2020年中考数学一轮复习分专题讲义全套
、
第一讲 一元二次方程的概念及解法
基础知识
一. 一元二次方程的概念
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.学习一元二次方程时，首先要清楚一元二次方程是整式方程，如：3x 2＋x －1=0,
22x 2－x =5, 3
4
y 2＋5y －1=0
都是一元二次方程，而方程21
x
－3x －5=0不是整式方程，所以也不是一元二次方
程.
一般形式为ax 2＋bx ＋c =0 (a ≠0)
2．项、项的系数：
与一元一次方程一样，一元二次方程的“项”(如：二次项、一次项、常数项)指的是将方程化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）之后的ax 2、bx 、c ，而一元二次方程的“项的系数”(二次项系数、一次项系数、常数项)则是指将方程化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）之后的a 、b 、c 。需要注意的是：“项”是连带着字母、字母的指数及系数的整个部分，“项的系数”就只有数而不带字母的； 二. 一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一元二次方程的四种解法是以第一种解法“直接开平方法”为基础的，其他的三种解法都是在此基础上的引申和发展；只要一个一元二次方程有实数解，那么都可以用公式法求出它的解，但不是每个一元二次方程用公式法求解是最好的方法，因此学会观察方程的特点，选择适当的方法可以达到提高运算速度的目的. 2．各种解法分析
（1）直接开平方法解一元二次方程：
直接开平方法解一元二次方程是利用平方根的定义求解一元二次方程的一种方法，它只能解形如x 2＝b （b ≥0）的方程。x b =±。即是在一般形式中的一次项系数为0的情况，因此说直接开平方法虽然很简单，但是它的适用范围却比较狭窄；
（2）配方法解一元二次方程：
配方法解一元二次方程就是为了解决一次项系数不为0的那些方程的求解问题，它
的具体做法是：将方程：20(0)ax bx c a ++=≠的两边同时除以a ，得20b c
x x a a
++=，
接着在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方2()2b
a
，得
22
22()24b b b c x x a a a a ++=-，即为222
4()24b b ac x a a
-+=（24b ac -≥0），最后再利用直接开平方法得到方程的解为：242b b ac x a
-±-=。在整个过程中，有两步是要点：⑴ 把
二次项系数化为1； ⑵ 在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；
（3）求根公式解一元二次方程：
配方法解一元二次方程已经能够解决一般形式的一元二次方程的求解问题，但是它的配方过程每一次在做的时候都会觉得比较麻烦，所以把整个配方的过程总结为固定的公式，那就得到了一元二次方程的第三种解法：求根公式法。求根公式法实际
上就是利用求根公式242b b ac
x a
-±-=（24b ac -≥0），这种方法比较容易掌握，但
使用时必须首先计算24b ac -的值，当24b ac -≥0时，是可以用求根公式求出一元二次方程的解的，而当24b ac -＜0时，方程就没有实数根了（这是因为负数没有平方根）；
（4）因式分解法解某些一元二次方程：
对于那些能够利用十字相乘法将20(0)ax bx c a ++=≠左边因式分解的一元二次方程则可以利用因式分解将方程化成12()()0a x x x x --=，从而得到方程的解：
12,x x x x ==；
例题选讲
【例1】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.
⑴ (4x －5)(2x ＋1)＝x 2－3. ⑵ x 4－3x 2＋6＝(x 2－1)2
⑶ (x ＋a )(x －b )＋(x ＋b )(x －a )＝2a (ax －b )（x 为未知数）
、
【例2】若下列方程是关于x 的一元二次方程，求m 的取值范围.
⑴2()(2)30mx m x m --+-= ⑵
2
5302
m x x m --=-
【例3】m 为何值时，方程(m －1)x 2m －1＋2mx －5＝0是关于x 的一元二次方程？
【例4】用直接开平方法解下列方程：
⑴ x 2－12＝0 ⑵ (4y ＋1)2＝2
⑶ 2(x －1)2－12＝2
3
【例5】用配方法解下列方程.
⑴ x 2－6＝6x ； ⑵ 2x 2＋5x －1＝0；
⑶ ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）；
【例6】用公式法解下列方程.
⑴ x 2＋4＝6x
⑵ x 2－a (3x －2a ＋b )－b 2＝0
【例7】用因式分解法解下列方程.
⑴ x 2－5x ＋6＝0 ⑵3y 2＝2y
⑶
14(2y －1)2＝1
3
(2y －1) ⑷ 2(x －5)2－5(x －5)－12＝0 ⑸ abx 2－(a 2＋b 2)x －(a 2－b 2)＝0（a 、b ≠0）
【例8】用适当的方法解下列一元二次方程: (1)(2x -1)2-9=0; (2)x 2+x -1=0; (3)x 2-4x =1; (4)3x 2-16x +5=0; (5)(3x +2)2=4(x -3)2; (6)(y -1)2=2y (1-y );
(7)3a 2x 2-3abx -2b 2=0(a ≠0) (8)x 2+2mx =(n +m )(n -m ).
