2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克

第一天

1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。

2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值

DC BD 、EA CE 、FB

AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD

中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。

3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1

112

1232

221++++++a a a a a a n 的最小值。

4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？

第二天

5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点，

F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。

6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证：

.3)(4

1

2≤++-+c b c b a

7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2

3

)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ).

对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。

综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。

三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1

1,,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数

m 1、m 2，

.,1121212211k k m m k m k m ==?+=+

注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k

接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1

1,1111++≤+≤+i k m

m k m i m 则

由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1

1[++i k m

从而，).,(]1

1[5

1

k m f i k m

n i =++=

∑=

因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

参考答案

第一天

1．记)(n d 为正整数n 的正约数的个数。 （1）因为)17,13,11,7,5,3()

8(8==

p p d p

p ，又 ,

)128(12816,)360(36015,

)252(25214,)240(24012,

)

180(18010,)108(1089,)96(968,)72(726,)36(364,)8(82,)2(21d d d d d d d d d d d ===========

所以，1，2，…，17都是好数。

（2）假设存在正整数n ，使得

.18)

(=n d n

① 则可设),,2,1(,,103021k i p k p p n i k =?=其中α

αβα是大于3的相异质数，

).,,2,1(1,2,100k i i =≥≥≥αβα

令.0,0.2,100≥≥=-=-b a b a 显然βα 由式①得

k p p a a k a b a 131?

=).1()1)(3)(2(1++++k b a αα ② 由于对任意质数1+≥i a i i i p p α都有，从而，

.32)3)(2(b a b a ≥++

如果).3(33,3+>≥b b b

则 而),2(2

1

2,0+≥

≥a a a

时则

.

4,3,2,1,0,0;2,1,0,1;0,2,.2.),3)(2(2

3

32======≤++>

a b a b a b b b a b a 因此故矛盾

（i ）当0,2==a b 时，式②为

).1()1(1013112+++=k a

k a k p p αα

（ii ）当2,1,0,1==a b 时，式②为

).1()1)(2(2123121+++=?k a

k a a a k p p αα

（iii ）当4,3,2,1,0,0==a b 时，式②为

).1()1)(2(31211+++=k a kj a a a k p p αα

（i ）（ii ）（ii ）均不成立。 综上，18不是好数。

2．从六个比值中取出两个，共有两种类型： （1）涉及同一边；（2）涉及不同的边。 （1）如果同一边上的两个比值同时是整数，不妨设为

DC

BD 、.DB CD

因它们互为倒数，又同是整数，所以，必须都取1，则BD=DC 。

由于O 是△ABC 的外心，进而得AD 是边BC 的中垂线。于是，AB=AC 。 （2）记∠CAB=α，∠ABC=β，∠BCA=γ。

因为△ABC 是锐角三角形，所以，

∠BOC=2α，∠COA=2β，∠AOB=2γ。

于是，

.2sin 2sin β

γ

==??OAC OAB S S DC BD 同理，

.2sin 2sin ,2sin 2sin α

β

γα==FB AE EA CE 若上述六个比值中有两个同时是整数且涉及不同的边时，则存在整数m 、n ，使得

z n y z m x 2sin 2sin 2sin 2sin ==且 ①

或y n z x m z 2sin 2sin 2sin 2sin ==且， ② 其中，x 、y 、z 是α、β、γ的某种排列。 以下构造△A 1B 1C 1，使得它的三个内角分别为

180°—2α，180°—2β，180°—2γ。如图1， 过点

A 、

B 、

C 分别作△ABC 外接圆的切线，

所围成的△A 1B 1C 1即满足要求。

根据正弦定理，知△A 1B 1C 1的三边与α2sin 、β2sin 、γ2sin 成正比。在式①、②两种情况下，可知其三边之比分别为1:m:n 或m: n: mn.

对于式①，由三角形两边之和大于第三边，可知必须m = n ；

对于式②，要保证1)1)(1(,<-->+n m mn n m 即，由此，m 、n 中必有一个为1。 无论哪种情况，都有△A 1B 1C 1是等腰三角形。 因此，△ABC 也是等腰三角形。

3．由=++n a a a 212，知问题等价于求

.1111

1121

21232

3

222

221212

32

22211的最大值++++++=

+-+++-++-a a a a a a a a

a a a a a a a a a a n n n

因为0,0,,212≥>≥+y x x x 当所以时，

.

