不等式及其解集
9.1.1 不等式及其解集
1.用 连接的式子叫做不等式；
2.在下列各题中的空白处填上适当的不等号：
⑴ －3 －2 ⑵ 34- 4
3 ⑶ ()21- －2； 3.用适当的符号表示下列关系：⑴ a －b 是负数 ，⑵ a 比1大 ， ⑶ x 是非负数 ，⑷ m 不大于
－5 ，
⑸ x 的4倍大于3 ；4.正方形边长是xcm ，它的周长不超过160cm ，则用不等式来表示为 ；
5.直接想出不等式的解集：
⑴ x ＋3＞6的解集 ，⑵ 2x ＜12的解集 ，⑶ x
－5＞0的解集 ，⑷ 0.5x ＞5的解集 ；
6.含有 个未知数，未知数的次数是 的不等式叫做一元一次不等式；
7.某班同学外出春游，要拍照合影留念，若一张彩色底片需要0.57元，冲印一张需0.35元，每人预定得到
一张，出钱不超过0.45元，设合影的同学至少有x 人，则可
列不等式 ；
8.x 的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是 （ ） A 、3x －2≤0 B 、3x －2≥0 C 、3x －2＜0 D 、3x －2＞0
9.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A 、x ＋3＞5 B 、x ＋3＞6 C 、x ＋3＞7 D 、x ＋3＞8
10.下列不等式一定成立的是 （ ）A 、2x ＜6 B 、－x ＜0 C 、12+x ＞0 D 、x ＞0
11.下列解集中，不包括－4的是 （ ）A 、x ≤－3 B 、x ≥－4 C 、x ≤－5 D 、x ≥－6
12.下列说法中，正确的有 （ ）
①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不
等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
13.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）
A 、x ≥－2
B 、x ＜1
0-1-2
C 、x ≠
、x ＜0
14.－3x ≤6的解集是 （ ）
C 、
D 、
15.恩格尔系数n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型
家庭的n 值如下所示：
的不等式表示，则贫困家庭为 ；小康家
庭为 ；最富裕国家为 ；
当某一家庭n = 0.6时，表明该家庭的实际生活水平
是 。
16.比较下面两个算式结果的大小（在横线上填“＞”“＜”“＝”） 2243+ 432⨯⨯
2222+ 222⨯⨯ 22431⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 4312⨯⨯ ()2252+- ()522⨯-⨯ 22
3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3
2212⨯⨯ 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般情况：
。
17.工人张力4月份计划生产零件176个，前10天平均每天生产4个，后来改进技术，提前3天并且超额完成任务，若张力10天之后平均每天至少生产零件x 个，请你试着写出x 所满足的关系式。
18.写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来：⑴ x 0-1-20
-1-2
＋5＞7 ⑵ 2x ≤10 ⑶ x －2＞1 ⑷ -3x ＜12
19.一种饮料重约300g ，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？
20.2004年1月20日，湖北省武穴市石佛寺镇发生高致病性禽流感，疫情发生后，党中央和国家领导人高度重视，温家宝总理亲赴疫情一线指挥扑疫工作，为防止疫情的进一步扩散，对疫点3公里以内的53711只.禽类全部捕杀，对3公里以外5公里以内的14万只禽类进行紧急预防接种，对疫点及周边3公里以内住户的畜禽生产场地进行消毒，为免除农户的后顾之忧，国家规定，对按规定捕杀的家禽给予合理的补偿，
对家禽强制免疫实行免费，给一只家禽预防接种需费用 1.5
元，对周边环境消毒共用资金不多于90万元，武穴市用于此次疫情的总资金为200万元，设对按规定捕杀的禽类每只赔给农户x 元，请你列出表示这个问题中的不等关系的不等式。
9.1.2 不等式的性质
1.用a ＞b ，用“＜”或“＞”填空：
⑴ a ＋2 b ＋2 ⑵ 3a 3b ⑶ －2a －2b ⑷ a －b 0 ⑸ －a －4 －b －4 ⑹ a －2 b －2；
2. 用“＜”或“＞”填空：
⑴若a －b ＜c －b ，则a c ⑵若3a ＞3b ，则a b ⑶若－a ＜－b ，则a b ⑷若2a ＋1＜2b ＋1，则a b
3.已知a ＞b ，若a ＜0则2a a b ，若a ＞0则2a a b ；
4. 用“＜”或“＞”填空：
⑴ 若a －b ＞a 则b 0 ⑵ 若2ac ＞2bc 则a b ⑶ 若a ＜－b 则πa －πb
⑷ 若a ＜b 则a －b 0 ⑸ 若a ＜0，b 0时ab ≥0
5.若3a -＜2
a -，则a 一定满足 （ ） A 、a ＞0
B 、a ＜0
C 、a ≥0
D 、a ≤0
