七升八暑期衔接班数学讲义

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义

目录

1.第一讲：与三角形有关的线段；

2.第二讲：与三角形有关的角；

3.第三讲：与三角形有关的角度求和；

4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；

5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；

6.第六讲：全等三角形；

7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；

8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；

9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；

10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；

11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；

12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；

13.第十三讲：轴对称；

14.第十四讲：等腰三角形；

C

B A

15.

第十五讲：等腰直角三角形； 16.

第十六讲：等边三角形（一）； 17.

第十七讲：等边三角形（二）; 18.

第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.

第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；

第 一 讲 与三角形有关的线段

【知识要点】

一、三角形

1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.

2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.

3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.

二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）

三、三角形的三边关系(教具)

引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在

的位置情况：

(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：

(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：

(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：

(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：

(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.

三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.

【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或

范围.

1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.

（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；

（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；

2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.

（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满

足： ；

（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；

【新知讲授】

例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =2

1

②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；

④以AD 为边的三角形有 ；

⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一

个外角.

例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，

则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). A

E D

E A B

C F

G

(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG

例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).

(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm

(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm

（2）满足下列条件的三条线段不能

．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）

①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其

中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.

例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .

②已知三角形的三边长分别为2，5，24

3x

，则x的取值范围是 .

③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形

个数为( ).

(A)2 (B)3 (C)5 (D)13

④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围

是 .

⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周

长的取值范围是 .

(A)3b＜＜3a (B)2a＜＜2a+2b (C)a+2b＜＜2a+b (D)a+2b

＜＜3a-b

例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.

（1）则x 的取值范围是 ；

（2）则它的周长的取值范围是 ；

（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .

发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围

是 .

②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围

是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共

有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长

为 .

③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围

是 ；周长的取值范围是 .

④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值

范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有

个.

⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为

( ). (A)2b (B)0 (C)2a

(D)22a c -

⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围

为 .

【题型训练】

1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).

(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，

4cm ，9cm

2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶

3∶6.其中能组成三角形的有( ).

(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组

D

A

B

C D

A B C

3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）

(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分

线或中线

4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).

(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7

(D)1＜x ＜7

5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).

（A ）6＜＜15 （B ）6

＜＜16 （C ）11

＜＜13 （D ）10＜＜

16

6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).

（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .

9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围

为

.

10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .

11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .

12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别

为 .

13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜

= .

14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把?ABC

分成周长之差为4厘米的两个三角形，求?ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）

把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系

I I I C B D A

C B D

A A D

B

C I I I C B

D A

C

B D

A E

A E D

B E

C I I I C B

D A

C

B A

E

A E

D

B F D E

F F C 12C

B A 1．如图，△AB

C 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的

关系；

2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探

求∠I 与∠A 的关系；

3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.

例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系

发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.

发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）

； 三、 三角形的内角和定理的推论：

①直角三角形两锐角互余； A

B

C D E

D

A B

E F C D A C

B H D A B

C E H

E

D C B

A ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠

B ）；

③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；

四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；

五、n 边形的外角和为360°.

【新知讲授】

例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数

为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每

个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正

十二边形的每个内角的度数为 .

②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数

是 .

③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数

是 .

④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数

是 .

例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠

BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.

例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.

例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.

A B C D E I

【题型训练】

1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，

求∠A.

2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.

3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，

∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互

补，求∠BAC 的度数.

第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形

2.如图所示，∠A、∠1、∠2的

大小关系是( ).

(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A

(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1

3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).

(A) (B) (C) (D)

4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).

A ．75°

B ．90°

C ．105°

D ．120°

M E

D

C B A

M

E

D C B A

A

B O 5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α=( ).

(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则

∠1+∠2 的度数为( ).

(A)120° (B)180° (C)240°

(D)300°

7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70o，沿图中虚线截去∠C ，

则∠1＋∠2=( ).

(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o

8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着

DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).

(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°

9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）

(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°

10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角

形( ).

(A)一定有一个内角为45?

(B)一定有一个内角为60? (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形

11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°

12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).

C B

D A

F E

(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正

十九边形

13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为

( ).

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

14. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).

(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°

15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .

16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，

∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.

17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长

线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．

第三讲：与三角形有关的角度求和

【知识要点】

1．与三角形有关的四个基本图及其演变；

2．星形图形的角度求和.

【新知讲授】

例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.

箭形： ；蝶形： ；四边

形： .