练 习 反 馈
一.选择题
１．若a 、b 、c 都是实数，在下列方程中, 一定是一元二次方程的是 （ ） A. ax 2＋bx +c =0 B. (a ＋1)x 2+bx +c =0 C. |a |x 2＋bx +c =0 D. (a 2+1)x 2+bx =0
2．方程(2x +1)x =(3x -2)x +2化简整理写成ax 2+bx +c =0的形式，其中a ,b ,c 分别是（ ）
A. a =23-, b =1, c =2
B. a =23-, b =1, c =-2
C. a =32-, b =-3, c =2
D. a =32-, b =3, c =2
3．要使分式234
1
x x x -+-的值为零，x 应当是
（
） A. 4 B. 4或1 C. 1 D. –4或-1 4．若(x +y )(x +y -1)-12=0,则x +y 的值是 （
） A. –3或4 B. 3或-4 C. 3
D. 4
二. 填空题
5．下列三个关于x 的方程：① (m -1)x 2+2x +3=0；② x 2+(m -1)x +3=0; ③ x 2+2x +(m -1)=0，当m ___________时，方程①是一元二次方程；当m ___________时，方程②是一元二次方程；当m ___________时，方程③是一元二次方程.
6．若n (n ≠0)是关于x 的二次方程x 2+mx +n =0的一个根，则m +n 的值是_______.
三．解下列方程 7．解关于x 的方程
、
（1）(2x -3)2=4. （2）（x +1）(x -3)=1.
（3）(3x -7)2-5(3x -7)-6=0. （4）(x -1)2+(x +2)2-(x -3)2=4x -3.
8．用公式法解下列方程
（1）261350x x --=； （2）(8)16x x +=；
（3）22(1)x x =+； （4）20.090.210.10y y -+=；
9．用因式分解法解下列方程
（1）33(1)1x x --=； （2）(3)(1)5x x -+=；
（3）214(4)9(4)650x x -+--=； （4）211
3()5()2022
x x ----=
10．选择适当的方法解下列关于x 的方程 （1） 2(22)8x -
= （2）212710x x ++=
（3） 225
10x x --= （4）(3)5(3)x x x -=-
第二讲 一元二次方程的根的判别式
基础知识
一．理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；
方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，式子b 2－4ac 叫做此一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示。
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）：
当△＝b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根，反过来亦成立； 当△＝b 2－4ac ＝0时，有两个相等的实数根，反过来亦成立； 当△＝b 2－4ac ＜0时，没有实数根，反过来亦成立． 二．一元二次方程的根的判别式的题型通常有这样几种： 1． 已知方程判别这个方程的根的情况；
例如：试判断方程3x 2－4x －5＝0的实数根的情况； 解：∵ a ＝3，b ＝－4，c ＝－5，
∴ △＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－5)＝16＋60＝76＞0, ∴ 方程有两个不相等的实数根；
2．已知一个方程的实数根的情况求这个方程中的系数中的字母的取值范围；
例如：实数m 取什么值时，方程3x ２－2(3m －1)x ＋3m ２－1＝0 ① 有两个不相等的实数
根？ ② 有两个相等的实数根？ ③ 没有实数根? 解：∵ △＝［－2(3m －1)］２－4·3·(3m ２－1)＝－24m ＋16
∴ 当－24m ＋16＞0，即m ＜2
3时，方程有两个不相等的实数根；
当－24m ＋16＝0，即m ＝2
3时，方程有两个相等的实数根；
当－24m ＋16＜0，即m ＞2
3
时，方程没有实数根．
3．关于一元二次方程的实数根的证明题；
例如：求证：方程x ２－(m ＋1)x ＋2
m
＝0必有两个不相等的实数根．
证明：∵△＝［－(m ＋1)］２－4·2
m
＝m ２＋1
又∵ m ２≥0，∴ m ２＋1≥1＞0，即△＞0 ∵ △＞0，
∴ 方程必有两个不相等实数根.
例题选讲
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)(4x －5)(2x ＋1)＝x 2－3 (2)
32 x 2－32
x ＋1＝0 (3) 2x 2－3mx ＋4m 2＝0
【例2】判别关于x 的方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －1＝0的根的情况．
、
【例3】已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．
【例4】当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?
【例5】已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
练习反馈
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程2x(mx－4)－x２＋6＝0没有实数根，则m的最小整数值是( )
(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4
2．已知方程x２－px＋m＝0(m≠0)有两个相等的实数根，则方程x２＋px－m＝0的根的情况是
(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根(D)不能确定有无实数根
3．在下面三个方程中: ①2x２－mx－1＝0；②1
2
x２－2mx＋2m２＝0;③4x２＋(m－1)x－m
＝0．无论m取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
二、填空题
4．不解方程,判断4x２－43x＋3＝0的根的情况是______________________.
