放缩法技巧全总结

2011高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和 挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各 类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项 的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩

n c

n

例1.(1)求

2 的值;(2)求证：2 5. k 14k 2 1 k1 k 3

1

n 1 k k n 1' n(n 1 k) k 1

2 2

2

2

4n

1

n

2

2n

/_k

2n

/k

n

2 n

2

1

2

为 因

2)

2n

2n

1

-5

1 -3

2

1

丄

k2

奇巧积累:(1) 1 4 4n 2 1 2 — 2n 1 1 2n 1 1

C 2 (n 1)n(n 1)

1

n(n 1)

1 n(n 1)

(3)

T r

n! 1_ r r!(n r)! n 丄 r! r(r 1) r 1 Br 2)

(4)(1 1」 2 13 2 n(n _ 5 1) 2 (5) 2n (2n 1) 1 尹1 2n 1(6) 1 Y n 2

(7) 2( n 1

的丄 V n

2( ? n n 1) (8)

2 2n 1

2n 3

1 1) 2n 1

1 (2n 3) 2n

(9”

(10) n

(n 1)!

1

(11)

(n 1)!

1

2( 2n 1

-2n 1)

2n 1 2n 1

2

■ 1 ~ n n

2 ； 2

(11) 2n

(2n

2n 1)(2n 1)

2n (2n 1)(2n 2)

2“ 1 n

n 1

(2 1)(2 1)

(12) L \'n 3

1 n n

2 n(n 1) n(n 1) 1

■7n(n 1)

(13) 2n

2 2n (3

1) 2

3(2

1) 2n

2

2n 1 — 3

1 2"- 2n 1 3

(14)

k! (k 1)! (k 2)!

— (15)

(k 1) ! (k 2)! 、f n(n 1)

n 1(n 2)

1 __ 1 (15) i

2 1 J 2

1

i J

1 m 1

到答案

解析:一万面 :因为

1

1 4

1 1

，所

n

1 “ c 1 1

2 1 2 k 1

k 2 3 5

1 1

1 2 ￡

2n 1 2n 1

3 3

n 2

n 2

1

4

2 2 -

4n 2

1

2n

1 2n 1

另一方面:1 1 1 丄1

n

1 1 1 1 1 n

4 9

2 3

3 4

n(n 1)

n 1 n 1

当n 3时，n

6n

，当

n 1时，

6n

1丄 1 1 —

------ J

n 1 (n 1)(2n

1) (n 1)(2n 1)

4 9

n 2

当 n 2 时,—6n — 1 1 1

丄，

(n 1)(2n 1)

4 9 n 2 所以综上有

6n 1 1 1 1 5 (n 1)(2n 1)

4 9

n 2

3

例4.(2008年全国一卷)设函数f (x) x xln x .数列a n 满足o 耳仆齐f (a n

) 设b (a 1

,)，整数k ＞心证明：a 「b .

a 1 In b

解析:由数学归纳法可以证明a 是递增数列, 故若存在正整数m k ,使a m b ,则a

例2.(1)求证:1

丽辱首2I2T^

(n 2)

⑵求证:!丄 4 16 1

36 1 1

4n 2

2 丄⑶求证:1

4n

1 3 5 (2n 1)

2 4 6

2n

2n 1 1

⑷求证：2( n 1 1)

2( 2n 1

1)

解析:(1)因为

(2n 1)

(2n 1)( 2n

1)

,所以

i 1

(2i 1

)

11(1

1 1

轩4(1

1(1

1 -) n

(3)先运用分式放缩法证明出

(2n 1)

2 4 6 ~2^

1

，再结

合

2n 1

n

进行裂项，最后就可以得

若 a

m

b(m k)

，则由 0

a m

b 1

知

a m

ln a

m

日山弘日

1

lnb

Oq

1

k

a a ln a ,

1 m m

m 1

因为

a m

ln a

m

k(a 1 ln b), 于是 a k 1

a 1 k | a 1 ln

b | a 1 (b a 1) b

(4)首先 1

2( n

n

1 n)

______ ，所以容易经过裂项得到

2(. n 1 1) 再证

1

一 ___ 一 ..2( 2n 1 n

2n 1)

2n 1 2n 1

■.n 2

所以1 ； 22n

1)

例3.求证:

6n (n 1)(2n

1)

1 ———— ——

2 3

而由均值不等式知道这是显然成立的,

5 --

例 5.已知 n,m N ,x 1, S m 1m

2 m

3 m n m

，求证:n

m 1 (m 1)S n (n 1)

m 1 1 .

