9.1.1不等式及其解集 <导学案>
学习目标:1、感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意。
2、通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解。
3、理解不等式的解集的意义,能区分不等式的解与解集。
4、会把不等式的解集正确地表示到数轴上,体会数形结合思想。
学前准备:
1、叫做方程。
2、叫做方程的解。
3、一般地,一个一元一次方程有解,一个二元次方程有个解。
课前预习:
1、叫做不等式。举例:
不等号有:。
2、与方程类似,我们把叫做不等式的解。一般地,一个含有未知数的不等式有个解。
3、不等式的解集是。
不等式的解集如何表示?
4、叫做解不等式。
问题呈现:
观光园区的学生票价是每人5元;一次购票满30张时,每张可少收1元.这次游玩总共去了27位同学,当领队准备好了零钱去售票处买27张票时,爱动脑筋的李明同学喊住了领队,提议他买30张票.
问题1:有的同学不明白,明明我们只有27人,买30张票岂不浪费了?那么究竟李明的提议对不对呢?
问题2:当然如果去观光园区的人数较少(比如10个人),显然不值得买30张票,还是按实际人数买票为好.现在问题是:
小于30人时,至少要有多少人去观光园区,买30张票反而合算呢?(设有x个人进入)
试着列式:
问题3:x取哪些值时,5x>120才成立呢?
即问题中5x>120的解有:
问题4:判断下列数中哪些是不等式5x >
120的解?(抛开实际背景思考)
-10 18 21.5 24 25 38.5 100 2000
你能找出这个不等式其它的解吗?
他到底有多少个解呢?
满足什么条件就行?
5x>120的解集表示为:
试一试:
1、在数轴上表示下列不等式的解集
(1) x>-1; (2) x≥-1; (3) x<-1; (4) x≤-1
2、写出下列数轴所表示的不等式的解集:
总结:⑴、大于向画,小于向画
⑵、无等号画,有等号画。
当堂检测
1、下列数值中,哪些是不等式2X+3>9
的解?哪些不是?
-4,-2,3, 3.01,3,4,6,100。
2、用不等式表示:①、a与5的和小于7。
②、a是正数;。
③、a的4倍大于8;。④、a是负数;。
⑤、a与2的差大于-1;。
⑥、a的一半小于3;。
3、.直接写出不等式的解集,并表示在数轴上:
⑴x+3>6的解集;⑵2x<8的解集
⑶x-2>0的解集;⑷0.5x≤5的解集 .
专题19 不等式组及其解集 1.一元一次不等式组:把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组. 2.不等式组的解集:一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫作由它们所组成的不 等式组的解集,解不等式组就是求它的解集. 不等式组(a -2 解不等式②,得x≤2 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来,如图19-1所示. ∴不等式的解集为-2
拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1,|2x-7|=7-2x ,则满足条件的所有非负整数x 有 . 【反思】根据题意列出不等式(组),解出不等式组从而找出符合条件的解,注意非负整数即自然数,也就是0和正整数. 例2 如果a>2,那么不等式组的解集为 ,的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上(或用口诀),结合数轴找不等式组的解集. 【解】把不等式的解集表示在数轴上, 不等式组表示在数轴上如图19-2所示, 可知解集为x >a . 不等式组表示在数轴上如图19-3所示, 可知解集为2
不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1.不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 若:0,>>c b a ,可得ac bc . 3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 若ac c b a ?<>0, bc . 二.不等式的解集 1.定义:一般的,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集. 2.解与解集的联系: 解集和解那个的范围大.(解是指个体,解集是指群体) 3.不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.(注意实心圈与空心圈的区别) 4.解一元不等式的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ,求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 (2)已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1,2,3,求a 的取值范围. 例3.直线l 1:y =k 1x +b 与直线l 2:y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式k 1x +b >k 2x 的解为( )。 A 、x >-1 B 、x <-1 C 、x <-2 D 、无法确定 例4.(1)若0)2(32=--+-k y x x 中,y 为非负数,求k 的取值范围. 思考题.设c b a ,,均为正数,若a c b c b a b a c +<+<+,试确定c b a ,,三个数的大小. y k 2x (第3题图) 9.1.1 不等式及其解集 1.用 连接的式子叫做不等式; 2.在下列各题中的空白处填上适当的不等号: ⑴ -3 -2 ⑵ 34- 4 3 ⑶ ()21- -2; 3.用适当的符号表示下列关系:⑴ a -b 是负数 ,⑵ a 比1大 , ⑶ x 是非负数 ,⑷ m 不大于 -5 , ⑸ x 的4倍大于3 ;4.正方形边长是xcm ,它的周长不超过160cm ,则用不等式来表示为 ; 5.直接想出不等式的解集: ⑴ x +3>6的解集 ,⑵ 2x <12的解集 ,⑶ x -5>0的解集 ,⑷ 0.5x >5的解集 ; 6.含有 个未知数,未知数的次数是 的不等式叫做一元一次不等式; 7.