5．不解方程,判断y２－（6＋2）y＋2＋3＝0的根的情况是___________________
6.不解方程,判断3x2－6x－2x＋2＝0的根的情况是.
7.当m______时,方程3ｘ２－2（3m＋１）x＋３m２＋1＝０没有实数根．
8.当m_____ 时，方程(m－1)x2＋2(m－7)x＋2m＋2＝0有两个相等的实数根.
9.若关于x的一元二次方程2kx2＋(8k＋1)x＝－8k有两个实数根，则k的取值范围是________
三、解答题
10．m为何值时，方程mx2－3x＋2＝0没有实数根．
11．试判别一元二次方程x2＋2x＋m＝0的根的情况．
12．求证：对于任何实数m，关于x的二次方程x2－(m＋1)x＋(m－1)＝0总有两个不相等的实数根．
13．已知a、b、c是△ABC的三边，且一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
14．若a、b、c均为实数，试证明方程(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)＋(x－a)(x－b)＝0一定有实数根．
第三讲一元二次方程的根与系数的关系
基础知识
一．由方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x1,2＝
a ac
b b
2
4 2-
±
-
(b2－4ac≥0)
、
不难得到 x 1＋x 2＝－
a b , x 1·x 2＝a
c . 这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦达定理).
注：在学习和应用上述定理时要注意以下几点:
① 一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)； ② 运用韦达定理的前提是方程有实数根；
③ 韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根；两负根；一正根一负根等)；
④ 要防止出现x 1＋x 2＝a
b
这样的错误.
二．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它解决下列一些问题： 1． 已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
例如：如果2＋3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.
解：设方程的另一个根为x 1,根据根与系数关系,得
????
?=+?=++c
x x )32(4
)32(11 解之得x 1＝2－3,则c ＝(2－3)(2＋3)＝1
∴ 方程的另一个根及c 的值分别为2－3和1. 2． 会求一元二次方程的有关两根的代数式的值；
例如：设x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,不解方程,求1
121
12+++x x x x 的值. 解：∵ x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,
∴ x 1＋x 2＝－23, x 1·x 2＝－2
1
.
则 112112+++x x x x ＝)
1)(1(211
2122
2+++++x x x x x x ＝1)()(2)(212121212
21+++++-+x x x x x x x x x x ＝1)2
3(21)
23()21(2)2
3(2+-+--+---＝－47 3．求作一个方程，使它的两根为已知两数，或为已知方程各根的倍数、相反数、负倒数等；
例如：已知方程3x 2－2x －4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为
原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方. 解：设原方程的两根为x 1、x 2 .
则：x 1＋x 2＝32，x 1·x 2 ＝－3
4
. (这是原方程根与系数的关系)
设所求的方程为y 2＋py ＋q ＝ 0，它的两根为y 1、y 2。 则p ＝－(y 1＋y 2)，q ＝y 1·y 2 . (设所求方程的二次项系数为1，是为了简化运
算)
由已知,y 1＝
211x x ＝2
3
y 2＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
9
52
(这是解决问题的关键，用它沟通了所求方程的根与原方程根之间的联系.)
则 p ＝－(y 1＋y 2)＝－(23＋ 9
52)＝－18131
,
q ＝ y 1y 2＝23·952＝3
26
,
∴ 所求的方程为y 2－18131
y ＋3
26＝0.
即 18y 2
－131y ＋156＝0.
4． 已知方程两根代数式的值，或两根的关系，求方程的未知系数等等。 例如：已知关于x 的方程x 2＋(P －1)x ＋P ＝0的两实根的平方和等于6，求P 的值. 解：设方程的两根为x 1、x 2.
则：x 1＋x 2＝1－P ，x 1x 2＝P . 又 ∵ x 12＋x 22＝6 即 (x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6 ∴ (1－P )2－2P ＝6 ∴ P 2－2P ＋1－2P ＝6 ∴ P 2－4P －5＝0 ∴ P 1＝5，P 2＝－1.
当P ＝5时，原方程为x 2＋4x ＋5＝0，△＝16－20＜0. ∴ 方程无实数根， ∴ 舍去．
当P ＝－1时，方程为x 2－2x －1＝0，△＞0． 答：当P ＝－1时，满足题意．
例题选讲
【例1】 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)中，b ＞0,c ＜0,则( ).
(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根
(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大
【例2】 如果2＋3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.
、
【例3】设x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,不解方程,求
1
121
12+++x x x x 的值.
【例4】k 为何值时,方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.
【例5】已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值.
【例6】已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b ). 求a 2b ＋ab 2的值.
