表示下列各数，并求出它们的绝对值：

3-， 6， 3-， 45， 8.2- 5．比较下列各组数的大小：（1）101-

， 72-；（2）5.0-， 32-；（3）0， 32-；（4）7-， 7。 6．计算：

（1）2.63?-；（2）49.25-+-；

（3）831611--；（4）3

1432÷-。课后阶梯练习（巩固新知识）

A 组练习题

1．5-对应点到原点的距离是，所以=-5 。

2．若3=m ，则=m 。

3．比较大小：

（1）65- 75-； 6

3； -)8(-。 4．计算：=-5 ； =-+5.36 ； =?-÷-2324 。

5．绝对值最小的数是，绝对值等于1的数是，绝对值小于3的整数有，绝对值小于3的自然数有，绝对值不大于3的整数有。

6．数a 在数轴上的位置如图所示，则=-2a 。

7．（1）若7=-x ，则=x 。（2）若12=-x ，则=x 。

8．如果3>a ，则=-3a ，=-a 3 。

9．已知032=-++y x ，那么=x ，=y 。

10．下列说法正确的是（）

A ．绝对值相等的数相等。

B ．不相等两数的绝对值不等。

C ．任何数的绝对值都是非负数。

D ．绝对值大的数反而小。

11．在1--、0-、)2(--、24

--中，负数有（）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

12．下列说法中错误的是（）

A ．1+x 一定大于0。

B ．a 一定是非负数。

C ．若1-b 取最小值，则1=b 。

D ．b a +一定是正数。

B 组练习题

1．若a a -=，则数a 在数轴上对应点在（）

A ．原点的左侧。

B ．原点或原点的左侧。

C ．原点的右侧。

D ．原点或原点右侧。

2．下列各式成立的是（）

A ．若n m =，则n m =。

B ．若n m >，则n m >。

C ．若n m >，则n m >。

D ．若0<。

3．已知在数轴上的A 点到原点的距离是2，那么在数轴上到A 点的距离是3的点所表示的数是。

4．若033=+--a a ，则a 的取值范围是。

5．若02<<-a ，化简：=++-22a a 。

6．若2=a ，25=b ，0

7．已知0>ab ，则ab ab

b b

a a

++的值为。

8．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：

c c a b b a ------+22。

9．计算：

1101...415131412131-++-+-+- 10．已知2++b a 与

)12(2-ab 互为相反数，求代数式133)(2

++-+b

a a

b ab b a 的值。第四讲：有理数的加法

一．学习目标：

1.掌握有理数加法法则，能进行准确的计算。

二．重点与难点：有理数加法的法则和加法运算律的灵活运用。

◢有理数的加法法则

知识链接，探究新知：

同学们，请计算下面各题：

=+3020 =+105 =+3515

上面三个计算题，是同学们在小学时学过的整数加法，比较容易，现在我们就从这三个简单的计算开始，进一步探究并学习有理数的加法。

现在我们就用数轴来形象生动地表达上面的三个计算题：

（1）=+302050

生活情景1：小明沿着一条东西走向的跑道步行，先向东走了20米，再向东走了30米，请你确定小明现在位于原来位置的哪个方向？相距多少米？

（为了把问题说明更明确些，我们规定向东的方向为正，向西的方向为负）

原来的位置

（2）=+10515 生活情景2：小明沿着一条东西走向的跑道步行，先向东走了5米，再向东走了10米，请你确定小明现在位于原来位置的哪个方向？相距多少米？

（为了把问题说明更明确些，我们规定向东的方向为正，向西的方向为负）原来的位置

（3）=+351550 生活情景3：小明沿着一条东西走向的跑道步行，先向东走了15米，再向东走了35米，请你确定小明现在位于原来位置的哪个方向？相距多少米？

（为了把问题说明更明确些，我们规定向东的方向为正，向西的方向为负）原来的位置

请同学们在上面探究过程的基础上解决下面的问题：

1. 计算下面各题： =-+-)21()18( =-+-)32()16( =-+-)12()10(

2. 计算下面各题：

=-++)15()6( =+-8)17( =++-)23()10(

=-+)5(5 =-+)12(0

想一想，议一议：

两个有理数相加，和的符号怎样确定？和的绝对值怎样确定？一个数同0相加，和是多少？学习归纳：

有理数加法法则

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同0相加，仍得这个数。

我们可以把有理数加法法则进一步总结如下：

有理数加法法则“三步曲”（一定类型，二定符号，三定绝对值）：

第一步：确定有理数加法的类型（同号两数相加、异号两数相加）；

第二步：确定计算结果的符号；

第三步：确定计算结果的绝对值。

导学练习：

计算下面各题：

=-+-)25()14( =-++)39()21( =+-38)29(

=+++)13()45( =++-)108()86( =-++)56()32(

=-+-)65()32( =-++)43()1211( =-++)75.4()2

13( ◢有理数加法的运算律

同学们，我们在小学学过的加法交换律和结合律在中学阶段仍然可用。现在我们就来学习利用加法交换律和结合律简化计算：

典型例题赏析：

例1：计算：（1）)432(75.0-+ （2）21174128+??? ?