6.若x ＞－y ，则下列不等式中成立的有 （ ） A 、x ＋y ＜0 B 、x －y ＞0 C 、2a x ＞2a -y D 、3x+3y ＞0
7.若0＜x ＜1，则下列不等式成立的是 （ ） A 、2x ＞x 1＞x B 、x 1＞2x ＞x C 、x ＞x 1＞2x D 、x
1＞x ＞2x 8.若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解为x ，y ，且x+y ＞0，则k 的范围是
（ ）A 、k ＞4 B 、k ＞－4 C 、k ＜4 D 、k ＜－4
9.用不等式表示下列各式，并利用不等式性质解不等式。
⑴a 的31是非负数
⑵m 的2倍与1的和小于7
⑶a 与4的和的20%不大于－5
⑷x 的6
1与x 的3倍的和是非负数。
10.下列4种说法：① x = 45是不等式4x －5＞0的解
② x = 25是不等式4x －5＞0的一个解
③ x ＞45是不等式4x －5＞0的解集
④ x ＞2中任何一个数都可以使不等式4x －5＞0成
立，所以x ＞2也是它的解集，其中正确的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
11.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降多少元出售此商品。
12.有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n 如果把这个两位数的个位与十位数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？
13.一个长方形足球场的长为x 米，宽为70米，如果它的周长
大于350米，面积小于7560米2，求x 的取值范围，并判断这
个球场是否可以用作国际足球比赛。 （注：用于国际比赛的足球场的长在100米到110米之间，宽在64米到75米之间）
14.有1千克含40克食盐的咸水，再加入食盐，使它成为浓度不小于20%的食盐水，应加入多少克食盐？
15.哥哥存款600元，弟弟存款2000元，由本月开始，哥哥每月存款500元，弟弟每月存款200元，试问到了第几月哥哥的存款能超过弟弟的存款？
16.某次数学测试工16题，满分100分，评分办法是：答对一道给6分，答错一道扣2分，不答不给分，某学生有一道题未答，那么他至少要答对多少道题才及格？（及格60分）
.2 实际问题与一元一次方程
1.3x ＞－6的解集是 ，x 41-＜－8的解集是 ；
2.当m
时，不等式mx ＜5m 的解集是x ＞5； 3.若2－a ＞－2a 成立，则a ；4.不等式
62-y ≥33-y 的解集为 ；
5.若使代数式55-x 的值不大于32
-x 的值，则x 的取值范围为 ；
6.使不等式x －2≤3x+5成立的负整数为 ；
7.不等
式4x －6≥7x －12的非负整数解为 ；
8.代数式()13223+-y y 的值大于1，则y 的取值范围是 ；
9.某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10公里，他离家后先以3公里/时的速度走了5分
钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走 公里才能不误当次火车；
10.某试卷共有20道题，每道题选对了得10分，选错了或不选的扣5分，至少要选对 道题，其得分才能不少于80分；
11.3x －7≥4（x －1）的解集是 （ ）A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ≥－3 D 、x ≤－3
12.14x －7（3x －8）＜4（25＋x ）的负整数解是 （ ）A 、－3，－2，－1 B 、－1，－2C 、－4，－3，－2，－1 D 、－3，－2，－1，0
13.若不等式ax ＞b 的解集是x ＞a
b ，则a 的范围是（ ）A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0
14.不等式2
1-x ≤3的解集是 （ ） A 、x ≤4 B 、x ＜4 C 、x ≤7 D 、x ≤5
15.不等式()x 9161-＜x 2
37--的解集是 （ ） A 、全体有理数 B 、全体正数 C 、全体负数 D 、无解
16.2x ＋1是不小于－3的负数，表示为 （ ） A 、－3≤2x ＋1≤0 B 、－3＜2x ＋1＜0 C 、－3≤2x ＋1＜0 D 、－3＜2x ＋1≤0
17.与不等式2
3-x ＜1212-+x 有相同解集的是 （ ） A 、3x －3＜（4x+1）-1 B 、3（x －3）＜2（4x+1）-1 C 、2（x －3）＜3（2x ＋1）－6 D 、3x －9＜4x －4
18.解不等式32x +＞5
12-x 的过程中，出现错误的一步 的是 ① 去分母：5（x ＋2）＞3（2x －1）② 去括号：5x ＋10＞6x －3③ 移项：5x －6x ＞－10－3 ④系数化为1：x ＞13
A 、①
B 、②
C 、③
D 、④
19.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
⑴ ()13+x ＜()324--x ⑵
215312+--x x ≤1
⑶255.014.0x x ---≤ 03.002.003.0x - ⑷4
5231+--x x ＞-2
20.
