1.1不等式的性质与解集
不等式的性质、解集与解法
不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若：0,>>c b a ，可得ac bc ． 3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 若ac c b a ?<>0, bc ． 二．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 （2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围. 例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。 A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围． 思考题．设c b a ,,均为正数，若a c b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小． y k 2x (第3题图) 第一讲：不等式及其性质、解集教师:卢鹏学生: 日期: 课题不等式的基本性质及其解集 学习目标与考点分析学习目标： 1、理解、掌握不等式的基本性质 2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形； 2、掌握不等式解集的概念；会用两种方式来表示不等式的解集； 3、培养逻辑思维能力。 考点分析：不等式是中考中的必考点，而求不等式的解集是不等式中的核心，所以必须充分理解不等式解集的概念并会求不等式的解集。 学习重点 重点：理解不等式解集的概念；会正确表示不等式的解集。不等式的基本性质3及其运用。 学习方法探究法、练习法 学习内容与过程 一、引入新课 a)提出问题： 能否解不等式：3x＞11？ 根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？ 就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3 b)探究新课 阅读教材，尝试解决下面的问题： 问题1： 7 4 7×3 4×3 7×2 4×2 7×1 4×1 7×0 4×0 7×（-1） 4×（-1） 7×（-2） 4×（-2） 7×（-3） 4×（-3） 7 × a 4 × a 讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------。 ②试概括不等式的基本性质2、3 不等式的性质 2： 如果a ＞b ， 。 即： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 。 不等式的性质 3： 如果a ＞b ， 。 即：不等式的两边都 ③根据我们刚刚总结出的规律，“ 7 × a 4 × a”该怎样回答呢？ 二、 综合训练 1. 不能由063<-x 变形得到的不等式是（） A .713<+x B. 63->-x C. 6x<12 D..-3x<-6 2.若不等式2x ≥a-3的解集是x ≥-1，则a 的值为（） 3.若（a+4）x>a+4的解集是x<1,则a 的取值范围是--------------- 4.若a 不等式的性质及其解法 1、不等式的性质：（首先熟悉对称性、传递性、可加性、可乘性以及加法法则、乘法法则、乘方法则、开方法则） （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则 a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则a c b d >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 > （4）若0ab >，a b >，则 11a b < ；若0ab <，a b >，则 11a b > 。 例（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；② b a bc ac >>则若,2 2 ；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则 若；⑤ b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦ b c b a c a b a c -> ->>>则 若,0；⑧11, a b a b >> 若，则0,0 a b ><。其中正确的命 题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 例（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 例（3）已知c b a >>，且, 0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； (8)图象法。 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 例（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 21 +t t a a 和的大小 不等式的性质与解集 不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。 与等式不同，不等式存在多种形式和性质。本文将探讨不等式的性质 和解集，并分析其应用。 一、不等式的基本性质 1.1 不等式的传递性 在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导 出a < c。这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递， 可以得到更多的大小关系。 1.2 不等式的加减性质 对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。 1.3 不等式的乘除性质 对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。 二、一元不等式的解集表示 一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。它的 解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。 2.1 严格不等式的解集表示 对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。 2.2 非严格不等式的解集表示 对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。 三、二元不等式的解集表示 二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。解集表示了使得不等式成立的所有实数对。 3.1 不等式的图解法 可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。 3.2 不等式的符号法表示 对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。 四、不等式求解的应用 不等式求解在实际问题中有着广泛的应用。 