某班同学外出春游,要拍照合影留念,若一张彩色底片需要0.57元,冲印一张需0.35元,每人预定得到 一张,出钱不超过0.45元,设合影的同学至少有x 人,则可 列不等式 ; 8.x 的3倍减去2的差不大于0,列出不等式是 ( ) A 、3x -2≤0 B 、3x -2≥0 C 、3x -2<0 D 、3x -2>0 9.当x = 3时,下列不等式成立的是 ( ) A 、x +3>5 B 、x +3>6 C 、x +3>7 D 、x +3>8 10.下列不等式一定成立的是 ( )A 、2x <6 B 、-x <0 C 、12+x >0 D 、x >0 11.下列解集中,不包括-4的是 ( )A 、x ≤-3 B 、x ≥-4 C 、x ≤-5 D 、x ≥-6 12.下列说法中,正确的有 ( ) ①4是不等式x +3>6的解,②x +3<6的解是x <2③3是不 等式x +3≤6的解,④x >4是不等式x +3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13.图中表示的是不等式的解集,其中错误的是( ) A 、x ≥-2 B 、x <1 0-1-2 不等式及不等式基本性质 一.不等式 定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式. (1)常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”. (2)列不等式注意找到问题中不等关系的词,如: 正数(>0) 负数(<0) 非正数(≤0) 非负数(≥0) 超过(>0) 不足(<0) 至少(≥0) 至多(≤0) 不大于(≤0) 不小于(≥0) (3)不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换;但a <b 可转换为b >a ,c ≥d 可转换为d ≤c 。 例1、用不等式表示 (1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5; (6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3. 例2:判断下列哪些式子是不等式,哪些不是不等式。 ①32>-;②21x ≤;③21x -;④s vt =;⑤283m x <-;⑥124x x ->-; ⑦38x ≠;⑧5223x x -≈-+;⑨240x +>;⑩ 230x π +>。 练习:用不等式表示: ①x 的平方是非负数: ②a 不大于b : ③x 的3倍与-2的差是负数: ; ④长方形的长为x cm ,宽为10cm ,其面积不小于200cm 2 : 二.不等式的解与解集 (1)不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例3、下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 (2)不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集. 不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来, 具体表示方法是: ①确定边界点。 解集包含边界点,是实心圆点; 不包含边界点,则是空心圆圈; ②确定方向:大向右,小向左。 说明:①不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的, 是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值.②不等式解集在数轴上表示方法口诀:大于向右画,小于向左画,含等号画实心点,不含等号画空心圈 例4、下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 例5:在数轴上表示下列不等式的解集 ①-3<x ≤1 ②x ≠0 ③ x >-2且x ≠1 ④-2≤x ≤3且x ≠2 练习1:如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是 ( ) 练习2:在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>3 (2)x<2 (3)y ≥-1 (4)y ≤0(5)x ≠4 三.不等式的基本性质 (1)5>3 ,5+2 3+2,5-2 3-2 (2)-1<3,-1+2 3+2,-1-3 3-3 (3)6>2,6×5 2×5,6×(-5) 2×(-5) (4)-2<3,(-2)×6 3×6,(-2)×(-6) 3×(-6) 各类不等式求解集的方法 一、一元一次不等式的求解 一元一次不等式是指只含有一个未知数的不等式,其一般形式为:ax + b > c (或者ax + b < c)。 1.方法一:移项法 将不等式中的项按照相同的顺序移动到同一边,得到ax > c - b (或者ax < c - b),然后根据a的正负情况来判断解集。 2.方法二:倍增法 将不等式中的项乘以相同的正数(或者倒数),得到ax > c(或者 ax < c),然后根据a的正负情况来判断解集。 3.方法三:画图法 将不等式转化为对应的线性方程,然后在数轴上画出对应线性方程的 图像,然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 二、一元二次不等式的求解 一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式,其一般形式为:ax² + bx + c > 0 (或者ax² + bx + c < 0)。 1.方法一:因式分解法 将一元二次不等式进行因式分解,得到(x+m)(x+n)>0(或者 (x+m)(x+n)<0),然后根据m和n的正负情况来判断解集的范围。 2.方法二:配方法 将一元二次不等式进行配方法,得到(ax + m)² + n > 0 (或者(ax + m)² + n < 0),然后根据n的正负情况来判断解集的范围。 3.方法三:作图法 将一元二次不等式转化为对应的二次函数,然后在坐标系中画出对应的函数图像,然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 三、一元三次及更高次不等式的求解 一元三次及更高次不等式是指只含有一个未知数的三次及更高次的不等式,其求解方法相对复杂。 