请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：

I I

I C B D A

C B D

A A D

B

C I I I C B

A

C B

D A

E A E D B

E C I I A C B A E D

E F D Q

P C

B A 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△AB

C 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠AC

D 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BC

E 的平分线交于

点I ，探求∠I 与∠A 的关系.

例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.

发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平与∠A 、∠D 之间的数量关系. BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP °，直接写出：∠BPC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC

三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，

A

B C

I

A B C D I

A B C

D E

I

B

A

M

E

C

D

O

D B

C E

A

求证：∠BOE=∠COD；

【题型训练】

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.

3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.

发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；

②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；

③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .

④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .

⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；

⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；

⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

第三讲作业

1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).

(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).

(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°

C B

D A

F E

3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).

(A)75° (B)60° (C)65°

(D)55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个

三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是

108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中

黄金三角形共有( ).

(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个

5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).

(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°

6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).

(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°

7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠

2= ．

8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，

则∠B= .

9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°

角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .

10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角

O 2O 1A B C

图1C B A

图2图3O

O 1O 2O n-1板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．

11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于

点E ，则∠AEC=______.

12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与

∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设

∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．

13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则

1902

BOC A ∠=?+∠ 1118022

A =??+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠AC

B 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO

C A ∠=??+∠，21218033

BO C A ∠=??+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想

1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n ??+∠ (B)12180A n n ??+∠ (C)118011

n A n n ??+∠-- (D)1

1180n A n n -??+

∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.

第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）

【知识要点】

平行线、三角形内角和的综合运用

【新知讲授】

例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，

请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.

例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC

的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.

例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.

例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.

例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.

例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.

F

E D C

B A M E D C

B A F

N

M E D C

B A

E D C B

A F

M E

D C

B A N M

E D

C

B

N M P E D C

B

A

（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.

例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.

（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；

（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】

1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折

扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为

( ).

(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D)

48°

2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，

垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).

(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°

3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .

4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角

的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .

5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .

6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6

= ．

7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相

N M F

E D C

B A

N M F E D C

B A

应的度数，若60

+的值为，x的

c=?，∠P=110°，则d e

值 .

8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .

第四讲作业

1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，

∠2=80°，则∠3的度数是( ).

(A)40° (B)60° (C)80°

(D)120°

2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).

(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°

3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).

(A)100° (B)90°(C)80°

(D)70°

4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).

(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°

5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).

(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°

6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n

，上，测得α

∠=120°，则β

∠的度数是( ).

(A)45°(B)55°(C)65°

(D)75°

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠

ADE=42°，则∠B的大小为( ).

(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°

8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）

(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).

(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．

11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.

（1）求∠EDC的度数；

（2）求∠BDC度数.

12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.

(1)求∠DCA的度数；

(2)求∠FEA的度数.

13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C

处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二） 知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°

典型例题：

1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

2、已知等腰三角形一边长3cm,另一边长6cm ，求三角形的周长。

3、如图，ΔABC 的面积是60，AD ：DC ＝1：3，BE ：ED ＝4：1，

EF ：FC ＝4：5，

求ΔBEF 的面积。

4、如图，ΔABC 中，D 是BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC

＝63°，

求∠DAC 的度数。

5、已知，如图，点P 是ΔABC 内一点，连接PB 、PC ，请∠BPC 与∠A 的大小？ 并说明理由。

6、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，

北 南

A

B

C

七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第二十讲 专题七 综合题题型专题训练 新人教版

A E D C B A D C B A E D C B A F E D C B 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练 一、如图，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC. （1）求证：AB+AD=BC ； （2）如图，过点C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，求证：BD=2CE ； （3）如图，连结AE ，求证：AE=CE. 二、如图，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为AC 上的任意一点，AE ⊥BD 于点E ， CF ⊥BD 于点F. （1）求证：①AE=EF ；②EF+CF=BE ；

A F E D C B A F E D C B （2）如图，若 D 为AC 延长线（或反向延长线）上的任意一点，其它条件不变，线段 EF 、CF 与线段BE 是否存在某种确定的数量关系？写出你的结论并证明； 三、 如图，△ABC ，分别以AB 、AC 为腰向形外作两个等腰直角△ABE 、△ACF ，过A 作直 线l ，直线l 分别交BC 、EF 于N 、M 两点. (1)当直线l ⊥BC 时，求证：ME=MF ； (2) 当直线l 经过BC 的中点N 时，求证：l ⊥EF ；