,0;

2

1

1,12,11212222

22上式也成立时当即=≤++≥+≥x xy x yx x yx x yx x x .

)()(4)

,,,(:.)()(4),4(0,,,,).(2

1

1

112211132212122111322121132212

12123232222

2

1n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++-++++=+++≤++++≥≥+++≤

++++++-- 设引理的证明则若引理故

下面用数学归纳法证明

.0),,,(21≤n a a a f ①

当4=n 时，不等式①等价

.)())((4243214231a a a a a a a a +++≤++

由平均值不等式知，命题成立。 假设不等式①对)4(≥=k k n 时成立。

对于1+=k n ，不妨设

).

,,,,(),,,(,

0])[(4])()([4)

,,,,(),,,(},

,,,min{1121121111111111111121121121+-++-++-++-+-+++≤≤+--=+-+-++=+-=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a f a a a f a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a f a a a f a a a a 即则

由归纳假设知，上式右边小于或等于0，即当1+=k n 时，不等式①成立。 回到原题。 由引理知

即故,2

1

111.2

1

281)(81)(21

212123232222

21222113221≤++++++=?=+++≤+++a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n .

,0,1.2

3111321212

32221上式取等号时当=====≥++++++n n a a a a a a a a a a

因此，所以最小值为.2

3

4．（1）记S 中的n 个点为A 1，A 2，…，A n . 建立直角坐标系，设).,,2,1)(,(n i y x A i i i =

易证.)1,1(01

11∑∑∑===?=n

i n i n

i i i i y n x n B BA

这说明，平面内存在唯一的一点B ，使

.01

=∑=n

i i

BA

我们称B 为点集S 的“质心”

。 如果任取P 中一条直线l 为x 轴，建立直角坐标系，则.01

∑==n

i i

y

故点B 在l 上。即P 中每一条直线均过质心B 。

（2）设

}.

|),,{(},|),,{(},

,,,|),,({21上在对称关于与三元有序组l X F l Y X F Y X F l Y X F l Y X P l S Y X l Y X F ∈=≠∈=∈∈= 显然，.,2121φ==F F F F F ①

考虑P 中任一直线l ，X 为S 中任一点，X 关于l 的对称点Y 是唯一的。即对每一个l ，

三元有序组（X ，Y ，l ）有n 个，故

.||mn F = ②

对于F 1中的三元有序组（X ，Y ，l ），因为不同的两点X 、Y 的对称轴只有1条，所以，

).1(22-==n n C n ③

（i ）当S 中任一点至多在P 中的一条直线l 上时，

.}|{||2n S X X F =∈≤ ④

由式①、②、③、④得.,)1(n m n n n mn ≤+-≤即

（ii ）当S 中存在一点同时在P 中的两条直线上时，由（1）所证，此点即为质点B 。

考虑集合P S B S S 仍关于此时'=',},{\中的每条直线对称，由（i ）所证， 得.1||-='≤n S m

综合（i ）、（ii ）得.n m ≤

（3）当m =n 时，由（2）所证，式③、④同时取等号，即S 中任意两点的中垂线均属于P ，S 中每点恰在P 中的一条直线，同时，质心B 不在S 中。

首先，指出),,2,1(n i BA i =相等。否则，如果存在j 、k j BA BA n k j k ≠≤<≤使得),1(，则线段k j A A 的对称轴不过点B ，与（1）所证矛盾。因此，A 1，A 2，…，A n 均在以点B 为圆心的圆上，记此圆为⊙B 。不妨设A 1，A 2，…，A n 按顺时针排列。 其次，A 1，A 2，…，A n 是⊙B 的n 个等分点。否则，

如果存在211),,,2,1(+++≠=i i i i A A A A n i i 使 （定义 2211,A A A A n n ==++）

。不妨设.211+++

的对称点在21++i i A A （不含端点）上。这与1+i A 、2+i A 是相邻两点矛盾。

因此，当n m =时，集S 中的点是正n 边形的n 个顶点。

易知正n 边形确有n 条对称轴。

故当且仅当S 中的点组成正n 边形n 个顶点，P 是正n 边形的n 条对称轴时，.n m =

第二天

5．证法1：如图3，作DM ⊥AC 于点M ，FN ⊥CD 于点N ，联结EM 、EN 。