三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

知识点讲解

1.“五点法”作图原理

在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是

)0,2(),1,2

3(),0,(),1,2(),0,0(ππ

ππ-.

在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是

)1,2(),0,2

3(),1,(),0,2(),1,0(ππ

ππ-.

2.

3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w

T π2=

. （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值

假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

??

???-∈+-=+∈+=+;

)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ

?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(，

?

?

?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值

当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

?

?????

?

+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2

000000x wx y wx Z k k wx x

x wx y wx Z k k wx 的对称中心为

时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(，

???

??

?

?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1

)cos()(0000

00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置.

（5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

??

???

?∈++∈+?∈++-∈+.

)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(，

?

?

??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；

Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩

由函数x y sin =的图像变换为函数3)3

2sin(2++=π

x y 的图像的步骤；

方法一：)3

22

(π

π

+

→+

→x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想

欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.

?????→?=个单位

向左平移的图像3

sin π

x y 的图像)3

sin(π

+

=x y 12

????????→所有点的横坐标变为原来的

纵坐标不变

的图像)3

2sin(π

+

=x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

的图像)3

2sin(2π

+=x y

?????→?个单位

向上平移33)3

2sin(2++=πx y

方法二：)3

22(π

π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.

的图像x y sin =1

2

????????→所有点的横坐标变为原来的

纵坐标不变

?????→?=个单位

向左平移的图像6

2sin π

x y

的图像)2

2sin()6

(2sin π

π

+

=+

=x x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

?????→?+

=各单位

向上平移的图像3)3

2sin(2π

x y 3)3

2sin(2++

=π

x y

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后

相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角?+wx ”变化多少.例如，函数x y 2sin =的图像向右平

移

6

π

个单位，得到的图像表达式是)32sin()6(2sin ππ-=-=x x y ，而不是)62sin(π-=x y ；再如，将

图像)6

sin(π

+=x y 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是

)621sin(x x y +=，而不是)6

(21sin π

+=x y .此点要引起同学们的的别注意.

题型归纳及思路提示

思路提示

一般将所给函数化为)sin(?+=wx A y 或)cos(?+=wz A y ，0.0>>w A ，然后依据

x y x y cos ,sin ==的性质整体求解.

题型1 三角函数性质的应用

一、函数的奇偶性

例4.16函数)0)(sin(π??≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则?等于（ ） A .0 B .

4π C .2

π

D .π 解析 因为函数)sin(?+=x y 是R 上的偶函数，所以其图像关于y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当

0=x 时，1sin ±=?，又π?≤≤0，所以2

π

?=

.故选C.

评注 由x y sin =是奇函数和x y cos =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若)sin(?+=x A y 为奇函数，则)(Z k k ∈=π?； （2）若)sin(?+=x A y 为偶函数，则)(2

Z k k ∈+=π

π?； （3）若)cos(?+=x A y 为奇函数，则)(2

Z k k ∈+

=π

π?；

（4）若)cos(?+=x A y 为偶函数，则)(Z k k ∈=π?； 若)tan(?+=x A y 为奇函数，则)(2

Z k k ∈=

π

?，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知R a ∈，函数)(sin )(R x a x x f ∈-=为奇函数，则a 等于（ ）. A .0 B .1 C .-1 D .1±

变式2 设R ∈?，则“0=?”是“))(cos()(R x x x f ∈+=?为偶函数”的（ ）.

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不比哟啊条件 变式3设)sin()(?+=wx x f ，其中0>w ，则)(x f 是偶函数的充要条件是（ ）.

A .1)0(=f

B . 0)0(=f

C . 1)0(='f

D . 0)0(='f 例4.17设函数))(2

2sin()(R x x x f ∈-=π

，则)(x f 是（ ）.

A. 最小正周期为π的奇函数

B. 最小正周期为π的偶函数

C. 最小正周期为

2π

的奇函数 D. 最小正周期为2

π

的偶函数

解析 x x x f 2cos )2

2sin()(-=-=π

，所以是最小正周期为x 的偶函数.故选B.

变式1 若函数)(2

1

sin )(2R x x x f ∈-=，则)(x f 是（ ）

A. 偶函数且最小正周期为π

B. 奇函数且最小正周期为π

C. 偶函数且最小正周期为π2

D. 奇函数且最小正周期为π2

变式2 下列函数中，既是)2

,0(π

上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）

A .x y 2cos =

B .x y 2sin =

C .x y cos =

D .x y sin = 二、函数的周期性 例4.18函数)6

2cos()6

2sin(π

π

+

+=x x y 的最小正周期为（ ）

A .

