中国数学奥林匹克希望联盟夏令营第二天考试部分答案

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营

试卷（第二天）

一、(本题满分50分)

已知G O I ,,分别为ABC ?的内心，外心，重心，M 为边AC 的中点，E 为CBA ∠的平分线与AC 的交点。若AC GI //，求证：I E M O ,,,四点共圆。

C

在n m ?的方格中，每一格染红白两色之一，已知对任意的j i ,，在第i 行与第j 列的1-+n m 个方格中，与方格),(j i （第i 行及第j 列交叉的方格）同色的方格数目，小于另一种颜色的方格数，求证：mn 是4的倍数.

证明：无妨设方格表中的红格数目≥L 白格的数目，则2

mn L ≥ 设第i 行中红格数目为i x ，第j 列的红格数目为j y ，若方格),(j i 为红色，则有条件知道： )()(1j i j i y m x n y x -+-<-+所以2

1++<+n m y x j i ， 若n m +为偶数，则2n m y x j i +≤+，若n m +为奇数，则也有2

n m y x j i +≤+； 故总有2

n m y x j i +≤+；① 将①中不等式对所有的L 个红格),(j i 求和，则每个i x 出现i x 次，每个j y 出现j y 次，2

n

m +出现L 次，得到L n m y x n j j m i i ?+≤+∑∑==21212

② 另一方面，由柯西不等式知，上式左边n

L m L y n x m n j j m i i 222121)(1)(1+=+≥∑∑== 综合②知，2n m n L m L +≤+，故2mn L ≤，因此由2

mn L ≥知， 必有2mn L =，从而mn 为偶数，上述不等式均化为等式，特别的由①2

n m y x j i +=+，所以n m +为偶数，即n m ,的奇偶性相同。因为mn 为偶数，故n m ,都是偶数，所以mn 为4的倍数；

用][x 表示不超过x 的最大整数，令][}{x x x -=；试定出满足1}]{[2=-n n n 的所有正整数n . 解：由于}{}]{[1}{n n n n n n ≤<-，故}{212}{2n n n n n ≤-<- 即1}{21<-≤-n n n 所以1|1][22|≤--n n n 由此可得141][22|)1][2(4|2+≤++≤+-n n n n n n

当1=n 时，有1}]{[2=-n n n ；

当1>n 时，注意到1}]{[2+=n n n 为奇数，有3≥n 因此，33

13414|)1][2(4|2<+≤+≤+-n n n n 所以1)1][2(42±=+-n n 由此得：)1]]([[+=n n n ，这与1}]{[2+=n n n 为奇数矛盾；

综上，所求正整数n ，只有1=n

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

奥数简介

奥数简介 “奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。 国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。有关专家认为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。 1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办了43届。 近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。 奥数分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 奥数与一般数学有一定的区别:奥数相对比较深. 小学数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极大地激发了广大少年儿童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的一项有益活动. 国际奥林匹克数学竞赛 奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛 其他名称: International Mathematics Olympiad 创办时间: 1959年 主办单位: 由参赛国轮流主办 奖项介绍：国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年7月举行（中间只在1980年断过一次），参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。目前参加这项赛事的代表队有80余支。美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。 国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办，经费由东道国提供，但旅费由参赛国自理。参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。东道国不提供试题。试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字。主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席通常是该国的数学权威。主试委员会的职责有7条：1）、选定试题；2）、确定评分标准；3）、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题；4）、

自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)

自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营第一天考试试卷

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营 试卷（第一天） 一、填空题（每题7分，共70分） 1. 已知*N k ∈，且3≥k ，若一元二次方程2(1)20k x px k --+=的两个根都是正整数,则212()51()3p k p k +++-的值等于 . 2. 若等腰直角三角形的三个顶点均在边长为1的正方形的边上，且不与正方形的顶点重合，则该等腰直角三角形面积的取值范围为______________. 3. 2019年全国高中数学联赛一试试卷由8道填空题和3道解答题组成，其中填空题每小题7分；解答题分步给分，第一道解答题14分，分三步各自分数为4,4,6分；第二和第三道解答题均为15分，分三步每步5分，解答题中若第n 步不得分则第m 步（n m >）也不得分; 那么共有__________种得分方式恰好能够得到80分. (用数字作答) 4. 若关于x 的方程0)368lg()20lg(2=---+a x x x 有唯一解，则实数a 的取值范围是____________________. 5. 设集合{1,2,,}A n =，12,,,(2)t A A A t ≥是A 的不同子集，若12t A A A ???， 则称集合12{,, ,}t A A A 为A 的一条长度为t 的链；那么A 的所有长度为2的不同的链的条 数是___________.（两条链不同，当且仅当其中一条链所包含的子集与另一条链所包含的子集至少有一个不同） 6. 如图，在△ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=， O 是△ABC 的外心，且AO AB AC λμ=+，则 λμ+=_________. 7. 已知四面体的6条棱长分别为2、2、2、2、a 、a ，且这样的四面体恰有两个，则a 的取值范围是___________________. O C B A

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！ 首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。 数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。 与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思： ?取消“校荐”，考生需自己报名； ?“年级排名”不再是报名条件； ?门槛抬高，审核更为严格； ?报考专业一定要与特长匹配； ?试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。 我们最需要关注的点有三个： ① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈； ② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；

③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。 总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。 此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。 说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。

2007年CMO第4题的别证

(1996年上海市高中理科实验班招生试题) 解　由x ,y ,z 的对称性,不妨假设x ≤y ≤z ,由 得x +1≥x +x 2 ,所以x 2 ≤1,因为x >0,所以0

第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。 证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。， 因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。 若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。 证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。 不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

漫话数学竞赛史-

漫话数学竞赛史 一. 口吃者的挑战 这位口吃者名叫丰坦那（Nicolo Fontana）, 1500年出生于意大利北部的布里西亚（Brescia）. 不幸的他, 幼年时正值法军入侵, 小小的丰坦那也难逃此劫, 父亲被杀, 他自己颚部被刀砍伤, 从此说话结结巴巴, 被称为塔塔利亚（Tartaglia）, 即口吃的人. 在母亲的抚养下, 丰坦那自学成才, 他教过学、写过书, 但人们知道他的名字更多的是因为他在几次数学竞赛中所赢得的胜利. 1530年, 在他的家乡, 一位名叫科拉（Colla）的教师向他提出挑战, 解答形如x3+3x3=5之类的三次方程. 丰坦那获胜了, 一时间, 被传为佳话. 他的名字随着这次有记载的第一次数学竞赛, 被传扬开来, 并且被记入史册. 1535年2月22日, 神圣的米兰大教堂. 丰坦那在此公开迎战的是菲奥（Autonimo Fior）. 菲奥早已从恩师著名数学家费罗（Scipione del Ferro）那里学到关于三次方程的一些解题技巧. 而丰坦那通过自己的努力, 也终于在比赛前10天掌握了三次方程的解法, 使他得以从容迎战. 比赛一开始, 两人各给对方出30道题. 时间在一分一秒的流逝, 一个小时过去了, 两人都在继续埋头解题……当第二个小时还未结束时, 丰坦那已完成了全部解题工作, 他再次大获全胜！ 后来, 天才怪人卡丹（Girolamo Cardano）在做出决不泄密的承诺后, 丰坦那把三次方程的解法告诉了他. 不料, 卡丹在他1545年出版的著作《大法》 （Ars Magna）第11章中公开了三次方程的求根公式（被称为卡丹公式）. 丰坦那闻讯非常气愤, 认为：“卡丹盗走了我准备放到自己著作中的珍珠. ”一怒之下, 他再赴米兰, 挑战卡丹. 卡丹却极力回避, 他派自己的学生费拉里（Lodovico Ferreri）迎战, 此人是四次方程解法的发现者. 但是, 丰坦那在7天内解出了对方给的大部分题目, 而费拉里用了5个月的时间只解对了1道题. 丰坦那再展雄风, 令世人惊叹不已. 没想到, 费拉里不但不认输, 反而诬陷丰坦那剽窃了费罗的研究成果, 气得这位口吃的人竟然说不出话来. 心乱如麻的丰坦那又得到一个可怕的消息：卡丹要杀死他！丰坦那不得不连夜逃离米兰. 1557年, 丰坦那离开了这个充满了成功和恐慌的

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ． 解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010． 设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ， 故1(21)(21)4021k αα++= ． 由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥． 证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC． 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆． 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q

第二十四届奥林匹克运动会

第二十四届奥林匹克运动会 THE OL YMPIC GAMES OF 1988 业余体育时代的终结 约翰逊事件--奥运会有史以来最大的丑闻 第24届奥运会1988年9月17日在韩国的汉城举行.共有160个国家和地区的9581名运动员(其中女运动员2476人)参加了23个大项237个单项的比赛.首次参赛的国家和地区有文莱、马尔代夫、美属萨摩亚、圣文森特和格林纳达、阿鲁巴、瓦努阿图、关岛、库克群岛。 参赛运动员最多的国家和地区是：美国612人、苏联524人和韩国467人。中国奥委会派出299名运动员参赛，居参赛国的第11位。 1981年在联邦德国巴登-巴登市举行的第84届国际奥委会会议上，投票通过汉城为第24届奥运会的承办城市。是继东京之后第二个主办奥运会的亚洲城市。 本届奥运会新列入乒乓球比赛，恢复了已中断64年的网球比赛项目。并允许网球和足球职业运动员参赛，但足球职业运动员年龄限制在23岁以下，羽毛球和女子柔道被列为本届奥运会的表演项目。第24届奥运会的开幕式于9月17日10时30分在可容纳10万观众的蚕室奥林匹克体育场举行。韩国总统卢泰遇和国际奥委会主席J.A.萨马兰奇出席了大会。汉城奥运会组委会委员长朴世植致开幕词，国际奥委会主席萨马兰奇致欢迎词。本届奥林匹克圣火于8月23日在奥林匹亚引燃，8月25日由韩国专机从雅典运抵济洲岛，途经釜山、大丘、仁川等29个城镇的火炬接力，历时22天，行程4186公里。曾获第11届奥运会马拉松冠军的76岁的孙基祯手持火炬进入会场，由第10届亚运会3枚金牌获得者林春爱接过火炬绕场一周，由象征体育、科技和艺术的二男一女接过火炬点燃奥林匹克火焰。 在本届奥运会上美国女子短跑运动员F.格里菲斯.乔伊纳勇夺100米和200米桂冠，在200米赛中接连刷新世界纪录。还获得4×100米接力金牌和4×400米接力银牌，成为本届奥运会获奖牌最多的田径运动员。 在游泳比赛中，来自莱比锡的姑娘奥托连夺6枚金牌（50米、100米自由泳，100米仰泳、蝶泳和4×100米混合泳、自由泳接力），获金牌数为本届参赛运动员之冠。美国游泳名称M.比昂迪获得5枚金牌（50米、100米自由泳，4×100米混合泳、自由泳接力，4×200米自由泳接力）、1枚银牌（100米蝶泳）和1枚铜牌（200米自由泳）。其中50米自由泳和3项接力均打破世界纪录。 苏联运动员V.阿尔捷莫夫在男子体操比赛中独得个人全能、双杠、单杠3枚金牌和团体金牌。罗马尼亚女子体操运动员D.希莉瓦斯获高低杠、自由体操和平衡木3枚金牌和个人全能银牌、跳马铜牌，成为本届奥运会女子体操明星。加拿大短跑名将B.约翰逊在100米赛中以9"79的成绩震惊田坛，但被查出服用兴奋剂，终被取消纪录，追回金牌，成为本届奥运会最为轰动的丑闻。在举重比赛中也有运动员服用兴奋剂。 "约翰逊事件"使奥林匹克运动和世界体育界把兴奋剂问题提高到严重损害体育道德和违反奥林匹克精神的高度来对待。 中国运动员在本届奥运会上获得5枚金牌、11枚银牌和12枚铜牌。总分数居第8位。女子跳水运动员高敏和许艳梅，分别获跳板跳水和跳台跳水冠军。楼云在男子体操比赛中夺得跳马金牌和自由体操铜牌。乒乓球运动员陈静夺得女子单打冠军。第2、3名由李惠芬、焦志敏获得。陈龙灿与韦晴光获男子双打冠军。本届奥运会共破64项奥运会纪录，其中有22项世界纪录。田径破奥运会纪录30项，其中世界纪录5项；游泳破奥运会纪录23项，其中世界纪录11项；举重总成绩破奥运会纪录3项，其中世界纪录3项；射击和射箭破奥运会纪录与世界纪录各2项和1项。

NOIP2007试题+答案+解析(学生版)

第十三届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛试题 （普及组Pascal 语言二小时完成） ●●全部试题答案均要求写在答卷纸上，写在试卷纸上一律无效●● 一、单项选择题（共20题，每题1.5分，共计30分。每题有且仅有一个正确答案。） 1．在以下各项中，（）不是CPU的组成部分。 A．控制器B．运算器C．寄存器D．主板 2．在关系数据库中，存放在数据库中的数据的逻辑结构以（）为主。 A．二叉树B．多叉树C．哈希表D．二维表 3．在下列各项中，只有（）不是计算机存储容量的常用单位。 A．Byte B．KB C．UB D．TB 4．ASCII码的含义是（）。 A．二→十进制转换码 B．美国信息交换标准代码 C．数字的二进制编码D．计算机可处理字符的唯一编码 5．一个完整的计算机系统应包括（）。 A．系统硬件和系统软件B．硬件系统和软件系统 C．主机和外部设备D．主机、键盘、显示器和辅助存储器 6．IT的含义是（）。 A．通信技术B．信息技术C．网络技术D．信息学 7．LAN的含义是（）。 A．因特网B．局域网C．广域网D．城域网 8．冗余数据是指可以由其它数据导出的数据。例如，数据库中已存放了学生的数学、语文和英语的三科成绩，如果还存放三科成绩的总分，则总分就可以看作冗余数据。冗余数据往往会造成数据的不一致。例如，上面4个数据如果都是输入的，由于操作错误使总分不等于三科成绩之和，就会产生矛盾。下面关于冗余数据的说法中，正确的是（）。 A．应该在数据库中消除一切冗余数据 B．用高级语言编写的数据处理系统，通常比用关系数据库编写的系统更容易消除冗余数据C．为了提高查询效率，在数据库中可以保留一些冗余数据，但更新时要做相容性检验D．做相容性检验会降低效率，可以不理睬数据库中的冗余数据 9．在下列各软件，不属于NOIP竞赛（复赛）推荐使用的语言环境有（）。 A．gcc B．g++ C．Turbo C D．Free Pascal 10．以下断电后仍能保存数据的有（）。 A．硬盘B．高速缓存C．显存D．RAM

2014年第55届国际数学奥林匹克(IMO)试题

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第一天 2014年7月8日，星期二 第1题设01a a <<×××为一个无穷正整数列，证明：存在唯一的整数使得：n ≥1使得： n a ≤01n a a a n ++×××+≤1n a +．第2题设n ≥2为一个正整数，考虑由2n 个单位正方格构成的n n ′的正方形棋盘，一种放置n 个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k 使得对于任何一种和平放置n 个棋子“车”的方案，都存在一个k k ′的棋盘使得它的2k 个单位正方格中都没有“车”． 第3题在凸四边形ABCD 中90ABC CDA D=D=°，点H 是A 向BD 引的垂线的垂足，点S 和点T 分别在边AB 和AD 上，使得H 在△SCT 内部，且90CHS CSB D-D=°，90THC DTC D-D=°．证明：直线BD 和△TSH 外接圆相切．

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第二天 2014年7月9日，星期三 第4题锐角△ABC 中，点P 和点Q 是在边BC 上满足 PAB BCA D=D和CAQ ABC D=D的两点。点M 和点N 分 别在直线,AP AQ 上满足：P 是AM 中点，Q 是AN 中点． 证明：,BM CN 的交点在△ABC 的外接圆上． 第5题对于任意正整数n ，开普敦银行提供面值为1n 的硬币，对于给定有限枚硬币他们面值的和不超过1992 +．证明：可以把这些硬币分成100组使得每组面值和至多为1．（空集也可以视为一组硬币） 第6题一个平面上的直线集被称为一般的，如果不存在两两平行或者三线共点．一组一般的直线集把平面切割成若干区域．若一个区域的面积是有限的则称为有限区间．证明：对所有 充分大的正整数n ，任意的有n 条直线构成的一般的直线集可以把至少条直线染为蓝色使得没有一个有限区间被蓝线包围． 说明：如果把题中的可以获得更多分值．