N M C B A N M C B A (3) 如图，若梯形ABCD ，AD ∥BC ，分别以AB 、DC 为腰向形外作两个等腰直角△ABE 、 △ACF ，设线段AD 的垂直平分线 交线段EF 于点M ，求证：ME=MF. 四、如图，在等边ΔCBN 中，点M 为BN 上一点，且∠CMA=60°，AN ∥BC 交AM 于A. （1）判断△ACM 的形状，并证明你的结论； （2）试问：线段AN+MN 与CN 是否存在某种确定的数量关系？试证明你的猜想； （3）若点M 为BN 的延长线上任一点（不包括N 点），（1）、（2）②中的结论还成立吗？ 请画出图形，并证明你的猜想. 欢迎您的下载，资料仅供参考！ D N M F E C B A

2017年七升八暑期衔接班数学讲义

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义 目录 1.第一讲：与三角形有关的线段； 2.第二讲：与三角形有关的角； 3.第三讲：与三角形有关的角度求和； 4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)； 5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)； 6.第六讲：全等三角形； 7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS； 8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS； 9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL； 10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练； 11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练； 12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理； 13.第十三讲：轴对称； 14.第十四讲：等腰三角形； 15.第十五讲：等腰直角三角形；

C B A 16. 第十六讲：等边三角形（一）； 17. 第十七讲：等边三角形（二）; 18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练； 第 一 讲 与三角形有关的线段 【知识要点】 一、三角形 1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形） ()?? ????? ??? 不等边三角形 腰底不相等的等腰三角形 三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具) 引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：

暑假学生七升八数学测试试题

2015暑假七升八测试 数 学 试 题(总分120) 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内。 1．下列各式正确的是 （ ） A ．323222+=+ B ．()32533523++=+ C ．12151215121522-?+=- D ．212214= 2．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根。其中正确的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简23x x + 的结果是（ ） A ．-4x B ．4x C ．-2x D ．2x 4、若a a a a 1, ,,102则<<的大小关系是( ) 22221111 a a a D a a a C a a a B a a a A >>>>>>>>、、、、 5、下列说法中①0.4的平方根是±0.2；②()2 7-的算术平方根是7；③－2不存在立方根；④8的立方根是±2；⑤只有正数才有平方根，错误的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6．下列等式正确的是（ ） A 93164 =± B 711193-= C 393-=- D 21 31()3-= 7．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出 发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是 （ A ） A ．212π+ B ．2412π+ C ．214π+

D ．242π+ 8. 36的平方根是 （ ） A ．6 B ．－6 C ．±6 D ．6 9.估计35的值是 （ ） A ．在3到4之间 B ．在4到5之间 C ．在5到6之间 D ．在6到7之间 10. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4为（ B ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）请将答案直接填写在题后的横线上。 1. 81的平方根是 2. 在数0、0.2、π3、 722、Λ1010010001.0（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、11131、27中，无理数有_____个. 3. 实数与 上的点是一一对应的 4．绝对值小于5的所有实数的和为 . 5、32-的绝对值是 6、某数的平方根为a +1和2a －7，则这个数是 . 7.已知0.15870.3984, 1.587 1.260, ≈≈330.15870.5414, 1.587 1.166≈≈聪明的同学你能不用计 算器得出15.87≈ ；

七升八数学暑假衔接讲义

三角形 第一讲与三角形有关的线段 1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. 2.三角形三边的不等关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。 3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 三角形的三条高相交于一点。 ．．．．．．．．．．．．． 4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形） 5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线. 三角形三个角的平分线相交于一点 ．．．．．．．．．．．．．．． 三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角 形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6.三角形的稳定性: 例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长. 例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。 例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.

七升八暑假衔接学习讲义

七升八暑假衔接学习讲 义 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

一、图形的全等 1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么 2. 由全等图形类比得出： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。 其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合， 它们是对应边；A ∠重合，它们是对应角. ∠与D △ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 全等三角形的对应边，对应角。 全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。 几何语言： （） ∠A= , ∠C= ，∠B= . （） 练习： 1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。解：A

2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE 解： 3.判断： ○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ） ○2全等三角形的周长相等.（ ） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ） ○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。 5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E, △ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度 数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等） 例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗 例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图） (1)?????''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ?? ? ??='∠=∠''=______A A B A AB A B C (图 A D B G A C D B O