2π B .4

π

C .π2

D .π 解析 函数)34sin(21)62cos()62sin(πππ+=++=x x x y ，2

42π

π==T .故选A

评注 关于三角函数周期的几个重要结论：

（1）函数b wx A y b wx A y b wx A y ++=++=++=)tan(,)cos(,)sin(???的周期分别为w

T π

2=

，w

T π=

. （2）函数)cos(,)sin(??+=+=wx A y wx A y ，)tan(?+=wx A y 的周期均为w

T π=

（3）函数)0()cos(),0()sin(≠++=≠++=b b wx A y b b wx A y ??的周期均w

T π2=

.

变式1 函数)3

2cos()6

2sin(π

π

+

+

=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）

A .1,π

B .2,π

C .1,2π

D .2,2π

变式2 已知函数))(cos (sin sin )(R x x x x x f ∈-=，则)(x f 的最小正周期为_____. 变式3 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=，则)(x f 为（ ）

A. 周期函数，最小正周期为3π

B. 周期函数，最小正周期为3

2π

C. 周期函数，最小正周期为π2

D. 非周期函数 二、函数的单调性 例4.19函数]),0[)(26

sin(

2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）

A .]3,

0[π

B .]127,12[ππ

C .]65,3[ππ

D .],6

5[ππ

解析 因为)6

2sin(2)26

sin(2π

π

-

-=-=x x y ，

所以)26

sin(

2x y -=π

的递增区间实际上是 )6

2sin(2π

-

=x y 的递减区间.

令)(2

326

22

2Z k kx x k ∈+

≤-

≤+

π

π

π

π， 解得)(6

53

Z k k x k ∈+

≤≤+

π

ππ

π. 令0=k ，得

6

53

π

π

≤

≤x ，又因为],0[π∈x ， 所以653ππ≤≤x .即函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的增区间为]6

5,3[ππ.故选C

评注 三角函数的单调性，需将函数)sin(?+=wx A y 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.

如函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ?的单调区间的确定基本思想是吧?+wx 看做是一个整体，如由

)(2

22

2Z k kx wx k ∈+

≤+≤-

π

?π

π解出x 的范围，所得区间即为增区间；由

)(2

3222Z k kx wx k ∈+≤+≤+π?ππ解出x 的范围，所得区间即为减区间.若函数)sin(?+=wx A y 中

0,0>>w A ，

可用诱导公式将函数变为)sin(?---=wx A y ，则)sin(?--=wx A y 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如)4

sin()4

sin(

π

π

-

-=-=x x y ，令

2

24

2

2π

ππ

π

π+

≤-

≤-

k x k ，即)(4324

2Z k k x k ∈+

≤≤-

πππ

π，可得)

](4

32,42[Z k k k ∈+-π

πππ为原函数的减区间.

对于函数)tan(),cos(??+=+=wx A y wx A y 的单调性的讨论与以上类似处理即可. 变式1 若函数)(sin x f x y +=在]4

3,

4[π

π-

内单调递增，则)(x f 可以是（ ）.

A .1

B .x cos

C .x sin

D .x cos -

变式2 已知0>w ，函数)4sin()(π

+

=wx x f 在),2

(ππ

上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A .]45

,21[ B .]43,21[ C .]2

1,0( D .]2,0( 变式3 已知函数)0(,),3

cos()3

cos(sin 3)(>∈-

++

+=

w R x wx wx wx x f π

π

.

（1）求函数)(x f 的值域； （2）若)(x f 的最小正周期为

]2

,0[,2π

π

∈x ，求)(x f 的单调递减区间. 四、函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4.30函数)3

2sin(π

+=x y 图像的对称轴方程可能是（ ）

A .6

π

-

=x B .12

π

-

C .6

π

=

x D .12

π

=

x

解析 解法一：已知x y sin =的对称轴方程是)(2

Z k k x ∈+=π

π

令)(2

32Z k k x ∈+=+π

ππ，得)(12

2Z k k x ∈+=

π

π， 当0=k 时，12

π

=x ，故选D.

