2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编——数列解答题(含解析)

（关华整理2023年西城区）高三期末

（21） 已知 A n : a 1，a 2，…a n ， （n ≥ 4） 为有穷数列.若对任意的{}0,1,...,1i n ∈-，都有1i i a a +- ≤ 1 （规定 a 0 = a n ），则称A n 具有性质 P .

设 T n ={}

(,)1,22(,1,2,...,2)i j i j a a j i n i j n -≤≤-≤-=-

（Ⅰ）判断数列 A 4 :1，0.1，－1.2，－0.5， A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P ?若具有性质 P ，写 出对应的集合 T n ；

（Ⅱ）若A 4具有性质 P ，证明：T 4≠∅ ；

（Ⅲ）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列A n ，求T n 中元素个数的最小值.

（关华整理2023年海淀区）高三期末

（21）对于一个有穷正整数数列Q , 设其各项为12,,,m a a a , 各项和为()S Q , 集合

{(,)|},1i j i j a a m i j >≤≤<

中元素的个数为()T Q .

（Ⅰ）写出所有满足()4,()1S Q T Q ==的数列Q ； （Ⅱ）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； （Ⅲ）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值.

（关华整理2023年房山区）高三期末

21. 若对m ∀，N n +∈，当m n A -∈时，都有m n a a A -∈，则称数列{}n a 受集合A 制约. （1）若2n n a =，判断{}n a 是否受N +制约，{}n a 是否受区间[]0,1制约； （2）若11a =，{}23,n a a =受集合{}2制约，求数列{}n a 的通项公式；

（3）若记p ：“{}n a 受区间[]1,2制约”，q ：“{}n a 受集合{}2制约”，判断p 是否是q 的充分条件，p 是否是q 的必要条件，并证明你的结论.

（关华整理2023年东城区）高三期末

（21）已知数列12n A a a a ：，，，，满足：{01}(122)i a i n n ∈=≥，，，，，，从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（122m i i i m <<

<≥，），称数列12,,,m i i i a a a 为A 的长度为m 的子列．记()T A 为A 所有子列的个

数.例如001A ：，，，其()3T A =.

（Ⅰ）设数列1100A ：，，，，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；

（Ⅱ）设数列12n A a a a ：，，，，11n n A a a a -'：，，，，12n A a a a ''---：1，1，，1，判断

()()()T A T A T A '''，，的大小，并说明理由；

（Ⅲ）对于给定的正整数(11)n k k n ≤≤-，，若数列12n A a a a ：，，，满足：12n a a a k ++

+=，求()

T A 的最小值.

（关华整理2023年大兴区）高三期末 （21）已知数列{}(1,2,,2022)n a n =⋅⋅⋅，122022,,a a a 为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合

1{|,0,1,2,

2022}j

n i i A x x a n j +====-∑,A 中元素的最大值记为M ,最小值记为N .

（Ⅰ）若数列{}n a 为:1352019202120222020201842⋅⋅⋅⋅⋅⋅，

，，，，，，，，，，,且3j =，写出M N ，的值； （Ⅱ）若3j =，求M 的最大值及N 的最小值； （Ⅲ）若6j =，试求M 的最小值.

（关华整理2023年朝阳区）高三期末

（21）已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，当4n ≤时，

4

4n a a n ≤

；当4n >时，11223311{,,,,}max n n n n n a a a a a a a a a ----=++++，其中

231max{,,,,}

s x x x x 表示

123,,,,s

x x x x 这s 个

数中最大的数．

（Ⅰ）若数列{}n a 的前4项为1,2,2,4，写出5a ,6a ,7a ,8a 的值； （Ⅱ）证明：对任意的n *∈N ，均有

4

4

n a a n ≤； （Ⅲ）证明：存在正整数N ，当n N >时，44n n a a a -=+．

（关华整理2023年昌平区）高三期末

21. 已知数列{}n a 满足：*

11,24a a ∈≤N ，且()12,12,1,2,

224,12

n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩.记集合

{}

*

n M a n =∈N

∣. （1）若12a =，写出集合M 的所有元素；

（2）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；

（关华整理2023年通州区）高三期末

（21） 约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数m (m ≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数.

设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，

，1k a -，k a ，（12k a a a <<

<）.

(Ⅰ)当k =4时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值. (Ⅱ)当k ≥4时，若12312,,,----k k a a a a a a 构成等比数列，求正整数a . (Ⅲ)记k k a a a a a a A 13221-+++= ，求证：2a A <.

（关华整理2023年丰台区）高三期末

21. 设λ为正实数，若各项均为正数的数列{}n a 满足：n *∀∈N ，都有1n n a a λ+≥+．则称数列{}n a 为()P λ数列．

（1）判断以下两个数列是否为(2)P 数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：2log 5，π，5，10．

（2

）若数列{}n b

满足10b >且1n n b b +=λ，使得数列{}n b 是()P λ数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

（3）若各项均为整数的数列{}n a 是(1)P 数列，且{}n a 的前(2)m m ≥项和123m a a a a ++++为150，

求m a m +的最小值及取得最小值时m a 的所有可能取值．

答案

（关华整理2023年西城区）高三期末

【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T = （2）证明见解析 （3）3n - 【解析】

【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a -=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出

5T ;

(2) “4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.