3

1 3

解析:首先可以证明

：

(1

x)n 1 nx n m1 n m 1 (n 1)m 1 (n 1)m 1 (n 2)m 1 n

1m 1 0 [k m 1 (k

k 1

1)m 1 ］所以要

证

n m1 (m 1)S n (n 1)m1 1只要证: n [k m k 1 n

1 (k 1)m 1] (m 1) k m k 1 (n 1)m 1

(n 1)m 1 n m 1 n m 1 (n 1)m 1

n

[(k 1)m 1 k m 1]

k 1

故只要证 n [k m1 (k k 1 1)m 1] (m 1) n

k m k 1

[(k

k 1 1)m 1 k m1]

，

即等价于 (k 1)m 1

(m m 1)k

(k 1)m k m

即等价于 (1 丄厂,1

k

1

(1 !)m k

1

而正是成立的，所以原命题成立.

例6.已知 a

4n

n 2n

'T n

2n

，求

证:Ti

T 2 T 3

T n

a

1 a

2

a n

例7.已知 解析:T

n

所以

T n

从而T

1

x

1

1 ,

X n

41 42 43 3(

4n 1

)

T 2 T 3

4n (21

22

2n ) 4(1 4n )

2(1 2n )

f(4n 1) 2(1 3

2n )

2n )2(1 2n )

2n 3

2 2n1

3 2n 4n 1 3 2

2n 2 (2n )2

3 2n 1

T n

1 2n 1

2n

n(n 2k n 1(n

1,k 2k, k Z

),求证: Z)

4

X 2

X

3

证明：

1 4 X 2n X 2n 1 因为

2 n n

4 (2n 1)(2n 1)

百所以

4 X 2n X 2

所以 1

4 4n 2

2 1

4 X 4 X 5

2 , 2 n 1

<

X

2n

X

2n 1

2( n 1

1)(n N*)

■m - n 2( n 1

n)

、函数放缩 ln 4 4

解析:先构造函数有 ln x x

cause

2

5 3

6 6 9

18 27

所以 In 2

2

1

4 X 2 X 3 In3n

ln x x 4 X 4

1

X

5

2( n 1

1)(n N*)

3n

5n 6

6

(n N *).

1

,从而

X

In 2

亍

1 2"

In 3 In 4

T ~

n

竺3

-

3n

1 2n 1

3n1

2 3n 1 3n 1

■3^

5n 6 In 3 In 4 3

4

In 3n

5n 6 5n 6 6

函数构造形式:ln x x 1,lnn n 1(

2)

例 10.求证:1 1

丄 ln(n 1) 1 1

2 3

n 1

2

例11.求证:

(1 1)(1 1) (1 q e

和(11)(1丄)(1丄)."解析:构造函数后即可证明

例12.求证：(1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)]

e

2n 3

解析:ln[n(n 1) 1] 2

3 ,叠加之后就可以得到

n(n 1)

1

答案

函数构造形式：

|(

1)

2

3 ( 0) 1 ln(1 x) 3 (

0)

(加强命题)

ln( x 1)

2 ----------- (x 0)

(x 0)

x 1

x

x 1

例13?证明匹兰巴 耳n^(n N*,n 1)

3

4

5

n 1

4

解析:构造函数f(x) ln(x 1) (x 1) 1(x 1),求导，可以得到：

所以 f (x) f (2) 0,所以 ln(x 1) x 2,令 x n 2 1 有,In n 2

n 2 1

1

2

n

*

2

例 9.求证:(1) 2

In2 ln3 lnn 2n n 1

(n

‘2

3

n

2( n 1)

解析:构造函数…lnx ,得到lnn Inn ^,再进行裂项 n~ "n 2-

f(x) x

ln n 2

—2 n

2)

1

2

1

n

1 n(n

，求和后可以得到答

案

1）

解析:提示:m(n

1) ln

n 1 n

n n 1

ln

n

ln

n

_

n 1

函数构造形式：哦皿1 1

x

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数f （x ） 1 ,

x

1

，从而,1

i

n

首先:S

S

i

X

n 1

In x |n

n

n i x

In n ln(n i)

取i 1有丄 n

ln n ln(n 1)'

所以有1 2

1 ln 2

3

ln3 ln 2、 ? (1)

‘ ln n n

ln( n

1

1),

^

ln(n 1) lnn ,相加后可以得

到:1 1

2 3

另一方面

ln(n 1)

1

，从而有

1

i

x

1

— In x I ： i ln n ln(n .x

I

i)

1 -2

1

f(x)

厂 1

2 X

，令 f '

(x)

x 1

0 有 1 x 2

，令 f '

(x)