解法二，当6

π

-=x 时，03

2=+

π

x .其正弦值为0；

当12

π

-=x 时，6

32π

π

=

+

x ，其正弦值不等于1或-1

当6

π

=x 时，3

232π

π

=+

x ，其正弦值不等于1或-1 当12

π

=

x 时，2

3

2π

π

=

+

x ，这时12

sin

=π

.

故选D

评注 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数x y sin =的对称轴为)(2

Z k k x ∈+

=π

π，对称中心为))(0.(Z k k ∈π；

（2）函数x y cos =的对称轴为)(Z k k x ∈=π，对称中心为))(0,2

(Z k k ∈+π

π；

（3）函数x y tan =函数无对称轴，对称中心为))(0,2

(

Z k k ∈π

；

（4）求函数)0()sin(≠++=w b wx A y ?的对称轴的方法；令)(2

Z k k wx ∈+=

+ππ

?，得

)(2

Z k w k x ∈-+=?

ππ

；对称中心的求取方法；令)(Z k k wx ∈=+π?，得w

k x ?

π-=

，即对称中心为)(b w

k ，?π-.

（5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ?的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+π?得w

k x ?ππ

-+=2

，

即对称中心为))(,2

(Z k b w

k ∈-+?ππ

变式1 已知函数)0)(3

sin()(>+=w wx x f π

的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）.

A .关于点)0,3

(

π

对称 B .关于直线4

π

=x 对称 C .关于点)0,4

(

π

对称 D .关于直线3

π

=

x 对称

变式2 )4

sin(π

-

=x y 的图像的一个对称中心是（ ）

A .)0,(π-

B .)0,43(π-

C . )0,43(π

D .)0,2(π

变式3 5

2sin

52cos x

x y +=的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是______. 变式4 将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得图像关于y 轴对称，则

a 的最小值是（ ）.

A .67π

B .2π

C .6π

D .3

π

五、三角函数性质的综合 思路提示

三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.

因为对称性?奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数)(x f 为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则函数)(x f 为偶函数）；

对称性?周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是2T ；相邻的对称中心之间的距离为2

T

；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为

4

T

）；对称性?单调性（在相邻的对称轴之间，函数)(x f 单调，特殊的，若0,0),sin()(>>=w A wx A x f ，函数)(x f 在],[21θθ上单调，且],[021θθ∈，设{}21,max θθθ=，则

θ≥4

T

深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）

例4.21设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中,0,,≠∈ab R b a 若)6

()(π

f x f ≤对一切R x ∈恒成立，则

①;0)12

11(

=π

f ②)5

()107(

ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； ④)(x f 的单调递增区间是)](3

2,6

[Z k k k ∈+

+

π

ππ

π； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像不相交. 以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）

分析 函数)2sin()(22?++=

x b a x f ，a b =

?tan ，其中一条对称轴为6π

=x ，函数的最小正周期π=T ，通过对称轴?对称中心（对称轴与零点相距4

T

的奇数倍）通过对称轴?奇偶性（若函数)(x f 为

奇函数，则6π等于4T 的奇数倍；若函数)(x f 为偶函数，则6π等于4

T

的偶数倍）；通过对称性?单调性（在

相邻的两条对称轴之间，)(x f 单调递增或单调递减）.

解析 )2sin()(22?++=

x b a x f ，

其中a b =?tan ，))6((πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，知直线6

π

=

x 是)(x f 的对称轴，又)(x f 的最小正周期为π. 对于①：)436()1211(πππ+=f f 可看做6

π

=x ，加了43个周期所对应的函数值，所以0)1211(=πf .故①正确

对于②：函数)(x f y =周期2

π

=

T ，因为

2

5107π

ππ=-，所以)5()107(ππf f =，

因此)5

()107(

π

πf f <错误，故②不正确. 对于③：因为

6π既不是4T 的奇倍数，也不是4

T

的偶倍数，所以函数)(x f 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数)(x f 既不是奇函数也不是偶函数，故③正确 对于④：依题意，函数)(x f 相邻两条对称轴32,6

21ππ

=

=

x x ，在区间)](3

2,6[Z k k k ∈++π

πππ上函数)(x f 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确.

