专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法
一、选择题
1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1
B ．（1，2）
C ．（–1，+∞）
D ．（1，+∞）
2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
3.（2020·山西省高三其他（理））已知集合2
{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )
A ．{2}A
B = B ．A B R =
C ．(){1,2}R B
C A =-
D ．(){|12}R B
C A x x =-<<
4．（2020·山东省高三二模）已知集合11A x x ??
=
，{}
12B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,3-
B ．()1,1-
C ．()()1,00,1-
D ．()()1,01,3-
的取值范围是（ ） A ．1a <或3a >
B ．3a >
C ．1a <
D ．13a <<
6．（2020·福建省高三其他（文））已知全集U =R ，集合{
}21M x x =-≤，则U C M =（ ） A ．()1,3
B ．[]1,3
C ．()(),13,-∞?+∞
D ．(,1][3,)-∞+∞
7．（2020·上海高三二模）不等式1
02
x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2]
B ．[1,2)
C ．(,1][2,)-∞?+∞
D ．(,1)(2,)-∞?+∞
8．（2020·浙江省高一期末）已知a ，b ∈R ，若0a b +<，则（ ） A ．22<0a b -
B ．>0a b -
C ．0a b +<
D ．>0+a b
9．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞
B ．[)1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞ 10．（2020·上海高三二模）已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）．
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
10．（2020·浙江省高一期末）若不等式()(
)2
20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
二、选择题
11．（2020·海南省高三其他）对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ ） A ．若a ＞b ，则1
1a b
＜ B ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2 C ．若a ＞0＞b ，则a 2
＜﹣ab D ．若c ＞a ＞b ＞0，则
a b c a c b
--＞ 12．（2020·山东省高二期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-+∞，
则（ ） A ．0a >
B ．不等式0bx c +>的解集是{}
6x x <- C ．0a b c ++>
D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1
3
x x ?<-
??
或12x ?>??
13．（2020·嘉祥县第一中学高三一模）已知a b c d ,,,
均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则
0c d
a b
-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则
a b d c
> 14．（2020·山东省泰安一中高二期中）下列说法正确的有（ ） A ．不等式
21131x x ->+的解集是1
(2,)3
-- B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题:p x ?∈R ，20x >，则:p x ??∈R ，20x < D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 三、填空题
15．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .
16.不等式|x ?3|?|x +1|<1的解集为_______________．
17.（2019·陕西省西安中学高三月考（理））不等式213x x m ---<有解，那么实数m 的取值范围是_____ 18．（2020·上海高一课时练习）已知关于x 的不等式()0x m
m n x n
-<<-的解集为{}34x x -<<，则m =________，n =________．
19．（2020·湖州市菱湖中学高一期中）已知函数f （x ）=|x ﹣a|+|x ﹣1|（a ＞0）的最小值是2，则a 的值是_____，不等式f （x ）≥4的解集是_____．
20．（2020·浙江省高一期中）已知函数()12f x x x =++-，则： （1）不等式()5f x ≥的解集为________；
（2）若不等式()f x m ≥的解集为R ，则m 的取值范围为________
21．（2020·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知关于x 的不等式为()()()110-+≤∈ax x a R ，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________. 四、解答题
22．（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；
（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．
23．（2020·全国高考真题（理））已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.
24．（2016·全国高考真题（文））已知函数11
()22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.
25．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．
26．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
27．（2019·河南省高三一模（理））已知函数()122f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤； （2）若2
3
()2
f x m ≥-对任意x 恒成立，求实数m 的取值范围.
