2023届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省青岛市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．复数i 2

1i -+的虚部为（ ） A ．3i 2

B ．32

C ．3

2-

D ．12

-

【答案】B

【分析】根据复数的运算求得i 2

1i

-+的结果，即可得答案. 【详解】由题意复数

i 2(i 2)(1i)13i 13i

=1i (1i)(1i)222

----+==-+++-， 故复数

i 21i

-+的虚部为3

2，

故选：B

2．若()()34

a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18，则=a （ ）

A ．2

B ．32

C ．3

2或2-

D ．3

2

-或2-

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a ，即得答案. 【详解】由题意()()34

a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18，

即2222

34C C (1)18a a +-= ，即226a a +=，

解得2a =-或32

a =， 故选：C

3．已知集合(){}22,20A x y x y x =+-=∣

，()(){},1B x y y k x ==+∣.若A B ⋂≠∅，则（ ）

A ．k ≤≤

B ．k ≤≤

C ．k ≥

k ≤D ．k ≥k ≤【答案】A

【分析】根据集合表示点的含义，可得直线与圆相交或相切，1，整理解出不等式

即可得出答案.

【详解】由已知可得，集合A 表示的点(),x y 在圆2220x y x +-=上，圆心为()1,0，半径1r =，集合

B 表示的点为直线()1y k x =+，即0kx y k -+=上的点.

由A B ⋂≠∅可知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以圆心()1,0到直线0kx y k -+=的距离d r ≤，即

2

211

k k ≤+，

整理可得2310k -≤，解得33

33

k -≤≤

. 故选：A.

4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ）

A 2

B ．1

C 2

D ．22【答案】D

【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面EFG 和平面GHK 的法向量，即可求平面EFG 和平面GHK 夹角的余弦值，进而可求解. 【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图， 平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，

建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则(1,0,2),(2,1,2),(2,0,1),(2,1,0),(1,0,0),E F G H K

设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z =(1,1,0),(1,0,1),EF EG ==- 所以00EF m x y EG m x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩

，令1,1,1x y z ==-=，所以(1,1,1),m =-

设平面GHK 的法向量为(,,),n a b c =(0,1,1),(1,0,1),GH GK =-=-- 所以00

GH n b c GK n a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1,1,1a b c ==-=-，所以(1,1,1),n =--

设平面平面EFG 和平面GHK 的夹角为θ， 则11

cos ,3

33m n m n m n

⋅<>=

=

=⨯⋅， 因为平面EFG 和平面GHK 的夹角为锐角，所以1

cos cos ,3m n θ=<>=，

所以222sin sin 1cos tan 2cos θ

θθθθ

-===， 故选：D

5．“1m =”是“函数()22x x m

f x m

+=-为奇函数”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由1m =时，结合奇函数定义可判断()22x x m f x m +=-为奇函数，举反例说明函数()22x x

m

f x m

+=-为奇函数时，可能是1m =-，不能得出一定是1m =，由此可判断答案.

【详解】当1m =时，()21

21x x f x +=-，其定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，

且满足()2112()2112x x x x f x f x --++-===---，故()21

21

x x f x +=-为奇函数； 当1m =-时，()21

21x x f x -=+，其定义域为R 关于原点对称，

且满足()2112()2112x x x x f x f x -----===-++，故()21

21x x

f x -=+为奇函数, 即函数()22x x m

f x m +=-为奇函数不能推出1m =，还可能是1m =-，

故“1m =”是“函数()22x x m

f x m

+=-为奇函数”的充分不必要条件，

故选：A

6．已知函数()()()2sin 0πf x x ωϕϕ=+<<的部分图像如下图所示，将()f x 的图像向左平移π

12

个单位后得到函数()y g x =的图像，则函数()2x y g x g ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

的最小值为（ ）

A ．4-

B ．9

4-

C ．74

-

D ．0

【答案】B

【分析】先计算()π2sin 23f x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，再由平移得()2cos2g x x =，代入并配方计算即可.

【详解】由图可知313ππ

,π4123

T T =

-=，故2ω=， 13π13π2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫

=⨯

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈, 又0πϕ<<，故π3ϕ=

，故()π2sin 23f x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，

则()ππ2sin 22cos 2123g x x x ⎡⎤

⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

，

则()2

2192cos 22cos 4cos 2cos 22cos 224x g x g x x x x x ⎛⎫⎛

⎫+=+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，

当1cos 4x =-时，()2x y g x g ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭的最小值为94-.

故选：B

7．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽

查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）

A ．甲班众数小于乙班众数

B ．乙班成绩的75百分位数为79

C ．甲班的中位数为74

D ．甲班平均数大于乙班平均数估计值

【答案】D

【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.

【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，

前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++⨯= ， 故乙班成绩的75百分位数为80，B 错误；

由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数为572585967682692796878828998

74.820

x ⨯++++⨯+⨯+⨯++⨯++=

=甲，

乙班平均数估计值为10

550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =⨯+⨯+⨯⨯+⨯=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D

8．已知定义域为[]0,1的“类康托尔函数”()f x 满足：①1201x x ∀≤<≤，()()12f x f x ≤；②()23x f x f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

；③()()11f x f x +-=.则

12023f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（ ） A ．132

B ．164

C ．1128

D ．

1256

【答案】C

【分析】根据函数的定义分别赋值得到11

(1)1,()22

f f ==，然后再利用()23x f x f

⎛⎫

= ⎪⎝⎭

得到

()2(

)3n n

x

f x f =⋅，再次赋值，利用1201x x ∀≤<≤，()()12f x f x ≤即可求解. 【详解】因为1201x x ∀≤<≤，()23x f x f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，令0x =可得：(0)0f =，

又因为()()11f x f x +-=，令0x =可得：(1)1f =，令1

2x =可得：11()22

f =，

由()23x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

可得：22()2()2()2()333n

n x x x f x f f f ==⋅==⋅，

令1,7x n ==，则有7

711(1)2()128()32187

f f f ==，所以11()2187128f =， 令12

x =，6n =，则有661

1112()2()64()2314582f f f ===，所以11

()1458128f =， 因为111218*********<<，所以111

()()()218720231458f f f ≤≤， 也即

111()1282023128f ≤≤，所以11

()2023128

f =， 故选：C .