(3) 设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d -≥+,以此类推可得44n d d n ≥+-,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥-,再进行验证即可. 【小问1详解】

解:由题知4:1,0.1, 1.2,0.5A --, 即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===-=- 因为32 1.31a a -=>, 所以4A 不具有性质P , 由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,

即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a =====

因为21324311,0.51,11,a a a a a a -=≤-=≤-=≤

54510.51,11,a a a a -=≤-=≤

故5A 具有性质P ,

因为41420.51,0.51,a a a a -=≤-=≤

523501,0.51,a a a a -=≤-=≤

故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =; 【小问2详解】

“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”, 假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中, 则有31421,1,a a a a ->-> 不妨设12a a ≤, 若23a a >,

则由()()313221a a a a a a -=-+-, 可得3111a a -≤-<, 与311a a ->矛盾, 故23a a ≤, 同理34a a ≤,

从而1234a a a a ≤≤≤,

所以()()01414221421a a a a a a a a a a -=-=-+-≥->, 与4A 具有性质P 矛盾, 所以假设不成立,即4T ≠∅; 【小问3详解】 设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤-

规定1k =时,1k n a a -=,

k n =时,11k a a +=,

则[]11,,1k k k k a a a a -+∈+, 所以111k k a a +--≤,

考虑数列311:,,k k k B a a a -+,

112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a --+,

由题设可知,他们均具有性质P , 设n T 中元素个数最小值为n d , 所以11n n d d -≥+,

所以124124n n n d d d d n --≥+≥+≥≥+-,

由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥-, 当21n m =+时,令()()3

1,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+-=+,

当2n m =时,令()()1

1,2,,,1,2,,2

i m i a i i m a m i i m +===+-=,

此时均有3n d n =-,

所以n T 中元素个数的最小值为3n -.

【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答.

（关华整理2023年海淀区）高三期末

（21）解：（Ⅰ）1,2,1和 3,1. （Ⅱ）()S Q 的最小值为7.

首先证明()7S Q ≥：由题知2

6n C ≥得4n ≥.

① 当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=；

② 当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥. 若()6S Q =，满足上述要求 的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符；

③ 当n ≥6时，同②可得()S Q ≥7.

综上所述，有()S Q ≥7. 同时当Q 为2,2,1,1,1时，()S Q =7，所以()S Q 的最小值为7. （Ⅲ）()T Q 的最大值为511566.

下面分五步证明当()T Q 最大时，数列Q 应满足： ① 存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；

② 1n a =，否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；

③ 当1,2,,1t n =-时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +的顺序后()T Q 变为()1T Q +.

进一步有1{0,1}t t a a +-∈，否则有12t t a a ++≥，此时将t a 改为1t a -，并在数列末尾添加一项 1，此时()T Q 变大；

④ 各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中存在相邻的两项13, 2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()T Q x ++

1()1x T Q -=+;

⑤ 由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式, 设其中有x 项为2, 有y 项为1, 则有22023x y +=, 从而有2()(20232)22023T Q xy x x x x ==-=-+，由二次函数性质可得，当且仅当506

1011x y =⎧⎨=⎩

时，

()T Q 最大，为511566.

综上可得()T Q 的最大值为511566.

（关华整理2023年房山区）高三期末

21. 【答案】（1）{}n a 受N +制约，不受[]0,1制约，理由见解析 （2）,21

1,2n n n k a n n k

=-⎧=⎨

+=⎩且N k +∈.

（3）p 是q 的充分不必要条件，证明见解析 【解析】

【分析】（1）根据数列新定义，判断m 、N n +∈且m n A -∈是否有m n a a A -∈成立即可判断； （2）由题设可得22n n a a +-=，利用等差数列的定义写出{}n a 的通项公式； （3）由新定义判断p 、q 的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论. 【小问1详解】

由m 、N n +∈且N m n +-∈，则1m n >≥，而222(2

1)m

n

m n n

m n

a a -=-=--，

显然2,(21)n m n --N +∈，则N m n a a +-∈，故{}n a 受N +制约， 由m 、N n +∈且[0,1]m n -∈，

当0-=m n ，即m n =，故0[0,1]n n a a -∈=； 当1m n -=，即1m n =+，故1

12[022,1]n n n n n a a ++=-∉=-.

故{}n a 不受[]0,1制约.

综上，{}n a 受N +制约，不受[]0,1制约. 【小问2详解】

由m 、N n +∈且2m n -=，有2m n a a -=， 所以22n n a a +-=，又11a =，23a =，

故{}n a 的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列， 当21n k =-且N k +∈，则11

2(

1)2

n n a a n +=+⨯-=， 当2n k =且N k +∈，则32(1)12

n n a a n =+⨯-=+，

综上，,21

1,2n n n k a n n k =-⎧=⎨+=⎩

且N k +∈.

