三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结
三角函数、解三角形高考常见题型
解题思路及知识点总结
一、解题思路
（一）解题思路思维导图
（二）常见题型
1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【解析】2cos 2sin 2αα+=25
64
1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222
=++=++ααααααα故选A ．
2.三角恒等变换给值求值问题
典例2：（2016年2卷9）若π3
cos 45
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）
（A ）
7
25
（B ）15
（C ）1
5
-
（D ）725
-
【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ
7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选D ．
3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3
f x x =+，则下列结论错误的是（）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线8π
3
x =对称
C ．()f x π+的一个零点为π6x =
D ．()f x 在π
(,π)2
单调递减
【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左
平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质
π
5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛<>>2,00πϕω，A 解析式 典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A ）（B ） （C ） （D ）
【解析】由五点作图知，，解得，，所以
，令，解得＜＜，，故单调
减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质
6．三角函数图象的平移与伸缩变换 典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2
()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-
+∈13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13
(2,2),44
k k k Z -+∈1
+42
53+42
πωϕπ
ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 3
24k +k Z ∈124k -3
24
k +k Z ∈3
π
6
π
12
写性质 根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质
解题思路及步骤 注意事项
求A 和B ()max min 12y y A =
-，()max min 1
2
y y B =+， 求ω 先求周期T ，再由求ω
π
2=T 求ω 求ϕ
代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，
注意区分是在增区间还是减区间上 求解析式
写出解析式
解题思路及步骤 注意事项
写出变换法则 把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数 代入表达式
根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫
⎝
⎛
+62sin 3πx 向右平移4
π
个单位后得函数⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到曲线C 2
【解析】先变周期：
先变相位：
选D ．
7.解三角形知一求一问题
8.解三角形知三求一问题
典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知
． (1)求;
(2)若，的面积为2，求
解析:（1）依题得．因为， 所以，所以，得（舍去）或
12π
61
2
π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
⎛⎫==+⇒=+⇒=+
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2
sin 8sin 2
B A
C +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22
B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=22
16(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =
（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．
9.解三角形知二求最值（或范围）问题
典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
(1)求B.
(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.
【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，
所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，
因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.
4
π
(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos
4
π
，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为
1
2
acsin
4
π
≤
4
+1.所以∵ABC +1.
典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.
令AB c
=，BC a
=，则由正弦定理得
【解析】2,
sin sin sin
a c AC
A C B
====2sin,2sin,
c C a A
∴==且120
A C
+=︒，222sin4sin
AB BC c a C A
∴+=+=+2sin4sin(120)
C C
=+︒-＝2sin C+
1
4(cos sin)4sin
22
C C C C
+=++)
Cϕ
=(其中tan
2
ϕ=
∴当90
Cϕ
+=︒时，2
AB BC
+取最大值为
8
sin
17
B=2
ABC
S=
△
1
sin2
2
ac B
⋅=
18
2
217
ac⋅=
17
2
ac=
15
cos
17
B=
22215
217
a c b
ac
+-
=22215
a c b
+-=22
()215
a c ac b
+--=
2
361715
b
--=2
b=
ABC60,
B AC
==2
AB BC
+
二、知识点总结 （一）知识点思维导图
（二）常用定理、公式及其变形
1.同角三角函数关系：
()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；
()
sin 2tan cos α
αα
=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
2.诱导公式：对于角
α±π
2
k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ
3.两角和与差公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
4.二倍角公式： （1）升幂公式：
sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan α
αα=
-
（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决 定，tan b a
ϕ=
).
6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： 振幅：A ，周期：2π
ω
T =，频率：12f ωπ
=
=T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+
()k ∈Z 时，
max 1y =；当22
x k π
π=-
()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在2,222k k ππππ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣
⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．
在
[]()
2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在
[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,22k k ππππ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭ ()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴()2
x k k π
π=+
∈Z
对称中心(),02k k ππ⎛⎫
+∈Z
⎪⎝
⎭对称轴()x k k π=∈Z
对称中心(),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
无对称轴
函 数
性 质
8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移
ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数
()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍
（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕ
ω
个单位长度，得到函数()
sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），
得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
9.正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =
，sin 2b
R B =，sin 2c C R
=； 化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .
10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 222
2cos c a b ab C =+-.
边角互化变形：222cos 2b c a bc
+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 2
22-+=
11.面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
（3）()c b a r S ++=2
1
（r 为三角形内切圆半径）
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(⨯= ⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
高考数学之三角函数和解三角形
高考数学之三角函数和解三角形 【知识网络构建】 【重点知识整合】 一、三角恒等变换与三角函数 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 2 2sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切； (4)角的替换:2()()α αβαβ=++-, ()2 2 αβ αβ ααββ+-=+-= + ; (5)公式变形：2 1cos 2cos 2 α α+= 2 1cos 2sin 2 α α-= tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-; (6)构造辅助角(以特殊角为主): sin cos )(tan )b a b a ααα??+=+=.