对于⑤：因为x b x a x f 2cos 2sin )(+=)2sin(22?++=

x b a （其中a

b =

?tan ），所以22)(b a x f +≤，又0≠ab ，所以22b a b +≤，因此经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像相交，

⑤不正确，应填①③. 例4.22设)2cos(sin )6

cos(4)(ππ

+--=wx wx wx x f ，其中0>w

（1）求)(x f 的值域； （2）若)(x f y =在区间]2

,23[π

π-上为增函数，求w 的最大值. 解析

1

2sin 32cos 2cos 12sin 32cos sin 2cos sin 322cos sin )6

sin sin 6cos

(cos 42cos sin )6

cos(4)(12+=+-+=++=++=+-

=wx wx wx wx wx

wx wx wx wx

wx wx wx wx

wx wx x f π

ππ

）（

因为]1,1[2sin -∈wx 所以函数)(x f 的值域为]31,31[+-. （2）解法一：12sin 3)(+=

wx x f ，由)(x f y =在区间]2

,23[π

π-

上为增函数，的)0](2

,2[],3[>-

?-w w w π

πππ 故??

??

?

≤-≥-223ππwx wx ，得610≤w 在区间]2

,23[π

π-上为增函数，含原点的增区间的对称型可知

函数)(x f 在]23,23[ππ-上也为增函数，故π32≥T ，即π6≥T ，得ππ622≥w ，故6

1

0≤

大值为6

1

评注 一般的，若))((R x x f ∈为奇函数，在],[21θθ上为增函数，其中210θθ<<，若令

},max{21θθθ=，则4

T

≤

θ，即可求出w 的范围. 变式1 已知函数)sin(2)(wx x f =，其中常数0>w ，若)(x f y =在]3

2,4[π

π-上单调递增，求w 的取

值范围.

变式2 已知函数)0)(sin(2)(>=w wx x f ，)3

()6(ππf f =在]4

,3[π

π-

上的虽小值为-2，则w 的最小值为_____.

例4.23若)0)(3sin()(>+

=w wx x f π

，)3()6(ππf f =且在)3

,6(π

π上有最小值无最大值，则______. 解析 依题意，如图4-24所示，在4

236ππ

π

=+

=x 处)(x f 取得最小值，故Z

k k w ∈+=+,2323

ππππ得3148+

=k w

.取0=k ，得3

14=w .

评注 本题融汇了三角函数)sin()(?+=wx x f 的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化 题型2 根据条件确定解析式

方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 思路提示

已知函数图像求函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ?的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定w ，由适合解析式点的坐标确定?，但有图像求得的

)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ?的解析式一般不唯一，只有限定?的取值范围，才能得出唯一解，将若

干个点代入函数式，可以求得相关特定系数?,,w A ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x 轴的交点）为0=+?wx ；“第二点”（即图像曲线的最高点）为2

π

?=

+wx ；“第三点”（及

图像下降时与轴的交点），为π?=+wx ；“第四点”（及图像曲线的最低点）为2

3π

?=+wx ；“第五点”（及图像上升时与x 轴的交点）为π?2=+wx .

例4.24函数),)(2(sin )(R A x A x f ∈+=??的部分图像如图4-25所示，那么)0(f =（ A .2

1

-

B .-1

C .23-

D .3-

分析 对于)sin(?+=wx A y 的解析式的确定，通过最值确定A ，周期T 确定w ，特征点（尤其是极值点）来确定?；对于零点要分析向上零点还是向下零点. 解析 解法一：依题意Z k k A ∈+=+=,2232,

2ππ?π得Z k k ∈-=,6

2π

π?， 所以1)6

2sin(2sin 2)0(-=-

==π

π?k f ，故选B

解法二：由函数)2(sin )(?+=x A x f ，得π=T ，则相邻的零点与对称轴之间的距离为4

4π

=T ，因此图中向上的零点是12

0π

=

x ，则满足0)12

2sin()12

(

=+?

=?π

π

A f 所以.,6

2Z k k ∈-

=π

π?故

1)6

2sin(2sin 2)0(-=-

==π

π?k f ，故选B

评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1）周期（可推出w 的值域范围） （2）振幅（可推出A （A >0））

（3）特征点（可形成三角方程，以求?的值）

对于本题代入零点)0,(0x ，（0x 为上零点），则满足0)sin(0=+?wx A ，所以

)sin()sin(sin )0(,,2000wx A wx A A f Z k wx k -=-==∈-=?π?1)12

2sin(2-=?