不等式的性质及解法 不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不 等式更能反映数值大小之间的差异。在实际问题中，我们经常会遇到 需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准 确的数值分析和解决问题。 一、不等式的基本性质 1. 传递性：如果 a 3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。 4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数 2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。 三、二元不等式的解法 1. 图解法：通过将不等式转化为几何图形，在坐标系中进行绘制，来确定解的范围。例如：对于不等式 x+y<5，我们可以将不等式转化为 x+y=5 的直线，然后根据不等式的方向，确定解在直线的上方或下方。 2. 代入法：将二元不等式中的一个变量表示为另一个变量的函数，然后代入到不等式中，得到一个一元不等式，进而求解得到解集。例如：对于不等式 2x+3y<9，我们可以将 y 表示为 x 的函数，得到 y<(9-2x)/3，在确定 x 的取值范围后，再求解这个一元不等式。 四、常见类型的不等式 1. 绝对值不等式：当不等式中涉及到绝对值时，我们可以利用绝对值的性质和分情况讨论的方法来求解。例如：|2x-3|<7，可以将其分为两种情况进行讨论，得到不等式的解集。 不等式的基本性质与解法 不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、 两个量或两个函数之间的大小关系。在解决实际问题时，不等式的理 解和运用至关重要。本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过 一些例子来进一步说明。 一、不等式的基本性质 不等式有以下基本性质： 1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方 向不变。例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。 2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。 3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也 要倒置。例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。 二、不等式的解法 1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1 和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等 式的解集。 2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。例如， 对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。 3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法 来求解。例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式 x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。 4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。例如，对于 不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据 乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。 三、示例分析 1. 例题1：求解不等式2x + 1 > 5。 解法：首先将不等式转化为等价形式2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0，进一步得到x > 2。因此，不等式的解集为x > 2。 2. 例题2：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。 解法：首先将不等式转化为等价形式(x - 1)(x - 3) > 0。接下来我们 需要分析函数x^2 - 4x + 3在x轴上的正负性。通过计算得知，当x < 1 或x > 3时，函数值为正。因此，不等式的解集为x < 1或x > 3。 3. 例题3：求解不等式|x - 2| < 3。 解法：首先将不等式拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3。分别求解可得x < 5和x > -1。取两个不等式的交集，得到解集为-1 < x < 5。 不等式的性质和解法 不等式是数学中一种重要的关系表达式，它可以描述数之间的比较关系。本文将介绍不等式的性质和解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、不等式的性质 1. 传递性：如果一个不等式a > b，b > c成立，那么a > c也成立。这意味着不等式的比较关系可以传递。 2. 加法性和减法性：如果a > b，那么a + c > b + c，a - c > b - c也成立。不等式在加减运算下依然保持有效。 3. 乘法性和除法性：如果a > b，并且c > 0，那么ac > bc，a/c > b/c 也成立。不等式在乘除运算下同样有效。 4. 乘法反转性：如果a > b，并且c < 0，那么ac < bc成立。在乘法运算时，当乘数为负数时，不等号方向会发生反转。 二、不等式的解法 1. 图解法：将不等式转化为图形，通过观察图形的位置来找到解。例如，对于一元一次不等式a*x + b > 0，可以将其转化为直线ax + b = 0与x轴的关系图形，通过观察直线与x轴的位置关系来确定不等式的解集。 2. 代入法：将不等式转化为各个变量值的代入过程，通过尝试不同 的变量值来判断不等式的解集。例如，对于一元一次不等式ax + b < 0，可以代入不同的x值，通过观察符号的变化来确定不等式的解集。 3. 列表法：将不等式中的变量值列成列表，通过观察列表中的变化 规律来找到不等式的解。例如，对于一元一次不等式ax + b > 0，可以 列出x的取值范围，并观察在不同取值下不等式的符号。 4. 化简法：将不等式化简为更简单的形式，通过简化后的形式来找 到解。例如，对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过配方法 化简为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，然后根据一元一次不等式的解法来 求解。 5. 公式法：利用不等式性质和已知的不等式公式来解题。例如，对 于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以根据判别式Δ = b^2 - 4ac的 正负来确定不等式的解集。 结语 本文介绍了不等式的性质和解法，包括传递性、加减法性、乘除法 性和乘法反转性等性质，以及图解法、代入法、列表法、化简法和公 式法等解题方法。