x 为何值时，代数式429323x x ---不大于21-x 的值。 21.
22.
21.求不等式285-x ≤4
18-x 的非负数解。
22.若()512-+x ＜()413+-x 的最小整数解是方程 53
1=-mx x 的解，求代数式1122--m m 的值。
23.小明准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，他买了两个笔记本，请你帮他算一算，他还可以买几支笔？
24.m 是什么正整数时，方程4
152435-=-m m x 的解是非
25.红星公司要招聘A 、B 两个工种的工人150人，A 、B 工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B 工种的人数不少于A 工种人数的2倍，那么招聘A 工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？
9.3 一元一次不等式组
1.不等式组⎩⎨⎧〉〉43x x 的解集为 ，⎩⎨⎧〈〉43x x 的解集为 ，⎩⎨⎧〈〈4
3x x 的解集为 ，⎩⎨⎧〉〈4
3x x 的解集为 ； 2.不等式-2≤x-5＜6的解集是 ；
3.不等式组⎩⎨⎧〉+-〉-03012x x 的解集为 ，不等式组⎩⎨⎧≤≥a
x a x 的解集为 ；
4.不等式-1＜5
43+x ≤2的整数解的和为 ； 5.不等式组⎩
⎨
⎧〉〉a x x 2的解集为x ＞2，则a 的范围是 ； 6.不等式组⎩⎨⎧≥-〈+832532x x 的解集为 ； 7.长度分别为3cm ，7cm ，xcm 的三根木棒围成一个三角形，则x 的取值范围是 ；
8.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧〉+≤-0
53021x x 的解集为 （ ） A 、35-＜x ≤21- B 、x ＞3
5- C 、x ≥0 D 、x ≥－2 9.不等式组⎩⎨⎧+≤-〉-7
472023x x x 的非负整数解的个数为（ ） A 、2个 B 、1个 C 、0个 D 、无数多个
10. 一种灭虫药粉30kg ，含药率是15%，现在要用含药率较高的同种灭虫药粉50kg 和它混合，使混合后的含药率大于20%且
小于35%，则所用药粉的含药率x 的范围是 （ ）
A 、15%＜x ＜23%
B 、15%＜x ＜35%
C 、23%＜x ＜
47% D 、23%＜x ＜50%
11.解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： ⑴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉+x x x x 9963449323 ⑵
()()⎩
⎨⎧+〈+-≤-7513412x x x x
⑶()⎪⎩⎪⎨⎧〈-+---≥--22133215534x x x x ⑷()⎪⎩
⎪⎨⎧-〉+-≥-12325213x x x x
12.关于x 的不等式组⎩⎨⎧-〉-≥-1
230x a x 的着整数共有5个，则a 的取值范围是 。
13.若不等式组⎩⎨
⎧〉-〉+b x a x 12的解集为－1＜x ＜2，则a = ，b = 。
14.不等式组⎩⎨⎧-〉+〉42
3a x a x 的解集为x ＜3a ＋2，则a 的取值范
围是 。
15.若不等式组⎩
⎨⎧≤≥-m x x 032无解，则m 的取值范围是 。 16.k 取何值时，方程组⎩⎨⎧=-=+4
2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1。
17.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：；
⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？
9.4 利用不等关系分析比赛
1.某工厂试制新产品，工本费共700元每只售价2元，试问在保证有多于1000元以上利润的情况下，售出的产品数量的范围是多少？
2.某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过52m，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过52m，则超出部分每立方米收费2元，小强家某月的水费不少于15元，那么他家这个月的用水量至少是多少？
3.某种植物适宜生长在温度18～20℃的山地，已知山区海拔每升高100米气温下降0.55℃，现测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？
4.每期《数理天地》（初中版）发下来后，秦同学都认真阅读，他如果每天读5页，9天读不完，第10天不足5页；如果每天读23页，那么两天读不完，第3天剩不足23页，试问《数理天地》（初中版）杂志每期有多少页？（页数为偶数）
5.有人问一位老师他所教的班上有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，不足六位同学在操场上踢足球。”试问这个班共有多少名学生？
6.我市某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A 产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克；生产一件B种产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，该化工厂现有的原料能否保证生
产顺利进行？若能的话，有几种方案？请你设计出来。
7.某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本；设该校买了m 本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：⑴用含x 的代数式表示m；
⑵求该校的获奖人数及所买课外读物的本数。
8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每月耗电量为1千瓦·时，B型冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55千瓦·时，商场将A型冰箱打折销售，如果只考虑价格与耗电量，那么至少打几折消费者购买才合算？（使用期为10年，每年365天，
每千瓦·时电费按0.4元计算）
不等式组及其解集
专题19 不等式组及其解集 1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a -2 解不等式②，得x≤2 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示. ∴不等式的解集为-2 拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 . 【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数. 例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集. 【解】把不等式的解集表示在数轴上， 不等式组表示在数轴上如图19-2所示， 可知解集为x >a . 不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2 不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若：0,>>c b a ，可得ac bc ． 3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 若ac c b a ?<>0, bc ． 二．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 （2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围. 例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。 A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围． 思考题．设c b a ,,均为正数，若a c b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小． y k 2x (第3题图) 9.1.1 不等式及其解集 1.用 连接的式子叫做不等式； 2.在下列各题中的空白处填上适当的不等号： ⑴ －3 －2 ⑵ 34- 4 3 ⑶ ()21- －2； 3.用适当的符号表示下列关系：⑴ a －b 是负数 ，⑵ a 比1大 ， ⑶ x 是非负数 ，⑷ m 不大于 －5 ， ⑸ x 的4倍大于3 ；4.正方形边长是xcm ，它的周长不超过160cm ，则用不等式来表示为 ； 5.直接想出不等式的解集： ⑴ x ＋3＞6的解集 ，⑵ 2x ＜12的解集 ，⑶ x －5＞0的解集 ，⑷ 0.5x ＞5的解集 ； 6.含有 个未知数，未知数的次数是 的不等式叫做一元一次不等式； 7.某班同学外出春游，要拍照合影留念，若一张彩色底片需要0.57元，冲印一张需0.35元，每人预定得到 一张，出钱不超过0.45元，设合影的同学至少有x 人，则可 列不等式 ； 8.x 的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是 （ ） A 、3x －2≤0 B 、3x －2≥0 C 、3x －2＜0 D 、3x －2＞0 9.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A 、x ＋3＞5 B 、x ＋3＞6 C 、x ＋3＞7 D 、x ＋3＞8 10.下列不等式一定成立的是 （ ）A 、2x ＜6 B 、－x ＜0 C 、12+x ＞0 D 、x ＞0 11.下列解集中，不包括－4的是 （ ）A 、x ≤－3 B 、x ≥－4 C 、x ≤－5 D 、x ≥－6 12.下列说法中，正确的有 （ ） ①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不 等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＜1 0-1-2 不等式及不等式基本性质 一．不等式 定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． （1）常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． （2）列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： 正数(＞0) 负数（＜0） 非正数（≤0） 非负数（≥0） 超过(＞0) 不足（＜0） 至少（≥0） 至多（≤0） 不大于（≤0） 不小于（≥0） （3）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。 例1、用不等式表示 (1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5; (6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3. 例2：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。 ①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥124x x ->-； ⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩ 230x π +>。 练习：用不等式表示： ①x 的平方是非负数： ②a 不大于b ： ③x 的3倍与－2的差是负数： ； ④长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2 ： 二．不等式的解与解集 (1)不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 解析:不等式的解可能不止一个. 例3、下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 (2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来， 具体表示方法是: ①确定边界点。 解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈； ②确定方向：大向右，小向左。 说明：①不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的， 是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．②不等式解集在数轴上表示方法口诀：大于向右画，小于向左画，含等号画实心点，不含等号画空心圈 例4、下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 例5：在数轴上表示下列不等式的解集 ①-3＜x ≤1 ②x ≠0 ③ x ＞-2且x ≠1 ④-2≤x ≤3且x ≠2 练习1:如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是 ( ) 练习2:在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>3 (2)x<2 (3)y ≥-1 (4)y ≤0(5)x ≠4 三．