1.方法一:图像法 将一元三次及更高次不等式转化为对应的函数,然后在坐标系中画出对应的函数图像,然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 2.方法二:化简法 将一元三次及更高次不等式进行化简,分解为一元二次或一元一次不等式的组合,然后根据已经掌握的方法来求解。 四、多元不等式的求解 多元不等式是指含有两个或两个以上未知数的不等式。 1.方法一:代数法 将多元不等式转化为对应的代数方程组,然后通过求解方程组得到解集。 2.方法二:几何法 不等式知识点总结(精选5篇) 不等式知识点总结篇1 1、不等式及其解集 用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式解的集合,简称解集。 含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。 2、不等式的性质 不等式有以下性质: 不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。 不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 3、实际问题与一元一次不等式 解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为xa)的形式。 4、一元一次不等式组 把两个不等式合起来,就组成了一个一元一次不等式组。 几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。 对于具有多种不等关系的问题,可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 不等式知识点总结篇2 不等式: ①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 不等式的解集: ①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式: 左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组: ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向: 在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中,如果加上同一个数(或加上一个正数),不等式符号不改向;例如:AB,A+CB+C 在不等式中,如果减去同一个数(或加上一个负数),不等式符号不改向;例如:AB,A-CB-C 在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向;例如:AB,AxCBxC(C0) 在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向;例如:AB,AxC 如果不等式乘以0,那么不等号改为等号 所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一 不等式的性质与解集 不等式是数学中的一种基本关系,用于描述数值之间的大小关系。 与等式不同,不等式存在多种形式和性质。本文将探讨不等式的性质 和解集,并分析其应用。 一、不等式的基本性质 1.1 不等式的传递性 在不等式a < b和b < c成立的前提下,根据数学的传递性,可推导 出a < c。这意味着如果一个不等式关系成立,那么经过有限次传递, 可以得到更多的大小关系。 1.2 不等式的加减性质 对于不等式a < b,若两边同时加上(或减去)一个正数或负数,不等式的关系不会改变。即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。 1.3 不等式的乘除性质 对于不等式a < b,若两边同乘以一个正数,或同除以一个正数(负数),不等式的关系不会改变。即a * c < b * c,若c > 0;a * c > b * c,若c < 0。 二、一元不等式的解集表示 一元不等式是指只含有一个未知数的不等式,通常用x表示。它的 解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。 2.1 严格不等式的解集表示 对于形如a < x < b的严格不等式,解集表示为(a, b),即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。 2.2 非严格不等式的解集表示 对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式,解集表示为[a, b],即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。 三、二元不等式的解集表示 二元不等式是指含有两个未知数的不等式,通常用x和y表示。解集表示了使得不等式成立的所有实数对。 3.1 不等式的图解法 可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。通常在坐标系上绘制不等式相关的线条,然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。 3.2 不等式的符号法表示 对于形如ax + by < c的二元不等式,符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。 四、不等式求解的应用 不等式求解在实际问题中有着广泛的应用。 认识不等式及不等式的解集表示法 不等式是数学中重要的概念之一,它描述了数值之间的关系。在解决实际问题 和证明数学定理时,不等式经常被使用。本文将从认识不等式的基本概念开始,探讨不等式的解集表示法,以帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、不等式的基本概念 不等式是描述数值大小关系的数学式子。常见的不等式有大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等。例如,2x + 3 > 7就是一个不等式,表示2x + 3的值大于7。 