【例7】已知方程3x 2－2x －4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.
练 习 反 馈
一、选择题
1．如果方程2x 2＋kx －6＝0一个根是－3，另一根是x ,则（ ）
(A)x 1＝1,k ＝4 (B)x 1＝－1,k ＝8 (C)x 2＝2,k ＝1 (D)x 2＝－2,k ＝5
2.以35 和5
3
-为根的一元二次方程是（ ）
(A)15x 2＋16x －1＝0 (B) 15x 2－16x ＋15＝0 (C)15x 2＋16x －15＝0 (D) 15x 2－16x －15＝0
3.已知一元二次方程的两根之和是52，两根的倒数和是5
3
-，这个一元二次方程是 ( )
(A ）x 2－25x －23＝0 (B) x 2－25
x －3
5＝0
(C) x 2＋25x ＋23＝0 (D) x 2＋25
x －3
5＝0
4.不解方程，判断4
3
x 2＋3x ＋1＝0根的情况是（ ）
（A ）有一正根一负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个负根 （D ）没有实数根
5．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况是（ ） (A)两实数根的和等于两实数根的积
(B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
6．若方程x 2－(k 2－7)x ＝1的两根之和是2，则实数k 的值是（ ） （A ）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2 二、填空题
7.已知一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根为x 1、x 2,则11x ＋2
1x ＝ ，x 12＋ x 22＝ , (x 1－5)·(x 2－5)＝ .
8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 .
9.已知关于x 的方程6x 2＋2x ＋a ＝0的一根比另一根大2,则a ＝ .
10.已知关于x 的方程4x 2－9x ＋3(k －1)＝0,当k 时,方程有一根为零,当k 时,方程的两实数根互为倒数. 三、解答题
11．已知方程2x 2＋kx －2k ＋1＝0的两实数根的平方和为4
29
，求k 的值.
12．已知方程2x 2－6x －1＝0的两根为α、β，不解方程，求作一个一元二次方程，使它
、
的两根分别为βα和α
β.
13．已知直角三角形ABC 中，斜边上的中线长为
2
3
，两条直角边的长分别是方程2x 2－2mx ＋m ＋3＝0的两根，求m 的值和直角三角形ABC 的面积.
第四讲 一元二次方程的应用
基础知识
一. 一元二次方程与二次三项式的关系。一元二次方程与二次三项式既有区别也有联系，方程两边可以除以系数中的公因数或二次项系数，而二次三项式则不能。如分解二
次三项式2333x x --，利用求根公式解方程23330x x --=求出两根，115
2
x +=
，
215
2
x -=
。解方程时方程两边可以同除以3再求根，而二次三项式则不能化简为21x x --。因此分解的结果中不能丢掉二次项系数a ，分解结果应为1515
3()()22
x x +--
-如果丢掉系数3，就使二次三项式的值改变了。另外注意分解结果的符号，结果不能写成1515
3()()22
x x +-+
+。 二. 用列一元二次方程的方法解有关数与数之间关系的应用题、有关面积和体积方面
的应用问题以及有关增长率问题。
三. 根据题意找出题目中的等量关系。列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，关键是弄清题目中的基本数量关系，找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程。
例题选讲
【例1】在实数范围内分解因式：
（1）2223x x --； （2）2481x x -+-.
【例2】把22245x xy y --分解因式.
【例3】 当k 取何值时，二次三项式2342x x k -+（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
【例4】 把24123x x ++分解因式
、
【例5】 一个三位数、十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数.
【例6】 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？
【例7】 学校要把校园内一块长50米，宽40米的长方形空地进行绿化.计划中间种花，
四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地面积的3
10
，求草坪的宽度.
练 习 反 馈
一、选择题
1． 765765
2()()44
x y x y -+---
-是以下那个多项式分解因式形成的（ ） A ．22272x xy y +- B ．22273x xy y +- C ．2237x xy y +- D ．22272x xy y ++
2．在实数范围内分解因式214x x -+，正确的结果是（ ）
A ．(4)(1)x x -+
B ．(23)(23)x x ---+
C ．(5)(1)x x -+
D ．(23)(23)x x +-++
3．多项式22234x xy y +-在实数范围内分解因式正确的结果是（ ） A ．341341()()44x y x y -+-
- B ．341341
2()()44
x x y ---+-- C ．3413412()()44x y x y ---++
+ D ．341341
()()44
x y x y ---+-- 二、填空题
4．在实数范围内因式分解253x x ++=________.
5．在实数范围内因式分解2461x x -+=__________.
6．多项式2225x xy y -+因式分解为__________。
7．分解因式42221(1)x x ax a a +-+->=____________.
三、解答题
8．分解因式422x x --。
9．已知二次三项式29(6)2x m x m -++-是一个完全平方式，求m 的值。
10．已知两个连续奇数的平方和等于74，求这两个数.