0有 x 2,

所以血口，所以巫竺竺

n 1 ~2

3 4 5

In n n 1

N*, n 1)

In 2

n n

T —

n

n

7

1 1 1 1

1 (1

nn

卞a n

尹(1

而币 2^

)a n

，

然后两边取自然对数，可以得到

lna ln(1 1 1) lna

n 1

n(n 1)

歹 n

然后运用ln(1 x) x 和裂项可以得到答案)

例15.(2008年厦门市质检)已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数 若x f'(x) f(x)在x 0上 f (X )

在(0,)上是增函数；(II)当 X 1

0,X 2 0时,证明：f(X 1)f(X 2)f (X 1 X 2)；

两式相加后可以得到f(x 1) f(x 2) f(x 1 x 2)

(III)已知不等式ln(1

x)

但x 0时恒成立,

求证：＞22 -L

ln3

2

1

承

1n4

解析：(D g ，(x) f? f(x)

。，所以函数

f (x) g(x) 在(0,)

x

上是增函数

(II)因为 g(x)他 在(0,) x

上是增函数，所

以

例14.已知

1,a n1 (1

.丄总 /证明 a

n

e 1 2

解析:

放缩思路:

1 1

(1 D r )a '

1

。于是l 歹

n

2 a n e 2.

In a ”

, 1

即 In a n In a

注：题目所给条件 In

1 ln(1 _ 1

2

n

ln(1

x)

(X

方向的作用；当然，本题还可用结论

1 1 ln(a n 1 1) ln(a n 1) ln(1 -)

-.

n( n 1) n(n 1)

即 ln(a n 1)

1 In 3 日门 3e 1 e 2.

例16.(2008年福州市质检)已知函数 0)为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩

2)来放缩：

n 1

1 1

1)］

In (a n 1) ln(a 2 1) 1

1 5

i 2

i (i 1)

n

2n n(n

1

[In? 1

1) i 2

1)(n

ln(a i

f(x) 0,b

0,证明：f (a) (a b) In 2 f (a b) f(b).

解析:设函数 g(x) f (x) f (k x), (k 0)

二函数g(x)在［k, k )上单调递增，在

k

g(x) g(/

(0 k

］上单调递减g(x )的最小值为g(-)，即总有

‘2 2

f(k

k k

)kln k(ln k In 2) f (k) kln2, 2 2

即 f (x) f (k x) f (k) kln2.

令 x a, k x b,则 k

a b.

a n 1

恒成立.

(I)求证：函数g

(x )

(3) g

f (X 1 X 2 X 1 X 2

X n ) X -

f(X 1)

X 1 -

f

(为

X 为 X 2 X n X n )

f (X 2) X

2 X 1 X 2 X n ) X n f (X 2) X

2 X 1 X 2 X n f (X 1 X

2 X

n 相加后可以得到 :f (xj f (X 2) f(X n ) f (X 1 X 2 X n ) 所以 X 1 In X 1 X 2 In X 2 X 3 In X 3 X n In X n (X 1 X 2

X n )ln(X 1 X 2 X n )

令 X n

丄In22 丄 In3

尹 歹 (n Jn(n 1)2 所以 丄 In22 In In42 (n 2 In(n 1)

2 2( n 2) (n N ). (方法二)In(n 1)2

(n 1)2 In(n 1)2 (n 1)(n 2) (n In4 1)( n 2) In 4

1 ^"

2 所以丄In 22 22 丄 I n32

32

2 In(n 1)2 1)2 1 In 4 ■ 2 nIn 4 2( n 2) 又 In 4 1 n 1 丄所以 In 32 — In42 4^ (n

1 In(n 1)

2 2( n - (n 1)(n 2) ).

三、分式放缩 姐妹不等式:b a 0, m 0) b m , (a a m 0,m 0)

记忆口诀”小者小，

大者大” 解释:看b,若b 小，

则不等号 疋 曰小于号 ，

反之. 例19姐妹不等式:(1 1)(1 1 3)(1

1 5) (1 yj) 2n 1 和 2n 1

1 1 1 (1 2)(1 4)(1 6)(1 1 2n 1

也可以表示成为 和135

3 5 (2n 1) 2

4 6 2n 1 (2n 1) 解析:利用假分数的一个性质 上J)2 2n 1 即(1 1)(1 1)(1 2n 1 3 J) 例 20.证明:(1 1)(1 1)(1 1) (1 4 7 解析:运用两次次分式放缩 3n 1 3n 3 6 9 3n 2.