通过掌握这些知识和技巧，读者将能更好地理解和 使用不等式，提高数学问题的解决能力。 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪ ⎩⎪()()()000 2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。 3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。 不等式的性质可分为： 1）、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩ 0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的 大小，转化为恒等变形问题的依据。 2）、基本性质：（1）对称性a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如： a b ab a b R +≥∈2(,)这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种 形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2）传递性a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3）移项法则a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321，相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+, （2）减法运算：统一成加法运算a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>⇒>>>>⇒>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>⇒>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,) 不等式的性质与解集表示 不等式是数学中常见的一种表达式形式，它描述了数值之间的大小 关系。在这篇文章中，我将探讨不等式的性质以及如何表示其解集。 一、不等式的性质 1.1 相等性质 与等式相似，不等式也满足一些性质。首先是假设不等式两边的表 达式相等，可以使用等号代替不等号。例如，如果a > b，那么a + c > b + c。 1.2 倍数性质 其次，不等式的性质也可通过乘除以常数来改变不等号的方向。例如，如果a > b，且c是一个正数，那么ac > bc。 1.3 加减性质 不等式的加减性质与等式类似。如果一个不等式两边同时加上或者 减去相同的数，不等式的方向不变。例如，如果a > b，那么a + c > b + c。 二、解集表示 当我们解一个不等式时，通常需要找出使得不等式成立的数值范围。这个数值范围可以用解集来表示。 2.1 开区间表示 一个不等式解集可以用开区间表示。例如，对于不等式a > b，它的解集可以表示为(a, ∞)，表示所有大于b的实数a。 2.2 闭区间表示 除了开区间，我们还可以使用闭区间来表示不等式的解集。闭区间 包括指定的数值。例如，对于不等式a ≥ b，它的解集可以表示为[a, ∞)，表示所有大于或等于b的实数a。 2.3 不等式组表示 有时候，我们需要同时考虑多个不等式的解集。这时，可以使用不 等式组来表示解集。例如，对于不等式组： a > b c < d 它的解集可以表示为{a | a > b} ∩ {c | c < d}，表示满足a > b和c < d 的实数a和实数c的交集。 三、实例分析 下面，我将通过几个实例来展示不等式的性质和解集表示。 例1：解不等式2x + 5 > 9 首先，我们可以通过减法和除法来解这个不等式。首先，我们将5 从两边减去，得到2x > 4。然后，我们再将两边都除以2，得到x > 2。 这个不等式的解集可以用开区间表示为(2, ∞)。 一元一次不等式的解集性质 一元一次不等式是数学中的基础知识之一，它描述了含有未知数的 一次多项式的大小关系。本文将讨论一元一次不等式的解集性质，包 括解集的表示方式、解集是否为空集以及解集的有界性等方面。 一、解集的表示方式 一元一次不等式的解集通常用数轴上的区间表示。考虑形如ax + b > 0的一元一次不等式，其中a和b是已知实数且a ≠ 0。首先，我们找到不等式的零点，即ax + b = 0的解，解为x = -b/a。接下来，我们可以 画出数轴，并在零点x = -b/a处画上一个实心点（如果不等号为小于或小于等于时）或者一个空心点（如果不等号为大于或大于等于时）。 根据实心点和空心点的位置，我们可以将数轴分成三个区间：(-∞, -b/a)，(-b/a, +∞)和{-b/a}。要确定不等式的解集，我们需要进行进一步 的分析。 二、解集是否为空集 解集为空集意味着不等式没有解。回顾一元一次不等式ax + b > 0，我们可以通过判断系数a的符号来确定解集是否为空。当a > 0时，不 等式对应的直线是上升的，因此不等式有解；当a < 0时，不等式对应 的直线是下降的，因此不等式没有解。综上所述，解集是否为空集取 决于系数a的符号。 三、解集的有界性 解集的有界性是指解集是否存在上界或下界。对于一元一次不等式ax + b > 0，解集的有界性取决于系数a的符号。如果a > 0，解集的下界为{-b/a}，上界为+∞；如果a < 0，解集的下界为-∞，上界为{-b/a}。 如果我们考虑其他形式的一元一次不等式，如ax + b < 0、ax + b ≥ 0或ax + b ≤ 0，解集的有界性的判断方法类似。通过确定系数a的符号，我们可以确定解集的上界和下界。 综上所述，一元一次不等式的解集性质可以用数轴上的区间表示，解集的为空集与系数a的符号有关，而解集的有界性则与不等式的形式及系数a的符号有关。熟练掌握这些性质对于理解不等式的解集及其性质具有重要意义，也为更高级的代数学习奠定了基础。 这就是一元一次不等式的解集性质的相关内容。通过数轴上区间的表示方式，我们可以直观地了解解集的分布情况；通过系数a的符号判断，我们可以推断解集是否为空集以及解集的上下界。掌握这些性质，能够更好地理解和应用一元一次不等式相关的知识。 不等式知识点总结（精选5篇） 不等式知识点总结篇1 1、不等式及其解集 用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 2、不等式的性质 不等式有以下性质： 不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 3、实际问题与一元一次不等式 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。 4、一元一次不等式组 把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。 对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 不等式知识点总结篇2 不等式： ①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C 在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0) 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号 所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一 第一节不等式的基本性质 【学习重难点】重点：不等式的三个基本性质。 