-=π

，

对于正弦型函数),0)(sin()(R w wx A x f ∈>+=??，若已知上零点0x ，则)sin()0(0wx A f -=.同理，若已知下零

点0

x '，则)sin()0(0x w A f '=. 变式一 函数

0,0,,,)(sin()(>>+=w A w A wx A x f

是常数??所示，则

=)0(f _______.

变式二 已知函数)cos()(?+=wx A x f 的图像如图4-27所示，3

2

)(-

=π

f ，则=)0(f （ ） A .3

2

- B .32

C .2

1

- D .21

例4.25已知函数),0,0)(sin(π??<>>+=w A wx A y 的部分图像如图4-28所示，求函数)(x f 的解析式.

分析 有最小值为-2确定A ，由周期确定w ，但本题的周期

不易求解，我们可抓住,2127T >π，且12

743π

>

T ，建立周期 T 的不等关系，从而得到w 的取值范围，在建立w 的等量关 系（根据零点），最终建立求得w ，而?的确定可通过特征点

（0,1）得到.

解析 有图知2=A ，将点（0,1），代入)sin(?+=wx A y 中，得?sin 21=，即2

1sin =

?，又π?π<<-，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故6π?=，又431272T T <<π，得6797π<

T π

2=，得67297ππ<

187********<--

12

11

67-<<-

k ，又Z k ∈，因此1-=k ，此时2=w . 所以).6

2sin(2)(π

+

=x x f

变式一 已知),)((cos )(2

为常数??w wx x f +=，如果存在正整数w 常数?使得函数)(x f 的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求w 的值.

方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值） 求解函数解析式（即?,,w A 的值的确定）

例4.26已知函数)0,0)(sin()(π??<≤>+=w wx x f 为

)0,4

3π

是一个对称中心，且在区间]2

,

0[π

上为单调函数，求函数)(x f 的解析式.

分析 本题的目标是求φ,w 因为)sin(?+=wx y 为偶函数，则必关于y 轴对称，因此化为wx y cos =的形式，由函数在]2,

0[π

上单调，则]2,0[π最多只会是半个周期，即22π≥T ，从而得w

T π

2=

得w 的范围，再代入对称中心求解.

解析 由函数)0,0)(sin()(π??<≤>+=w wx x f 为R 上的偶函数，则2

π

?=，得wx x f cos )(=，且

在区间]2,

0[π

上为单调函数，得

22π≥T ，即π≥T ，故ππ≥w 2，又0>w 得20≤

0,4

3(π

为函数)(x f 的一个对称中心，的Z k k w ∈+=,243πππ，则Z k k w ∈+=,324，因此23

2

40≤+

得Z k k ∈≤<-,121所以0=k 或1得32=w 或2，所以函数)(x f 的解析式为x y 3

2cos =或x y 2cos =.

评注 根据函数必关于y 轴对称，在三角函数中联想到wx y cos =的模型，从图象、对称轴、对称中心、

最值点或单调性来求解.

变式一：已知函数),2

0,0)(sin(4)(R x w wx x f ∈<<>+=π

??图像的两条相邻对称轴的距离为

3

π，且经过点（0,2）.

（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的解析式.

题型3 函数的值域（最值） 思路提示

求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1）b x a y +=sin ，设x t sin =，化为一次函数b at y +=在]1,1[-上的最值求解. （2）c x b x a y ++=cos sin ，引入辅助角)(tan a

b

=??，化为c x b a y +++=)sin(22?，求解方法同类型（1）

（3）c x b x a y ++=sin sin 2

，设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2

在闭区间]1,1[-∈t 上的最值

求解，也可以是c x b x a y ++=sin cos 2

或c x b x a y ++=sin 2cos 型.

（4）c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin ，设x x t cos sin ±=，则x x t cos sin 212±=，故

21cos sin 2-±=t x x ，故原函数化为二次函数c bt t a y ++-±

?=)2

1

(2在闭区间]2,2[-上的最值求解.

（5）d x c b x a y ++=

sin sin 与d

x c b

x a y ++=cos sin ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式

法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于x sin 或x cos 的函数求解释务必注意x sin 或x cos 的范围.

例4.27函数x x x f cos sin )(=的最小值是（ ）

A .-1

B .2

1

-

C .21

D .1

分析 将函数)(x f 转化为)sin(?+=wx A y 的形式求最值 解析 函数).(2sin 21cos sin )(R x x x x x f ∈=

=最小值为2

1

-，故选B. 评注 若本题改为“]4

,0[,cos sin )(π

∈=x x x x f ”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注

意新元取值范围的限定.