不等式的基本性质 (1)5>3 ,5+2 3+2,5-2 3-2 (2)-1<3,-1+2 3+2,-1-3 3-3 (3)6>2,6×5 2×5,6×(-5) 2×(-5) (4)-2<3,(-2)×6 3×6,(-2)×(-6) 3×(-6) 各类不等式求解集的方法 一、一元一次不等式的求解 一元一次不等式是指只含有一个未知数的不等式，其一般形式为：ax + b > c （或者ax + b < c）。 1.方法一：移项法 将不等式中的项按照相同的顺序移动到同一边，得到ax > c - b （或者ax < c - b），然后根据a的正负情况来判断解集。 2.方法二：倍增法 将不等式中的项乘以相同的正数（或者倒数），得到ax > c（或者 ax < c），然后根据a的正负情况来判断解集。 3.方法三：画图法 将不等式转化为对应的线性方程，然后在数轴上画出对应线性方程的 图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 二、一元二次不等式的求解 一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，其一般形式为：ax² + bx + c > 0 （或者ax² + bx + c < 0）。 1.方法一：因式分解法 将一元二次不等式进行因式分解，得到(x+m)(x+n)>0（或者 (x+m)(x+n)<0），然后根据m和n的正负情况来判断解集的范围。 2.方法二：配方法 将一元二次不等式进行配方法，得到(ax + m)² + n > 0 （或者(ax + m)² + n < 0），然后根据n的正负情况来判断解集的范围。 3.方法三：作图法 将一元二次不等式转化为对应的二次函数，然后在坐标系中画出对应的函数图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 三、一元三次及更高次不等式的求解 一元三次及更高次不等式是指只含有一个未知数的三次及更高次的不等式，其求解方法相对复杂。 1.方法一：图像法 将一元三次及更高次不等式转化为对应的函数，然后在坐标系中画出对应的函数图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 2.方法二：化简法 将一元三次及更高次不等式进行化简，分解为一元二次或一元一次不等式的组合，然后根据已经掌握的方法来求解。 四、多元不等式的求解 多元不等式是指含有两个或两个以上未知数的不等式。 1.方法一：代数法 将多元不等式转化为对应的代数方程组，然后通过求解方程组得到解集。 2.方法二：几何法 不等式的性质与解集 不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。 与等式不同，不等式存在多种形式和性质。本文将探讨不等式的性质 和解集，并分析其应用。 一、不等式的基本性质 1.1 不等式的传递性 在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导 出a < c。这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递， 可以得到更多的大小关系。 1.2 不等式的加减性质 对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。 1.3 不等式的乘除性质 对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。 二、一元不等式的解集表示 一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。它的 解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。 2.1 严格不等式的解集表示 对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。 2.2 非严格不等式的解集表示 对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。 三、二元不等式的解集表示 二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。解集表示了使得不等式成立的所有实数对。 3.1 不等式的图解法 可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。 3.2 不等式的符号法表示 对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。 四、不等式求解的应用 不等式求解在实际问题中有着广泛的应用。 不等式的解集求解方法 不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数与数之间的大小关系。在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，以确定变量的取值范围。本文将介绍几种常见的不等式的解集求解方法。 一、一元一次不等式 一元一次不等式是一元变量的一次方程与不等式的结合体，通常形 式为ax + b > 0（或< 0）。 求解一元一次不等式的步骤如下： 1. 将不等式化为等式：ax + b = 0。 2. 求解方程ax + b = 0的解集，得到解x0。 3. 根据x0的位置及a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0， 则解集为x > x0；若a < 0，则解集为x < x0。 举例说明： 对于不等式2x + 3 > 0，我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 将不等式化为等式：2x + 3 = 0，得到x = -3/2。 2. 方程2x + 3 = 0的解集为{-3/2}，即x0 = -3/2。 3. 由于a = 2 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为x > -3/2。 二、一元二次不等式 一元二次不等式是一元变量的二次方程与不等式的结合体，通常形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）。 求解一元二次不等式的步骤如下： 1. 求出二次函数f(x) = ax² + bx + c的顶点坐标(-p,q)。 2. 