难点：不等式性质的应用。 【学习过程】 1.不等式的基本性质 不等式性质１：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向。 不等式性质２：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向。 不等式性质３：不等式两边都乘以（或乘以）同一个负数，不等号的方向。 2、不等式的其他性质： ①对称性：若a b>，则b a<；若a b<，则b a>； ②传递性：若a b>，且b c>，则a c<； +>+； ③若a b>，c d>，则a c b d ④若a b≥，b a≥，则a b=； ⑤若20 a=； a≤，则0 3、能使的未知数的值，叫做不等式的解。 4、一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集。 5、求的过程叫做解不等式。解不等式的依据是。 6、在数轴上表示一个不等式的解集时，要注意两点：一是确定“界点”；有等号 用，没有等号用。二是确定“方向”；大于或大于等于向边画，小于或小于等于向边画。 归纳小结：不等式性质１：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向。 不等式性质２：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向。 不等式性质３：不等式两边都乘以（或乘以）同一个负数，不等号的方向。 实践练习：已知a＞b，用“＞”“＜”填空：（注意说明理由） （1）a+2 b+2; （2）3a 3b; （3）－ 2a －2 b ； （4）2a － c 2b －c ； （5）―a ―4 ―b ―4. 5.例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3 （2）6x ＜5x －1 （3） 21x ＞5 （4）－4x ＞3. 提示：一定要根据不等式的基本性质。 例2：比较3a 和4a 的大小。 分析：注意字母的大小，进行分类讨论。 实践练习：由m ＜n ，得到ma 2＜na 2的条件是 （ ） A 、a ＞0 B 、a ＜0 C 、a ≠0 D 、a 为任意实数 形成提升 1、若a ＜b ，用“＞”“＜”填空： （1）a ―4 b ―4；（2）a+21 b+21；（3）5a 5 b ；（4）―2a ―2b 。 2、利用不等式的性质将下列不等式化为“x ＞a ”“x ＜a ”的形式。 （1）10x －1＞9x ； （2） 2x －1＜0。 解不等式 一、 不等式的解与解集 1．定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 3．解与解集的联系 解集和解哪个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 4．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） x <-1 5.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。(注意是否需要变号。) 复习： 不等式的基本性质 性质1 ： 性质2 ： 性质3： 【典型例题】 例3、判断下列说法是否正确，为什么？ （1）的一个解；是不等式1133<=x x （2） 的一个解集；是不等式1133<=x x （3）不等式；的解集是3113< 例6． 方程3573 x a x --= 的解是负数，求a 的取值范围。 【经典练习】 1．若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b c c ->-④22ac bc <中成立的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知a 、b 、c 都是实数，并且a>b>c ，那么下列式子中正确的是（ ） A ．ab bc > B ．a b b c +>+ C ．a b b c ->- D ． a b c c > 3．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各题中，表示错误的是（ ） A ．0a b -> B ．0ab > C ．c a c b -<- D ．11a b > 4．若0a b -<，则下列各式中，一定正确的是（ ） A ．a b > B ．0ab > C ．0a b < D ．a b ->- 5.若0<b a 6．用不等号填空： （1）若a b <，则31a -+ 31b -+； （2）若5 53 x - >，则x －3； （3）若,0a b c ><，则ac bc ； （4）x 为任意实数，则x －2 x －3。 7．若a b <，用不等号填空： （1）8a - 8b -， （2）8a 8b ， （3）16 a - 1 6b -， （4） 15a 1 5 b ， （5）2a c 2bc （c 为有理数） 8．用不等式表示： （1）5与x 的3倍的差是正数； （2）a 与b 的平方和不大于3; （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和;（4）x 除于2的商加上2，至多为5. 9．已知32y -<<，化简233924y y y y -++----。 b a 不等式的性质与解集教案 这是不等式的性质与解集教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习. 不等式的性质与解集教案第1篇不等式的解集 重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法. 1. 什么叫不等式? 什么叫方程? 什么叫方程的解?(请学生举例说明) 不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子. 含有未知数的等式，叫做方程. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 2. 当x 取以下数值时，不等式x+3＜6是否成立? -4，3.5，-2.5，3，0，2.9. 不等式x+3＜6，除了上面提到的，-4，-2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解? 假设有，解的个数是多少? 它们的分布是有什么规律? 3. 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合. 简称为这个不等式的解集. 不等式一般有无限多个解. 求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 4. 我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集，一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x ＜3. 那么如何在数轴上直观地表示不等式x+3＜6的解集x ＜3呢? 5. 数轴的三要素是什么？ 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴上越向左的数越小，越向右的数越大. 6. 画法： 〔1〕画数轴 〔2〕定边界点 含等号用实心圈，不含等号用空心圈 〔3〕定方向 大于向右画，小于向左画 7. 在数轴上表示不等式解集时，你认为需要注意些什么？ 〔1〕确定空心圆圈或者实心圆点. 〔2〕确定方向. 不等式的性质与解集教案第2篇例1 根据不等式的根本性质，把以下不等式化为不等式的性质及其解集＞不等式的性质及其解集或不等式的性质及其解集＜不等式的性质及其解集的形式. 〔1〕不等式的性质及其解集7＜0；〔2〕不等式的性质及其解集＜－不等式的性质及其解集＋15； 〔3〕2不等式的性质及其解集＞－5；〔4〕－不等式的性质及其解集＜－1. 【分析】本例考查了不等式根本性质的简单应用. 【解题思路】 本例利用了不等式的以下三条根本性质： 不等式根本性质1：不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 不等式根本性质2：不等式两边都乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变. 不等式根本性质3：不等式两边都乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的性质与不等式的解集 【知识要点】 一．不等式的基本概念 1．用不等号连接的式子叫做不等式。(,,,,)≠≤≥ 不等符号 2．用作差法比较大小：若0,a b ->则 3．不等式的基本性质： ①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变。 a >b ⇒a+c b+c a ⇒3∙a 3∙b b a >⇒ 3 a 3 b ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 b a >⇒-3∙a -3∙b b a >⇒3 a - 3 b - 4． ①若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。 （互逆性） ②若,a b b c >>，则a c >，若,,a b b c <<则a c <。 （传递性） ③若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。 二． 不等式的解 1．定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2．不等式的解与方程的解的异同: . 三．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） x <-1 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1， 注意是否需要变号。 【经典例题】 例1．利用不等式的基本性质，用“>”或“<”号填空。 （1）如果0,0,ab a <>那么32a b - 0 （2）如果那么b a ,0,0><25a b - 0 （3）如果那么b a b a ,,0,0>< 知 识 梳 理 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ， a － b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ； (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a b ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），a b ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）. 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0 n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系 考点一 条件判断不等式是否成立 1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单． 2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负． 3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形． 【例1】 若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1 a ＞ b －1 b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 解析 法一 特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次 因为1a ＜1 b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误； 第1章 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 【解析】 a >b 并不能保证a ，b 均为正数，从而不能保证A ，B 成立.又a >b ⇒a －b >0，但不能保证a －b >1，从而不能保证C 成立.显然D 成立.事实上，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以a >b ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12b 成立. 【答案】 D 教材整理2 一元一次不等式的解法 关于x 的不等式ax >b ， (1)当a >0时，该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞； (2)当a <0时，该不等式的解集为⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－∞，b a ； (3)当a ＝0时，若b <0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0，则该不等式的解集为∅. 不等式组⎩⎨⎧ x ＋9＜5x ＋1， x ＞m ＋1 的解集是{x |x ＞2}，则m 的取值范围是( ) 【导学号：38000000】 A.m ≤2 B.m ≥2 C.m ≤1 D.m ≥1 【解析】 原不等式组可化为⎩⎨⎧ x ＞2， x ＞m ＋1.∵解集为{x |x ＞2}，∴m ＋1≤2， ∴m ≤1. 【答案】 C 教材整理3 一元二次不等式的解法 形如ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解法： Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个不等的实根x 1，x 2且x 1 ax2＋bx＋ c >0(a >0) 的解 集{x|x第一讲：不等式的性质和解集
不等式的性质及其解法
不等式的性质与解集
不等式的性质及解法
不等式的基本性质与解法
不等式的性质和解法
不等式的性质及解法
不等式的性质与解集表示
一元一次不等式的解集性质
不等式知识点总结（精选5篇）
第一节 不等式的基本性质及解集
不等式的解集,解不等式
不等式的性质与解集教案
不等式的性质与不等式的解集
不等式性质及解法
第1章 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法