二、解三角形 1．正弦定理 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)． 2．余弦定理 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ，另外两个同样． 3．面积公式 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则 (1)三角形的面积等于底乘以高的1 2 ； (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R (其中R 为该三角形外接圆的半径)； (3)若三角形内切圆的半径是r ，则三角形的面积S ＝1 2(a ＋b ＋c )r ； (4)若p ＝ a ＋ b ＋c 2 ，则三角形的面积S ＝p p －a p －b p －c . 【高频考点突破】 【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝ ( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4 5 【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单； 2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间： y ＝sin x 的递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)，递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π 2 ](k ∈Z)； y ＝cos x 的递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)， 递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2 )(k ∈Z)． 例2、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32 . (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
三角函数常考题型及解题方法
直线和圆的位置关系知识点补充 知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。（2）直线过一 定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。 知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点) ,(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为 200))(())((r b y b y x x a x =--+-- 知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常 ),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一 条切线必垂直于x 轴（无斜率），。应补上。 三角函数的图象和性质 知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角 函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。)sin(ϕ+=wx A y ，使用对三角函数的整体思 想去做。 知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩 知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式w T w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(ϕ+=wx A y +k 求解 知识点4 确定三角函数的单调区间 函数)sin(ϕ+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲ϕ+wx 看做一 个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围 若0
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法 三角函数中常考题型及解法： 一、求解三角函数值 1、求正弦函数值 解法： 使用正弦定理进行求解，总结如下： （1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正 弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式： sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]； （4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。 2、求余弦函数值 解法： 使用余弦定理进行求解，总结如下： （1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式 或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式： cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式 1、求正弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有 y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。 2、求余弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数 y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)- 2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结
三角函数、解三角形高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型 1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】2cos 2sin 2αα+=25 64 1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2 222 =++=++ααααααα故选A ． 2.三角恒等变换给值求值问题
典例2：（2016年2卷9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α=（ ） （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ，故选D ． 3．图象法求三角函数()?ω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数 ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ??=+ ???的图象可由cos y x =向左 平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2?? ???上先递减后递增，D 选项错误，故选D. 4．复合函数法求三角函数()?ω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 π
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答： 25-；5 36 π- ） 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22 cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α= ≠，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααco s si n +的值为＿＿。 （答：7 13-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23）；
高考数学三角函数考点解析命题题型最全汇总，超详细！（附习题及公式汇总）
高考数学三角函数考点解析命题题型最全汇总，超详细！（附 习题及公式汇总） 三角函数专题的内容主要包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形。高考在该部分一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题。 命题方式 — 平面向量主要命题方向有两个： （1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主 （2）以数量积的运算为主； 三角函数解答题的主要命题方向有三个： （1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合； （2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等； （3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用． 考点解析 — 该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用。
图像经典 1.正弦函数图像（几何法） 2.正切函数图像 3.三角函数的图像与性质 4.主要研究方法 5. 三角函数解题技巧 三角函数是高考数学核心考点之一。它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力，在高考试题中始终保持'一大一小'甚至是'一大两小'的模式。 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式. 1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)； 2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 3、tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)； 4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图” 1、sinα+cosα>0(或<> 2、sinα-cosα>0(或<> 3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内； 4、|sinα|<> 三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： 1、sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β； 2、cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结