、
11．两个数的差是4，这两个数的积是96，求这两个数.
12．有三个连续整数，已知最大数与最小数的积比中间数的5倍小1，求这三个数.
13．某种产品，计划两年后使成本降低36％，平均每年降低的百分率是多少？
14．一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm 的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm 3，求铁板的长和宽．
第五讲 一元二次方程复习与检测
一、选择题
1．一元二次方程3x 2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A ．3，5 B ．3，－5 C ．3，0 D ．5，0 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）．
A ．3（x +1）2=2（x +1）
B ．211
x x
+－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =x 2－1
3．下列方程中，两根是－2和－3的方程是（ ）．
A ．x 2－5x +6=0
B ．x 2－5x －6=0
C ．x 2+5x －6=0
D ．x 2+5x +6=0
4．若分式29
26
x x --的值为零，则x 的值为（ ）．
A ．3
B ．3或－3
C ．0
D ．－3
5．若a +b +c =0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一根是（ ）． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．无法判断 6．方程2x （x －1）=x －1的解是（ ）．
A ．x 1=12，x 2=1
B ．x 1=－12，x 2=1
C ．x 1=－12，x 2=1
D ．x 1=1
2
，x 2=－1
7．一元二次方程x 2
－x +2=0的根的情况是（ ）．
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定 8．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程（ ）．
A ．100（1－x ）2=81
B ．81（1+x ）2
=100 C ．100（1+x ）=81×2 D ．2×100（1－x ）=8 9．已知一个三角形的两边长是方程x 2－8x +15=0的两根，则第三边y 的取值范围是（ ）． A ．y <8 B ．3 1．一元二次方程（x +1）（x +3）=9的一般形式是________． 2．请写出一个根为1，另一根满足－1 5．已知m 是方程x 2－x －2=0的一个根，则代数式m 2－m 的值是________． 6．当x =________时，代数式3x 2－6x 的值等于12． 7．某超市经销一种成本为40元/kg 的水产品，市场调查发现，按50元/kg 销售，?一个月能售出500kg ，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg ，?针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，设销售单价为x 元，则x 应满足的方程是________． 8．要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，?且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，?则依据题意列出的方程是_____． 9．一个小球以5m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速滚动5m 后小球停下来，如果小球滚动到3m 时约用了xs ，则列一元二次方程是_________． 10．如果x 、y 是两个实数（x ·y ≠1）且3x 2－2005x +2=0，2y 2－2005y +3=0，?则2 2x x y y 的 值等于______． 三、解答题 1．解方程： （1）（x －5）2=2（x －5） （2）x 2－4x －5=0 、 2．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m2=2有一根为1，求m的值． 3．解方程x2+x+1= 22 x x . 4．已知a，b是方程x2+x－1=0的两根，求a2+2a+1 b 的值． 四、综合应用题 1．为响应国家“退耕还林”的号召，改变我区水地流失的状况，2002?年我区退耕还林1万亩，计划到2004年总退耕还林共5亩，请你计算这两年平均每年退耕还林的增长率（精确到0。01）． 2．小芳调查某县城商品房2003年销售均价（即销售平均价）为1400元/m2，2005?年销售均价为1694元/m2，同时调查某城市2003年销售均价为2400元/m2，2005年销售均价为3000元/m2，那么，某县城或某城市的商品房的销售价大幅提高，并估计2006?年商品房的销售均价各为多少．（保留4个有效数字）． 3．将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）?所占的面积为原来荒地面积的三分之二．（精确到0.1m） （1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路． （2）设计方案2（如图2）花园中每个角的扇形都相同． 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图22－12?甲中的小路的宽和图 22－13乙中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由． (1) (2) 4．一辆汽车以30m /s 的速度行驶，司机发现前面路面有人影，?紧急刹车后汽车又滑行30m 后停车，（1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到20m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）? 5．关于x 的方程kx 2+（k +1）x +4 k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 6．任意给写一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，且它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?（完成下列空格） （1）当已知矩形A 的边长分别为4和3时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别为x 和y ， 由题意，得14 24 x y xy +=??=? 方程两边同除以y 化简，得：x 2－14x +24=0 ∵△=196－96>0 ∴x 1=_______，x 2=________． ∴满足要求的矩形B 存在． （2）如果已知矩形A 的边长分别为a 和b ，?请你仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． 2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） 中考数学总复习资料大全 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │= 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， x x 2=x,2x =│x │等。 4.系数与指数 区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 a x b 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式 垂直（直角）类 联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？ 与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆、三角的比中大数等于两小数之和的三角形形是Rt △、勾股定理、勾股数与特殊三角形（3:4:5，5:12:13，2:1:1，2:3:1，5:2:1，10:3:1等）、见特殊角与三角函数构造直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL 判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程、轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦......还有很多，随便写出30条. 本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。勾股定理”五个方面进行研究. 一、见过直角顶点的直线 解法归一：见过直角顶点的直线l ，从直角两边上的点分别向直线l 作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换. 例5-1-1 已知△ABC 是直角三角形，AC =BC ，直线MN 经过直角顶点C ，分别过A 、B 作直线MN 的垂线AD 、BE 分别交MN 于D 、E . 图5-1-1① 图5-1-1② （2）如图5-1-1②，当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧时，试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间的关系，并给予证明. y x O 课时17．二次函数及其图象 【课前热身】 1．将抛物线y =-3x 2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________. 2.如图所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的 图象， 那么a 的值是______. 3.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是() A.