【小问3详解】

结论：p 是q 的充分不必要条件，证明如下：

p 为真：{}n a 受集合[]1,2制约，由m 、N n +∈且[1,2]m n -∈，

当1m n -=，有1[1,2]n n a a +-∈成立，则21[1,2]n n a a ++-∈，进而可得：2[2,4]n n a a +-∈①； 当2m n -=，有2[1,2]n n a a +-∈成立，结合①有22{2}n n a a +-=∈； 此时，{}n a 受集合{}2制约；

q 为真：{}n a 受集合{}2制约，由m 、N n +∈且2[1,2]m n -=∈，有22[1,2]n n a a +-=∈；

而1[1,2]m n -=∈，不一定有1[1,2]n n a a +-∈成立（反例：,21

2,2n n n k a n n k

=-⎧=⎨+=⎩且N k +∈，显然

211m n -=-=，有[]214131,2a a -=-=∉）， 故{}n a 不一定受区间[]1,2制约；

所以，{}n a 受区间[]1,2制约，必受集合{}2制约，但受集合{}2制约，不一定受区间[]1,2制约； 综上，p 是q 的充分不必要条件.

（关华整理2023年东城区）高三期末

21 解：（Ⅰ）由()T A 的定义以及1100A ：，，，，可得：A 的长度为3的子列为：100110，，；，，，

A 的长度为2的子列有3个，A 的长度为4的子列有1个，

所以()6T A =.…………………5分 （Ⅱ）()()().T A T A T A '''==

理由如下：

若121k k m m m m -，，，，是12n A a a a ：，，，的一个子列，

则121k k m m m m -，，，，为11n n A a a a -'

：，，，的一个子列.

若121k k m m m m -，，，，与121k k n n n n -，，，，是12n A a a a ：，，，的两个不同子列，

则121k k m m m m -，，，，与121k k n n n n -，，，，也是11n n A a a a -'

：，，，的两个不同子列.

所以()()T A T A '≤. 同理()()T A T A '≤， 所以()()T A T A '=.

同理()().T A T A ''=所以有()()().T A T A T A '''==…………………10分

（Ⅲ）由已知可得，数列12n A a a a ：，，，中恰有k 个1，n k -个0.令00

011

1n k k A *-个

个

：，

下证：()()T A T A *≥. 由于00

011

1n k k A *-个

个

：，所以A *的子列中含有i 个0，j 个

1(0101,2)i n k j k i j =-=+≥，，，，，，，的子列有且仅有1个， 设为：00

011

1i j 个

个

.而数列12n A a a a ：，，，的含有i 个0，j 个1的子列至少有一

个，

所以()()T A T A *≥. 数列00

011

1n k k A *-个

个

：中，不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，

含有2个0的子列有1k +个，

，含有n k -个0的子列有1k +个，

所以2()()(1)22T A n k k k nk n k *=-++-=+--.

所以()T A 的最小值为2

2nk n k +--.…………………15分

（关华整理2023年大兴区）高三期末

（21） 解：（Ⅰ）6063M =，9N =.…………………… 4分 （Ⅱ）N 最小值为6，M 的最大值6063.

证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n a ，

若3j =，则A 中的每一个元素为3

12310,1,2,...,2019n i n n n i x a a a a n ++++===++=∑，

， 由题意3

1

max()0,1,2,,2019n i i M a n +===∑，

，

那么，对于任意的{}n a ，总有2020202120226063M

++=.

同理，由题意3

1

min()0,1,2,,2019n i i N a n +===∑，

，

那么，对于任意的{}n a ，总有1236N

++=，…………………… 4分

当n a n =(122022)n =⋅⋅⋅，

，，时，满足:6N =，6063M =.…………………… 5分 （Ⅲ）M 的最小值为6069.

由于6j =，对于1，2，……，2021，2022的一个排列{}n a ， A 中的每一个元素为6

10,1,2,...,2016n i i x a n +===∑，

，

由题意6

1

max()0,1,2,

,2016n i i M a n +===∑，，

对于任意的{}n a ，都有

2022

1+2++20226M ⋅⋅⋅， 即

2022

20232022

6

2

M ⨯，6069M .…………………… 2分 构造数列{}n a ：21,2,

,1011n a n n ==，，2120231,2,

,1011n a n n -=-=，，

对于数列{}n a ，设任意相邻6项的和为T ，则

21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，或22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++

若21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，则

(1)(2))((2023)+20231)(20232))T n n n n n n +++++---+--=（（

=20233⨯=6069，1,2,

,1009n =

若22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++，则

((1)(2))T n n n =+++++((20231)(20232)(20233))n n n --+--+--

=202236066⨯=，（1,2,,1008n =）

所以6069T ，即对这样的数列{}n a ，6069M =，

又6069M

，所以M 的最小值为6069.…………………… 5分

（关华整理2023年朝阳区）高三期末

（21）解：（Ⅰ）55a =，66a =，77a =，88a =．

（Ⅱ）对任意4n >，存在{1,2,

,1}i n -∈，使得n i n i a a a -=+．

若4i >或4n i ->，

则i a 或n i a -又可以写成数列中某两项的和，如1212()i i i a a a i i i =++=． 依此类推，存在12,,

,{1,2,3,4}k j j j ∈，使得12k n j j j a a a a =++

+，

其中12k j j j n +++=．

所以存在1234,,,p p p p ∈N ，使得11223344n a p a p a p a p a =+++， 且1234234p p p p n +++=． 设

4

4

a t =，则当4n ≤时，n a nt ≤． 当4n >时，112233441234234n a p a p a p a p a p t p t p t p t =++++⋅+⋅+⋅≤ 1234(234)p p p p t nt =+++=． 所以，对任意n *∈N ，均有n a nt ≤，即4

4

n a a n ≤． （Ⅲ）令n n b nt a =-，其中4

4

a t =

．由（Ⅱ）知0n b ≥，40b =. 由4(1)44(1)4[4(1)][(4)]i k i k i k i k b b i k t a i k t a ++++++-=++--+-

4(1)4444(1)4()0i k i k i k i k t a a a a a ++++++=-+=+-≤，

得44(1)i k i k b b +++≥．

所以，当1,2,3,4i =时，480i i i b b b ++≥≥≥

≥.

由（Ⅱ）知123411223344(234)()n b p p p p t p a p a p a p a =+++-+++

11223344()(2)(3)(4)p t a p t a p t a p t a =-+-+-+- 11223344p b p b p b p b =+++.

若12340b b b b ====，则0n b =．此时n a nt =，当4n >时，44n n a a a -=+. 若123,,b b b 不全为0，

设123max{,,}M b b b =，m 为123,,b b b 中最小的正数，则n b M ≤． 当某个0i b >时，必有i M p m ≤．否则i M p m >，则n i i M b p b m M m

>⋅=≥. 设不超过

M

m

的最大整数为0N ， 则11223344p b p b p b p b +++能表示的不同值的个数不超过40(1)N +． 所以，对每一个1,2,3,4i =，48,,,

i i i b b b ++只能取有限多个值.

所以存在0k *∈N ，当0,p k p *∈N ≥时，4i p b +为常数．

令044N k =+，则当n N >时，4n n b b +=，即4(4)n n n t a nt a ++-=-． 故44n n a a a -=+．

（关华整理2023年昌平区）高三期末

21. 【答案】（1）2,4,8,16 （2）见解析 （3）5 【解析】

【分析】（1）根据递推关系可求M 的所有元素； （2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明； （3）利用列举法可求M 的元素个数的最大值 【小问1详解】

若12a =，则2124a a ==，3228a a ==，43612a a ==，

542824a a =-=，故{}n a 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.

故{}2,4,8,16M =. 【小问2详解】

设*

3,k a m m =∈N ，

若112k a -≤，则132k m a -=，因2,3互质，故1k a -为3的倍数；

若112k a ->，则13224k m a -=-即()1232438k a m m -=+=+，因2,3互质， 故1k a -为3的倍数， 依次类推，有21,

,k a a -均为3的倍数.

当1n k ≥+时，我们用数学归纳法证明：n a 也是3的倍数. 当1n k =+时，若12k a ≤，则16k a m +=，故1k a +为3的倍数； 若12k a >，则1624k a m +=-，故1k a +为3的倍数， 设当n m =时，n a 是3的倍数即m a 为3的倍数， 若12m a ≤，则12m m a a +=，故1m a 为3的倍数；

若12m a >，则1224m m a a +=-，因24为3的倍数，故1m a 为3的倍数， 故当1n m =+时，n a 是3的倍数也成立，

由数学归纳法可得n a 是3的倍数成立， 综上，M 的所有元素都是3的倍数. 【小问3详解】

当11a =，则232,4a a ==，48a =，516a =，68a =，故M 的元素个数为5； 当13a =，则42356,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当15a =，则5243610,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当17a =，则3456214,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当19a =，则234518,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当111a =，则5243622,841,12,24,2a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当113a =，则524632,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当115a =，则23456,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当117a =，则5243610,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当119a =，则3456214,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当121a =，则234518,412.24,24a a ====，故M 的元素个数为4；

当123a =，则5243622,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当124a =，则224a =，故M 的元素个数为1； 当12,1,2,

11a k k ==时，M 的元素个数不超过为5，

综上，M 的元素个数的最大值为5.

【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.

（21）(Ⅰ)存在，比如1，2，4，8为8的所有约数即a =8. ……………………3分 (Ⅱ)易知32211,,,1a a

a a a a a a a k k k ==

==--. ……………………5分 因为4k ≥，依题意可知2

11

1223-----=--k k k k a a a a a a a a .

所以322

21

23

a

a a a a a a a a a a -

-=

--. 化简可得32

2223)1()(a a a a -=-∴，

所以2

32321

(

)a a a a a -=-. 因为3a N ∈*，所以

32

21

a a N a a *-∈-， 因此可知3a 是完全平方数. ……………………7分

由于2a 是整数a 的最小非1因子，3a 是a 的因子，且32a a >，所以2

23a a =. 所以21a a -，32a a -，…，1k k a a --为12-a ，22

2a a -， ，2

2

1

2---k k a a .

所以12(4)k a a k -=≥. ……………………9分

(Ⅲ)易知 ，

，a a a a a a k k ==-121，1i k i a a a +-=

，（1i k ≤≤），

所以2

12

12212a a a a a a a a a A k k k k +

++=--- . 因为

21121212111a a a a a a a a -=-≤， ，1111111

k k k k k k k k

a a a a a a a a -----=-

≤. 所以22

221211212112

11

1()k k k k k k k k a a a A a a a a a a a a a a a a a ------=

+++=+++

221223

1111111111

(

)()k k k

a a a a a a a a a a --+-++

-=-≤ . 因为11a =，k a a =，

所以111

()1k a a -<.

所以22111

(

)k

A a a a a -<≤. 即2

a A <. ……………………15分

21. 【答案】（1）数列A 是，数列B 不是； （2）不存在，理由见解析； （3）答案见解析. 【解析】

【分析】（1）根据定义验证12n n a a +-≥是否恒成立，即可判断；

（2）假设存在，则由已知

1n n b b +=1n n b b +-<. 当

2

1

n λ>

时，1n n b b λ+-<

<，这与假设矛盾，所以不存在； （3）根据已知推出

11n n a a +≥+，进而推出m a m ≥，11m m a a -≤-，

，()11m a a m ≤--，

相加可推得1501

22

m m a m ≥

+-.根据基本式，结合题意可得m a m +的最小值不小于30.进而得出m 的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到m a 的所以可能的取值.

【小问1详解】

根据定义，(2)P 数列应满足n *∀∈N ，都有12n n a a +≥+， 即12n n a a +-≥恒成立.

对于数列A ：有5322-=≥，8532-=≥，13852-=≥，211382-=≥均满足，所以数列A 是(2)P 数列；

对于数列B ，因为5π2-<不满足，所以数列B 不是(2)P 数列. 【小问2详解】

不存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列.

说明理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列， 则n *∀∈N ，都有1n n b b λ+≥+，即1n n b b λ+≥-恒成立.

因为1n n b b +=+

所以

1n n b b +-==<

当

2

1

n λ>

时，1n n b b λ+-<

<，这与假设矛盾. 所以，不存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列.

【小问3详解】

因为数列{}n a 是(1)P 数列，所以11n n a a +≥+. 所以121121m m m a a a a m m --≥+≥+≥

≥+-≥，

所以11m m a a -≤-，2112m m m a a a --≤-≤-，3213m m m a a a --≤-≤-，

，

()2312m a a a m ≤-≤--，()1211m a a a m ≤-≤--，

所以123m a a a a +++

+()1231m ma m ≤-+++

+-⎡⎤⎣⎦()

12

m m m ma -=-

， 即()11502

m m m ma -≤-，所以1501

22m m a m ≥

+-.

所以1503122m m a m m +≥

+-1159

30222

≥=-=， 因为数列{}n a 是整数列，所以m a m +的最小值不小于30. 假设30m a m +=，必有

150313022m m +-≤，解得25

123

m ≤≤， 因为*m ∈N ，所以m 可取9，10，11，12. 当9m =时，21m a =，存在满足条件的数列.

110a =，214a =，315a =，416a =，517a =，618=a ，719a =，820a =，921a =；

当10m =时，20m a =，存在满足条件的数列.

16a =，212a =，313a =，414a =，515a =，616a =，717a =，818a =，919a =，1020a =；

当11m =时，19m a =，存在满足条件的数列.

15a =，210a =，311a =，412a =，513a =，614a =，715a =，816a =，917a =，1018a =，1119a =；

当12m =时，18m a =，存在满足条件的数列.

17a =，

28a =，39a =，410a =，511a =，612a =，713a =，814a =，915a =，1016a =，1117a =，1218a =.

以上都是30m a m +=的充分条件.

所以m a m +的最小值为30，此时m a 的所有可能的取值为18，19，20，21.

2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编——数列解答题(含解析)

（关华整理2023年西城区）高三期末 （21） 已知 A n : a 1，a 2，…a n ， （n ≥ 4） 为有穷数列.若对任意的{}0,1,...,1i n ∈-，都有1i i a a +- ≤ 1 （规定 a 0 = a n ），则称A n 具有性质 P . 设 T n ={} (,)1,22(,1,2,...,2)i j i j a a j i n i j n -≤≤-≤-=- （Ⅰ）判断数列 A 4 :1，0.1，－1.2，－0.5， A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P ?若具有性质 P ，写 出对应的集合 T n ； （Ⅱ）若A 4具有性质 P ，证明：T 4≠∅ ； （Ⅲ）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列A n ，求T n 中元素个数的最小值. （关华整理2023年海淀区）高三期末 （21）对于一个有穷正整数数列Q , 设其各项为12,,,m a a a , 各项和为()S Q , 集合 {(,)|},1i j i j a a m i j >≤≤< 中元素的个数为()T Q . （Ⅰ）写出所有满足()4,()1S Q T Q ==的数列Q ； （Ⅱ）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； （Ⅲ）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值. （关华整理2023年房山区）高三期末

21. 若对m ∀，N n +∈，当m n A -∈时，都有m n a a A -∈，则称数列{}n a 受集合A 制约. （1）若2n n a =，判断{}n a 是否受N +制约，{}n a 是否受区间[]0,1制约； （2）若11a =，{}23,n a a =受集合{}2制约，求数列{}n a 的通项公式； （3）若记p ：“{}n a 受区间[]1,2制约”，q ：“{}n a 受集合{}2制约”，判断p 是否是q 的充分条件，p 是否是q 的必要条件，并证明你的结论. （关华整理2023年东城区）高三期末 （21）已知数列12n A a a a ：，，，，满足：{01}(122)i a i n n ∈=≥，，，，，，从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（122m i i i m << <≥，），称数列12,,,m i i i a a a 为A 的长度为m 的子列．记()T A 为A 所有子列的个 数.例如001A ：，，，其()3T A =. （Ⅰ）设数列1100A ：，，，，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ； （Ⅱ）设数列12n A a a a ：，，，，11n n A a a a -'：，，，，12n A a a a ''---：1，1，，1，判断 ()()()T A T A T A '''，，的大小，并说明理由； （Ⅲ）对于给定的正整数(11)n k k n ≤≤-，，若数列12n A a a a ：，，，满足：12n a a a k ++ +=，求() T A 的最小值.