根据a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0，则解集为x < -p或x > -p；若a < 0，则解集为-p < x < +∞或x < -∞或x > +∞。 举例说明： 对于不等式x² - 4x + 3 < 0，我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 求出二次函数f(x) = x² - 4x + 3的顶点坐标。首先求出顶点的横坐标x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2。将x = 2代入函数中，得到纵坐标y = f(2) = 2² - 4*2 + 3 = -1。所以顶点坐标为(-2,-1)。 2. 由于a = 1 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为-∞ < x < 2或x > 2。 三、绝对值不等式 绝对值不等式是包含绝对值的不等式，通常形式为|ax + b| > c（或< c）。 求解绝对值不等式的步骤如下： 1. 将绝对值不等式分解为两个不等式，并去掉绝对值符号。若|ax + b| > c，则转化为ax + b > c或ax + b < -c。 不等式知识点总结（精选5篇） 不等式知识点总结篇1 1、不等式及其解集 用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 2、不等式的性质 不等式有以下性质： 不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 3、实际问题与一元一次不等式 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。 4、一元一次不等式组 把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。 对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 不等式知识点总结篇2 不等式： ①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C 在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0) 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号 所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一 不等式的解集知识点总结 不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。 在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。下面是一些常见的不等式的解集知识点总结： 一、一元一次不等式 形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。 2. 根据 a 的正负情况讨论解集： - 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a； - 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a； - 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a； - 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。 二、二次函数不等式 形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。 2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况： - 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂； - 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁； - 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集； - 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集； - 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。 三、绝对值不等式 形如 |ax + b| > c、|ax + b| < c、|ax + b| ≥ c、|ax + b| ≤ c 的绝对值不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为两个不等式： - 当 |ax + b| > c 时，拆分为 ax + b > c 或 ax + b < -c； - 当 |ax + b| < c 时，拆分为 -c < ax + b < c； - 当|ax + b| ≥ c 时，拆分为ax + b ≥ c 或ax + b ≤ -c； - 当|ax + b| ≤ c 时，拆分为 -c ≤ ax + b ≤ c。 2. 分别求解拆分后的一元一次不等式。 不等式的基本性质及其解集 【知识要点一】 等式与不等式的基本知识对照表： 等式 不等式 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变 两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变 【知识要点二】 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值. 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解. 3.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 4.不等式解集的表示方法： a.用不等式表示：如32≥+x 的解集表示为：1≥x b.在数轴上直观表示如图： 如：a x > b x ≤ b x a <≤ 【经典例题】 例1.将下列不等式化为""a x >或""a x <形式 （1）97 <-x （2）145->x x （3） 23 1 >x （4） 155<-x a b b a 例2.在数轴上表示下列不等式的解集 （1）3-≥x （2）2 1 1 不等式的性质、解集与解法
不等式及其解集
不等式及其解集
各类不等式求解集的方法
不等式的性质与解集
不等式的解集求解方法
不等式知识点总结（精选5篇）
不等式的解集知识点总结
不等式基本性质及其解集