不等式性质的两个重要应用
不等式性质的两个重要应用 一．利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 例1：若0>>b a ，0<
不等式解法性质与证明
第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ； （2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ； （5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 不等式的性质及其应用 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。 一、不等式最基本的性质 对称性：a b b a >?< 传递性：,a b b c a c >>?> 加法性： ,a b c R a c b c >∈?+>+ 乘法性： 00 a b ac bd c d >≥??>? >≥? 除法性： 110a b ab a b >??? 乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥?>∈ 开方性： 0)a b n N *>≥>∈ 倒数法则：011ab a b a b >??? 二、不等式性质的应用 （1）比较实数的大小 因为“0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它 们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。 解：∵1 111(1)(1)1log log log log 10a a a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++< 点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。 例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A. 11a b < 22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件 （2）求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。 例2、若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。 科 目数学授课 日期 课 时 4 教学 内容 1.1不等式的性质与解集班级 授 课 方 式 讲授法、练习法课型新授课 教学目的1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数 并比较大小 2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小 3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表 示不等式的解集 教 具 多媒体 重点1、用数轴上的点表示实数并比较大 小 2、应用不等式性质比较大小 3、不等式解集的表示 难 点 应用不等式性质比较大小 课后 分析 说 明 审阅签名：年月日 教学环节教师活动学生活动设计意图及资源准备 组织教学10分钟1、师生互相问候 2、检查学生出勤 1、师生互相问 候 2、向教师报告 出勤情况 设计意图： 营造课堂气氛 资料准备： 多媒体课件 新课导入10分钟日常生活中,我们在考察事物的时候经常要进行大 小、轻重、长短的比较。在数学中常应用不等式 知识来研究这类问题。不等式是进一步学习数学 和其他科学的基础，在本章中,我们将学习不等式 的性质及其解法。 对问题进行思考 以及回答 设计意图： 导入本节课内容。 资料准备： 多媒体课件 讲授新课60分钟一、实数的大小 我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对 应关系 例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以 看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的 实数就从小到大变化 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边 的点对应 的实数大 例如,点A位于点B的右边,则点A对应的实数2 比点B 对应的实数-3大,即2>-3 在数轴上,如果点A在点B的右边,点A对应的实 数为a 点B对应的实数为b,则有a>b或b0?a>b a-b=0?a=b a-b<0?ab,那么a+m>b+m 如果a 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππβπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππ βπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ） A ．1 2 B ．22a b + C ．2ab D ．b 【例2】 将23 2，12 23?? ??? ，1 22按从大到小的顺序排列应该是 ． 【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ） A ．x y > B ．x y ≥ C ．x y < D ．x y = 【例4】 若 11 0a b <<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号） 典例分析 比较大小 【例5】已知,a b∈R，那么“|| a b >”是“22 a b >”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0 b a <<，则下列不等式中正确的是（） A．11 a b >B．a b >C．2 b a a b +>D．a b ab +> 【例7】比较下列代数式的大小： ⑴23 x x +与2 x-； ⑵61 x+与42 x x +； 【例8】比较下列代数式的大小： ⑴43 x x y -与34 xy y -； ⑵（其中0 xy>，且x y >） ⑶x y x y与y x x y（其中0,0, x y x y >>≠）． 【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列． 【例10】 比较大小：log a a b 、log a b 与log b a （其中21a b a >>>） 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d a b - <-， 则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d < 【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ac > B ．a c b c > C ．ab bc > D ．()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->， 0c d a b ->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1 x ＜a 等价于( ) A ．－1 b ＜x ＜0或0＜x ＜1a B ．－1a ＜x ＜1 b C ．x ＜－1a 或x ＞1 b D ．x ＜－1b 或x ＞1 a 解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ?x ＞1a ； (2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ?x ＜－1 b . 综上所述，不等式－b ＜1 x ＜a ?x ＜－1 b 或x ＞1 a . 答案：D 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12 a ＜0 C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1 答案：C 3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是() A．[－7，26] B．[－1，20] C．[4，15] D．[1，15] 答案：B 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是() A．a3＜b3B．a2＜b2 C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2 解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A. 答案：A 5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利() A．x＞a B．x＜a C．x≥a D．0≤x≤a 解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A. 答案：A 二、填空题 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 一．选择题（共27小题） 1．已知a＞b，则在下列结论中，正确的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．|a|＞|b|D．a2＞b2 2．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（） A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0 3．若a＜b，则下列各式中一定正确的是（） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．﹣a＞﹣b 4．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（） A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b 5．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（） A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax 6．实数a，b，c满足a＜b＜0＜c，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 7．如果c为有理数，且c≠0，下列不等式中正确的是（） A．3c＞2c B．C．3+c＞2+c D．﹣3c＜﹣2c 8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．B．C．D． 9．若a＜b＜0，则下列各式错误的是（） A．a﹣2＜b﹣2 B．C．D．2a﹣1＜2b﹣1 10．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a2＜ab B．ab＜b2C．D．7a﹣7b＜0 11．若0＜x＜1，则下列不等式成立的是（） A．x2＞＞x B．＞x2＞x C．x＞＞x2D．＞x＞x2 12．如果a＜b＜0，那么下列不等式中成立的是（） A．﹣3a＜﹣3b B．a3＜b3C．a2＜b2D．c﹣a＜c﹣b 13．已知﹣4x＞3，则下列不等式中，错误的是（） A．﹣4x+1＞4 B．﹣4x﹣3＞0 C．x＞﹣D．﹣x＞1 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 不等式的性质及其解法 第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 基本不等式 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值． 在复习时，注意利用基本不等式判断不等式是否成立(比较大小)，一般将所给不等式变形，使一侧为常数，另一侧利用基本不等式求解后判断． 【典例】 1(1)(2013·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2 z 的最大值 为( ) A ．0 B ．1 C.9 4 D ．3 (2)(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x ，0 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
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