(已经整理)七升八暑期数学辅导(全集)之欧阳歌谷创作

第一讲 与三角形有关的线段 欧阳歌谷（2021.02.01） 知识点1、三角形的概念 ? 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角 形。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 ? 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的 三角形，记作“△ABC” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系 【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ ? 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b 拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形a b c (1)C B A

的第三边的长可能是（） A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12 【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？ 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【练习】 1、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。 2、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。 3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为 4、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长。 5、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。 6、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是________。 7、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________。 8、下列条件中能组成三角形的是（） A、5cm, 7cm, 13cm B、3cm, 5cm, 9cm C、6cm, 9cm, 14cm D、5cm, 6cm, 11cm 9、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分

数学七升八年级衔接试卷

2020暑假八年级数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式中，正确的是（ ） A ．525±= B ．6)6(2-=- C ．3273-=- D ．39=- 2．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ） A ．m -2＜n -2 B ．4m ＞4 n C ．6m ＜6n D ．-8m ＞-8n 3.如果点P （a -2，b ）在第二象限，那么点Q （-a+2，b ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.若实数x ，y 满足62=+y x ，32=+y x ，则y x -的值是（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 5.在数轴上表示不等式3x ≥x+2的解集，正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.如果三条线段长度是：（1）2，2，3；（2）2，3，5；（3）1，4，6；（4）3，4，5， 其中能构成三角形的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个锐角 B. 至少有一个钝角 C. 至少有两个锐角 D. 不可都是锐角 8.在△ABC 中，∠A=21∠B=3 1∠C ，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 9.若一个正多边形的每一个外角为20°，则这个多边形的边数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．18 10.如图中三角形的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．如图，AB ∥CD ，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E 的大小是 . 12.“x 的2倍与5的和不小于10”用不等式表示为 . 13.不等式5x -9≤3(x+1)的解集是________. （第11题图）

2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十讲 专题二 全等三角形题型训练(无答案) 新人教版

. 第十讲：专题二：全等三角形题型训练； 【知识要点】 1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ； 需要三个边角关系；其中至少有一个是边； 2．“SAS ”、“SSS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”五种基本方法的综合运用. 【例题精讲】 例 1.判断下列命题： 1．（1）全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角平分线、高线分别相等（ ） （2）全等三角形的周长、面积分别相等. （ ） 2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （ ） （2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （ ） （3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （ ） （4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （ ） （5）三边对应相等的两个三角形全等. （ ） （6）三个角对应相等的两个三角形全等. （ ） （7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） （16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 例 2.如图 △1，方格中有 ABC 和，且它们可以仅通过平移完全重合，我们称△ABC 和为“同 一方位”全等三角形. （1）如图 △2，方格中有一个 ABC ，请你在方格内，画出一个与△ABC 不是“同一方位” 的全等三角形△DEF ，并且满足条件：DE=AB ，∠A=∠D ，AC=DF ； （△2）你能够画出多少种不同的 DEF ？（“同一方位”全等三角形算为一种）

七升八数学暑期衔接班讲义

暑期七升八衔接班讲义

第一讲 与三角形有关的线段 知识点1、三角形的概念 ? 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 ? 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系 【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ ? 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b 拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12 【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？ 【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 知识点3 三角形的三条重要线段 ? 三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D 点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度 a b c (1)C B A

【推荐精选】2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 11.2 与三角形有关的角度求和(无答案) 新人教版

第三讲：与三角形有关的角度求和 【知识要点】 1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】 例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）： 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠ A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系. A B C I A B C D I A B C D E I C B D A C B D A A D B C

例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ， 探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. I I I B D A C B D A A D B C I I I C B A C B D A E A E D B E C I I I C B D A C B A E A E D B F D E F F C

七升八数学开学考练习题.doc

七升八开学考综合练习 一、单选题 1.下列说法：①有理数的绝对值一定是正数；②两点之间的所有连线中，线段最短；③相 等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与己知直线垂直；⑤不相交的两条直线叫做平行线，其中正确的有( ) A.1 个 B.2 C.3 个 D.4 个 2.用甲乙两种饮料按照x： y(重量比)混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元。现甲成本上升10%,乙下降10%,而新饮料成本恰好保持不变，则x： y的值为( ) A.4： 5 B.3： 4 C.2： 3 D.1： 2 3.如果四个互不相同的正整数m, n, p, q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4,那么m+n+p+q=() A.24 B.25 C.26 D.28 4.若a2=4? b2=9,且ab<0,则a-b 的值为( ) A.-2 B.±5 C.5 D.-5 5.1993+9319的个位数字是() A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 6.如图所示,ZABC,ZACB的内角平分线交于点O,ZABC的内角平分线与ZACB的外角平分 线交于点D,ZABC与ZACB的相邻外角平分线交于点E,且ZA=60° ,则ZBOC= ___________ , Z D= _____ , Z E= _______ . 7.__________________________________________________________ 如图，在矩形 D ABCD小，AB二&点E是AD上一点，AE=4, BE的垂直平分线交BC的延氏线于点F,连接EF交 CD于点G,若G是CD的中点，则BC的长是______________________________ .