?- 解：（1）法一：2)2(0)4

3()2(43)432(43)432(75.0-=-+=-+-+=-+=-+ 法二：2)75.0()2(75.0)75.2(75.0)4

32(75.0-=-+-+=-+=-+ （2）2

117)41()28(21174128++-+-=+??? ??

- 2

1)41(17)28(+-++-= 41)11(+-=4

1)1(10+-+-= )4

3(10-+-= 4

310-= 例2：计算：（1）2)30()5(712+-+-++

（2）6

1)21(651)21

2(+-++- 解：（1）2)30()5(712+-+-++ （2）6

1)21(651)212(+-++- )30()5(2712-+-+++= 6

1651)21()212(++-+-= )35(21-+= 6

1651)21()21(2+++-+-+-= 14-= 23+-=

1-=

典型例题讲解（理解新知识）

题型一：带分数的加法

例1：计算：（1）4.5)438(+- （2）21174128+??? ?

解题方法点拨：

（1）当分数和小数相加时，我们可以把小数化成分数，然后按照分数的加法法则进行计算；

也可以把分数化成小数，然后按照小数加法的法则进行计算。

（2）带分数相加时，我们可以把带分数拆成整数部分与分数部分的和，然后整数部分与分

数部分分别相加，最后把结果相加。

题型二：多个数的有理数加法

例2：计算：（1）)18()16()14()26(++-+-++

（2）)10

32()8.0()2.1(1032

-+-+-+

解题方法点拨：

（1）同号两数相加，可以简化计算。（2）互为相反数的两个数相加，可以简化计算。

例3：（1）)413(215)312()324(-++-+-； )4

15(75.8)219()25.8(-++-+- （2）)14

3(41)721(75.2-++-+； )24()26(43-+-+

解题方法点拨：

（1）同分母分数相加，可以简化计算。（2）能凑成整数或整十的数相加，何以简化计算。基础导学练习（理解新知识）

1．计算：

（1）21)17(+- （2）())21(29-+-

（3）)28(17-+ （4）0)13(+-

2．计算：

（1）)1063()1032

(++- （2）)325()612(-+-

（3）833)25.4(+- （4）21)53(+

（5）312323

-+- （6）413)6.2(+- 3．计算：

（1）)8()32(40)3(-+-++- （2）)34(47)56(13-++-+

（3）)43(27)77(43-++-+ （4）)72(1652)26(-+++-

小升初数学衔接资料(最完整版)

七年级数学上册第一章有理数本章的教学时间大约需要课时，建议分配如下： §2.1 正数和负数---------------1课时 §2.2 数轴-------------------------1课时 §2.3 相反数------------------------1课时 §2.4 绝对值----------------------1课时 §2.5 有理数的大小比较----------1课时 §2.6 有理数的加法--------------1课时 §2.7 有理数的减法----------------1课时 §2.8 有理数的加减法混合运算--------1课时 §2.9 有理数的乘法----------------1课时 §2.10有理数的除法----------------1课时 §2.11有理数的乘方----------------1课时 §2.12科学记数法------------------1课时 §2.13有理数的混合运算---------1课时 § 复习-----------------------------------1课时 1.1正数和负数一、基础知识 1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。） 2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。 3. 0既不是正数也不是负数。 4．带有正号的数不一定是正数，同样带有负号的数不一定是负数。说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。 ▲ 本节重点：能正确识别负数、用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。教学中要特别强调“0”的特殊身份，明确“0”既不是正数，也不是负数，二、知识题库 1．将下列各数按要求分类填写 5、0.5 6、- 7、0、29、－3 2、100、-0.00001 其中是正数的是（），是负数的是（）。 2．如果水位上升1.2米，记作 1.2 米；那么水位下降0.8米，记作_______米. 3．甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为，这时甲乙两人相距 m. ． 4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在 ℃~ ℃围保存才合

