三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法

近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.

三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。

1、三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=

A.

k B.-k D. 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,

∴tan100tan80︒=-sin 80

cos80k

=-=-。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)12(C)12

解：()1cos300cos 36060cos602

︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识

2、三角函数的化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.

例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则

23

23

1

1

cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________

解：

又 1232αααπ++=，∴123

1cos 32

ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本

技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α

=-,则tan(2)4πα+=. 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2

32+k

∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)

又 3cos 25α

=-<0,∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23

ααα==- ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。

3、)sin(ψω+=x A y 的图象和性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容，.解决此类问题的关键是理解ψω,,A 的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对ψ的影响。

例5（10全2理数7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4

π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2

π个长度单位 解： sin(2)6y x π=+=sin 2()12

x π+， sin(2)3y x π=-=sin 2()6

x π=-， ∴将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3

y x π=-的图像，故选B. 评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。

例6（10辽理数5）设ω>0,函数y=sin(ωx+

3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）

23(B)43(C)32(D)3 解： 将y=sin(ωx+3π

)+2的图像向右平移34π

个单位后为

4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+ ∴43ωπ=2k π,即32k ω=又 0ω>，k ≥1故32k ω=≥32，所以选C

评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。

4、三角形中的三角函数

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.

例7（10津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c

，若22a b -=

，sin C B =，则A=

（A ）030（B ）060（C ）0120（D ）0150

解：

由正弦定理得2c c R =⇒= 所以

cosA=222+c -a 2b bc =

==A=300 评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。

.例8（10苏卷13）、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b

+=，则t a n t a n t a n t a n

C C A B +=________。 解： 226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+ =44

2122

222==⋅-+c

c ab c ab c b a 评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

5、三角应用题

此类题主要考查三角函数实际应用.解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。

例9（10京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，

顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

（A ）2sin 2cos 2αα-+；（B

）sin 3αα+

（C

）3sin 1αα+（D ）2sin cos 1αα-+

解： 四个等腰三角形面积之和4⨯2

1=⨯⨯⨯αsin 112αsin ∴由余弦定理可得正方形的边长为=

⨯⨯⨯-+αcos 21121122αcos 22-， ∴正方形的面积为αcos 22-，∴所求八边形的面积为2sin 2cos 2αα-+

评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．

例10（10福理19．）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），

使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

解：（Ⅰ） 要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT ，

∴小艇到达T 位置时轮船的航行位移,0AT s =即3

1,1030==t t ， 310=vt ，∴330310==

t

v （海里/时）答：小艇航行速度应为330海里小时/。 （Ⅱ）分类讨论得： (1) 若轮船与小艇在A 、T 之间G 位置相遇则有OG

又因为AG

（2）若轮船与小艇在H 处相遇

则在直角三角形OHT 中运用勾股定理有：0400600)900(2

2=+--t t v ， 设x t

=1则：9641060040090022+-=-+=χχt t v 从而)3(30427)43(410949)16923(41022<≤+-=+-+-

=χχχχv 所以当30=v 时，2

3=χ，即32=t 。 答：当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东 30方向行走能以最短

的时间遇到轮船。

评注:本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能

力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力。

对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作

图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。

6、三角函数的最值及综合应用。

此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，

如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。，例11.（10湖南文数16.）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。(II)求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

解：1） 2)2cos 1(2sin )(=--=x x x f )42(π

+x +=x 2sin(21)4-π

∴函数)(x f 最小正周期为T=

ππ=22 2）当2242π

ππ

+=+k x 即)(8Z k k x ∈+=π

π,)(x f 取最大值21-

因此函数)(x f 取最大值时x 的集合为{x /)(8Z k k x ∈+=π

π}

评注:本小题依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换.例12（10山东理17） 已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62

π。

A

（Ⅰ） 求φ的值；(Ⅱ)将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在[0,]4

π上的最大值和最小值。 解：（Ⅰ） 因为211()sin 2sin cos cos sin()222

f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<< 又函数图像过点1(,)62

π ∴11cos(2)226πϕ=⨯-即cos()13

πϕ-= 又0ϕπ<<∴3πϕ

= （Ⅱ）由（Ⅰ）知1()cos(2)23f x x π=-，将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，可知 因为[0,

]4x π∈所以4[0,]x π∈ 因此24[,

]333x πππ-∈-故1cos(4)123

x π-≤-≤ 所以()y g x =在[0,]4π上的最大值和最小值分别为12和14- 评注:本小题主要考察了同学们综合运用三角函数公式的能力、灵活运用图像变换求三角函数最值问题的能力，以及分析问题，解决问题的能力。

三角函数常考题型及解题方法

直线和圆的位置关系知识点补充 知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。（2）直线过一 定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。 知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点) ,(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为 200))(())((r b y b y x x a x =--+-- 知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常 ),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一 条切线必垂直于x 轴（无斜率），。应补上。 三角函数的图象和性质 知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角 函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。)sin(ϕ+=wx A y ，使用对三角函数的整体思 想去做。 知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩 知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式w T w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(ϕ+=wx A y +k 求解 知识点4 确定三角函数的单调区间 函数)sin(ϕ+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲ϕ+wx 看做一 个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围 若0>w A 的解析式时，常用的解题方 法是待定系数法，由图中的最大值或者最小值确定A ，由周期确定w 的取值，由适合解析 式的点的坐标来确定ϕ，但由图象求得的)sin(ϕ+=wx A y )0,0(>>w A 的解析式一般 不唯一，只有限定了也的取值范围，才能得出唯一解，否则ϕ的值就不确定，解析式也就不

三角函数中的常考题型及其解法

三角函数中的常考题型及其解法 三角函数中常考题型及解法： 一、求解三角函数值 1、求正弦函数值 解法： 使用正弦定理进行求解，总结如下： （1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正 弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式： sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]； （4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。 2、求余弦函数值 解法： 使用余弦定理进行求解，总结如下： （1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式 或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式： cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。

三、求解三角函数表达式 1、求正弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有 y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。 2、求余弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数 y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)- 2sin(x)·sin(π/6)。

高中三角函数常见题型与解法

三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定， ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 22)()(⨯=⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。

三角函数10道大题(带答案解析)

三角函数 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++ =π π （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+ π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ πα，若( )2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2()cos(2)sin 24 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π + =，且当[0,] 2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.