在解决不等式问题时,我们需要找到不等式的解集,即满足不等式的数值集合。解集可以是实数集、整数集、有理数集或其他特定的数集,具体取决于不等式的条件和问题的要求。 二、不等式的解集表示法 1. 区间表示法 区间表示法是表示不等式解集的常用方法。它使用数轴上的区间来表示解集。 例如,对于不等式2x + 3 > 7,我们可以通过求解得到x > 2。这个解集可以用开区 间(2, +∞)表示,其中“+∞”表示正无穷大。 除了开区间,还有闭区间和半开半闭区间等不同的表示方式。闭区间用方括号 表示,例如[2, +∞),表示包括2在内的所有大于2的数;半开半闭区间用一个方括 号和一个圆括号表示,例如[2, +∞),表示包括2在内的所有大于2的数。 2. 集合表示法 集合表示法是另一种常见的不等式解集表示方法。它使用集合的形式来表示解集。例如,对于不等式2x + 3 > 7,解集可以用集合{x | x > 2}表示,其中“|”表示“满足”的意思。 集合表示法可以更清晰地描述解集的特征。例如,对于不等式x^2 - 4 < 0,我 们可以通过求解得到解集为(-2, 2)。用集合表示法表示为{x | -2 < x < 2},更明确地 表达了解集的范围。 3. 图形表示法 图形表示法是一种直观的不等式解集表示方法。它使用图形来表示解集。例如,对于不等式x^2 - 4 < 0,我们可以画出对应的二次函数图像,并标出函数图像下方 的区域,即解集(-2, 2)。 图形表示法可以帮助我们更直观地理解和分析不等式的解集。通过观察图形, 我们可以更好地理解解集的特征和不等式的性质。 三、不等式的应用 不等式在实际问题中有广泛的应用。例如,在经济学中,不等式可以用来描述 供需关系、收入分配等问题;在物理学中,不等式可以用来描述力学、热力学等问题。 不等式的应用还涉及到优化问题。例如,当我们需要求解一个函数的最大值或 最小值时,可以通过不等式来描述约束条件,然后利用不等式的性质来求解最优解。 此外,不等式还在证明数学定理中扮演重要角色。在代数、几何、数论等领域,不等式的运用可以帮助我们证明定理和推导结论。 总结: 通过对不等式的认识和解集表示法的讨论,我们可以更好地理解和应用不等式。不等式的解集可以用区间表示法、集合表示法和图形表示法等多种方式来表达。不 《不等式及其解集》知识全解 课标要求: 1、感受生活中存在大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过简单的实际问题,使学生自发的寻找不等式的解,会把不等式的解集正确的表示到数轴上. 2、经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感和数学化的能力,经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合的思想. 知识结构: 内容解析: 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式. 2、含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式. 3、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数 的值,都叫做这个不等式的解. 4、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简 称这个不等式的解集. 5、求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 6、用数轴表示不等式的方法 此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后,又一次数学建模思想的教学,是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容,也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础.通过实际问题中一元一次不等式的应用,进一步增强学生学数学、用数学的意识,体会学数学的价值和意义;相等与不等是研究数量关系的两个重要方面,用不等式表示不等的关系,是代数基础知识的一个重要组成部分,它在解决各类实际问题中有着广泛的应用. 重点难点 重点:正确理解不等式,不等式的解与解集的意义,把不等式的解集正确的表示到数轴上. 难点:正确理解不等式解集的意义. 教法引导: 新课标下的教学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验的基础上,新课程理念下的数学教学必须体现三维目标,因此根据本课内容的特点以及学生知识水平和认知水平,通过列不等式,找不等式的解,表示不等式的解集的梯度训练.使学生对所学的新知识进一步理解并掌握.这样安排,符合学生接受新事物的水平层次.从易到难,让学生更容易理解和接受. 学法建议: 1、通过经历不等式的得出过程,积累数学活动经验. 2、认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性. 3、在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益. 不等式的解集求解方法 不等式是数学中常见的一个概念,它描述了数与数之间的大小关系。在数学中,我们常常需要求解不等式的解集,以确定变量的取值范围。本文将介绍几种常见的不等式的解集求解方法。 一、一元一次不等式 一元一次不等式是一元变量的一次方程与不等式的结合体,通常形 式为ax + b > 0(或< 0)。 求解一元一次不等式的步骤如下: 1. 将不等式化为等式:ax + b = 0。 2. 求解方程ax + b = 0的解集,得到解x0。 3. 根据x0的位置及a的正负情况,确定不等式的解集。若a > 0, 则解集为x > x0;若a < 0,则解集为x < x0。 举例说明: 对于不等式2x + 3 > 0,我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 将不等式化为等式:2x + 3 = 0,得到x = -3/2。 2. 方程2x + 3 = 0的解集为{-3/2},即x0 = -3/2。 3. 由于a = 2 > 0,根据a的正负情况,不等式的解集为x > -3/2。 二、一元二次不等式 一元二次不等式是一元变量的二次方程与不等式的结合体,通常形式为ax² + bx + c > 0(或< 0)。 