-2B.2C.-1D.1 4.二次函数y =2(x -5)2+3的图象的顶点坐标是() A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3) 5.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.a ＞0，b ＜0，c ＞0B.a ＜0，b ＜0，c ＞0 C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＞0，c ＞0 【知识整理】 1.解析式： (1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ). (3)两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得.若已知抛物线的顶点和 y x O 对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 a ＞0 a ＜0 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 当x =_______时，y 有最 _____值为________. 当x =_______时，y 有最 _____值________. 增 减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 在对称轴右侧 y 随x 的增大而______ y 随x 的增大而 ______ 3.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________. 4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中 h =____，k =________. 5.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系. 中考数学总复习资料---代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ???? ?? ?? ????????????? ???? ?????????????????? ??无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是 a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ????==0 ,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ± 叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2020年中考数学总复习二十个专题知识复习讲 义（精华版） 中考总复习1 有理数 知识要点 1、有理数的基本概念 (1)正数和负数 定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数 正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。 2、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 3、相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 4、绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a |=a ； 如果a =0，那么|a |=0； 如果a <0，那么|a |=-a 。 a =|a |所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。 5、倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 1a a =所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 6、数的比较大小 法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、乘方 定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：43421Λa n n a a a a 个???=读作a 的n 次方（幂），在a n 中，a 叫做底数，n 叫 做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 8、科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且 中考数学专题复习 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：2π是 数，不是 数，2 π 是 数，不是 数。 2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、 b 互为相反数2π 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数2π 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 2π = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 无限不循环小数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±2π ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做2π ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例1 （2012?六盘水）实数2 π 中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解：2π，所以数字2 π 中无理数的有：2π ，共3个． 故选C ． 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。 对应训练 1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ B ） A ．0 B ．2π C ．﹣2 D ． 2 π 考点二、实数的有关概念。 例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B ． 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4 解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B ． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ． 2 π 解：﹣3的绝对值是3． 故选：A ． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2019 届中考数学专题复习讲义方程（组）与不等式（组） 方程（组）与不等式（组）是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识， 应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程（组）与不 等式（组）的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定 理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组）来解决，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 近几年中考注重对学生“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分 析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问 题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。 方程（组）与不等式（组）是代数中的重要内容，有的已知方程（组）的解求方程（组）、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等．解决有关方程（组）与不等式（组） 的试题，首先弄清题目的要求；其次，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 类型之一根据图表信息列方程 ( 组 ) 或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于 得到数量之间的关系。 1.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也 相等，则一块巧克力的质量是g． 2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献 一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征 尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、 二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格． 3.某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶ 20~12∶ 00，下午 14∶ 00~16∶ 00，每月25 元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60 件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数 ( 件 ) 所用总时间生产乙产品件数 ( 件 ) ( 分 ) 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根据以上信息，回答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？ 