2019年人教版暑期七升八入学数学试卷(含参考答案)

2019年人教版暑期七升八入学数学试卷（含参考答案) （满分120分 时间120分钟） 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将正确答案的序号填在括号内） 1. 在平面直角坐标系中，点P （2，4）的位置在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，表示下列某个不等式的解集，其中正确的是( ) A. x ＞2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ≤－2 3. 如图，由AB ∥CD ，可以得到( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠4 D. ∠3＝∠4 4. 下列说法中正确的是( ) A ．正数的算术平方根一定是正数 B. 如果a 表示一个实数，那么-a 一定是负数 C ．和数轴上的点一一对应的数都是有理数 D. 1的平方根是1 5. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝108°，则∠4的度数是( ) A. 108° B. 82° C. 80° D. 72° 第2题图 第3题图 第5题图 6. 下列计算或命题：①±3都是27的立方根；②33a =a ；③64的立方根是2；④23(8)±=±4.其 中正确的有( ) A ．1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 7. 若P （x ，y ）的纵坐标是xy ＞0，，则点P 在( ) A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第一三象限 D ．第二四象限 8. 为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现 将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是( ) A ．400元，480元 B ．480元，400元 C ．560元，320元 D ．320元，560元 9. 若0<b a ；③ab b a <+；④b a 11< 中，正确的有( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个

七年级升八年级数学暑期辅导材料

与三角形有关的线段 知识点1：三角形的边 三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 （三角形的表示、边、顶点、内角） 三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。 三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类 （1） 按角分类 锐角三角形 三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分类 不等边三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 考点1：认识三角形 1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________， 顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________. 2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形. 3.如图7.1.1-2所示，以AB 为一边的三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 考点2：三角形三边关系 4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10 5.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶4 7.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm C.15cm 或18cm D.不能确定 图7.1.1-2 图7.1.1-1 腰 腰 底边 顶角 底角 底角

暑假初中七升八数学测试卷

暑假初中七升八数学测 试卷 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

新起点教育暑假班结课考试（数学卷七升八） 总分：120分姓名： 题号一二三四总分 得分 一、选择题。（共30分） 1．的绝对值是（） A． B． C． D． 2．代数式﹣的系数是（） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 3．下列各组代数式中，属于同类项的是（） A．a2b和ab2 B．m2n和m2p C．5p3q和﹣2p3q D．3x和3y 4．如图，∠AOB=90°，∠DOB=30°，射线OC是 ∠AOB的平分线，则∠COD的度数为（） A．10°B．15°C．30°D．45° 5．下列叙述：①几个数相乘，如果有偶数个负因数，则积为正数；②相反数等于本身的数只有0；③倒数等于本身的数是0和±1；④﹣＞﹣．错误的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 6、在平面直角坐标系中，点P（－3，4）位于( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 7.下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等。其中真命题的个数是( ) 个个个个

8.方程2x-3y=5, x+y 3=6, 3x-y+2z=0, 2x+4y, 5x-y>0中是 二元一次方程的有（ ）个。 9.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 10.若一个多边形共有14条对角线，则它是 （ ） A.六边形 B.矩形 C.正方形 D.九边形 二、填空题。（共24分） 11．当时钟指向8：00时，时针与分针的夹角是 度． 12．已知关于x 的方程（a ﹣1）（x ﹣2）=4的解是x=1，则a= ． 13.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 ． 14.如右图，∠ＡＣＤ＝1550 ,∠Ｂ ＝350 ,则∠Ａ＝ 度。 15.六边形的外角和是 度。 16、的平方根是 ，算术平方根是 。 三、计算题。（共42分） 17．计算。（12分） （1）6+（﹣7）﹣（﹣9） （2）（﹣2）3﹣32 （3）（﹣﹣）×（﹣24） （4）-35÷（-7）×（-7 1） 18．先化简3x 2 ﹣（2x 2 +5x ﹣1）﹣（3x+1），再求值，其中x=10．（4分） 19．解方程：（8分） （1）2﹣（1﹣x ）=﹣2 （2）﹣=1． 20.解方程组：（10分） (1) ?? ?=+-=5 321y x x y (2) ?? ?+=-+=-) 5(3)1(55 )1(3x y y x 21.解不等式(或不等式组)并在数轴上表示解集：（8分）