变式1 函数)6

cos(sin )(π

+

-=x x x f 的值域为（ ）.

A .[-2,2]

B .]3,3[-

C .[-1,1]

D .]2

3

,23[-

变式2 函数x x x x f cos sin 3sin )(2

+=在区间]2

,4[π

π-

上的最大值是（ ）. A .1 B .

231+ C .2

3

D .31+ 例4.28函数)6

sin(

3)3

sin(4x x y -++

=π

π

的最大值为（ ）

A .7

B .2

3

32+ C .5 D .4 分析 由2

6

3

π

π

π

=

-+

+

x x ，利用诱导公式把)6

(

x -π

转化为)3

(π

+

x ，化不同角为相同角，将函数化为

)sin()(?+=wx A x f 的形式.

解析 )]6(2cos[3)3sin(4x x y --++

=πππ)3

cos(3)3sin(4x x +++=π

π )4

3

tan )(3sin(5=++=??π其中x ，所以5=wax y .故选C.

变式1 求函数)(2

cos 2)32cos()(2R x x x f ∈++

=π

π的值域 变式2 求函数])2

,12[)(4

sin()4

sin(2)3

2cos()(π

ππ

π

π

-

∈+

-

+-

=x x x x x f 的值域.

例4.29求函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2

-+=的最大值和最小值.

分析 通过二倍角公式和同角公式将函数)(x f 的公式化简为)(cos cos 2

R x c x b x a y ∈++=的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值.

解析 ,1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(2

2

2

--=--+-=x x x x x x f 令]1,1[cos -∈=x t ，则])1,1[(3

7

)3

2(3143)(22-∈-

-=--=t t t t t g ，

因为]1,1[-∈t ，所以当1-=t 时，)(t f 取最大值6，即)(x f 的最大值为6；当32=t 时，)(t g 取最小值37-，即)(x f 的最小值为3

7

-.

变式1 已知4

π

≤

x ，求函数x x y sin cos 2

+=的最小值.

变式2 求函数)2

0(2385cos sin 2π

≤≤-+=x a x

a x y 的最大值. 变式3 若0cos sin 2=++a x x 有实数解，试确定实数a 的取值范围. 变式4 若关于x 的方程0sin cos 2≥+-a x x 在]2

,0(π

上恒成立，求实数a 的取值范围.

例4.30对于函数)0(sin 1

sin )(π<<+=

x x

x x f ，下列结论中正确的是（ ）.

A .有最大值无最小值

B .有最小值无最大值

C .有最大值且有最小值

D .既无最大值又无最小值

分析 形如d

x c b

x a y ++=

sin sin 的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解.

解析 解法一：x x f sin 11)(+=，令]1,0(sin ∈=x t ，则t

y 1

1+=在区间]1,0(上单调递减，即)(x f 只

有最小值无最大值.故选B 解法二：1sin sin sin 1

sin =-?+=x x y x

x y ，

得11

1

sin 0≤-=

x

y sin 2cos 3+=的值域.

变式2 若

2

4

π

π

<

tan 2tan =的最大值为_______.

题型4 三角函数图像变换 思路提示

由函数x y sin =的图像变换为函数)0,()sin(>++=w A b wx A y ?的图像.

方法一：)(??+→+→wx x x 先相位变换，后周期变换，再振幅变换.

x y sin =的图像→<ΦΦ>ΦΦ）

个单位（向左平移）个单位（向左平移00)sin(?+=x y 的图像

→

<ΦΦ

>ΦΦ

）

个单位（向左平移）

个单位（向左平移

00?

?

)sin(?+=wx y 的图像→横坐标不变

倍

来的所有点的纵坐标变为原A

)sin(?+=wx A y 的图像→<>）

个单位（向下平移

）

个单位（向上平移00b b b b b wx A y ++=)sin(? 例4.31把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1

分析 利用三角函数的图像与变换求解

解析 12cos +=x y →纵坐标不变

倍横坐标伸长2??

????→?+=个单位长度

向左平移11cos x y ??????→?++=个单位长度

向下平移11)1cos(x y ).1cos(+=x y

结合选项可知，函数图像过)0,12

(

-π

.故选A

变式1 为得到函数)3

2cos(π

+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）.