2023届北京市大兴区高三上学期期末检测数学试题(解析版)

2023届北京市大兴区高三上学期期末检测数学试题 一、单选题 1．设集合{12}A x x =<≤∣，则A =R （ ） A ．{1x x <∣或2}x ≥ B ．{1x x <∣或2}x > C ．{1x x ≤∣或2}x ≥ D ．{1x x ≤∣或2}x > 【答案】D 【分析】利用补集的定义直接求解. 【详解】因为集合{12}A x x =<≤∣，所以A =R {1x x ≤∣或2}x >. 故选：D 2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A ．ln y x = B ．tan y x = C ．3y x = D ．1 y x =- 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对于A ：其定义域为：0x >， 定义域没有关于原点对称，所以为非奇非偶函数. 对于B ：是奇函数，但是在定义域上不是单调递增函数. 对于C ：因为()3f x x =，所以()()3 f x x f x -=-=-， 所以为奇函数，又()2 30f x x ='≥， 所以()f x 在定义域上是单调递增函数，符合题目要求. 对于D ：是奇函数，但是在定义域上不是单调递增函数. 故选：C. 3．在()5 1x -展开式中，2x 的系数为（ ） A ．10 B ．5 C ．10- D ．5- 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】()51x -展开式中含2x 的项为()322 5C 1310x x -=-，所以2x 的系数为10-，

故选：C 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知33S =-，52a =，则（ ） A ．{}n a 为递减数列 B ．30a = C ．n S 有最大值 D ．60S = 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可求解. 【详解】 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， ∴3233S a ==-，解得21a =-； 又 52a =，设等差数列{}n a 的公差为：d ∴()52211523 a a d ---= ==-0> ∴{}n a 为递增数列，选项A 错. ∴3522210a a d =-=-⨯=，1322a a d =-=-，选项B 对. 由()112 n n n S na d -=+ 知215 22n S n n =-， 由二次函数的性质可知，n S 有最小值没有最大值.选项C 错. 2615 66322 S =⨯-⨯=，选项D 错. 故选：B. 5．已知抛物线24y x =上一点M 与其焦点的距离为5，则点M 到x 轴的距离等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】设(,)M x y ，焦点为()1,0F ,2p =， 由抛物线的定义可知：152 p MF x x =+ =+= ，所以4x =， 将其代入抛物线方程中得216,y =故4y =，所以点M 到x 轴的距离等于4， 故选：B 6．“0a =”是“直线210x ay a -+-=()a ∈R 与圆221x y +=相切”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试 数学试卷含答案

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷 数 学 2023.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集|0}{U x x =>，集合{|12}A x x =<<，则U A = （A ）(,1][2,)-∞+∞ （B ）(0,1][2,)+∞ （C ）(,1) (2,)-∞+∞ （D ）(0,1) (2,)+∞ （2）在复平面内，复数(1i)(i)a +-对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(1,)+∞ （3）函数223,0,()e 2,0x x x x f x x ⎧+-⎪ =⎨->⎪⎩ ≤的零点的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为60︒，则双曲线的离心率为 （A ） 52 （B ） 23 3 （C ）3 （D ）2 （5）在ABC △中，“sin2sin2A B =”是“ABC △为等腰三角形”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为 （A ）3 （B ）2 （C ） 1 （D ）3 3 （7）已知函数()sin()(0||)2 f x x ωϕωϕπ =+>< ，，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于 （A ）π 3- （B ）π 6 - 第（7）题

2023届北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题(解析版)

2023届北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题 一、单选题 1．已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．[]2,3- B ．[]0,3 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞ 【答案】D 【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃. 【详解】因为集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=-+∞. 故选：D. 2．在复平面内，复数1 2i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果. 【详解】 ()()12212225525i i i i i i +==+-++=- ∴对应的点坐标为：21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴对应的点位于第一象限 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简复数，属于基础题. 3．已知函数()1 1f x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ C ．()1,2 D ．()2,3 【答案】D 【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案. 【详解】()1 1f x x -定义域为()0,∞+，在定义域上连续且单调递增， 其中0141 412 f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭， 012212 f ⎛⎫ =--< ⎪⎝⎭，()1101f =-<， ()1 1022 f =-<，()11033f =->，