高一数学初升高衔接班第五讲绝对值不等式的解法讲义

第五讲绝对值不等式的解法一.理解性概念 b?cax?b??c(cx??0ax)a?(a?0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集 ??a?a?x(a?0)x?x?a; 的解集是不等式??a??xa,或xx??a(a?0)x不等式的解集是??)0(c?cax?b?)(c?0bx|?c?ax??c; 的解集为不等式??)?0?ax?bc(c)0c或 ax?b?c?(?x|ax?b?c,不等式的解集为三、讲解范例：5500?x??5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例不等式：例4 解例3 解不等式：|4x-3|>2x+1. |x-3|-|x+1|<1. x)(?)aa?Rxa?xa(?R , 解关于5. 的不等式①②例 x)R?(???2x31aa. 6.例解关于的不等式 1 课堂练习卷分满分100建议用时40分钟一、选择题2a?6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6 D. +6 B. - -6 A. 6- C. x( ) 8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8?? D. C. {(1,-1)}

R B. ?? 3??3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3 B. 2 C. -2 D. -5 AxxBxxAB等于( ) | || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5} ≤0} D. {A B}??1?10?x A?{x x?Z且}x?5 x?Z且B?{x 中的元素个设集合，则，5.数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 15 23??x?R2yyy?x?2x?3,NMMN）︱}，则集合={y（6.已知集合∩={ }, 1???4?yy1??y?5yyy??4 } C. {} B. {A. { 5??x3x）或7.的否定是（语句 5x?x?或x?35?3或x A. B. 5x3且?x3x?且x?5? C. D. 二、填空题xx . 2 ，不等式｜｜≥3的解集是-1的解集是1.不等式｜+2｜＜31x??11的解集是不等式_________________. 2.2 cab三数的点的位置，化简3.根据数轴表示,,2 cacbab|= ___ . +-|+|||-|+三、解答题x?21解不等式1.??0xx｜-3 ＞0 1.- 2｜ 2.解不等式22x2 2 x Bx AUxxx+3｜＜2},｜｜- 2求：- 8＞3.已知全集,= R0},={ ｜={ ABABABAB））∩（C,（,C（∪C） (2) C,C(1)∪uuuuu

2018年小升初衔接班教材--数学

2018年小升初衔接班教材目录第一章有理数 (2) 第二章整式的加减 (30) 第三章一元一次方程 (38) 第四章图形的初步认识 (43)

7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有的意义． 8．举出2对具有相反意义的量的例子： 9．某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？ 10．某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分三、直通中考 [2010年济南市中考] “甲比乙大-2岁”表示的意义是（） A 、甲比乙小2岁 B 、甲比乙大2岁 C 、乙比甲大-2岁 D 、乙比甲小2岁 [2009年山东中考] 某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（） A 、-10℃ B 、-6℃ C 、6℃ D 、10℃ 1.1有理数一、知识海洋 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数） 2.有理数的分类：（1）按整数分数分类 ??? ? ?????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..

暑期小升初数学衔接(教学导案)

暑期小升初数学衔接(教案)

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暑期小升初衔接专题一负数1、相关知识链接小学学过的数：（1）整数（自然数）：0，1，2，3………… （2）分数：1131 ,,,1, 2342 …………… （3）小数：0.5，1.2，0.25………… 提问：（1）温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2）海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3）生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？ 2、教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。【知识点1】正数与负数的概念（1）正数：像5，1.2，1 3 ，125等比0大的数叫做正数。（2）负数：像-5，-1.2，-1 3 ，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比 0小，“-”不能省略。注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0 【例1】下列那些数为负数 5，2，-8.3，4.7，-1 3 ，0，-0 【知识点2】有理数及其分类（1）有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。（2）有理数分类：按性质分类： ,5.2 , 5.2?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? - ??? ? 正整数：如1，2, 3，… 正有理数11 正分数：如，，… 23 有理数负整数：如-1，-2,- 3，… 负有理数11 负分数：如-，-，… 23

优选初升高数学衔接测试卷试题学生版本.docx

初升高数学衔接班测试题（满分： 100 分，时间： 120 分钟）姓名成绩一．选择题（每小题 3 分） 1．若2 x25x 2 0 ，则4x 24x 1 2 x 2 等于（） A. 4x 5 B. 3 C. 3 D. 5 4x 2. 已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0 的解集为x | x1或 x 3}，则关于 x 的不等式bx2cx40 的解集为（） A. x | x2或 x1} B. x | x 1 或 x 2} 22 C. { x |1x 2} D. x | 2 x1} 22 3. 化简12的结果为（） 2131 A 、32B、32C、2 2 3D、322 4. 若0＜a＜1,则不等式（x－a）( x－1 )＜0的解为（） a A.x | a x1； B.x |1x a； a a