求解一元二次不等式的步骤如下: 1. 求出二次函数f(x) = ax² + bx + c的顶点坐标(-p,q)。 2. 根据a的正负情况,确定不等式的解集。若a > 0,则解集为x < -p或x > -p;若a < 0,则解集为-p < x < +∞或x < -∞或x > +∞。 举例说明: 对于不等式x² - 4x + 3 < 0,我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 求出二次函数f(x) = x² - 4x + 3的顶点坐标。首先求出顶点的横坐标x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2。将x = 2代入函数中,得到纵坐标y = f(2) = 2² - 4*2 + 3 = -1。所以顶点坐标为(-2,-1)。 2. 由于a = 1 > 0,根据a的正负情况,不等式的解集为-∞ < x < 2或x > 2。 三、绝对值不等式 绝对值不等式是包含绝对值的不等式,通常形式为|ax + b| > c(或< c)。 求解绝对值不等式的步骤如下: 1. 将绝对值不等式分解为两个不等式,并去掉绝对值符号。若|ax + b| > c,则转化为ax + b > c或ax + b < -c。 不等式的解集知识点总结 不等式是数学中常见的一种关系表达式,用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。与等式不同的是,不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。 在解不等式时,我们需要确定不等式的解集,即使不等式成立的取值范围。下面是一些常见的不等式的解集知识点总结: 一、一元一次不等式 形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式,其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解: 1. 将不等式转化为等式:ax + b = 0。 2. 根据 a 的正负情况讨论解集: - 当 a > 0 时,解集为 x > -b/a 或 x < -b/a; - 当 a < 0 时,解集为 x < -b/a 或 x > -b/a; - 当a ≥ 0 时,解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a; - 当a ≤ 0 时,解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。 二、二次函数不等式 形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式,其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解: 1. 将不等式转化为等式:ax² + bx + c = 0。 2. 求出函数的零点或者判别式的值,得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况: - 若判别式 D > 0,函数有两个不同的实根,解集为 x < x₁或 x > x₂; - 若判别式 D = 0,函数有一个重根,解集为 x = x₁; - 若判别式 D < 0,函数无实根,解集为空集; - 当 a > 0 时,函数开口向上,解集为全体实数集; - 当 a < 0 时,函数开口向下,解集为空集。 三、绝对值不等式 形如 |ax + b| > c、|ax + b| < c、|ax + b| ≥ c、|ax + b| ≤ c 的绝对值不等式,其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解: 1. 将不等式转化为两个不等式: - 当 |ax + b| > c 时,拆分为 ax + b > c 或 ax + b < -c; - 当 |ax + b| < c 时,拆分为 -c < ax + b < c; - 当|ax + b| ≥ c 时,拆分为ax + b ≥ c 或ax + b ≤ -c; - 当|ax + b| ≤ c 时,拆分为 -c ≤ ax + b ≤ c。 2. 分别求解拆分后的一元一次不等式。 不等式的基本性质及其解集 【知识要点一】 等式与不等式的基本知识对照表: 等式 不等式 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. 两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式 两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变 两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变 【知识要点二】 1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值. 2.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解. 3.解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式. 4.不等式解集的表示方法: a.用不等式表示:如32≥+x 的解集表示为:1≥x b.在数轴上直观表示如图: 如:a x > b x ≤ b x a <≤ 【经典例题】 例1.将下列不等式化为""a x >或""a x <形式 (1)97 <-x (2)145->x x (3) 23 1 >x (4) 155<-x a b b a 例2.在数轴上表示下列不等式的解集 (1)3-≥x (2)2 1 1 不等式及其解集
不等式及其解集
各类不等式求解集的方法
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不等式的性质与解集
认识不等式及不等式的解集表示法
人教版七年级数学下《不等式及其解集》知识全解
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不等式的解集知识点总结
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