5 8 3n 1 4

)1 2

引

8 - 7

5

- 4

2 .7 10 6 9 3LJ(加 2) 3n 相乘，

可以得到: 所以有 (1 1)(1 四、分类放缩 例21.求证\

? J 2n 1

)b m I a m

1 ) 2n 1

1 b a (1 ■ 2n 1.

(b a 0,m 0)可得

3 (加1) 1 (1

3n 2)

3 3n 1.

2

解析：1 11

丄1 1 (1丄)

2 3

2n 1

2 4 4

1 1 1 1 ) (

23 2s

2s ?3

)

例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)

在平面直角坐标系xoy 中,y 轴正半轴上的点列代 与曲线y ( x A0

上的点列B n 满足OA OB 丄，直线A -B -在x 轴上的截距为a -.点B n 的 横坐标为b n ,n N . (1)证明 a n >am >4, -N ；

(2)证明有-0 N ，使得对--0都有上巴 b 1 b 2

n ° b n b n 1

(1)依题设有: 1 由 1彳耳. 厲 0,- ,B n A, .2b ； , b n 0，由 OB n -得: b 2 2b 1 b r 1n N *，

又直线A -B -在x 轴上的截距为a .满足 n n n ■ -2

' 显然，对于

⑵证明：设C - 1生- b n

C n

1

丄0，有a a n n 1

贝u N *，丿、」 4,n N C n ,n N ，则当 n k

2 2 1k N *时,

冷

22

所以，取-0 24009 2，对 n % 都有:

故有b 2色 b b 2 bn

_ 虹 v n 2008成立。 1 b n 1 b n 例23.(2007年泉州市高三质检)

已知函数f(x) x 2 bx c(b 1,c R), 若 f(x) 的定义域为[—1 ,

0],值域也为[-1, 0].若数列｛b n ｝满足b 记数列｛b n ｝的前n 项和为T n ，问是否存 在正常数A ,使得对于任意正整数n 都有T 并证明你的结论

解析:首先求出 f(x) x 2 2x

，

. b n

f(n) n 2 2n ~ 3

n n …T n b i b 2 b s b n 1

1

n

2k

时,T n

1 1

2 3 丄,故当

n

2

1111 2 ，-

4 2 5

6

k

1,

4 1 1, 8 2

1

1

2 2

因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数, 则当n 22m 2时，必有T

故不存在常数A 使T n

A 对所有n 2的正整数恒成立.

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

第一轮复习 放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

最新高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高考数学专题复习放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥

(3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = +

放缩法技巧全总结.doc

.. 2011 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1) n 2 的值 ; (2) 求证 : n 1 5 . 求 k 1 4k 2 1 k 1 k 2 3 解析 :(1) 因为 2 2 1 1 , 所以 n 2 1 1 2n 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 k 1 4k 2 1 2n 1 2 n 1 (2) 因为 1 1 4 1 1 , 所以 1 1 2 1 1 1 1 5 2 n 1 2 2 1 4 n 2 2n 1 2n 1 k 1 k 2 3 5 2n 1 2n 1 3 3 2 1 n n 4 奇巧积累 :(1) 1 4 4 2 1 1 (2) 1 2 1 1 n 2 4n 2 4n 2 2n 1 C n 1 1 C n 2 ( n 1)n( n 1) n( n 1) n(n 1) 1 2n 1 (3) T r 1 r 1 n! 1 1 1 1 1 (r 2) C n r!( n r )! n r r! r ( r 1) r 1 r n r (4) (1 1 ) n 1 1 1 1 1 1 5 n 2 3 2 n(n 1) 2 (5) 1 1 1 (6) 1 n 2 n 2 n (2 n 1) 2n 1 2 n n 2 (7) 2( n 1 n ) 1 2( n n 1) (8) 2 1 1 1 1 n 2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2n (9) 1 1 1 1 , 1 1 1 1 k (n 1 k) n 1 k k n 1 1 k ) k 1 n n 1 k n(n (10) n 1 1 (11) 1 2 2 2 (n 1) ! n ! (n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . .

放缩法技巧全总结

放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

放缩法技巧全总结

放缩法技巧全总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n

压轴题放缩法技巧全总结

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先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设，整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: .

解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以

例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:

“放缩法”技巧说课讲解

“放缩法”技巧

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的 值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

放缩法的应用技巧

放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 例1．求证： 4 713121112222<++++n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-<-=--+n n n 很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？ 【1】 调整放缩的“量”的大小 分析2：分析1中“放”的有点过大，因为，，放大了412 112 12?< ，，放大了18 13213 12 ?<所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在) 1(1 12-< n n n 分母减少了n ，我们可以把分母只减少1，即 ），（2)1111(211112 2≥+--=-