中考数学第一轮复习的目的和要求 第一轮复习的目的是要“过三关”： 过记忆关。必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。我要求学生用课前5——15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还重点串讲。 过基本方法关。如，待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。 过基本技能关。如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。做到对每道题要知道它的考点。基本宗旨：知识系统化，练习专题化。 认真阅读考纲，搞清课本上每一个概念，公式、法则、性质、公理、定理。重视教材的基础作用和示范作用。抓基本概念的准确性；抓公式、定理的熟练和初步应用；抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用；能准确理解教材中的概念；能独立证明书中的定理；能熟练求解书中的例题；能说出书中各单元的作业类型；能掌握书中的基本数学思想、方法，做到基础知识系统化，基本方法类型化，解题步 骤规范化 抓住基本题型，学会对基本题目进行演变，如适当改变题目条件，改变题目问法等。 初中数学教材中出现的数学方法有：换元法、配方法、图象法、解析法、待定系数法、分析法、综合法、分析综合法、反证法、作图法。这些方法要按要求灵活运用。因此复习中针对要求，分层训练，避免不必要的丢分，从而形成明晰的知识网络和稳定的知识框架。研读课标，以课本为依据，不扩展范围和提高要求。据课本内容将有关的概念、公式、法则、定理及基本运算、基本推理，基本作图，基本技能和方法等形成合理的知识网络结构，通过网络结构，体现知识发生、发展的过程，体现知识的联系，体现知识的应用功能，做到遗漏的知识要补充；模糊的概念要明晰；零散的内容要整合；初浅的理解要深化，要关注基础知识和基本技能的训练，关注“双基”所蕴涵的数学本质及其在具体情况中的合理应用。 防范错误。把学生所有可能的错误收集起来，制定一个错误的预防表，再将这些错误的问题设计在练习与模拟题中，让学生在解题实践获得教训和反思。 研读近两年我市中考试卷及全国各地中考试卷，熟悉中考命题的趋向，也就是要研究：中考必然要考什么？可能会考什么？不考什么？包括哪些基本考点？哪些是重点？ 2011年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点: 一、实数的分类: ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 １、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中ｐ、ｑ是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数,如１.10100100010000１……；特定意义的数,如π、45sin °等。 ３、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1）实数a 的相反数是 -a; (2）a 和ｂ互为相反数?ａ+b ＝０ 2、倒数: (１）实数a(a ≠０）的倒数是a 1;(2)a 和b 互为倒数?1=ab ；(3）注意0没有倒数 ３、绝对值: (1）一个数ａ 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号。 ４、n 次方根 （1)平方根，算术平方根:设a ≥0,称a ±叫ａ的平方根，a 叫a 的算术平方根。 (2）正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根:3a 叫实数ａ的立方根。 中 考 总 复 习 专 题 汇 总 反比例函数 【反比例函数的性质——增减性】 1．点A(2,1)在反比例函数x k y 的图象上，当1 9.如图,一次函数y=-x+b 与反比例函数x k y (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1). (1)填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 ；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围. 10.如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上,点B 的坐标为(2,3).双曲线x k y (x>0)的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE.(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点,且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式 11．如图,一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数x k y 22 的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2)，与y 轴交于点C 。(1)k 1= ,k 2= ；(2)根据函数图象可知,当y 1>y 2时，x 的取值范围是；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D,点P 是反比例函数在第一象限的图象 上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E,当S 四边形ODAC :S △ODE =3:1时，求点P 的坐标. 12.如图,反比例函数x k y (k ≠0,x>0)的图象与直线y=3x 相交于点C, 过直线上点A(1,3)作AB ⊥x 轴于点B,交反比例函数图象于点 D,且AB=3BD.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ， 使点M 到C. D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标. 2018年中考数学第一轮复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 解实数的分类。如：2 π是 数，不是 数， 【名师提醒：1、正确理7 22是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做3a ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ??????正数正无理数 零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0） 中点类 联想融通：试试看，与中点有关的知识与题目能想起多少？ 中点等分线段，是线段的对称中心、是线段中垂线的垂足，进而得到等腰三角形三线合一、垂径定理、中点加平行可出现全等三角形、相似三角形，过中点的中线等分该三角形面积、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、由两条同圆直径共中点得矩形；由圆弧中点可得相等的圆心角、圆周角、角平分线...... 本单元只对“中线等分三角形面积、等腰三角形底边上中线、直角三角形斜边上中线、见中点造全等、见中点作中位线”五个方面进行研究. 一、中线等分三角形面积 我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法. 解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决. 例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l-1③中△ABC的面积四等分． 图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③ 交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分. （2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分. 图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥ 交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一. 例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO 与△FHO面积相等的理由； （3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法． 图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③ 交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线. 体验与感悟03-1 1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．” （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________； （2）平行四边形的一条面积等分线是________； （3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线． 第一课时 实数的有关概念 知识点:有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求: 1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念,了解数 的绝对值的几何意义。 3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较 大小。 考查重点: 1． 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2.