A .向左平移

125π个单位 B . 向右平移125π

个单位 C .向左平移65π个单位 D . 向右平移6

5π

个单位

变式2 已知)2

sin()(π

+

=x x f ，)2

cos()(π

-

=x x g ，则)(x f 的图像（ ）.

A .与)(x g 图像相同

B .与)(x g 图像关于y 轴对称

C .是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到

D .是由)(x g 的图像向右平移2

π

个单位得到 变式3 已知函数)0,)(4

sin()(>∈+=w R x wx x f π

的最小正周期为π，为了得到)cos()(wx x g =的图

像，只要将)(x f y =的图像（ ）

C D

A .向左平移

8π个单位长度 B .向右平移8π

个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4

π

个单位长度

例4.32已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2π??π??<<+-+=x x x f ，其图像过点)2

1

,6(π.

（1）求?的值

（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的2

1

，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)

(x g 在]4

,0[π

上的最大值和最小值

解析 由题意把点)2

1

,6(π代入函数的解析式得

2

1cos 21cos 43sin 3sin 21=-+???π 1)6

sin(cos 21sin 23=+=+?

π

??? （1）1)6

sin(=+

π

?，

.3

,26),67,6(6),,0(π

?ππ?πππ

?π?==+∈+

∈ （2）4

1cos 21232sin 21)(2-+?=

x x x f )6

2sin(2141)2cos 1(412sin 43π+=-++=

x x x ， 依题意)64sin(21)622sin(21)(π

π+=+?=x x x g ， 当6764ππ=+x ，即4π=x 时，)(x g 取最小值41

-；

当264ππ=+x ，即12π=x 时，)(x g 取最大值2

1

.

变式1已知向量)0)(2cos 2

,cos 3(),1,(sin >==A x A

x A n x m ，函数n m x f ?=)(

的最大值为6.

（1）求A

（2）求将函数)(x f y =的图像向左平移

12π个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的2

1

倍，，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在]24

5,0[π

上的值域

最有效训练题

1.已知函数)02

,0)(sin()(<<->+=?π

?A wx A x f ，在6

5π

=

x 时取得最大值，则)(x f 在]0,[π-上的单调增区间是（ ）.

A .]65,[ππ-

- B .]6,65[ππ-- C .]0,3[π- D .]0,6

[π- 2.若直线t x =与函数)4

2sin(π

+=x y 和)4

2cos(π

+

=x y 的图像分别交于P ,Q

的最大值为

（ ）

A .2

B .1

C .3

D .2 3.已知函数x x x f sin cos )(2

+=，那么下列命题中假命题是（ ）

A .)(x f 既不是奇函数也不是偶函数

B .)(x f 在]0,[π-上恰有一个零点

C .)(x f 是周期函数

D .)(x f 在)6

5,2(π

π上是增函数

4,.已知函数)4

6sin()(π

+

=x x f 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移

8

π

个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）.

A .)0,16(

π B .)0,9(π C .)0,4(π D .)0,2

(π

5.如图4-30所示，点P 是函数

0,)(sin(2>∈+=w R x wx y ?x 轴的

交点，若0=?,则w 的值为（ ）

A .

8π B .4

π

C .4

D .8 6.已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+

)3

sin(2π

，（ ）.

.[2]A 2]B 2]

C 2)D

7.已知函数22()2sin cos f x x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的最小正周期为π，则()f x 的单调递增区间为 . 8.已知函数()3sin()(0)6

f x x π

ωω=-

>的图象和()2cos(2)1g x x ?=++的图象对称轴完全相同，若

[0,]2

x π

∈，则()f x 的取值范围为 .

9.定义一种运算12341423(,)(,)a a a a a a a a ?=-，将函数

()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =?的图象向左移(0)n n >个单位长度所得图像对应的函数为偶函

数，则n 的最小值为 .

10.某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上为单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；③点(

,0)2

π

是函数

()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =的图象关于直线x π=对称.其中正确的

是 .（把所有正确的命题的序号都填上）. 11.已知函数22()cos(2)sin cos .3

f x x x x π

=-

+-

(1)求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域.

12.已知函数()sin()f x A x ω?=+，其中 (,0,0,)2

2

x R A π

π

ω?∈>>-<<

的部分图 像如图4－31

所示.