二、多选题

9．通过长期调查知，人类汗液中A 指标的值X 服从正态分布()2

10,2.5N .则（ ）

参考数据：若()

2

~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=.

A ．估计100人中汗液A 指标的值超过10的人数约为50

B ．估计100人中汗液A 指标的值超过12.5的人数约为16

C ．估计100人中汗液A 指标的值不超过15的人数约为95

D ．随机抽检5人中汗液A 指标的值恰有2人超过10的概率为516

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的性质，进行ABC 选项的判断；结合正态分布的性质以及二项分布的概率计算公式即可判断选项D.

【详解】由10μ=，可得汗液A 指标的值超过10的

概率为()1

102

P X ≥=

.所以100人中汗液A 指标的值 超过10的人数约为1

100502

⨯=，故A 对；

同理，D 选项中，随机抽检5人中汗液A 指标的值恰有

2人超过10的概率为：23

25

115C 2216

⎛⎫⎛⎫

⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对；

由10 2.512.5μσ+=+=，所以100人中汗液A 指标的值 超过12.5的人数约为()10012.5P X ⨯≥ ()11002

P X μσμσ--≤≤+=⨯

=10.6827

100162-⨯

≈，B 对； 由210 2.5215μσ+=+⨯=，100人中汗液A 指标的值 不超过15的人数约为

()()122100222P X P X μσμσμσμσ--≤≤+⎡⎤

⨯+-≤≤+⎢⎥⎣⎦

10.95451000.95452-⎛⎫

=⨯+ ⎪⎝⎭

98≈，故C 错.

故选：ABD

10．已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量

()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内

点()2,1A ，点()2,1B t t +-，22AB =，0AB OA ⋅>，点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π

3

角得到点P ，

则（ ） A ．22BP =B ．()2,2AB =-

C ．B 的坐标为()41-,

D ．P 的坐标为(3

【答案】ACD

【分析】由题意表示出(),AB t t =-，结合题设可求得2t =，即得()2,2AB =-，()4,1B -，判断B,C ；

根据题中定义求得AP 坐标，可得点P 坐标，判断D ；再求得(31)BP =，求得其模，判断A.

【详解】由题意可知点()2,1A ，点()2,1B t t +-，故(),AB t t =-， 因为22AB =222()8,4t t t +-=∴= ，

又0AB OA ⋅>，即(),(2,1)0,20,0t t t t t -⋅>∴->∴>，故2t =， 所以()2,2AB =-，()4,1B -，故B 错误，C 正确； 因为点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π

3

角得到点P ，

所以ππππ3332cos 2sin ,2sin 2cos (113)AP ⎛

⎫=+-= ⎪⎝

⎭，

则由(11)(2,1)(3+=+,可得点P

坐标为(3，故D 正确；

故(31)BP =

，则(BP ==

A 正确， 故选：ACD

11．已知O 为坐标原点，()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，

C 与曲线

cos y x =恰有三个交点，则（ ）

A ．椭圆C

B ．

C 的内接正方形面积等于3

C ．点W 在C 上，12WF WF ⊥

，则12WF F △的面积等于1 D ．曲线C 与曲线4ln 2ln21y x =-+-没有交点 【答案】BCD

【分析】由椭圆与余弦函数都关于y 轴对称，可得其中一个交点为()0,1，从而可求1b =，根据离心率求得a =从而可判断A ；联立22

13x y y x

⎧+=⎪⎨⎪=⎩

，求出2

34x =，从而可判断B ；

设12,WF m WF n ==，

根据椭圆的定义可得m n +=又()2

2228m n c +==，从而可求mn ，即可求面积，从而可判断C ；设直线:2l y x =-+，联立22

1

32x y y x ⎧+=⎪⎨⎪

=-+⎩

，可得直线l 与椭圆C 相切，且直线l 在椭圆的右上方，设

()()4ln 2ln 212f x x x =-+---+，利用导数证明()0f x >，从而可判断D.

【详解】因为椭圆()22

22:10,0x y C a b a b

+=>>与曲线cos y x =都关于y 轴对称，且C 与曲线cos y x =恰

有三个交点,

所以其中一个交点的横坐标为0.

又cos01=

,所以该交点坐标为()0,1，所以1b =

.

c a ==

a =

故椭圆C 的长轴长为A 错误. 椭圆的方程为2

213

x y +=,

设C 的内接正方形与C 在第一象限的交点为P ，设()(),0P x y x >， 联立22

13x y y x

⎧+=⎪⎨⎪=⎩

，可得2

34x =，

故C 的内接正方形面积为2

2243x x x ⋅==，故B 正确.

设12,WF m WF n ==，因为点W 在C 上,

所以12WF WF m n +=+=因为12WF WF ⊥，所以()2

2228m n c +==. 所以()2

21228m n mn mn +-=-=，解得2mn =. 所以12WF F △的面积为11

2122

S mn ==⨯=，故C 正确. 设直线:2l y x =-+，

联立22

13

2x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩

,可得()2

2323x x +-+=，即241290x x -+=， ()2

124490∆=--⨯⨯=,所以直线l 与椭圆C 相切，且直线l 在椭圆的右上方. 设(

)()4ln 2ln 212f x x x -+---+

)

()14ln 2ln 230x x x =

-+->，

故(

)4

1f x x

'=-，令()0f x '=

，可得)

41x =

=.

当)()

0,41x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；

当)

()

4

1,x ∈+∞时，0f

x

，函数()f x 单调递增.

所以(

))()

41f x f ≥

)

))

14

14ln 4

12ln 23⎡⎤=

⨯-+-⎣

⎦

)12ln 24ln 4

1⎡⎤=+-⎣

⎦)

12ln 24ln 4ln

1⎡⎤=+-+⎣

⎦

)

16ln 24ln

1=--

)

4

16ln 2ln

1=-+

(16ln 2ln 17=-++

(()17e 1712 2.5ln ln

064

64

++⨯=>>， 即()0f x >

4ln 2ln 212x x -+->-+，

故函数4ln 2ln 21y x =-+-的图象在2y x =-+的上方，

所以曲线C 与曲线4ln 2ln 21y x =-+-没有交点，故D 正确. 故选:BCD.

【点睛】关键点睛：

（1）由椭圆与余弦函数都关于y 轴对称，可得其中一个交点为()0,1；

（2）取直线:2l y x =-+，根据直线l 与椭圆的位置关系及直线l 与曲线4ln 2ln21y x =-+-的位置关系求解.

12．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，13142n n n b a a +=-+，132124

n n n a

b b +=--.则（ ） A ．221

22

a b -=

B ．数列{}2n n a b +是等比数列

C ．数列{}2n n a b -是等差数列

D ．1n n a a +>

【答案】BCD

【分析】通过合理赋值即可判断A ，对B 两式作和即可判断，对C 两式作差即可判断，对D ，通过BC 选项求出1

1112n n n a a ++⎛⎫

-=-+ ⎪

⎝⎭

，则可判断D 正确.

【详解】对A 选项，令1n =，则2113171424a a b =

-+=，1123521244

a b b =--=-， 则25

8b =-，则2223a b -=，则22924

a b -=，则A 错误，

对B 选项，由题意中两式相加得()1111

2222

n n n n n n b a a a b b +++=

+=+，故B 正确， 对C 选项，由题意中两式作差得11222n n n n a b a b ++-=-+， 即()()11222n n n n a b a b ++---=，则C 正确，

对D 选项，由B 得1

122n n n a b -⎛⎫

+= ⎪

⎝⎭，()121212n n a n n b =+--=-，

两式相加得()1

12212n n a n -⎛⎫

=+- ⎪

⎝⎭

，

则1122n

n a n ⎛⎫⎛

⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

则11

1

1111111112222222n n n n n n n n a a +++⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++---=-⨯+=-+ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

若1,N n n *

≥∈，显然1

1102n +⎛⎫

-+> ⎪

⎝⎭

，则1n n a a +>成立,

故选：BCD.

三、填空题

13．已知sin sin 1αβ+=，cos cos αβ+=()cos αβ-=______. 【答案】1

2##0.5

【分析】将已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式，即可求得答案.

【详解】因为sin sin 1αβ+=，cos cos αβ+= 故222(sin sin )sin sin 2sin sin 1αβαβαβ+=++=， 222(cos cos )cos cos 2cos cos 2αβαβαβ+=++=，

以上两式相加可得2sin si 2n 2cos cos 3αβαβ+=+，即2(sin sin cos cos )1αβαβ+=， 故()1os 2

c αβ-=， 故答案为：1

2

14．将8块完全相同的巧克力分配给A ，B ，C ，D 四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种（用数字作答）. 【答案】19

【分析】将分配方案分为3类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理解决即可.

【详解】满足条件的分配方案可分为3类，第一类每人2块，第二类有两人3块，两人1块，第三类，一人3块，一人一块，2人2块， 属于第一类的分配方案有1个， 属于第二类的分配方案有2

4C 个，即6个， 属于第三类的分配方案有2

1

42C C 个，即12个， 故满足条件的分配方案的总数为19个， 故答案为：19.

15．已知O 为坐标原点，抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，A ，

B 中点D 在x 轴上方且其横坐标为1，3AB =，则直线AB 的斜率为______.

【分析】设出直线AB 的方程为：()(0)2

p

y k x k =->，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定

理和弦长公式，以及中点坐标即可求解.

【详解】由题意可知：直线AB 的斜率存在且大于零，

则设直线AB 的方程为：()(0)2

p

y k x k =->，1122(,),(,)A x y B x y ，

联立方程组22()2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪

⎩

，整理可得：22222

(2)04k p k x k p p x -++

=， 则1222(1)x x p k +=+，2

124p x x ⋅=

，又因为A ，B 中点D 的横坐标为1， 所以12222(1)x x p k +==+，则2

222

k p k =+，

由弦长公式可得：12AB x -==

又因为3AB =，则有()()()

22222

22914142k k p k

k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦

， 化简整理可得：422100k k +-=，即22(2)(25)0k k -+=，解得：22k =， 因为0k >

，所以k =

.

四、解答题

16．已知球O 的半径为2，圆锥W 的顶点和底面圆周上的点均在球O 上，记球心O 到圆锥W 底面的距离为h ，圆锥W 的底面半经为r .则（1）h r ⋅的最大值为______；（2）圆锥W 体积的最大值为______. 【答案】 2

256π81

##256

π81 【分析】讨论球心与圆锥的位置关系，确定,h r 的关系，结合基本不等式求h r ⋅的最大值，由锥体体积公式表示圆锥W 体积，利用导数求其最值.