北京市西城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷 附答案

北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2023.1 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1） 已知全集 U = { - 2， - 1，0，1，2，3}，集合 A = { x ∈Z | x ≤ 2} ，则 U C A = （A ）{－ 1，0，1} （B ）{ － 2，2，3} （C ）{ － 2， - 1，2} （D ）{ －2，0，3} （ 2） 设复数 z = 3 － i ，则复数i ·z 在复平面内对应的点的坐标是 （A ） （1，3） （B ）（ －1，3） （C ） （3，1） （D ） （3， －1 ） （ 3） 已知函数 ()lg f x x =，则()f x （A ）是奇函数，且在(0,)+∞ 上是增函数 （B ）是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 （D ）是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 （ 4） 已知双曲线 C : 2233x y -=，则 C 的焦点到其渐近线的距离为 （A （B （C ） 2 （D ）3 （ 5） 设,x y R ∈ ，且01x y <<<，则 （A ）22x y > （B ） tan tan x y > （C ） 42x y > （D ） 1 (2)x y y x + >- （ 6） 在 △ ABC 中，若 c = 4 ， b － a = 1， cos C = 1 4 ，则 △ ABC 的面积是 （A ）1 （B ） 3 4 （C （D ）4 （ 7）“ 空气质量指数（ AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0 ~ 24 时的空气质量指数 y 随时间 t

北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 2023.1 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则A B = （A ）(,2)-∞ （B ）(1,)-+∞ （C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是 （A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x = （C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1 ()n x x +的展开式中，若第3项的系数为10，则n = （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a = （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64

（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门 广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为 （A ） 111 （B ） 1 9 （C ）311 （D ）1 3 （6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂 足为M ．若OMP △的面积为6 25 ，则sin2α= （A ） 625 （B ） 12 25 (C)1825 （D ）24 25 （7）已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一 点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为 （A ） 3 （B ） 23 （C ） 25 （D ）45 （8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的 取值范围是 （A ）33(,][,)33-∞- +∞ （B ）33 [,]33 -

2023北京海淀高三(上)期末数学(附解析)

2023北京海淀高三（上）期末 数 学 2023.01 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{|23}A x x =-≤≤,{|0}B x x =>，则A B = （A ）[2,3]- （B ）[0,3] （C ）(0,)+∞ （D ）[2,)-+∞ （2）在复平面内，复数 1 2i -对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知函数1 ()1f x x x -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）11 (,)42 （B ）1 (,1)2 （C ）(1,2) （D ）(2,3) （4）已知1 3lg5,sin ,27 a b c π ===，则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）a c b << （5）若圆222 220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，则a = （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （6）已知{}n a 为等差数列，146310a a a =+=-，. 若数列{}n b 满足1n n n b a a +=+(1,2, n =)，记{}n b 的前n 项和为n S ，则8S = （A ）32- （B ）80- （C ）192- （D ）224- （7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是

2023届北京市顺义区数学高三第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数1 ()ln 1 f x x x = --的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ． 2．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i - 3．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22 B ．25 C ．10 D ．20 4．已知，都是偶函数，且在 上单调递增，设函数 ， 若，则（ ） A ．且 B ．且 C ． 且

D ．且 5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2 C ．4 D ．3 6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ） A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 7．已知函数()f x 的定义域为[] 0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ） A ．0,1 B ．[] 0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3 8．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点， ||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 9．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50 C ．40 D ．60 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ） A ．直线EF B ．直线GH C ．直线EH D ．直线1A B 11．已知集合1|2A x x ⎧ ⎫=<-⎨⎬⎩⎭ ，{|10}B x x =-<<则A B =（ ） A ．{|0}x x < B ．1|2 x x

2023届北京市石景山区高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届北京市石景山区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≤，则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2 【答案】A 【分析】解不等式求得集合B ，由交集定义可得结果. 【详解】{}{}111B x x x x =≤=-≤≤，{}1,0,1A B ∴=-. 故选：A. 2．在复平面内，复数12i z i +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【分析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】由题意可得：221222 21 i i i i z i i i ++-====--， 则复数z 对应的点为2,1，位于第四象限. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知52340145 235(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a =（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出答案即可. 【详解】因为52340145 235(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++ 所以32 35240a C == 故选：C 4．已知直线:230l x y +-=与圆22:40C x y x +-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）

A ．240x y --= B ．240x y +-= C ．220x y --= D ．220x y --= 【答案】A 【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，圆心坐标为(2,0)， 由13:23022l x y y x +-=⇒=-+，所以直线l 的斜率为1 2-， 因此直线l 的垂直垂直平分线的斜率为2， 所以直线l 的垂直垂直平分线方程为：02(2)240y x x y -=-⇒--=， 故选：A 5．已知直线,m n 与平面,,αβγ满足,,,m n n αβαβαγ⊥=⊥⊂，则下列判断一定正确的是 A ．//,m γαγ⊥ B ．//,n βαγ⊥ C ．//,βγαγ⊥ D ．,m n αγ⊥⊥ 【答案】D 【分析】根据n α⊥，利用线面垂直的性质证得n m ⊥，再结合面面垂直的判定定理，证得αγ⊥，即可得到答案. 【详解】因为m α β=，可得m α⊂， 又因为n α⊥，所以n m ⊥， 因为n α⊥，且γ⊂n ，所以αγ⊥. 故选：D. 6．已知函数()sin 22f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线π 3 x =对称 B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭ 对称 C ．()f x 最小正周期为π，且作π0,12⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦上为增函数 D ．()f x 的图象向右平移π 12 个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】π ()sin 222sin(2)3 f x x x x ==+， 对于A ，因为ππ2sin 22sin π02333f π⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π 3x =不是函数图象的对称轴，所以A 错误，