清大七升八数学试题

,二、细心填空，看谁又对又快哟!3分，共15分) 11.已知a 、b 为两个连续的整数，且=+b a ． 12.若()0232 =++-n m ，则n m 2+的值是______.

13.如图，已知a ∥b ，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ． 14.某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人，对其到校方式进行调查，并将调查的结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 人． 15.设[)x 表示大于x 的最小整数，如[)43=，[)12.1-=-，则下列结论中正确的 是 ． （填写所有正确结论的序号） ①[)00=；②[)x x -的最小值是0；③[)x x -的最大值是0；④存在实数x ，使[)5.0=-x x 成立． 三、解答题(共75分) 16.（9分） 解方程组???=-=+. 1123, 12y x y x 17.（10分） 解不等式组：()20213 1. x x x ->??? +-??， ≥并把解集在数轴上表示出来． 18. （10分）如图所示，直线a 、b 被c 、d 所截，且c a ⊥，c b ⊥，170∠=°，求∠3的大小．

19、（10分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数是． 20.（12分）今年春季我县大旱，导致大量农作物减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的产量分别是多少千克？

七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十讲 专题二 全等三角形题型训练 新人教版

第十讲：专题二：全等三角形题型训练； 【知识要点】 1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL； 需要三个边角关系；其中至少有一个是边； 2．“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五种基本方法的综合运用. 【例题精讲】 例1.判断下列命题： 1．（1）全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角平分线、高线分别相等.（）（2）全等三角形的周长、面积分别相等. （） 2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （）（2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （）（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （）（4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （）（5）三边对应相等的两个三角形全等. （）（6）三个角对应相等的两个三角形全等. （）（7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （）（10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （）（11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （）（13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （）（14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （）（15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （）

B A C A 1 B 1D C 1 D 1B A C A 1 B 1D C 1 D 1（16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 例2.如图1，方格中有△ABC 和111A B C △，且它们可以仅通过平移完全重合，我们称△ABC 和111A B C △为“同一方位”全等三角形. （1）如图2，方格中有一个△ABC ，请你在方格内，画出一个与△ABC 不是“同一方位” 的全等三角形△DEF ，并且满足条件：DE=AB ，∠A=∠D ，AC=DF ； （2）你能够画出多少种不同的△DEF ？（“同一方位”全等三角形算为一种） 例3.两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的中线， AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. 例4.两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.

人教版七升八暑期数学教材完整版

复习与归纳 第一章有理数 （一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π）2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。 （三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。 4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。 （四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。 2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。 （五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3．同底数幂相乘，底不变，指数相加。

小学一年级数学上册七八单元试卷

南城中心小学数学第一册第七八单元考查卷 2005~2006学年度第一学期 班级姓名学号 10+9= 9+1= 2+5= 8+10= 5+5= 3+4= 3+12= 6-3= 4+6= 10-9= 2+7= 4+10= 6+10= 6+1= 4+6= 6-6= 5+12= 4+2= 3+5= 2+8= 6+2= 10+3= 0+3= 6+1= 3+6= 11+7= 9+0= 0+4= 3+7= 12+4= 19-5= 5+4= 4+4= 10-7= 9-3= 8-6= 7+2= 10+10= 17-3= 7-4= 6-3= 4+3= 16-5= 9-2= 6-4= 5+5= 9-4= 6-2= 3+7+2= 5+5-4= 7+2+1= 10-1+0= 8-5+10= 18-6-10= 10+4-2= 4+4-3= 9-7+8= 4+6-2= 17-4+0= 9-3+10= 一、计算。（18分） 二、填空。（44分） 1、一个数十位上是1，个位上是8，这个数是（）。 2、一个数个位上是2，十位上是1，这个数是（）。