【详解】当球心在圆锥内或圆锥的底面上时，过圆锥的轴作截面可得：

则112,AO r OA OB OO h ====，，02h ≤<， 所以224r h +=，

所以22

22

r h rh +≤=，当且仅当2r h ==rh 的最大值为2, 圆锥的体积()()()22

11πr 2π4233V h h h =+=-+，其中02h ≤<，

所以()23

1π8423

V h h h =+--，

所以()()()2

11π344π32233

V h h h h '=-+-=--+

当2

03

h ≤<

时，0V >'，函数()231

π8423

V h h h =+--单调递增，

当223h <<时，0V '<，函数()23

1π8423

V h h h =+--单调递减， 当2

3h =时，体积V 取最大值，最大值为256π81

，

当球心在圆锥外时，过圆锥的轴作截面可得：

则222,CO r OC OD OO h ====，，02h <<， 所以224r h +=，

所以22

22

r h rh +≤=，当且仅当2r h ==rh 的最大值为2, 圆锥的体积()()()22

11πr 2π4233V h h h =-=--，其中02h <<，

所以()23

1π8423

V h h h =--+，

所以()()()2

11π344π32233

V h h h h '=--=+-

当02h <<时，0V '<，函数()V h 单调递减，所以()8π03

V h <<. 综上所述，h r ⋅的最大值为2，圆锥W 体积的最大值为256π

81

. 故答案为：2；

256π

81

. 17．在ABC 中，sin sin cos 2sin sin cos 3sin sin cos B C A A C B A B C ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，内角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c . (1)求22

2

2a b c +的值；

(2)求cos C 的最小值. 【答案】(1)3； 2.

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算可得2

2

2

23a b c +=，从而代入22

2

2a b c +，

即可求解出答案；（2）根据余弦定理，结合（1）的结论化简表示得cos 36a b

C b a

=+，再利用基本不

等式即可求解cos C 的最小值.

【详解】（1）由正弦定理边角互化可得，

cos 2cos 3cos bc A ac B ab C ⋅+⋅=⋅，

由余弦定理得，22222222223222b c a a c b a b c bc ac ab bc ac ab

+-+-+-⋅+⋅=⋅

， 化简得()

222222222322

a b c b c a a c b +-+-++-=

， 从而得222320c a b --=，即22223a b c +=， 222

22233a b c c c

+∴==

（2）由余弦定理得，

()

2222

222222223323332cos 266636a b a b a b c a b c a b a b C ab ab ab ab b a

+-++-+-+=====+

因为在ABC 中a ，b 均大于0， 2cos 236363a b a b C b a b a ∴=

+≥⋅=， 当且仅当36a b

b a

=，即222b a =时取等号，

所以cos C 的最小值为

23

. 【点睛】思路点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

18．如图1所示，在ABC 中，点E ，F 在线段AB 上，点D 在线段BC 上，1AE EF FB ===，2CE =，

1DF =，CE AB ⊥.将△ACE ，△BDF 分别沿CE ，DF 折起至点A ，B 重合为点G ，形成如图2所示的

几何体W ，在几何体W 中作答下面的问题.

(1)证明：平面EFG ⊥平面CEFD ； (2)求点D 到平面CFG 的距离. 【答案】(1)证明过程见详解 (2)57

19

【分析】(1)根据题意可证DF ⊥平面EFG ，利用面面垂直的判定即可证明； (2) 点D 到平面CGF 的距离为h ，利用体积相等D CGF G CDF V V --=，计算即可求解. 【详解】（1）由题意知：DF

EF ，DF FG ⊥，

因为EF FG F ⋂=，且,EF FG ⊂平面EFG ，所以DF ⊥平面EFG ， 又因为DF ⊂平面CEFD ，所以平面EFG ⊥平面CEFD .

（2）由题意可知：EFG 是边长为1的正三角形，取EF 的中点P ，连接GP ，则有GP EF ⊥，且32

GP =

，

由（1）知平面EFG ⊥平面CEFD ，且平面EFG ⋂平面CEFD EF = ，所以GP ⊥平面CEFD ，

由（1）知：DF ⊥平面EFG ，因为//CE DF ，所以CE ⊥平面EFG ， 又因为1EF EG ==，2CE =，所以5CF CG == 在CGF △中，过点C 作CQ GF ⊥，则Q 为GF 的中点， 所以2219CQ CG GQ =-=111919122CGF S GF CQ =⋅=⨯=， 又因为111

11222

CDF

S

DF EF =⋅=⨯⨯=，设点D 到平面CGF 的距离为h ， 则D CGF G CDF V V --=，也即1

133

GCF

CDF

S

h S GP ⋅=⋅，所以119113

332h =⨯ 所以57h =

，即点D 到平面CGF 5719．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}

1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的

横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)n

i

i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.

【答案】(1)12n n a -=

(2)288n n +

【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；

选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做

减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；

（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，

即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)n

i i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.

【详解】（1）选条件①： 数列{}1n S a +为等比数列， ()()()2

211131S a S a S a ∴+=++，

即()()2

121123222a a a a a a +=++， 11a =，且设等比数列{}n a 的公比为q ，

()()2

2222q q q ∴+=++，

解得2q 或0q =（舍），

1112n n n a a q --∴==，

选条件②：

1121

222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=①，

()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，

即()()

12

121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥②，

由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-， 即()122n n a a n +=≥，

令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n =得出212a a =也符合上式， 故数列{}n a 为首项11a =，公比2q

的等比数列，

则11

12n n n a a q --==，

（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q 的等比数列，即

12n n a -=，

则122b a ==，234b a ==， 1

4n n n T b b +=⋅③，

()

1124n n n T b n b --⋅∴≥=④，

由③④两式相减得：()()11142n n n n n n b b b b T T n -+-⋅⋅-=-≥， 即()()1142n n n n b n b b b +--⋅=≥， 数列{}n b 为正项数列， 则()1142n n b b n +--=≥，

则数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，

()221

12342121

1

(1)4(1)4n

n

i

i

i i i n n i i b b

T T T T T T T +-==⎡⎤⎡⎤-=-=-+-++

-+⎣⎦⎣⎦∑∑，

即()2124621

(1)4n i

i i n i b b b b b b +=⎡⎤-=+++

+⎣⎦∑，

数列{}n b 前2n 项中的全部偶数项之和为：()

2144222

n n n n n -+

⨯=+， 则2112

(81)8n

i i i i n n b b +=⎡⎤=⎣⎦+-∑. 20．由mn 个小正方形构成长方形网格有m 行和n 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p ，放红球的概率为q ，1p q +=.

(1)若2m =，12

p q ==，记y 表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：

求y 关于n 的回归方程ln y bn a =+，并预测10n =时，y 的值；（精确到1） (2)若2m =，2n =，1

3

p =

，23q =，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X ，求

X 的分布列和数学期望；

(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：()()111n m

m n p q -+-≥.

附：经验回归方程系数：1

22

1

ˆk

i i

i k

i

i x y

kx y b

x

kx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa

y bx =-，5

1

ln 53i i i n y =⋅=∑，ln 3.8y =. 【答案】(1)ln 0.45y n =-+；3. (2)分布列见解析；

32

25

. (3)1(1)m n p --；证明见解析.

【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值； （2）确定X 的取值可能为0,1,2，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;

（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知12345

35

n ++++=

= ,

故1

21

5

2

ln 5ln 5353 3.84

ˆ0.4554510

5i

i

i n

i i n y n y

b

n n

==-⨯⋅-⨯⨯==

=-=---⨯∑∑，

所以 3.80.435a =+⨯= ，

所以线性回归方程为：ln 0.45ˆy

n =-+ ， 所以，估计10n =时，ln 1,e 3y y =∴=≈. （2）由题意知：2m =，2n =，1

3

p =，23q =，

则X 的取值可能为0,1,2，

记“含红球的行数为k ”为事件,(0,1,2)k A k =，记“每列都有白球”为事件B ， 所以 40022()1

(0)(|)()251P A B P X P A B P B q p =====⎡⎤-⎣⎦

， 13122

142122()C C 16(1)(|)()251P A B p q p q P X P A B P B q +=====

⎡⎤-⎣⎦， 12

22222()C ()8(2)(|)()251P A B pq P X P A B P B q =====

⎡⎤-⎣⎦

， 所以X 的分布列为：

所以数学期望为161832()01225252525

E X =⨯

+⨯+⨯=. （3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为()1n

m p - ,

记“不是每一列都至少一个红球”为事件A ，所以()1(1)m n P A p =--， 记“每一行都至少一个白球”为事件B ，所以()()1m

n P B q =-，

显然，A B ⊆ ，所以()()P A P B ≤ ，

即()1(1)1m n m

n p q --≤-，所以()(11)1m n m

n p q -+≥-.

【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.

21．已知O 为坐标原点，动直线():0l y kx m km =+≠与双曲线()2

2

2:10y C x b b

-=>的渐近线交于A ，

B 两点，与椭圆2

2:12

x D y +=交于E ，F 两点.当210k =时，()()

23OA OB OE OF +=+.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若动直线l 与C 相切，证明：OAB 的面积为定值. 【答案】(1)2

2

13

y x -=

2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设全集U =R ，集合{} 21A x x =-≤，{} 240x B x =-≥，则集合( )U A B =（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 【答案】C 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞， 所以( )[1,2)U A B =. 故选：C 2．若复数z 满足()2023 2i i z -=，则z =（ ） A ．12i 55 - B ．12i 55 -- C ．12i 55 -+ D ．12i 55 + 【答案】D 【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555 z i -+--= ===---+， 则12 i 55 z =+. 故选：D 3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则 π6f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ． 6 π B ．1 2 C D ． 3 π 【答案】B 【分析】根据 ππ sin 66 ≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的值. 【详解】由题意可知， ππ1 sin 662 ≥=，满足sin ,x x ≥

所以ππ1sin 662f ⎛⎫ == ⎪⎝⎭ . 故选：B 4．若一组样本数据1x 、2x 、 、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、 、24 n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48 【答案】A 【分析】计算出1n i i x =∑、2 1 n i i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110n i i x n ==∑，则1 10n i i x n ==∑ 所以，数据124x +、224x +、 、24n x +的平均数为 ()11 12244210424n n i i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑， 方差为()() ()222 2221111 14444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑， 所以，2 1 102n i i x n ==∑， 将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为 ()()()1111111131243443104172222n n n n i i i i i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∑∑∑∑， 方差为()()222 211111117241758645822n n n n i i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤ ⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∑∑∑∑ ()1 5102860458542n n n n = ⨯-+=. 故选：A. 5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．若集合{} 2 |4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{}|2x x ≥- C ．{|1}x x > D ．{}2|x x ≤ 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤， 而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i 12i z +=-，则z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】D 【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5i i 12i (12i)(12i)5 z +++====--+，故i z =-. 故选：D 3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,0 3,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，则()2023f =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可. 【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现， 则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C 4．已知函数()2 2x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （ ） A ．()6ln21- B ．()4ln21- C ．()2ln21- D ．0

2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,4,A x =，{}2 1,B x =，且A B B =，则x 的所有取值组成的集合为（ ） A ．{}2,0- B ．{}0,2 C ．{}2,2- D ． 2,0,2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，所以2x A ∈， 若24x =，则2x =或2x =-，经检验均满足题意， 若2x x =，则0x =或1x =， 经检验0x =满足题意，1x =与互异性矛盾， 综上x 的所有取值为：2-，0,2， 故选:D. 2．已知()1i 3i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5 B C ．2 D 【答案】B 【分析】由复数的除法运算，化简求复数z 的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数z 满足()1i 3i z +=-，则3i (3i)(1i)24i 12i 1i (1i)(1i)2 z ----====-++-， 则z == 故选：B ． 3．若“12x <<”是“不等式2()1x a -<成立”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．(]1,2 C ．[]1,2 D ．()1,2 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】解：由2 ()1x a -<得11a x a -<<+， 12x <<是不等式2()1x a -<成立的充分不必要条件，

∴满足11 12a a -≤⎧⎨+≥⎩ ，且等号不能同时取得， 即2 1 a a ≤⎧⎨≥⎩， 解得12a ≤≤， 故选：C ． 4．在四边形ABCD 中,AB CD ∥,4AB CD =,点E 在线段CB 上,且3CE EB =,设AB a =,AD b =,则AE =（ ） A ．5182a b + B ．51 42 a b + C ． 131 164 a b + D ． 131 84 a b + 【答案】C 【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果. 【详解】解:由题知,AB CD ∥,4AB CD =，画出示意图如下: 因为3CE EB =,AB a =,AD b =, 所以AE AB BE =+ 1 4 AB BC =+ () 1 4 AB BA AD DC =+++ 311 444AB AD DC =++ 311 4416AB AD AB =++ 131 164AB AD =+ 131164 a b = +. 故选:C 5．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a b ab +的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．10 【答案】A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．

2023届山东省实验中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届山东省实验中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题 1．已知集合{}{}|02,|1A x x B x a x a =<<=-<<，若{}|12A B x x ⋂=<<，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．—1 D ．—2 【答案】B 【分析】由交集的概念列式求解， 【详解】由题意知11 2a a -=⎧⎨≥⎩ 解得2a =． 故选：B 2．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】B 【分析】由复数除法运算可求得z ，由虚部定义得到结果. 【详解】由(1)i 1i z -⋅=-得：1i 11i i z --= =--， i z ∴=- z ∴的虚部为1-. 故选：B. 3．设D 为ABC 所在平面内一点,3DC BC =,则（ ） A ．31 22 AC AB AD = - B ．41 33 AC AB AD = - C ．32AC AB AD =- D ．43AC AB AD =- 【答案】A 【分析】根据向量加法的首尾相连,根据1 3BC DC =将AC 往,AB AD 上拼凑即可得出结果. 【详解】解:由题知1 3,3DC DC BC BC =∴=, AC AB BC =+ 1 3AB DC =+ () 1 3 DA B AC A =+ + 11 33 AD AC AB =-+,

即21 33 A AC A B D =- 31 22 AB AC AD ∴= -. 故选:A 4．已知命题“x ∃∈R ，使()2 4110x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．()5,3- C ．(5,)+∞ D ．(3,5)- 【答案】D 【分析】由题可得()2 4110x a x +-+>恒成立，由Δ0<即可求出. 【详解】因为命题“R x ∃∈，使()2 4110x a x +-+≤”是假命题， 所以，命题“R x ∀∈，()2 4110x a x +-+>”是真命题， 所以，2Δ(1)160a =--<，解得35a -<<， 故实数a 的取值范围是(3,5)-． 故选：D. 5．已知 cos 2sin cos 3 ααα= +，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A B ．13 C ． D ．1 3 - 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简可得π4α⎛ ⎫- ⎪⎝⎭，根据 ππsin sin 44αα⎛⎫⎛ ⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭可求得结果. 【详解】22cos 2cos sin πcos sin sin cos sin cos 4αααααααααα-⎛⎫==-=-= ⎪++⎝⎭， ππ1sin sin 443αα⎛⎫⎛ ⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭. 故选：B. 6．已知1F ，2F 分别为椭圆22 163 x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，以2F 为圆心的圆与直线1 PF 恰好相切于点P ，则1|PF |=（ ） A B ．2 C D 【答案】A

2023届山东省菏泽市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省菏泽市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，5 2B x x ⎧=<⎨⎩且}N x ∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】C 【分析】写出由集合A 中满足小于5 2 的自然数元素组成的集合即可. 【详解】集合A 中满足小于5 2 的自然数元素有0，1，2， 所以{}0,1,2A B =. 故选：C. 2．若复数i 1i a z +=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．2 【答案】A 【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得. 【详解】 ()()()()()()1i 11i 11i 1i 22i 2 i 1i 1i a a a z a a a -++++= +-+-===-++， 由于复数z 的实部与虚部相等， 则 1122 a a +-=， 解得0a =. 故选：A. 3．若2: 01 x p x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．12x -≤≤ B ．1x > C ．2x D ．25x <≤ 【答案】B 【分析】解不等式 201 x x -+≤得1x <-或2x ≥，选出其必要不充分条件即可.

【详解】p ： 201 x x -+≤，即(2)(1)0x x -+≤且1x ≠-，解得1x <-或2x ≥， 所以p ：1x <-或2x ≥， 对于A ，12x -≤≤是p 的既不充分也不必要条件； 对于B ，1x >即1x <-或1x >，是p 的必要不充分条件； 对于C ，2x 即<2x -或2x >，是p 的充分不必要条件； 对于D ，25x <≤是p 的充分不必要条件； 故选：B. 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．150 【答案】D 【分析】根据等比数列前n 项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为{}n a 是等比数列， 所以10201030204030,,,S S S S S S S ---成等比数列， 又因为1010S =，2030S =，201020S S -=， 则302040S S -=，403080S S -=， 所以3070S =，40150S =. 故选：D. 5．已知函数() 2 lg 1y x ax =-+在()2,+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．[)4,+∞ C ．(],4∞- D ．5,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝ ⎦ 【答案】D 【分析】由复合函数单调性及定义域可求解. 【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知： 函数2()1f x x ax =-+在()2,+∞上单调递增且()0f x >在()2,+∞上恒成立， 则有222(2)2210a f a ⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩ ，解得52a ≤，则a 的取值范围为5,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D

2023届山东省百校大联考高三上学期12月数学试题(解析版)

2023届山东省百校大联考高三上学期12月数学试题 一、单选题 1．已知集合{} 2 560A x x x =-+≤，集合{B x y =，则A B ⋃=（ ） A ．(]1,3 B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[]2,3 【答案】C 【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B ⋃即可解决. 【详解】{} {}2 560=23A x x x x x =-+≤≤≤ {{}2B x y x x ===≥ 则{}{}{}2322A B x x x x x x ⋃=≤≤⋃≥=≥ 故选：C 2．已知复数z 满足()1i 2i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．32 - B ．3i 2- C ．32 D ．3i 2 【答案】C 【分析】先利用复数的除法运算求得复数z ，从而得其共轨复数z ，由此得解. 【详解】因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()22i 1i 2i 2i 2i i 13 i 1i 1i 1i 222z -----+= ===-++-， 则13 i 22z = +，所以z 的虚部为32 . 故选：C. 3．“4a ≤”是“函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据单调性得到e 3x a +≥恒成立，计算得到3a ≤，根据范围的大小关系得到答案. 【详解】函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数，故()()e 30x f x a '=--≥恒成立. 即e 3x a +≥恒成立，e 33x +>，故3a ≤. 故“4a ≤”是“函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数”的必要不充分条件.