(1)求函数()f x 的解析式；

(2)已知函数()f x 图像上三点Ｍ，Ｎ，Ｐ的横坐标分别为－1，1，5，求sin MNP ∠ 的值.

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

高一三角函数题型总结

1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2. 2. 3. 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;

1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） 33 (D)± 3 3.) 4. ） 5.） * 6.）

三角函数诱导公式 诱导公式可概括为把 απ ±?k 2 的三角函数值转化成角α的三角函数值。（k 指奇数或者偶数， α相当锐角） 口诀“奇变偶不变，符号看象限。”其中奇偶是指2 π 的奇数倍还是偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 公式一：=+)2sin(απk =+)2c o s (απk =+)2t a n (απk

三角函数诱导公式练习题 1．若(),2,5 3 cos παππα<≤= +则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 5 4 - 2．sin （－6 π 19）的值是（ ） A 3 6 )= . 10.α是第四象限角,,则αsin 等于________． 13 12 cos =α

三角函数的图像与性质练习题

. 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 :

由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

三角函数题型学霸总结(含答案)-

三角函数题型学霸总结（含答案） 阳光老师：祝你学业有成 一、选择题（本大题共30小题，共150.0分） 1.点在函数的图象上，则m等于 A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值． 【解答】解：由题意知， 所以， 所以． 2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的作法，属于基础题． 熟练掌握五点法作图即可． 【解答】 解：用“五点法”画，的简图时， 横坐标分别为， 纵坐标分别为0，1，0，，0， 故选A． 3.函数y x，x的大致图象是

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案． 【解答】 解：“五点法”作图： x0 0100 10121 故选B． 4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关 键点的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题． 分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案． 【解答】 解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，

所以五个关键点为，，，，， 可知A不属于． 故选A． 5.已知函数的图象与直线 恰有四个公共点，，，，其中，则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题． 由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解． 【解答】 解：由 得 其图象如图所示，

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

高一三角函数题型总结

1.已知角围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：?画直角三角形 ?利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的?分式 ?齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα ααα-=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2. α αα α2 2cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换） 3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求?αsin .αcos ?αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-23 6π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;

1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A)2 3 (B)4 3 (C) (D)± 2 3 3.设是第二象限角,则 sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ= 3 1,π<θ<3 2π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 5.已知 sin cos 2sin 3cos αααα-+=5 1 ,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)83 - (D)无法确定 * 6.若α是三角形的一个角，且sin α+cos α= 3 2 ,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >

(推荐)高一三角函数题型总结

题型总结 1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：画直角三角形 利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的分式 齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα -=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2.α αα α22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）

3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求αsin .αcos αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 13 3 π= ; 练习题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α= 8 1,且4π<α< 2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3

必修4三角函数的图像和性质专题练习

三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2.

3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w T π2= . （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值 当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间； Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤； 方法一：)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想 欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二：)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y

三角函数总结经典例题

第三章 三角函数 3.1任意角三角函数 一、知识导学 1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r l = α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3．弧度与角度的换算：rad π2360=ο ；rad 1745.01801≈=π ο ；1ο ο 30.57180≈?? ? ??=πrad .用弧度为单位表示角的 大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()ο 不可省略. 4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α= 2||2 1 21r lr S α= ＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形. 5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是 )0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数. 三角函数 定义域 x y sin = R x y cos = R x y tan = ? ?????∈+≠Z k k x x ,2π π x y cot = {}Z k k x x ∈≠,π x y sec = ? ?????∈+≠Z k k x x ,2π π x y csc = {}Z k k x x ∈≠,π 7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析

初中三角函数知识点题型总结+课后练习

锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4 5、0 锐角三角函数题型训练 类型一：直角三角形求值 1．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90== ?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.已知A ∠是锐角，17 8 sin = A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则 tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ． 4 5 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 C ．1 D ．4. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD = 3 16求∠ B 的度数及边B C 、AB 的长. 例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=3 sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ． 例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ABC 的值． 对应训练 1．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号） 2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形 对应练习： 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 特殊角的三角函数值 例1．求下列各式的值 ?-?+?30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－tan45°= 0 30tan 2345sin 60cos 221 ??? ? ???-?+?+= ?-?+?60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60?+? -? = B

三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ?? 4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πx R 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x ) 的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数y ＝cos ? ???? 23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α

π4) D．y＝cos 2x ＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋

三角函数题型分类总结

专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .