不等式及解集
a 图1—1 不等式及解集
一、知识点归纳总结：
1、不等式的定义：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”“≠”）表示不等关系的式子。
2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．可以用最简单
的不等式表示，也可以用数轴来表示．
解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．
3、 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做
一元一次不等式．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不
等号的改变问题）
二、典型例题：
例1、有理数a 与b 在数轴上的位置如图1—1，用“＞”或“＜”填空：
（1）a 0； （2）b 0； （3）a b ； （4）a ＋b 0；
（5）a －b 0．
2、用适当的符号表示下列关系
（1）m 比—2大． （2）3x 与4的差是负数．（3）a 2与2的和是非负数．
（4）x 的一半比它与6的差小． （5）a 与b 的差不大于a 与b 的和．
3、已知—1＜a ＜0，下列各式正确的是（ ）．
A.2
a -＜—a ＜a 1- B.—a ＜a 1-＜2a - C.a 1-＜2a -＜—a D.a
1-＜—a ＜2a - 4、下列不等式中：①x>－3；②xy≥1；③x 2<3；④2x －3x ≤1；⑤1x x +>1．一元一次不等式的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
例2、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．
（1）3x ＋1＞4； （2）3（x ＋2）≥5（x －2）；
（3）
532122
x x ++-<；； （4）10132x x x ++<--．
例3、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（ ）
A.0
B.－3
C.－2
D.－1
例4、已知代数式
64x -的值不小于3
1，求x 的正整数解．
练习：
1、不等式2（x －2）≤x —2的非负整数解的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、不等式x-73x-2+1<22的负整数、解有（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3、已知关于x 的方程
3224x m m -=－13
的解为非负数，求m 的取值范围．
4、（一题多变题）关于x 的一元一次主程4x+m+1=3x －1中实数m 的取值范围是m>－2，求x•的取值范围．
例5、如果关于x 的不等式（2a －b ）x+a －5b ＞0的解为x ＜107
，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．
练习：
1、不等式ax ＜b 的解集是x ＜b a
，那么a 的取值 范围是（ ）
A 、a ≤0
B 、a ＜0
C 、a ≥0
D 、a ＞0
2、如果关于 x 的不等式初（a －1）x 3、已知不等式x+8>4x+m （m 是常数）的解集是x<3，求m ． 例6、比较a 2 －4a －1与a 2 －6a+2的大小． 例7、综合应用：设“○”、“□”、“△”分另表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况，如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物 体，按质量从小到大的顺序排列为（ ） A ．○□△ B ．○△□ C ．□○△ D ．△□○ 练习： 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场上踢足球”．试问这个班共有多少学生？ 例8、如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式 b 2+c 2= 2a 2 +16a ＋14 与bc= a 2－4a －5， 那么a 的取值范围是___________． 例9、求不等式1)1(201262->-++++n n n x x x x x 的解集． 【综合创新训练】 1．两个连续偶数的和不小于49，问较大的数最小是多少？ 2．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 212 23 x x +- >-的正整数解，试求第三边x 的长． 3．李老师奖励在数学竞赛中的优胜者，给小明80元去购买奖品笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买多少支钢笔？ 4．已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x<-6的解集． 5．如果不等式3x-m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是什么？ 专题19 不等式组及其解集 1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a -2 解不等式②，得x≤2 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示. ∴不等式的解集为-2 拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 . 【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数. 例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集. 【解】把不等式的解集表示在数轴上， 不等式组表示在数轴上如图19-2所示， 可知解集为x >a . 不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2 不等式的概念及解集同步练习题5套（含答案） 同步练习题（1） 知识点： 1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子 2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法 ⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8． (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如： 同步练习： 1.用 连接的式子叫做不等式； 2.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A 、x ＋3＞5 B 、x ＋3＞6 C 、x ＋3＞7 D 、x ＋3＞8 3.下列说法中，正确的有 （ ） ①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 5.下列说法中，正确的是 （ ） A 、x=3是不等式2x>5的一个解 B 、x=3是不等式2x>5的解集 C 、x=3是不等式2x>5的唯一解 D 、x=2是不等式2x>5的解 6.x 与3的差的2倍小于x 的2倍与3倍的差，用不等式表示为 （ ） A 、2（x-3）<(x-3) B 、2x-3<2(x-3) C 、2（x-3）<2x-3 D 、2x-3<1/2(x-3) 7.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A 、13cm B 、6cm C 、5cm D 、4cm 9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1）答案： 1.符号“＜、＞、≥、≤、≠” 2-7 ABDACB 0-1-2 不等式及不等式基本性质 一．不等式 定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． （1）常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． （2）列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： 正数(＞0) 负数（＜0） 非正数（≤0） 非负数（≥0） 超过(＞0) 不足（＜0） 至少（≥0） 至多（≤0） 不大于（≤0） 不小于（≥0） （3）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。 例1、用不等式表示 (1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5; (6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3. 例2：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。 ①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥124x x ->-； ⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩ 230x π +>。 练习：用不等式表示： ①x 的平方是非负数： ②a 不大于b ： ③x 的3倍与－2的差是负数： ； ④长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2 ： 二．不等式的解与解集 (1)不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 解析:不等式的解可能不止一个. 例3、下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 (2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来， 具体表示方法是: ①确定边界点。 解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈； ②确定方向：大向右，小向左。 说明：①不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的， 是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．②不等式解集在数轴上表示方法口诀：大于向右画，小于向左画，含等号画实心点，不含等号画空心圈 例4、下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 例5：在数轴上表示下列不等式的解集 ①-3＜x ≤1 ②x ≠0 ③ x ＞-2且x ≠1 ④-2≤x ≤3且x ≠2 练习1:如图,表示的是不等式的解集,其中错误的是 ( ) 练习2:在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>3 (2)x<2 (3)y ≥-1 (4)y ≤0(5)x ≠4 三．不等式的基本性质 (1)5>3 ,5+2 3+2,5-2 3-2 (2)-1<3,-1+2 3+2,-1-3 3-3 (3)6>2,6×5 2×5,6×(-5) 2×(-5) (4)-2<3,(-2)×6 3×6,(-2)×(-6) 3×(-6) 各类不等式求解集的方法 一、一元一次不等式的求解 一元一次不等式是指只含有一个未知数的不等式，其一般形式为：ax + b > c （或者ax + b < c）。 1.方法一：移项法 将不等式中的项按照相同的顺序移动到同一边，得到ax > c - b （或者ax < c - b），然后根据a的正负情况来判断解集。 2.方法二：倍增法 将不等式中的项乘以相同的正数（或者倒数），得到ax > c（或者 ax < c），然后根据a的正负情况来判断解集。 3.方法三：画图法 将不等式转化为对应的线性方程，然后在数轴上画出对应线性方程的 图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 二、一元二次不等式的求解 一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，其一般形式为：ax² + bx + c > 0 （或者ax² + bx + c < 0）。 1.方法一：因式分解法 将一元二次不等式进行因式分解，得到(x+m)(x+n)>0（或者 (x+m)(x+n)<0），然后根据m和n的正负情况来判断解集的范围。 2.方法二：配方法 将一元二次不等式进行配方法，得到(ax + m)² + n > 0 （或者(ax + m)² + n < 0），然后根据n的正负情况来判断解集的范围。 3.方法三：作图法 将一元二次不等式转化为对应的二次函数，然后在坐标系中画出对应的函数图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 三、一元三次及更高次不等式的求解 一元三次及更高次不等式是指只含有一个未知数的三次及更高次的不等式，其求解方法相对复杂。 1.方法一：图像法 将一元三次及更高次不等式转化为对应的函数，然后在坐标系中画出对应的函数图像，然后根据不等式的符号来确定解集的范围。 2.方法二：化简法 将一元三次及更高次不等式进行化简，分解为一元二次或一元一次不等式的组合，然后根据已经掌握的方法来求解。 四、多元不等式的求解 多元不等式是指含有两个或两个以上未知数的不等式。 1.方法一：代数法 将多元不等式转化为对应的代数方程组，然后通过求解方程组得到解集。 2.方法二：几何法 不等式的解集求解方法 不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数与数之间的大小关系。在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，以确定变量的取值范围。本文将介绍几种常见的不等式的解集求解方法。 一、一元一次不等式 一元一次不等式是一元变量的一次方程与不等式的结合体，通常形 式为ax + b > 0（或< 0）。 求解一元一次不等式的步骤如下： 1. 将不等式化为等式：ax + b = 0。 2. 求解方程ax + b = 0的解集，得到解x0。 3. 根据x0的位置及a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0， 则解集为x > x0；若a < 0，则解集为x < x0。 举例说明： 对于不等式2x + 3 > 0，我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 将不等式化为等式：2x + 3 = 0，得到x = -3/2。 2. 方程2x + 3 = 0的解集为{-3/2}，即x0 = -3/2。 3. 由于a = 2 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为x > -3/2。 二、一元二次不等式 一元二次不等式是一元变量的二次方程与不等式的结合体，通常形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）。 求解一元二次不等式的步骤如下： 1. 求出二次函数f(x) = ax² + bx + c的顶点坐标(-p,q)。 2. 根据a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0，则解集为x < -p或x > -p；若a < 0，则解集为-p < x < +∞或x < -∞或x > +∞。 举例说明： 对于不等式x² - 4x + 3 < 0，我们可以按照以上步骤进行求解。 1. 求出二次函数f(x) = x² - 4x + 3的顶点坐标。首先求出顶点的横坐标x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2。将x = 2代入函数中，得到纵坐标y = f(2) = 2² - 4*2 + 3 = -1。所以顶点坐标为(-2,-1)。 2. 由于a = 1 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为-∞ < x < 2或x > 2。 三、绝对值不等式 绝对值不等式是包含绝对值的不等式，通常形式为|ax + b| > c（或< c）。 求解绝对值不等式的步骤如下： 1. 将绝对值不等式分解为两个不等式，并去掉绝对值符号。若|ax + b| > c，则转化为ax + b > c或ax + b < -c。 《不等式及其解集》说课稿《不等式及其解集》说课稿范文 《不等式及其解集》说课稿1 你们好！今天我要为大家讲的课题是:《不等式及其解集》。首先，我对本节教材进行一些分析： 一、教材分析： 本节内容在全书及章节的地位是：《不等式及其解集》是新人教版初中数学教材第七册第九章第1节内容。学生已初步体会到生活中的量与量之间的关系，有相等与不等的情形，就是有大小之分在此之前，学生已学习了等式基础上,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。 二、教学目标： 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： （1）知识目标： 了解不等式及一元一次不等式概念。理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集。 （2）能力目标： 通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，读图分析、收集处理信息、团结协作、语言表达的能力，以及通过师生互动，初步培养学生运用知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力。 （3）情感目标： 通过对《不等式及其解集》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对地理问题的兴趣，使学生了解地理知识的功能与价值，形成主动学习的态度，让学生初步认识到地理知识的优越性，同时渗透安全教育；通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。 3、重点，难点以及确定的依据： 本课中不等式相关概念的理解和不等式的解集的表是重点，不等式解集的理解是本课的难点，但由于学生年龄小，解决实际问题能力弱，对理论联系实际的问题的理解难度大。下面，为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 三、教学策略（说教法）： （一）教学手段： 如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。我在教学过程中拟计划进行如下操作： 1、“读（看）——议——讲”结合法 2、读图讨论法 3、教学过程中坚持启发式教学的原则 基于本节课的特点：第一节知识性特点，应着重采用自主探讨的教学方法。 （二）教学方法及其理论依据： 坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，根据学生的心理发展规律，联系实际安排教学内容。采用学生参与程度高的学导式讨论教学法。 在学生看图片、讨论基础上，在教师启发引导下，运用问题解决式教学法，师生交谈法、问答法、课堂讨论法，引导学生根据现实生活的经历和体验及收集到的信息（感性材料）来理解课文中的理论知识。 在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现的机会，培养其自信心，激发其学习热情。有效地开发各层次学生的潜在智能，力求使每个学生都能在原有的基础上得到发展。同时通过课堂练习和课后作业，启发学生从书本知识回到社会实践，学以致用，落实教学目标。 使学生学习对生活有用的数学，学习对终身发展有用的数学的基本理念。提供给学生与其生活和周围世界密切相关的数学知识，学习基础性的知识和技能，在教学中要积极培养学生学习兴趣和动机，明确的学习目的。教师应在课堂上充分调动学生的学习积极性，激发来自学生主体的最有力的动力 三、学情分析：（说学法）： 1、学生特点分析： 《不等式及其解集》知识全解 课标要求： 1、感受生活中存在大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过简单的实际问题，使学生自发的寻找不等式的解，会把不等式的解集正确的表示到数轴上. 2、经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合的思想. 知识结构： 内容解析： 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式. 2、含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式. 3、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数 的值，都叫做这个不等式的解. 4、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 称这个不等式的解集. 5、求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 6、用数轴表示不等式的方法 此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础.通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部分，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用. 重点难点 重点：正确理解不等式，不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确的表示到数轴上. 难点：正确理解不等式解集的意义. 教法引导： 新课标下的教学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验的基础上，新课程理念下的数学教学必须体现三维目标，因此根据本课内容的特点以及学生知识水平和认知水平，通过列不等式，找不等式的解，表示不等式的解集的梯度训练.使学生对所学的新知识进一步理解并掌握.这样安排，符合学生接受新事物的水平层次.从易到难，让学生更容易理解和接受. 学法建议： 1、通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验. 2、认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性. 3、在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益. 不等式的解集 不等式的解集 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节教学的重点是不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．难点为不等式的解集的概念． 1.不等式的解与方程的解的意义的异同点 相同点：定义方式相同（使方程成立的未知数的值，叫做方程的解）；解的表示方法也相同． 不同点：解的个数不同，一般地，一个不等式有无数多个解，而一个方程只有一个或几个解，例如，能使不等式成立，那么是不等式的一个解，类似地等也能使不等式成立，它们都是不等式的解，事实上，当取大于的数时，不等式都成立，所以不等式有无数多个解． 2.不等式的解与解集的区别与联系 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解． 注意：不等式的解集必须满足两个条件：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立． 3.不等式解集的表示方法 （1）用不等式表示 一般地，一个含未知数的不等式有无数多个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来，例如，不等式的解集是． （2）用数轴表示 如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因 为包含，所以在表示4的点上画实心圆． 如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因为包含，所以在表示4的点上画实心圈. 注意：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生了解不等式的解集、解不等式的概念，会在数轴上表示出不等式的解集． 2．知道不等式的“解集”与方程“解”的不同点． （二）能力训练点 通过教学，使学生能够正确地在数轴上表示出不等式的解集，并且能把数轴上的某部分数集用相应的不等式表示． （三）德育渗透点 通过讲解不等式的“解集”与方程“解”的关系，向学生渗透对立统一的辩证观点． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，让学生了解不等式的解集可利用图形来表达，渗透数形结合的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：类比法、引导发现法、实践法． 2．学生学法：明确不等式的解与解集的区别和联系，并能熟练地用数轴表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈． 三、重点·难点·疑点及解决办法 （一）重点 不等式的解集知识点总结 不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。 在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。下面是一些常见的不等式的解集知识点总结： 一、一元一次不等式 形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。 2. 根据 a 的正负情况讨论解集： - 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a； - 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a； - 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a； - 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。 二、二次函数不等式 形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。 2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况： - 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂； - 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁； - 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集； - 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集； - 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。 三、绝对值不等式 形如 |ax + b| > c、|ax + b| < c、|ax + b| ≥ c、|ax + b| ≤ c 的绝对值不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。我们可以通过以下步骤求解： 1. 将不等式转化为两个不等式： - 当 |ax + b| > c 时，拆分为 ax + b > c 或 ax + b < -c； - 当 |ax + b| < c 时，拆分为 -c < ax + b < c； - 当|ax + b| ≥ c 时，拆分为ax + b ≥ c 或ax + b ≤ -c； - 当|ax + b| ≤ c 时，拆分为 -c ≤ ax + b ≤ c。 2. 分别求解拆分后的一元一次不等式。 不等式的解集表示总结 不等式是数学中的一种重要的关系表达式，它用于描述数的大小关系。在解不等式时，我们需要找到所有满足不等式条件的数的集合，这个集合就是不等式的解集。本文将对不等式的解集表示进行总结。 一、不等式的基本概念 不等式是包含不等号的数学表达式，用于表示数的大小关系。常见的不等号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。 二、不等式的解集表示形式 1. 区间表示法 区间表示法是表示解集的一种常用形式，它使用区间的形式来表示各种数的范围。常见的区间表示法有：开区间、闭区间、半开半闭区间等。 - 开区间：使用小于号或大于号表示不包含边界的区间，如（a，b），表示大于a小于b的数的集合。 - 闭区间：使用小于等于号或大于等于号表示包含边界的区间，如[a，b]，表示大于等于a小于等于b的数的集合。 - 半开半闭区间：左边界使用小于等于号或大于等于号，右边界使用小于号或大于号，如[a，b)，表示大于等于a小于b的数的集合。 2. 集合表示法 集合表示法是用大括号{}把解集中的元素一一列举出来的形式，常用于表示有限个解的情况。例如{1，2，3}表示解集中包含1、2、3这三个数。 3. 图形表示法 对于一维不等式，我们可以用数轴来表示解集。在数轴上，我们可以用实心圆点、空心圆点和箭头表示解集的情况。 - 实心圆点：表示解集中包含该点所在的数。 - 空心圆点：表示解集中不包含该点所在的数。 - 箭头：表示解集中包含该箭头所指的数的范围。 三、示例分析 1. 解集表示形式为区间的示例： 不等式：2x - 5 > 3 解集表示：(4/2，+∞)，即大于2的所有实数。 2. 解集表示形式为集合的示例： 不等式：x^2 - 4 < 0 解集表示：{-2，2}，即解集包含-2和2这两个实数。 3. 解集表示形式为图形的示例： 不等式：x ≤ -3 或 x > 5 不等式的解集表示 不等式是数学中常见的一种表示关系的方式。解集表示了不等式的 所有可行解的集合。在解不等式时，我们需要找到使得不等式成立的 变量取值范围。本文将介绍不等式的解集表示方法以及相关的数学符 号和表达方式。 一、不等式的基本概念 不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数学关系。解不等式即找出使得不等式成立的变量取值范围。不等式的解集可以是有限集合， 也可以是无限集合。 二、不等式的解集表示方法 1. 区间表示法 当不等式的解集是一个区间时，可以使用区间表示法来表示。区间 表示法包括开区间、闭区间和半开半闭区间。其中，开区间用“()”表示，闭区间用“[]”表示，半开半闭区间则一边开一边闭。例如，解不等式x > 0可以表示为x∈(0, +∞)。 2. 集合表示法 当不等式的解集无法用区间表示时，可以使用集合表示法。集合表 示法使用花括号“{}”表示集合，其中逗号“,”表示元素间的分隔，如 {x∈R | x > 0}表示实数集合中满足x > 0的元素构成的集合。 3. 图示表示法 当不等式的解集比较复杂或者需要直观地表示时，可以使用图示表示法。图示表示法使用数轴和符号来表示不等式的解集。例如，解不等式x > 0可以表示为数轴上大于0的部分。 三、不等式的解集表示的简化形式 在表示不等式的解集时，我们可以对解进行简化和合并，以使表示更为简洁。常见的简化形式有： 1. 合并相邻区间：当解集中存在相邻的区间时，可以将它们合并成一个区间，如[1, 3]∪(4, 6)可以简化表示为[1, 6)。 2. 去除冗余解：当解集中存在冗余的解时，可以将其去除，如 {x∈R | x > 0}∩{x∈R | x > 2}可以简化表示为{x∈R | x > 2}。 四、常见的不等式解集表示示例 1. 线性不等式： ①解不等式2x + 3 > 0。 解： 2x + 3 > 0 2x > -3 x > -3/2 解集表示为x∈(-3/2, +∞)。 2. 二次不等式： “不等式的解”和“不等式的解集” 某人是某中学的学生。该中学有许多学生，它构成一个集合，这个学生是这个集合中的一个元素。 能够使不等式成立的未知数的数值，叫做不等式的解。例如， 1是不等式x +3＜6的解，因为1+3＜6，1能使这个不等式成立； 0也是不等式x ＋3＜6的解，因为0＋3＜6，0能使这个不等式成立； －2.5也是不等式x ＋3＜6的解，因为－2.5+3＜6，－2.5能使这个不等式成立； －4，0.5，2，－π都是不等式x +3＜6的解，因为她们都能使这个不等式成立。 不等式x ＋3＜6有无数个解。事实上，当x 取小于3的任何实数时，不等式都能成立；当x 取大于或等于3的任一实数时，不等式都不能成立。因此，小于3的任何实数都是不等式x ＋3＜6的解；而大于或等于3的一切实数，都不是不等式x ＋3＜6的解。 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式解的集合，叫做这个不等式的解集。 所以，一般说来，不等式的解集是一个无穷集合，它其中包含有这个不等式的无穷多个解，这每一个解都是不等式解集的一个元素。 一元方程的解的个数是有限的，而一元不等式的解的个数却是无穷的。正因为一元不等式的解的个数是无穷的，所以解一元不等式与解方程不同，往往要求出它的解的范围，而这点常常需要借助于数轴，因为数轴可以直观形象地表示出数域所在的区间，这就可以弥补由于不等式的解较之方程的解复杂、抽象，所带来理解上的困难。 下面举例说明求一元不等式解集的方法。 例 解不等式，并在数轴上把它的解集表示出来。 2（x +1）+32 x ＜2 7x －1。 解：去分母，得 12(x +1)+2(x －2)＜21x －6。 不等式的解与解集是两个既有联系又有区别的不同概念，两者的含义容易混淆，在学习中要注意加以比较． 一、不等式的解与方程的解含义相同 我们知道，能使方程成立的未知数的值叫做方程的解；能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 可见，不等式的解与方程的解的含义是相同的．如果某个数是不等式的解，那么该不等式中的未知数用它的解代替时，所得不等式成立． 例如，已知x=1是不等式3x+2m<7的解，求m的取值范围． 解析：根据不等式的解，得不等式3x+2m<7中的未知数x用1替换时，所得不等式3×1+2m<7成立，解此不等式，得m<2. 二、不等式的解集与解之间的联系 不等式所有解的集合叫做不等式的解集．可见，不等式的解与解集是不同的两个概念，解是解集的一部分，解集包括所有的解．一般地，不等式的解集中包含着不等式的无数多个解．因此，对于不等式的解是什么要用解集表示，不能列举几个解进行说明． 例如，不等式2x+1<9的解应该用解集表示为x<4，不能说该不等式的解是x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等．但可以说x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等都是该不等式的解． 三、不等式的解集与方程的解之间的关系 不等式的解集一般表示为x 不等式组及其解集
不等式的概念及解集练习题5套(含答案)
不等式及其解集
各类不等式求解集的方法
不等式的解集求解方法
《不等式及其解集》说课稿
人教版七年级数学下《不等式及其解集》知识全解
不等式的解集
不等式的解集知识点总结
不等式的解集表示总结
不等式的解集表示
“不等式的解”和“不等式的解集”
不等式的解与解集有何区别