C.x | x a或 x 1 ； D. a 5. 方程 x2－4│x│+3=0 的解是( )x | x 1 或 x a a =±1或 x=±3 =1和x=3=－1或x=－3 D.无实数根 6．已知(a b)27 , ( a b) 23,则 a 2b2与ab的值分别是（） A. 4,1 B.2, 3 C.5,1 D.10, 2 3 2 7.已知y 2x2的图像时抛物线，若抛物线不动，把X轴，Y轴分别向上，向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（） A. y2(x 2) 22 B.y 2( x 2) 22 C. y2(x 2) 22 D.y 2( x 2) 22 8. 已知2 x23x 0 ，则函数 f ( x ) x 2x 1 （） A. 有最小值3 ，但无最大值； B.有最小值3，有最44 大值 1； C. 有最小值1，有最大值19 ； D.无最小值，也无最4 大值 .

初升高数学衔接班教案(学生版)分式方程与无理方程以及二元方程组

分式方程与无理方程以及二元方程组一、【归纳初中知识】 1、牢记初中阶段所学过解分式方程的关键步骤： ①通过找最简公分母去分母； ①检验增根 2、初中阶段所学习过最直接去根号的方法：平方法 3、初中阶段学习过二元一次方程的基本解法：消元法二、【衔接高中知识】 1、学会求解复杂的分式方程； 2、学会求解带根式的无理方程； 3、学会求解二元方程组；三、【例题精讲】例1、解方程： 0) 2(1)2(1422=++---x x x x x 例2：解方程：112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x 例3：解方程：1263=-+x x

例4：解方程：1253++= -x x 例5：解方程：932533222++=++x x x x 例6：解方程：8219533+= -+-x x x 例7：解方程组：???=-+=+01122y x y x 和?????=+-=+034102222y xy x y x

例8：解方程组：?????=+-=+--0 1220212y x y x 例9：解方程组：)0()8()2()3()7()1()5(2222222 22>?? ???=--+-=--+-=-+-r r y x r y x r y x

课后习题 1、关于x 的方程2 2144212-+=-++x x x x 的解为__________ 2、若) 2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A ，则=-B A _____________ 3、关于x 的方程18) 4(72721)4(=+-+-+x x x x x x 的解为__________________ 4、关于x 的方程33=-+x x 的解为_________________ 5、关于x 的方程1345=+-+x x 的解为___________ 6、关于x 的方程04222=--+-+x x x x 的解为___________ 7、关于x 的方程组：?????=+-=+0 65202222y xy x y x 的解为_______________ 8、解方程组：? ??=+=+833y xy x xy

小升初数学衔接班讲义课时

小升初衔接班讲义数学前言姓名:_____________

第1课正数和负数 ?知识网络 1、大于0的数是正数。 2、在正数前面添上符号“﹣”（负）的数叫负数。 3、认识正号“+”，认识负号“-”，0既不是正数，也不是负数。 4、如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。 ?例题精选（1）一个月内，小明体重增加2KG，小华体重减少1KG，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值？哪对反义词表示意义相反的量？（2）某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4% 德国增长1.3% 法国减少2.4% 英国减少3.5% 意大利增长0.2% 中国增长7.5% 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率？哪对反义词表示意义相反的量？ ?课堂练习 1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。 42 1,2.5,,0, 3.14,120, 1.732, -+--- 37 2.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示向 3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作水位不升不降时水位变化记作__________。

4.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作________℃，夜间平均温度零下150℃，记作_______________℃。 1．某人存入银行1000元，记作+1000元，取出600元，则可以记为：。 2．向东走5米记作5米，那么向西走10米，记作：。3．一潜水艇所在的高度是– 50米，一条鲨鱼在潜水艇的上方10米处，则鲨鱼所在的高度是米。 4．预测某地区人口到2005年将出现负增长，“负增长”的意义是：。 5．把下列各数分别填在对应的横线上：3，－0.01， 0，－ 21 2 , +3.333, － 0.010010001…, +8, －101.1 ,+8 7 , －100 其中：正数有：负数有： 6．在一种零件的直径在图纸上是 10 0.05（单位：㎜），表示这种零件的标准尺寸是㎜，加工要求最大不能超过㎜，最小不能超过㎜。 7．“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”，这句话对吗？为什么？