3、1个十和3个一组成的数是（）。 4、20里面有（）个十。 5、比18大1的数是（）。 6、16前面一个数是（），后面一个数是（）。 7、○1一个加数是10，另一个加数是9，和是（）。 ○216—2=（），被减数是（），减数是（），差是（）。8、按规律填数。（6分） ○1 8、9、（）、（）、12、（） ○2 10、（）、14、16、（）、（） ○3（）、（）、18、17、（）、15 ○4（）、13、15、（）、（） 9、在10、3、6、2、16五个数中，选出三个数写出四道算式。（4分）（）+（）=（）（）+（）=（） （）—（）=（）（）—（）=（） 10、4 +6（）+3（）—2（） 3 +5（）+2（）+8（） 11、在○.里填上“>、<或=”。（4分） 10+4○.13 16—10○.8 11+3○.13 18—8○.1 12、（8分） 写作： 读作： 13、写出时间。（4分）

2020年七升八暑假数学培优班第一次阶段复习测试

暑假课程 第一阶段复习测试 一、重要知识梳理与应用 1、平方差公式 例1：)12()12)(12)(12)(12(n 842+++++ = 推导（1）)13()13)(13)(13)(13(n 442+++++ = （2）)14()14)(14)(14)(14(n 842+++++ = 练习：（1）22222210099989721-+-+???+- （2）)11)(111()411)(311)(211(22222n n ------）（ 2、完全平方公式 例2：2222)(b ab a b a +±=± 例3：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 推导（1） )()(22=--+b a b a 推导（1）=-+2)(c b a （2）-+=-22)( )(b a b a （2）=+-2)(c b a （3）+-=+22)( )(b a b a 例3：bc ac ab c b a 222222 222+++++ 推导（1）bc ac ab c b a +++++222 bc ac ab c c b b a a 222222222++++++++= = )2()2()2(222222bc c b ac c a ab b a ++++++++= （2）bc ac ab c b a ---++222 222)()()(c b c a b a +++++= = 应用：（1）已知三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且a ，b ，c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？

北师大版七升八年级数学试卷(两份)

第2题图 n m b a 70° 70° 110° 第3题图 C B A 21 １２第六题图 Ｄ Ｃ B A 七年级升八年级数学试卷一（北师大版） ： 一、填空题（把你认为正确的答案填入横线上，每小题3分，27分） 1、计算)1)(1(+-x x = 。 2、如图，互相平行的直线是 。 3、如图，把△ABC 的一角折叠，若∠1＋∠2 =120°，则∠A = 。 4、如图，转动的转盘停止转动后，指针指向黑色区域的概率是 。 5、将一个正△的纸片剪成4个全等的小正△，再将其中的一个按同样的方法剪成4个更小的正 △，…如此下去，结果如下表： 所 剪 次 数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … a n 则=n a 。 6、如图，∠1 =∠2 ，若△ABC ≌△DCB ,则添加的条件可以是 。 7、已知4 1 2 + -kx x 是一个完全平方式，那么k 的值为 。 8、近似数25.08万精确到 位，有 位有效数字，用科学计数法表示 为 。 9、两边都平行的两个角，其中一个角的度数是另一个角的3倍少20°，这两个角的度数分别 是 。 二、选择题（把你认为正确的答案的序号填入括号，每小题3分，共21分） 10、下列各式计算正确的是 （ ） A . a 2+ a 2=a 4 B. 2 11a a a = ÷- C. 226)3(x x = D. 222)(y x y x +=+ 11、能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（ ）

F E D C B A E D C B A A 、角平分线 B 、中线 C 、高线 D 、既垂直又平分的线段 12、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ?????=-=+?? ?==?? ?=+=?? ?-=+=4 2312y 11、4 3、712、312、y x x D y x C y x xy B z y y x A 13、教室的面积约为60m 2，它的百万分之一相当于 ( ) A. 小拇指指甲盖的大小 B. 数学书封面的大小 C. 课桌面的大小 D. 手掌心的大小 14、如右图，AB ∥CD , ∠BED=110°，BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,则∠BFD= ( ) A. 110° B. 115° C.125° D. 130° 15、平面上4条直线两两相交，交点的个数是 （ ） A. 1个或4个 B. 3个或4个 C. 1个、4个或6个 D. 1个、3个、4个或6个 16、如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC , DC ⊥BC ,AE 平分∠BAD ，下列结论: ① ∠A E D =90° ② ∠A D E = ∠ C D E ③ D E = B E ④ AD ＝AB ＋CD ， 四个结论中成立的是 （ ） A. ① ② ④ B. ① ② ③ C. ② ③ ④ D. ① ③ ④