2023届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省青岛市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．复数i 2 1i -+的虚部为（ ） A ．3i 2 B ．32 C ．3 2- D ．12 - 【答案】B 【分析】根据复数的运算求得i 2 1i -+的结果，即可得答案. 【详解】由题意复数 i 2(i 2)(1i)13i 13i =1i (1i)(1i)222 ----+==-+++-， 故复数 i 21i -+的虚部为3 2， 故选：B 2．若()()34 a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18，则=a （ ） A ．2 B ．32 C ．3 2或2- D ．3 2 -或2- 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a ，即得答案. 【详解】由题意()()34 a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18， 即2222 34C C (1)18a a +-= ，即226a a +=， 解得2a =-或32 a =， 故选：C 3．已知集合(){}22,20A x y x y x =+-=∣ ，()(){},1B x y y k x ==+∣.若A B ⋂≠∅，则（ ） A ．k ≤≤ B ．k ≤≤ C ．k ≥ k ≤D ．k ≥k ≤【答案】A 【分析】根据集合表示点的含义，可得直线与圆相交或相切，1，整理解出不等式 即可得出答案. 【详解】由已知可得，集合A 表示的点(),x y 在圆2220x y x +-=上，圆心为()1,0，半径1r =，集合

B 表示的点为直线()1y k x =+，即0kx y k -+=上的点. 由A B ⋂≠∅可知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以圆心()1,0到直线0kx y k -+=的距离d r ≤，即 2 211 k k ≤+， 整理可得2310k -≤，解得33 33 k -≤≤ . 故选：A. 4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A 2 B ．1 C 2 D ．22【答案】D 【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面EFG 和平面GHK 的法向量，即可求平面EFG 和平面GHK 夹角的余弦值，进而可求解. 【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图， 平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，

2023届山东省日照市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省日照市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设集合{} |1216x A x =<<，{}2,3,4,5 B =，则A B =（ ） A ．{}2,3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}2,3,45， 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性得到{|04}A x x =<<，然后利用交集的定义即可求解. 【详解】因为集合{|1216}{|04}x A x x x =<<=<<，又{}2,3,4,5B =， 所以{2,3}A B =， 故选：A . 2．设a,b 为实数，若复数 1+21i i a bi =++，则 A ．31 ,22 a b == B ．3,1a b == C ．13 ,22 a b == D ．1,3a b == 【答案】A 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解． 【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，1 2b =， 故选A ． 【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 3．设x ∈R ，则“ 1 12 x <-”是“3x >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解分式不等式，然后根据两者的关系判断是什么条件. 【详解】由 1 12x <-可得，131022x x x --=<--，即302 x x ->-，可等价变形为：(2)(3)0x x -->，即3 x >或2x <，显然“3x >或2x <”是“3x >”的必要不充分条件. 故选：B

2022-2023学年山东省青岛市第二中学数学高三第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3- B ．3 C ．13- D ．13 2．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤ 3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣ B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ 4．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆 22650x y y +-+=所得弦长为（ ） A 3 B ．2 C ．4 D ．235．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是 （ ）

山东省青岛市部分中学2023届高三上学期12月教学质量检测数学试题及答案(含解析)

青岛市部分中学2022-2023学年高三上学期12月教学质量检测 数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合3,2,1,0,1,2A ，{}230B x x = +>，则A B = A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}1,0,1,2- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1- 2．已知复数12z a i =+，212z i =-，若1 2 z z 是纯虚数，则实数的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．4 3．已知两个不同的平面,αβ，两条不同的直线,a b ，a α⊂，b α⊂，则“//a β，//b β”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．要不充分也不必要条性 4．已知命题0 10:,21x p x R -∃∈≤，则命题p ⌝为 A ．0 10,21x x R -∃∈≥ B ．0 10,21x x R -∃∈> C ．1,21x x R -∀∈≤ D ．1,21x x R -∀∈> 5．已知0.5log 0.3a =，0.50.3b =，0.30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度()12v =， 从点()46A ，处移动到点()712B ，处，其所用时间长短为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 7．已知等差数列{}n a ,n m a m a n +=+(,,)n m n m *≠∈N ,数列{}n b 满足2121n n n b a a +-=+,则20202019b b -=( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省青岛市市内四区普通高中高一上学期期末数学 试题 一、单选题 1．已知集合1 {|1216}{|0}6 x x A x B x x -=≤=≥-＜，，则R A C B ⋂＝（ ） A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6} 【答案】A 【分析】化简集合,A B ，按照补集定义求出R C B ，再按交集定义，即可求解. 【详解】{|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤, 1 {| 0}{|16 x B x x x x -=≥=≤-或6}x >， {|16}R C B x x =<≤， R A C B ⋂4{|}1x x <≤=. 故选:A. 【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题. 2．下列哪个函数的定义域与函数12x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭的值域相同（ ） A ．2x y = B ．1y x x =+ C ．1 2y x = D ．ln y x x =- 【答案】D 【解析】指数函数12x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。 【详解】指数函数12x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥； D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。 故选：D

【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。 3．若0a >，0b >，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取4a =，1b =，可得“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；由基本不等式可知由“4a b +≤”可以推出“4ab ≤”，进而可得结果. 【详解】因为0a >，0b >，取4a =，1b =，则满足4ab ≤，但是54a b +=>，所以“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”； 反过来，因为a b ≤+，所以当4a b +≤ 时，有4，即4ab ≤. 综上可知，“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知幂函数()y f x = 的图象经过点，则13 log (3)f 的值是（ ） A ．13 - B ．1 C ．13 D ．-1 【答案】A 【分析】设()a f x x ，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值． 【详解】() a f x x ，则由题意和13(3)33a f ===，1 3 a =， ∴13 11133 311 log (3)log 3log 333f ===-． 故选：A ． 【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题． 5．已知实数2log 3a =，cos 4 b π =，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．a c b >> 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可. 【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>， 又因为21cos 4 3b π >==，