初升高衔接班

前言初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 1 数学语言在抽象程度上突变。初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、函数语言以及以后要学习到的逻辑运算语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3现有初高中数学知识存在“脱节”。立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用；因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等；二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧；二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。为了有效搞好初高中数学衔接，本篇讲义共28课时初高中课时比例约为1:5，并分为两部分：第一部分：方程与不等式；第二部分：集合与函数的概念。旨在为高中数学学习提供一个优良的基础。１

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第一讲数与式 1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。 ②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。 ③2 2 ()()()()f x g x f x g x >?>。（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|

（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解乘法公式（1）平方差公式 22 ()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222 ()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233 ()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233 ()()a b a ab b a b -++=- （5）三数和平方公式 2222 ()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223 ()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223 ()33a b a a b ab b -=-+- 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2 －3x ＋2；（2）2 672x x ++ （3）22 ()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32 933x x x +++ 3．公式法例3.分解因式：（1）164 +-a （2）()()2 2 23y x y x --+ 4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332 -+- （2）2 2 2456x xy y x y +--+-

初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用

方程与方程组以及不等式韦达定理一、【归纳初中知识】 1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。 2、对于任意的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=?能够判断其方程解的个数。二、【衔接高中知识】我们已经知道)0(02 ≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---= 则我们可以得到??? ????=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。反之，若21,x x 满足??? ????=-=+a c x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是) 0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。三、【例题精讲】例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：（1）2221x x +；（2）22 2111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意a x x x x x x ?=-+=-21221214)(

例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和 32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+ x x 例3：已知关于x 的方程014 1)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值. （1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =. 解析：（1）451410)141(4])1([22122=???? ????=+=≥+-+-=?k k x x k k （2）?????????? ???>?>?-=?=+=?=??=?=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则2 3= k 例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值解析：23222322)2(2)(222 212212221+-=-+?-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值8 7 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值. 解析：1017163)(221221212221-=?? ??≥?--=-+=-+m m m x x x x x x x x

小升初数学衔接班——学法指导

小升初数学衔接班——学法指导初中数学学习，你准备好了吗？——小升初衔接之数学学法指导一、学习目标通过比较小学和初中数学课程学习特点、学习方法和思维习惯的不同来解决小升初衔接阶段学生在学法上、心理上容易出现的问题，同时培养学生一些初中阶段应具备的数学能力。二、学习重点 1、认识初中数学的特点，了解在初中数学的学习过程中可能出现的问题，提前为即将开始的学习做好准备。 2、了解如何培养适合中学数学的学习方法、养成良好的学习习惯，并在后续的学习过程中自觉地以此要求自己。三、重点讲解（一）引语 1、数学学科的重要性。 2、衔接阶段会出现的问题。（二）认识初中数学 1、小学数学的特点（模仿性）在小学，由于同学们年龄较小，所以抽象思维能力较差，而模仿性较强；另一方面，小学教材中，例题类型多且全，有时老师还有补充，同学们能在课堂上见到几乎所有的题型，故同学们只要认真模仿就能学得比较好。例1、计算： 181 64.83535.1744 1919 +++ 分析：虽然此题的运算顺序应是从左到右，但是仔细观察四个加数的特点，发现第一个加数与第三个加数的和正好是一个整数，而第二个加数与第四个加数的分母相同。因此，我们可以利用加法的交换律和结合律进行简便运算。解： 181 64.83535.1744 1919 +++ 181 64.8335.17544 1919 =+++ 181 (64.8335.17)(544) 1919 =+++ =100+50 =150 只要同学们认真听讲，一定可以模仿着解答下列问题。练习： 41 2.75310.21 54 +++ 2、初中数学的主要内容初中数学主要包括以下内容：

初升高数学衔接班教案(学生版)一元二次不等式

不等式一、【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论： 1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解 2. 若0>a ，则解为a b x > 3. 若0++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找

出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。三、【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x 例2：因式分解法解不等式：3522->-x x 例3：图像法解不等式0122<++-x x 例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<- x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1） 0113<+-x x （2） 13 12≥+-x x 例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x

课后习题 1、不等式0262<--x x 的解集为______________ 2、不等式0322 <--x x 的解集为_________________________ 3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<--x x 的解集为____________________________ 7、不等式221 >-+x x 的解集为________________ 8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x 9、解不等式：063 222<++--+x x x x