6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对 称轴之间的距离为 2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2π α∈，则()22 f α =，求α的值. 7、设 426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤ - ⎢⎥⎣⎦ 上为增函数，求 ω的最大值. 8、函数2 ()6cos 3(0)2 x f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为 图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()5f x =，且0102 (,)33 x ∈-，求0(1)f x +的值. 9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c . 10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝2 3 ，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．

三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-, ∴tan100tan80︒=-2 sin 801.cos80k k -=-=-。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)32- (B)-12(C)12 (D) 32 解：()1cos300cos 36060cos602 ︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 23231231 1cos cos sin sin cos 33333 ααααααααα++++-= 又 1232αααπ++=，∴1231cos 32ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=- ,则tan(2)4πα+= . 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k

高考中常见的三角函数题型和解题方法数学秘诀

三角函数 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ωϕ=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．已知2tan = θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 解：（1） 2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + =++θθθ θθθ θθθθ； (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2 2222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

三角函数大题六大常考题型

【一】知识要点详解 1.要点： （1）三角函数的化简、求值与证明； （2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性； （3）三角函数的最值问题； （4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理； （5）解三角函数的实际应用. 2.方法： （1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面： 化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如； 化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构； “合二为一”：辅助角的使用； （3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】例题详解 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故． 由于，所以 ． 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的 夹角。 【解答】（I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），,

三角函数九类经典题型

三角函数九种经典类型题 类型一 同角三角函数关系式的应用 1、(1)已知tan θ＝2，则sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2 θ＝________. (2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π 2，则cos α－sin α的值为________． 答案 (1)45 (2)3 2 解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2 θ ＝sin 2 θ＋sin θcos θ－2cos 2 θ sin 2θ＋cos 2 θ ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θ cos 2 θ－2sin 2 θ cos 2 θ＋1 ＝tan 2 θ＋tan θ－2tan 2 θ＋1＝22 ＋2－222＋1＝45. (2)∵5π4＜α＜3π2 ， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2 ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝ 32 . 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2 α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α ＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α， sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2 α＋cos 2 α，sin 2 α＝1－cos 2 α，cos 2 α＝1－sin 2α. 2、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 答案 －1 解析 由⎩⎨⎧ sin α－cos α＝2，sin 2 α＋cos 2α＝1， 消去sin α得：2cos 2 α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2 ＝0，

高中三角函数常见题型与解法

三角函数的题型和办法之五兆芳芳创作 一、思想办法 1、三角函数恒等变形的根本战略. （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等. （2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β， β= 2β α+－ 2β α-等. （3）降次与升次.即倍角公式降次与半角公式升次. （4）化弦（切）法.将三角函数利用同角三角函数根本关系化成弦（切）. （5）引入帮助角.asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+ϕ)，这里帮助角ϕ所在 象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ= a b确定. （6）万能代换法.巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ的有理式. 2、证明三角等式的思路和办法. （1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改动运算结构，使等式两边化为同一形式. （2）证明办法：综正当、阐发法、比较法、代换法、相消法、数学归结法. 3、证明三角不等式的办法：比较法、配办法、反证法、阐发法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 4、解答三角高考题的战略.

（1）发明差别：不雅察角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别阐发”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差别之间的内在联系. （3）公道转化：选择恰当的公式，促使差别的转化. 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变更似乎庞杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值. 2、三角变换的一般思维与经常使用办法. 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 22)()(⨯=⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系. 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等. 熟悉常数“1”的各类三角代换： 6 sin 24 tan 0cos 2 sin sec cos tan sec cos sin 12222π π π ααβαβα====⋅=-=+=等. 注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2 tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁. 熟悉公式的各类变形及公式的规模，如 sin α = tan α· cos α，2 cos 2cos 12αα=+，2 tan sin cos 1αα α=-等. 利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，

三角函数经典题目(带答案)

三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．.

【知二求多】 1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2 π,⎪⎭ ⎫ 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ⎛ ⎫- ⎪ ⎝ ⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，⎝⎛⎭ ⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A π ωϕ>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式；

三角函数典型例题分析

三角函数典型例题分析

目录 0°～360°间的三角函数.典型例题分析 (3) 弧度制.典型例题分析 (3) 任意角的三角函数.典型例题分析一 (5) 任意角的三角函数.典型例题精析二 (7) 同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 ............................. 诱导公式.典型例题分析............................................. 用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 ....................... 三角公式总表....................................................... 正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (28) 函数y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析............................... 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析 ....................... 已知三角函数值求角·典型例题分析 ................................... 全章小结........................................................... 高考真题选讲.......................................................

0°～360°间的三角函数·典型例题分析 例1已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数． 解如图2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0 例2求315°的四个三角函数． 解如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y) 设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45° 注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的． 弧度制·典型例题分析