2023届山东省青岛市高三上学期期初调研检测数学试题(解析版)

2023届山东省青岛市高三上学期期初调研检测数学试题 一、单选题 1．若()3i 10z -+=，则z =（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则即可化简求解. 【详解】由()3i 10z -+=得()()() 103i 10==3i 3i 3i 3i z --=---+-+--， 故选：B 2．若集合{{1},2x A B x =<=≤∣，则A B =（ ） A ．1,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝ ⎦ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,2⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】C 【分析】解无理不等式确定集合A ，解指数不等式确定集合B ，然后由交集定义求解． 【详解】{1}{|01}A x x x ==≤<，1{|2{|}2 =≤=≤x B x x x ， 所以1 {|0}2A B x x ⋂=≤≤． 故选：C ． 3．已知sin 44πα⎛ ⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin2α=（ ） A ．3 4 - B ．34 C ．34 ± D ．【答案】A 【分析】对sin 44πα⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭展开化简可得1sin cos 2αα+=，再对等式两边平方化简后 结合二倍角公式可求出sin 2α的值. 【详解】因为sin 4πα⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭， 所以sin cos cos sin 4 4 π π αα+ αα=

所以1sin cos 2αα+= ， 所以()2 1sin cos 4 αα+= ， 所以22 1 sin 2sin cos cos 4αααα++= ，即112sin cos 4 αα+=， 所以3 sin 24 α=-， 故选：A 4．在6 2x x ⎛⎫ - ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．80 B ．80- C ．160 D ．160- 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项. 【详解】由于1 ,x x 互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为 ()3 336 2C 208160x x ⎛⎫ -=⨯-=- ⎪⎝⎭ ， 故选：D 5．已知0.3sin4,ln2,2a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．a b c << D ．a c b << 【答案】C 【分析】根据中间值法结合函数的单调性即可比较大小 【详解】因为0.30221c =>=，()ln201b =∈，，3π π4,sin402 a ∴<<∴=<, 故a b c <<， 故选：C 6．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ） A B C D 【答案】B 【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长l 性质，即可利用球心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解. 【详解】设圆台的高和母线分别为,h l ，球心到圆台上底面的距离为x ，

2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合A ＝{} 2 650x x x -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( ) A ．[1,3] B ．[1,5] C ．[3,5] D ．[1，＋∞) 【答案】C 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可 【详解】由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤ []15A ∴=， 由B 中y =30x -≥，即3x ≥ )3B ⎡∴=+∞⎣， 则[]A B 35⋂=， 故选C 【点睛】本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题． 2．若复数z 满足：1i z =+，则22z z -的共轭复数的虚部为（ ） A ．-2 B ．i C ．0 D ．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答. 【详解】因1i z =+，则222(1i)2(1i)2i 22i 2z z -=+-+=--=-， 所以所求共轭复数为2-，其虚部为0. 故选：C 3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ） A ．184斤 B ．176斤 C ．65斤 D ．60斤 【答案】A 【解析】根据等差数列的前n 项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.

2023届山东省济南市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省济南市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{|2},{|(2)(3)0}A x x B x x x =≥=+-≥，则A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x ≥ B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|2x x ≤-或3}x ≥ D ．{|2x x ≤-或2}x ≥ 【答案】D 【分析】解一元二次不等式确定集合B ，再根据并集的定义求解. 【详解】由(2)(3)0x x +-≥解得{|2x x ≤-或3}x ≥， 所以A B ⋃={|2x x ≤-或2}x ≥， 故选:D. 2．若复数z 满足()1i 2i z -=-，则z =（ ） A ．1 B C D ．2 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可得出z 的值. 【详解】由已知可得()()() 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -+-===---+，因此，z =故选：B. 3．将函数()sin 26πf x x ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析 式为（ ） A ．()sin 2g x x = B ．π()sin 23 g x x ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．π()sin 26g x x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ D ．()cos 2g x x =- 【答案】C 【分析】根据图象的平移变换方法求解即可. 【详解】函数()sin 26πf x x ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图象向左平移π6个单位长度后 得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选:C.

2023届山东省烟台市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省烟台市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．若集合{A x y ==，{}2 20B x x x =--<，则A B =（ ） A ．{}01x x << B ．{}01x x ≤< C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤< 【答案】D 【分析】分别求出集合,A B ，求出交集即可. 【详解】{[)0,A x y ∞===+， ()()220120x x x x --<⇒+-<，12x ∴-<< 故{}()2 201,2B x x x =--<=-， {}02A B x x ∴⋂=≤<. 故选：D. 2．已知a ，R b ∈，则“a b >”的一个充分不必要条件为（ ） A ．22a b > B ．ln ln a b > C ．11b a > D ．22a b > 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，利用特殊值法判断AC ，利用对数函数的单调性和定义域判断B ，利用指数函数的单调性判断D 即可. 【详解】选项A ：取2a =-，1b =，满足22a b >，但a b >不成立，A 错误； 选项B ：由对数函数的定义域和单调性可知若ln ln a b >，则a b >；若a b >，ln ,ln a b 可能无意义，所以ln ln a b >是a b >的充分不必要条件，B 正确； 选项C ：取2a =-，1b =，满足 11 b a >，但a b >不成立，C 错误； 选项D ：由指数函数的单调性可得若22a b >，则a b >；若a b >，则22a b >，所以22a b >是a b >的充要条件，D 错误； 故选：B 3．过点()0,3且与曲线321y x x =-+相切的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．30x y -+= C ．30x y ++= D ．30x y +-= 【答案】B 【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未知数即