高中数学高考三角函数重点 题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结 高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案) 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - + D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由03 x π <≤ ，令sin cos ),4t x x x π=+= +而7 4412 x πππ<+≤，得 1t <≤． 又2 12sin cos t x x =+，得21 sin cos 2 t x x -=， 得22 11(1)122 t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛ ⎫=++= ++ ⎪⎝ ⎭， 当4 x π = 时，max 1 2 y = ，选D 。 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π ==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3 ()126 22 f a b π = += ，所以
高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案
三角函数 1、三角函数对称性。 （1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余 弦的函数值得到最大最小值。)(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于直线x=t 对称⇔)(t f =±A ；)(x f =） （ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于点（t ，0）对称⇔)(t f =0； 1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3 x f x ϕ +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C ) A ． π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3 2、已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=-+-为奇函数，则ϕ的一个取值为（D ） A ．0 B ．π C ． 2 π D ． 4 π 3、（2017盐城三模） 若 ())cos()() 2 2f x x x π π θθθ=+-+- ≤≤ 是定义在R 上的偶函数，则θ= ▲ . 3π - 2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系 ①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为 2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”） ②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为 2||T a b =-； （简单记为“相邻两心距离，半个周期”） ③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； （简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4 y x π =+ 图像的两条相邻对称轴之间的距离是C A.2π B. π C. 2π D.4 π 2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则（B ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 3（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ） A ． B ． C ． D ． ϕ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π 4 π
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形
高中数学知识点归纳总结三角函数与解三角形 一、任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 1.了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin x cos x ＝tan x. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导 公式． 三、两角和与差的正弦、余弦及正切公式 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 四、简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 五、三角函数的图象与性质 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫－π2，π2内的单调性． 六函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 七、正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 八、解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2021届高考(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案解析)
2021届高考（理）热点题型：三角函数与解三角形（含答案解析）三角函数与解三角形 热点三角函数的图象与性质 注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数 的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解. 十、 【例1】已知函数f(x)＝sinx－23sin22.(1)求f(x)的最小正周期； 2π?? (2)求f(x)在区间?0，?上的最小值. 3.（1）因为f（x）=SiNx+3cosx-3？π?＝ 2分钟？x＋？－三 3?? 所以F（x）的最小正周期是2π。2 π (2)解因为0≤x≤3，ππ 所以3≤ x+3≤ π π2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值. 332π 2π? 所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3. 3.3.【相似问题的一般方法】求函数y=asin（ωx＋φ）＋B的循环模板和最大值 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝asin(ωx＋φ)＋h或y＝acos(ωx＋φ)＋ h的形式；第二步：由t＝ 求最小正周期|ω| 2π 第三步：确定f(x)的单调性； 第四步：确定每个单调区间结束时的函数值； 第五步：明确规范地表达结论.
三 【对点训练】设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π 从图像的一个对称中心到最近对称轴的距离为4（1）Begω值；3π?? （2）在区间π中求f（x）， 2? 上的最大值和最小值.? 三 解(1)f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx1－cos2ωx13 ＝2－3－2sin2ωx 2π?31? ＝2cos2ωx－2sin2ωx＝sin？两个ωx-？。 3?? π 因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π t＝4×4＝π。而且ω＞0，所以 2π =π，所以ω＝一点二ω π?? （2）从（1），f（x）=sin？2x－？。 3?? π 设t＝2x－3，则函数f(x)可转化为y＝－sint.3π5ππ8π 当π≤ 十、≤ 2, 3 ≤ t=2x－3≤ 3. ?5π8π?
三角函数、解三角形知识点及其解题思路
第二轮专题复习1：三角函数及解三角形 【三角函数】 一．【解题思路及方法】 1.化同名函数； 2.化同次函数； 3.化同角函数； 4.升、降次； 2 211sin (1cos2),cos (1cos2)22αααα=-=+ 5.“1”的变换 ： 220sin cos 1;tan 45 1.αα+== 6.正用公式；逆用公式；变形用公式. 二．【主要知识点】 一.正弦函数sin y x =的图像和性质 1. 2.性质：（1）定义域 ：R 值域：[1,1]- (2)单调性：
在[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上是增函数； 在3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈上是减函数； (3)最大值和最小值： 2()2 x k k Z ππ=+∈ 时，max 1y = 2()2 x k k Z ππ=-∈时，min 1y =- (4)周期性：最小正周期是2π (5)对称轴:()2x k k Z ππ=+∈ 经过函数的最大值和最小值点. 即方程sin 1x =±的解。 (6)对称中心：点（,0k π）(k Z ∈)图像与x 轴的交点.横坐标即方程sin 0x =的解。 二.余弦函数cos y x =的性质
2.性质：（1）定义域R 值域：[1,1]- （2）单调性： 在[2,2]()k k k Z πππ-∈上是增函数； 在[2,2]()k k k Z πππ+∈上是减函数； （3）最大值和最小值：2()x k k Z π=∈ 时， max 1y = 2()x k k Z ππ=-∈时，min 1y =- （4）周期性：最小正周期是2π （5）对称轴：()x k k Z π=∈ 经过函数的最大值和最小值点. 即方程cos 1x =±的解。 (6)对称中心：点（,02k π π+）()k Z ∈ 图像与x 轴的交点. 横坐标即方程cos 0x =的解。 三.正切函数的图像和性质 1.图像：