2023届北京市通州区高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届北京市通州区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}21A x x =-<<，{}03B x x =<<，则A B ⋃=（ ） A ．{}01x x << B ．{}23x x -<< C ．{}13x x << D ．{}20x x -<< 【答案】B 【分析】由集合并集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}21A x x =-<<，{}03B x x =<<， 所以{|2 3}A B x x ， 故选：B 2．等差数列{}n a 中，268a a +=，343a a +=，则{}n a 的通项为（ ） A ．516n - B ．511n - C ．38n - D ．35n - 【答案】A 【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意11 268 253a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,11d a ==-， 所以()1115516n a n n =-+-⨯=-. 故选：A 3．抛物线28x y =的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()0,2 【答案】D 【解析】抛物线交点坐标为(0,)2 p ，算出p 即可. 【详解】由282x y px ==，得4p =，故抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2. 故选：D.

一道基础题. 4．已知向量a ，b 满足()2,4a b +=-，()310,16a b -=-，则a b ⋅等于（ ） A ．13- B ．13 C ．29- D ．29 【答案】C 【分析】先求得向量a ，b ，进而求得a b ⋅. 【详解】依题意()2,4a b +=-，()310,16a b -=-， 两式相加得()()48,12,2,3a a =-=-， 所以()()2,44,7b a =--=-， 所以82129a b ⋅=--=-. 故选：C 5．设n 为正整数，2 12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【分析】写出二项式展开式的通项，令x 的指数为0，进而可得结果. 【详解】212n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项()22311C 22C r n r r n r r n r r n n T x x x ---+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 令230n r -=得32 n r =，因为*N n ∈，所以当2r =时，n 有最小值3， 故选：B 6 ．在ABC 中，若3b =，c π3 B =，则a 等于（ ） A B C ．D ． 【答案】A 【分析】根据题意由余弦定理直接求得答案. 【详解】在ABC 中，若3b =， c π 3 B =, 则2222cos b a c ac B =+-,即296a =+，即230a -=， 解得a = ，0a =<舍去， 故选：A

2023届北京市西城区高三上学期数学期末试题(解析版)

2023届北京市西城区高三上学期数学期末试题 一、单选题 1．已知全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2 2A x x =∈≤Z ，则 U A =（ ） A ．{1,0,1}- B ．{2,2,3}- C ．{2,1,2}-- D ．{2,0,3}- 【答案】B 【分析】根据集合A 用列举法进行表示，从而可以确定 U A . 【详解】集合{}{}2 2101A x x =∈≤=-Z ， ，， {2,1,0,1,2,3}U =--， {}2,2,3U A =-， 故选：B. 2．设复数3i z =-,则复数i z ⋅在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()3,1 D ．()3,1- 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算法则,将i z ⋅求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标. 【详解】解:由题知3i z =-, ()i i 3i 13i z ∴⋅=⋅-=+, i z ∴⋅在复平面内对应的点的坐标是()1,3. 故选:A 3．己知函数()lg ||f x x =，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 D ．是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 【答案】C 【分析】求出函数定义域，求出()f x -的表达式即可判断奇偶性. 当0x >，()lg f x x =，可知函数在(0,)+∞上单调递增，即可得出答案. 【详解】由已知可得，()f x 的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称. 又()()lg ||lg f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数.

2023届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)

2023届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题 一、单选题 1．已知集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =≤，则A B ⋃=（ ） A ．(),2-∞ B ．()1,-+∞ C ．(]1,1- D ．[)1,2 【答案】A 【分析】直接利用并集的概念运算即可 【详解】因为集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =≤， 所以{}|2A B x x =<. 故选：A. 2．在下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．()cos f x x x =- B ．()cos f x x x = C ．()ln f x x = D ．()f x 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可. 【详解】对于A ，函数()cos f x x x =-的定义域为R ，且()cos f x x x -=--，所以()()f x f x -≠，故函数不为偶函数； 对于B ，函数()cos f x x x =的定义域为R ，且()cos f x x x -=-，所以()()f x f x -≠，故函数不为偶函数； 对于C ，函数()ln f x x =的定义域为()(),00,∞-+∞，且()ln f x x -=，所以()()f x f x -=，故函 数为偶函数； 对于D ，函数()f x =[)0,∞+，不关于原点对称，所以函数不为偶函数. 故选：C. 3．在1n x x ⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B

【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭展开式的通项为2 2231C n n T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()21C 102n n n -==，5n =. 故选：B 4．在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 【答案】D 【分析】根据238a a =及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q , 因为238a a =，11a =，所以38q =，解得2q . 所以6671264a a q ===. 故选:D. 5．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（ ） A ． 1 11 B ．19 C ． 311 D ．13 【答案】D 【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案. 【详解】设11个重要建筑依次为,,,,,,,,,,a b c d e f g h i j k ，其中故宫为d ， 从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：()()()(),,,,,,,,,,,a b c b c d c d e d e f ， ()()()(),,,,,,,,,,,e f g f g h g h i h i j ，(),,i j k 共9种情况，