相反数、倒数、数的绝对值概念; 3．在已知中,以非负数a ２、｜ａ|、错误!未定义书签。(a ≥０)之和为零作为条件，解决有 关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (２)数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注童上述规定 的三要素缺一个不可)， 实数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数, (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反效是零）． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (４)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 （5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数）;零没有倒数． 考查题型： 以填空和选择题为主。如 一、考查题型： 2019-2020 年中考数学二轮专题复习：信息题教学资料 【简要分析】 信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题． 解答信息题时， 首先要仔细观阅读题目所提供的材料， 从中捕捉有关信息 （如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等） ，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解． 【典型考题例析】 例 1：长沙市某公司的门票价格如下表所示． 购票人数， 1~50 人 51~100 人 100 人以上 票价 10 元 /人 8 元 /人 5 元 / 人 某校初三年级甲、乙两个班共 100 多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有 50 多 人，乙班不足 50 人．如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付 920 元；如果两个班 联合起来作为一个团体购票，一共只付 515 元．问甲、乙班分别有多少人？ （ 2005 年湖南省长沙市中考题） 分析与解答 通过阅读题中文字和力表信息可知， 门票的价格是根据人数多少分段定价 的甲班人数超过 50 人，门票的价格是 8 元 /人，乙班人数不足 50 人，门票价格是 10 元 /人． 设甲、乙两班分别有 x 人和 y 人，依题目意，得 8x 10y 920 x 55 5x 5 y ．解得 515 y 48 答：甲班有 55 人，乙班有 48 人． 说明： 本题书籍条件由图表给出， 题型新颖，是近年来的热点题型． 解这类问题要学 会读懂图表信息，分析题设与图表信息的联系，巧设未知数，建立方程或方程组求解． 例 2：张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据全心全意的对话内容（图 2-4-4 ），， 图出李明上次买书籍的原价． 分析与解答 本题是一道图形信息题， 懂图中两人对话的内容，理清其中的数量关系． （ 2005 年安徽省中考题） 所有有都是以漫画形式给出的， 解题的关键是读 设李明上次购书的原价是 x 元，根据图中的信息，可得 0.8x 20 x 12 ． 状元廊数学思维方法讲义之六 年级：九年级 2019-2020 年中考数学第一轮思维方法复习讲义：第 6 讲中期专题训练 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21．如果 a 、 b 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 a 3 a 2 b ab 2 b 3 的值为 ． 22．已知 x 关于的方程 x 2 3x 2k 1 0 有实数根，反比例函数 y 1 2k 的图像在各自象限内 y x 随 x 增大而减小，则满足上述条件的 k 的整数值为 ． 23．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C=90o ， D 是 BC 的中点，将 △ABC 折叠，使 A 点与 D 点重合， EF 为折痕，则若 sin ∠ BED 的值为 ， DE 的值为 。 DF C F D A E B 23 小题图 24 小题图 25 小题图 二、（共 8 分） 26．建设北路街道改建工程指挥部， 要对该路段工程进行招标， 接到了甲、 乙两个工程队的投标书 . 从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 2 ； 3 若由甲队先做 10 天，则剩下的工程由甲、乙两队合作 30 天就可以完成 . （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （ 2）已知甲队每天的施工费用为 0.84 万元，乙队每天的施工费用为 0.56 万元 .工程预算的施工 费用为 50 万元 .为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工 程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 . 24．Rt △ABC 中， AB =AC ，点 D 为 BC 中点．∠ MDN =90 °，∠ MDN 绕点 D 旋转， DM 、DN 分别与 边 AB 、AC 交于 E 、F 两点．下列结论：① BE+CF = 2 1 AD ·EF ， BC ，② S AEF S ABC ，③ S 四边形AEDF 2 4 ④ AD ≥EF ，⑤ AD 与 EF 可能互相平分。其中正确的结论是 （填番号） 25．如图， 点 A ，B 为直线 y=x 上的两点， 过 A ，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y k （ x ＞ 0） x 于 C ，D 两点．若 BD =2AC ，则 4OC 2－ OD 2的值为 _________. 数学中考总复习 数学中考总复习YOUXUE ZHONGKAO ZONGFUXI 数 学专题训练1 三角板与作图 1. 如图Z1-1，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°，则∠2= .2.将一副直角三角板按如图Z1-2的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a= .3. 已知a//b，某学生将一直角三角板按如图Z1-3放置，如果∠1=40°，那么∠2= .4. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）.55° 75° 50°B 5. 已知△ABC（AC 8.如图Z1一5，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E， 5 连接DE.若BC=10cm，则DE= cm. 10.如图Z1-7，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于。AC长为 半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则AC= . 11.如图Z1-8，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的 顶点上. （1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2/2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长. 解：（1）如图Z1-8T，矩形ABCD即为所求； （2）如图Z1一8T，△ABE即为所求，CE=4. 2013年中考数学一轮复习全套资料1 第2课时特殊的平行四边形 A级基础题 1．(2012年湖北宜昌)如图X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD ＝120°，则△ABC的周长等于( ) 图X4－3－14 A．20 B．15 C．10 D．5 2．(2011年四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分3．(2011年江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 4．(2012年湖南张家界)顺次连接矩形四边的中点所得的四边形一定是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 5．(2012年天津)如图X4－3－15，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G 在边CD上，则DG的长为( ) 图X4－3－15 A.3－1 B．3－5 C.5＋1 D.5－1 6．(2011年湖南益阳)如图X4－3－16，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 7．(2012年吉林长春)如图X4－3－17，□ABCD 的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 ________． 8．(2012年黑龙江哈尔滨)如图X4－3－18，四边形ABCD 是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为 ________． 9．(2011年陕西)如图X4－3－19，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE. 10．(2012年浙江温州)如图X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DE F，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．中考数学专题复习题及答案
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