三角函数 解三角形知识点总结例题剖析
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析 三角函数 5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 6、弧度制与角度制的换算公式：2 7、若扇形的圆心角为lr． 360，1180， 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl。 是一个任意大小的角，的终边上任意一点 11Slrr2．8、设22的坐标是x,y，它与原点的距离是 rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0． rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正。 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、角三角函数的基本关系： 1sin2cos212sintancossin21cos2,cos21sin2； sinsintancos,cos．12、函数的诱导公式： tan1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5sin
cos，cossin．6sincos，cossin． 2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左平移上所有点的横坐标伸长到原来的 1个单位长度，得到函数 ysinx的图象；再将函数ysinx的图象 再将函数ysinxysinx的图象； 倍，得到函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数14、函数 ysinx的图象． ysinx0,0的性质： 2①振幅：；②周期：；③频率：f12；④相位：x；⑤初相：． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 1 性质函数 ysinx ycosx ytanx 图象定义域值域 R R xxk,k 2R 1,1 当x2k1,1 当x2kk时，2k时，2最值 ymax1；当x2k ymax1；当x2k 既无最大值也无最小值 k时，ymin1．周期性奇偶性 2 奇函数 k时，ymin1． 2 偶函数奇函数在2k,2k 22k上是增函数；在单调性在2k,2kk上是增函数；在2k,2k 在k,k 223 2k,2k22k上是减
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结 高中数学三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(- 1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)； 4.cot(kπ+α)=(- 1)kcotα(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域 内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形 还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： 1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β; 2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β. 七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α; 2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα- tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)
解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面
高考数学专题复习三角函数及解三角形(唯一,高分必做
高考数学专题复习—三角函数及解三角形 考点一:角的概念、定义 〔一〕知识清单: ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称α为 第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z α终边一样的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4.弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180 π = ，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ ． ()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 那么l r α=，2C r l =+，211 22 S lr r α= =． α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的间隔 是 () 0r r =>，那么sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
8.各象限角的各种三角函数值符号:一全正，二正弦,三正切，四余弦 a sin a cos a tan 〔二〕例题精讲: 例1：假设sin 0α<且tan 0α>是，那么α是 〔 〕 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 变式1：0tan cos <⋅θθ，那么角θ是〔 〕 Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 例2：2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) ()2A ()sin 2B 2 () sin1 C ()2sin1 D 变式2：扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积。 例3：α为第三象限角,那么 2 α 所在的象限是( ) 变式3：假设α是第二象限角，那么 2 α 是第 象限角 变式4：假设α是第三象限角,且cos cos 22 θ θ =-,那么2θ是( ) ()A 第一象限角 ()B 第二象限角 ()C 第三象限角 ()D 第四象限角 例4：角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值. 答案：例1：C 变式1：C 例2：C 变式2：2 例3：D 变式3：第一或第三象限 变式4：B 例4：5 2- 考点二:三角函数公式 〔一〕知识清单: 9.同角三角函数关系式：
三角函数和解三角形高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)
第四章三角函数和解三角形（2022年文科数学高考备考版） 第一节三角函数 一、高考考点梳理 （一）、角的概念的推广 1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形. 2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角． 3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. （二）、弧度制的定义和公式 1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式 （三）、任意角的三角函数
有向线段MP为正弦 线 有向线段OM为余弦 线 有向线段AT为 正切线 （四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系： sin α cos α＝tanα. （五）、三角函数的诱导公式 题型一同角三角函数关系的应用 【例1】（2021全国甲卷）若 cos 0,,tan2 22sin πα αα α ⎛⎫ ∈= ⎪- ⎝⎭ ，则tanα=（） A. 15 B. C. 3 D. 3 解析： cos tan2 2sin α α α = - 2 sin22sin cos cos tan2 cos212sin2sin αααα α ααα ∴=== -- ， 0, 2 π α⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ ，cos0 α ∴≠， 2 2sin1 12sin2sin α αα ∴= -- ，解得 1 sin 4 α=， cos 4 α ∴== sin tan cos15 α α α ∴==. 故选：A.
【例2】（2017全国Ⅲ卷）已知4 sin cos ,3αα-=，则sin2α= （ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7.9D 解析： () 2 167 sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-= ∴=- 故选A . 题型二 诱导公式的应用 【例3】（2021全国乙卷） 2 2π5π cos cos 1212 -=（ ） A. 1 2 B. C. D. 2 解析：由题意，2 2 22225cos cos cos cos cos sin 12 12122121212π ππππππ⎛⎫ -=--=- ⎪⎝⎭ cos 2 6π== . 故选：D. 【例4】（2019全国Ⅰ卷）tan255°＝（ ） A ．﹣2﹣ B ．﹣2+ C ．2﹣ D ．2+ 解析：tan255°＝tan （180°+75°）＝tan75°＝tan （45°+30°） ＝＝＝． 故选：D ． 题型三 三角函数的概念 【例5】（2018全国Ⅰ卷）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=2 3，则|a-b|=（ ） A ．15 B ． 55 C ． 25 5 D ．1 解析： ∵cos2α=23 2cos 2α-1=23 cos 2α=56 ∴sin 2α=16 ∴tan 2α=1 5
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